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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 11, 6, 1, 7, 4. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5,8
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 3, 5, 3, 16, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 3, 3, 5, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 3
    3. Spannweite = 16 − 2 = 14
    Ergebnis:
    Median 3; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 13, 8, 14, 8, 17. Jungen: 6, 5, 12, 7, 15. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
MädchenJungen4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 13 + 8 + 14 + 8 + 17 = 60, 60 : 5 = 12
  2. Jungen: 6 + 5 + 12 + 7 + 15 = 45, 45 : 5 = 9
  3. 12 − 9 = 3
  1. Mädchen: 13 + 8 + 14 + 8 + 17 = 60, 60 : 5 = 12
  2. Jungen: 6 + 5 + 12 + 7 + 15 = 45, 45 : 5 = 9
  3. 12 − 9 = 3
Ergebnis:
Mädchen, um 3 Treffer

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 8, 23, 25, 28, 26. Team Süd: 11, 15, 16, 8, 30. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd51015202530
    So fängst du an:
    Team Nord: 8 + 23 + 25 + 28 + 26 = 110, 110 : 5 = 22
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 8 + 23 + 25 + 28 + 26 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Team Süd: 11 + 15 + 16 + 8 + 30 = 80, 80 : 5 = 16
    3. 22 − 16 = 6
    Ergebnis:
    Team Nord, um 6 Punkte
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 49, 25, 42, 24, 35. Jungen: 35, 31, 10, 24, 35. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen101520253035404550
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 24, 25, 35, 42, 49, Median 35
    2. Jungen geordnet: 10, 24, 31, 35, 35, Median 31
    3. 35 ist mehr als 31.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 35 gegen 31)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 9, 3, 7, 17, 3, 15. Team Süd: 14, 16, 12, 6, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 9 + 3 + 7 + 17 + 3 + 15 = 54, 54 : 6 = 9
    2. Team Süd: 14 + 16 + 12 + 6 + 17 = 65, 65 : 5 = 13
    3. 13 − 9 = 4
    Ergebnis:
    Team Süd, um 4 Treffer

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 60, 3, 5, 4, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. 60 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
  3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
  1. 60 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
  3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
Ergebnis:
Ausreißer 60, Mittelwert 16 statt 5

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 27, 183, 27, 23. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200
    So fängst du an:
    183 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 183 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 275 : 5 = 55
    3. Ohne ihn: 92 : 4 = 23
    Ergebnis:
    Ausreißer 183, Mittelwert 55 statt 23
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 5, 55, 2, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 5, 6, 7, 55
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 7, 6, 5, 36, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 66 : 6 = 11
    2. Geordnet: 4, 5, 6, 7, 8, 36, Median 6,5
    3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6,5 statt 11)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 29 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 37, 15, 33. Welches Ergebnis fehlt?
bisher15202530354045?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 29 = 116
  2. Summe der bekannten: 37 + 15 + 33 = 85
  3. 116 − 85 = 31
  1. Summe aller Werte: 4 · 29 = 116
  2. Summe der bekannten: 37 + 15 + 33 = 85
  3. 116 − 85 = 31
Ergebnis:
31 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 22 Punkte. Bekannt sind 11, 29, 21. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
    2. Summe der bekannten: 11 + 29 + 21 = 61
    3. 88 − 61 = 27
    Ergebnis:
    27 Punkte
  2. ●8
    Lukas möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 28 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 36, 20, 44. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher20253035404550?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 28 = 112
    2. Summe der bekannten: 36 + 20 + 44 = 100
    3. 112 − 100 = 12
    Ergebnis:
    12 min
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 37 min. Bekannt sind 14, 17, 50, 38, 56. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 37 = 222
    2. Summe der bekannten: 14 + 17 + 50 + 38 + 56 = 175
    3. 222 − 175 = 47
    Ergebnis:
    47 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 12 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A12 von 25B8 von 10
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1225 = 0,48
  2. Fußball-AG: 810 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
  1. Theater-AG: 1225 = 0,48
  2. Fußball-AG: 810 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 15 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A15 von 25B13 von 20
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1525 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1525 = 0,6
    2. Fußball-AG: 1320 = 0,65
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 14 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 16 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A14 von 20B16 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1420 = 0,7
    2. Klasse 6b: 1625 = 0,64
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 6 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 5 von 25 Kindern ein Haustier. In der Chor-AG haben 39 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A6 von 10B5 von 25C39 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 610 = 0,6
    2. Fußball-AG: 525 = 0,2
    3. Chor-AG: 3950 = 0,78
    4. 0,78 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Chor-AG (0,78)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
AG jaAG neingesamtKlasse 5?819Klasse 6151227gesamt262046
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 5: zusammen 19.
  2. 19 − 8 = 11
  3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 15 = 26
  1. Zeile Klasse 5: zusammen 19.
  2. 19 − 8 = 11
  3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 15 = 26
Ergebnis:
11

