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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 3, 5, 7, 7, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 4, 2, 17, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 4, 11, 16, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 17 − 2 = 15
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 12, 47, 55, 12, 14. Gruppe Falken: 26, 60, 56, 14, 19. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 12 + 47 + 55 + 12 + 14 = 140, 140 : 5 = 28
  2. Gruppe Falken: 26 + 60 + 56 + 14 + 19 = 175, 175 : 5 = 35
  3. 35 − 28 = 7
  1. Gruppe Adler: 12 + 47 + 55 + 12 + 14 = 140, 140 : 5 = 28
  2. Gruppe Falken: 26 + 60 + 56 + 14 + 19 = 175, 175 : 5 = 35
  3. 35 − 28 = 7
Ergebnis:
Gruppe Falken, um 7 min

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 10, 37, 22, 39, 57. Gruppe Falken: 29, 32, 52, 50, 22. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 10 + 37 + 22 + 39 + 57 = 165, 165 : 5 = 33
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 10 + 37 + 22 + 39 + 57 = 165, 165 : 5 = 33
    2. Gruppe Falken: 29 + 32 + 52 + 50 + 22 = 185, 185 : 5 = 37
    3. 37 − 33 = 4
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 4 min
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 264, 294, 374, 360, 313. Team Süd: 360, 315, 247, 305, 333. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 264 + 294 + 374 + 360 + 313 = 1605, 1605 : 5 = 321
    2. Team Süd: 360 + 315 + 247 + 305 + 333 = 1560, 1560 : 5 = 312
    3. 321 − 312 = 9
    Ergebnis:
    Team Nord, um 9 cm
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 14, 56, 15, 33, 37, 19. Gruppe Falken: 25, 52, 30, 31, 30, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 14 + 56 + 15 + 33 + 37 + 19 = 174, 174 : 6 = 29
    2. Gruppe Falken: 25 + 52 + 30 + 31 + 30 + 12 = 180, 180 : 6 = 30
    3. 30 ist mehr als 29.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (30 min gegen 29 min)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 53, 32, 34, 49, 302. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 94 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250300350
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 32, 34, 49, 53, 302
  2. Median: 49
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 302.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 32, 34, 49, 53, 302
  2. Median: 49
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 302.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 49 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 50, 3, 7, 6, 4. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    Geordnet: 3, 4, 6, 7, 50
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 4, 6, 7, 50
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 50.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 9, 3, 51, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
    2. Geordnet: 3, 3, 9, 9, 51, Median 9
    3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (9 statt 15)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 7, 6, 8, 5, 42. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 72 : 6 = 12
    2. Geordnet: 4, 5, 6, 7, 8, 42, Median 6,5
    3. Der Wert 42 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6,5 statt 12)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 33 min. Bekannt sind 40, 10, 36, 33. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 33 = 165
  2. Summe der bekannten: 40 + 10 + 36 + 33 = 119
  3. 165 − 119 = 46
  1. Summe aller Werte: 5 · 33 = 165
  2. Summe der bekannten: 40 + 10 + 36 + 33 = 119
  3. 165 − 119 = 46
Ergebnis:
46 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 32 min. Bekannt sind 36, 20, 29. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 32 = 128
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 32 = 128
    2. Summe der bekannten: 36 + 20 + 29 = 85
    3. 128 − 85 = 43
    Ergebnis:
    43 min
  2. ●8
    Aylin möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 315 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 327, 269, 303, 371. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 315 = 1575
    2. Summe der bekannten: 327 + 269 + 303 + 371 = 1270
    3. 1575 − 1270 = 305
    Ergebnis:
    305 cm
  3. ★9
    Mila möchte bei 6 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 18, 12, 17, 9, 7. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 11 = 66
    2. Summe der bekannten: 18 + 12 + 17 + 9 + 7 = 63
    3. 66 − 63 = 3
    Ergebnis:
    3 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 16 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 14 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A16 von 50B14 von 20
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1650 = 0,32
  2. Fußball-AG: 1420 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
  1. Theater-AG: 1650 = 0,32
  2. Fußball-AG: 1420 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 14 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 10 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A14 von 20B10 von 40
    So fängst du an:
    Schule am Park: 1420 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1420 = 0,7
    2. Schule am See: 1040 = 0,25
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,7)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 14 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 26 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A14 von 25B26 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1425 = 0,56
    2. Schule am See: 2650 = 0,52
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 17 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 19 von 25 Kindern ein Haustier. In der Chor-AG haben 3 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A17 von 50B19 von 25C3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1750 = 0,34
    2. Fußball-AG: 1925 = 0,76
    3. Chor-AG: 310 = 0,3
    4. 0,76 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,76)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 29 Kinder mit, davon sind 12 Kinder der Klasse 6a. 7 Kinder der Klasse 6a und 14 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 29 − 12 = 17
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 17 − 14 = 3
  3. Kontrolle: 7 + 5 + 14 + 3 = 29
  1. Kinder der Klasse 6b: 29 − 12 = 17
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 17 − 14 = 3
  3. Kontrolle: 7 + 5 + 14 + 3 = 29
Ergebnis:
3