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 56??Klasse 6121022gesamt?17?
    So fängst du an:
    Spalte AG nein: 17 − 10 = 7
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 17 − 10 = 7
    2. Zeile Klasse 5: 6 + 7 = 13
    3. Insgesamt: 13 + 22 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a5611Klasse 6b?514gesamt141125
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 14.
    2. 14 − 5 = 9
    3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 5 = 14
    Ergebnis:
    9
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 26 Kinder mit, davon sind 15 Mädchen. 6 Mädchen und 8 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 26 − 15 = 11
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 11 − 8 = 3
    3. Kontrolle: 6 + 9 + 8 + 3 = 26
    Ergebnis:
    3

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer42032155
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 32 : 100 = 0,32
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 32 : 100 = 0,32
Ergebnis:
0,32

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer21743200
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 200 : 500 = 0,4
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,4
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer51226156
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 156 : 500 = 0,312
    Ergebnis:
    0,312
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,6.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer61777345
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 345 : 1000 = 0,345
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,345

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  2. ●23
    Jonas und Ben werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 32, 19, 27, 19, 33. Jungen: 33, 17, 13, 39, 13. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 19, 19, 27, 32, 33, Median 27
    2. Jungen geordnet: 13, 13, 17, 33, 39, Median 17
    3. 27 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 27 gegen 17)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 8, 12, 8, 10, 12. Team Süd: 5, 5, 13, 16, 11. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd46810121416
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 50 : 5 = 10
    2. Team Nord: 12 − 8 = 4
    3. Team Süd: 16 − 5 = 11
    4. Die Werte von Team Nord liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 4 gegen 11)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 11, 21, 17, 243, 23. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 63 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 11, 17, 21, 23, 243
    2. Median: 21
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 243.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 21 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 27, 19, 20, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    2. Summe der bekannten: 27 + 19 + 20 + 13 = 79
    3. 95 − 79 = 16
    Ergebnis:
    16 Punkte
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 30 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A30 von 40B8 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 3040 = 0,75
    2. Schule am See: 825 = 0,32
    3. 0,75 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,75)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 50-mal geworfen. 11-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer11 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1150
    2. 1150 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 11 : 50 = 0,22
    Ergebnis:
    1150 = 0,22

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 53, 35, 34, 11, 47. Jungen: 47, 36, 38, 44, 35. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen (Median 38 gegen 35)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 22, 20, 235, 15. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (22 statt 63)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 29 min. Bekannt sind 38, 14, 50. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 min

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B8 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,8)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 25 Kinder mit, davon sind 13 Kinder aus Klasse 5. 6 Kinder aus Klasse 5 und 4 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord, um 6 Punkte
  2. Mädchen (Median 35 gegen 31)
  3. Team Süd, um 4 Treffer
  4. Ausreißer 183, Mittelwert 55 statt 23
  5. Nein, der Median 6 passt besser
  6. Median (6,5 statt 11)
  7. 27 Punkte
  8. 12 min
  9. 47 min
  10. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  12. Chor-AG (0,78)
  13. 35
  14. 9
  15. 3
  16. Nein, eher 0,4
  17. 0,312
  18. Nein, eher 0,345
  19. 118
  20. 112
  21. 4 Ergebnisse
  22. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  23. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Mädchen (Median 27 gegen 17)
  26. gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 4 gegen 11)
  27. Nein, der Median 21 passt besser
  28. 16 Punkte
  29. Schule am Park (0,75)
  30. 1150 = 0,22
  31. Jungen (Median 38 gegen 35)
  32. Median (22 statt 63)
  33. 14 min
  34. Theater-AG (0,8)
  35. 8
  36. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  37. x̄ = 5,8
  38. Median 3; Spannweite 14