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 46 Kinder mit, davon sind 19 Kinder der Klasse 6a. 14 Kinder der Klasse 6a und 15 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder der Klasse 6b: 46 − 19 = 27
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 46 − 19 = 27
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 27 − 15 = 12
    3. Kontrolle: 14 + 5 + 15 + 12 = 46
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen12??Jungen14519gesamt?14?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Tier: 14 − 5 = 9
    2. Zeile Mädchen: 12 + 9 = 21
    3. Insgesamt: 21 + 19 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 10 Mädchen und 13 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 35 − 18 = 17
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 17 − 13 = 4
    3. Kontrolle: 10 + 8 + 13 + 4 = 35
    Ergebnis:
    4

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer21024122
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 24 : 100 = 0,24
  3. 122 : 500 = 0,244
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 24 : 100 = 0,24
  3. 122 : 500 = 0,244
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,244

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer11022106
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 22 : 100 = 0,22
    Ergebnis:
    0,22
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer32249226
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 49 : 100 = 0,49
    Ergebnis:
    0,49
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer31672344
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 72 : 200 = 0,36
    3. 344 : 1000 = 0,344
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,344

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 380, 256, 324, 349, 361. Team Süd: 243, 274, 319, 372, 347. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 380 + 256 + 324 + 349 + 361 = 1670, 1670 : 5 = 334
    2. Team Süd: 243 + 274 + 319 + 372 + 347 = 1555, 1555 : 5 = 311
    3. 334 − 311 = 23
    Ergebnis:
    Team Nord, um 23 cm
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 8, 8, 12, 14, 13. Team Süd: 11, 9, 10, 13, 12. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd891011121314
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 14 − 8 = 6
    2. Team Süd: 13 − 9 = 4
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 6)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 5, 56, 9, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
    2. Geordnet: 5, 5, 5, 9, 56, Median 5
    3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (5 statt 16)
  4. ●28
    Lukas möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 8 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 6, 10, 4. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher4567891011?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 8 = 32
    2. Summe der bekannten: 6 + 10 + 4 = 20
    3. 32 − 20 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 4 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 31 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A4 von 10B31 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 410 = 0,4
    2. Klasse 6b: 3150 = 0,62
    3. 0,62 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,62)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 100 Kinder. 26 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 26100
    2. Gekürzt: 26100 = 1350
    3. Als Dezimalzahl: 26 : 100 = 0,26
    Ergebnis:
    1350 = 0,26

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 12, 9, 7, 15, 7. Jungen: 4, 15, 16, 8, 12. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen46810121416
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen, um 1 Treffer

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 290, 39, 30, 32, 59. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (39 statt 90)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 16, 11, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Treffer

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 10 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B10 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen91423Jungen?814gesamt152237
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer52445231
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,462

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken, um 4 min
  2. Team Nord, um 9 cm
  3. Gruppe Falken (30 min gegen 29 min)
  4. Nein, der Median 6 passt besser
  5. Median (9 statt 15)
  6. Median (6,5 statt 12)
  7. 43 min
  8. 305 cm
  9. 3 Treffer
  10. Schule am Park (0,7)
  11. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  12. Fußball-AG (0,76)
  13. 12
  14. 40
  15. 4
  16. 0,22
  17. 0,49
  18. 0,344
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 16
  21. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  22. fair (18 zu 18)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  25. Team Nord, um 23 cm
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 6)
  27. Median (5 statt 16)
  28. 12 Treffer
  29. Klasse 6b (0,62)
  30. 1350 = 0,26
  31. Jungen, um 1 Treffer
  32. Median (39 statt 90)
  33. 4 Treffer
  34. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  35. 6
  36. 0,462
  37. 5 Ergebnisse
  38. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  39. x̄ = 6
  40. Median 11; Spannweite 15