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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 8, 15, 10, 14, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 11
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 16, 12, 10, 12. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 10, 12, 12, 16, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 16 − 10 = 6
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 6

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 320, 387, 348, 347, 283. Gruppe Falken: 344, 277, 355, 320, 374. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 283, 320, 347, 348, 387, Median 347
  2. Gruppe Falken geordnet: 277, 320, 344, 355, 374, Median 344
  3. 347 ist mehr als 344.
  1. Gruppe Adler geordnet: 283, 320, 347, 348, 387, Median 347
  2. Gruppe Falken geordnet: 277, 320, 344, 355, 374, Median 344
  3. 347 ist mehr als 344.
Ergebnis:
Gruppe Adler (Median 347 gegen 344)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 28, 48, 59, 36, 34. Gruppe Falken: 40, 34, 16, 52, 48. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 28 + 48 + 59 + 36 + 34 = 205, 205 : 5 = 41
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 28 + 48 + 59 + 36 + 34 = 205, 205 : 5 = 41
    2. Gruppe Falken: 40 + 34 + 16 + 52 + 48 = 190, 190 : 5 = 38
    3. 41 ist mehr als 38.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (41 min gegen 38 min)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 11, 45, 43, 35, 16. Jungen: 58, 40, 28, 32, 57. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 11 + 45 + 43 + 35 + 16 = 150, 150 : 5 = 30
    2. Jungen: 58 + 40 + 28 + 32 + 57 = 215, 215 : 5 = 43
    3. 43 ist mehr als 30.
    Ergebnis:
    Jungen (43 min gegen 30 min)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 254, 329, 378, 356, 373. Gruppe Falken: 374, 268, 377, 337. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 254 + 329 + 378 + 356 + 373 = 1690, 1690 : 5 = 338
    2. Gruppe Falken: 374 + 268 + 377 + 337 = 1356, 1356 : 4 = 339
    3. 339 − 338 = 1
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 1 cm

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 42, 22, 49, 342, 35. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300350
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 490 : 5 = 98
  2. Geordnet: 22, 35, 42, 49, 342, Median 42
  3. Der Wert 342 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 490 : 5 = 98
  2. Geordnet: 22, 35, 42, 49, 342, Median 42
  3. Der Wert 342 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (42 statt 98)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 33, 272, 44, 57, 34. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    So fängst du an:
    272 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 272 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 440 : 5 = 88
    3. Ohne ihn: 168 : 4 = 42
    Ergebnis:
    Ausreißer 272, Mittelwert 88 statt 42
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 50, 9, 4, 3, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 3, 4, 4, 9, 50, Median 4
    3. Der Wert 50 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (4 statt 14)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 6, 3, 48, 9, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 48 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 78 : 6 = 13
    3. Ohne ihn: 30 : 5 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 48, Mittelwert 13 statt 6

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 17 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 25, 14, 20. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
bisher1416182022242628?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
  2. Summe der bekannten: 25 + 14 + 20 = 59
  3. 68 − 59 = 9
  1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
  2. Summe der bekannten: 25 + 14 + 20 = 59
  3. 68 − 59 = 9
Ergebnis:
9 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 319 cm. Bekannt sind 287, 320, 306, 335. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 319 = 1595
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 319 = 1595
    2. Summe der bekannten: 287 + 320 + 306 + 335 = 1248
    3. 1595 − 1248 = 347
    Ergebnis:
    347 cm
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 27 min. Bekannt sind 43, 32, 10. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 27 = 108
    2. Summe der bekannten: 43 + 32 + 10 = 85
    3. 108 − 85 = 23
    Ergebnis:
    23 min
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 33 min. Bekannt sind 16, 56, 45, 25, 18. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 33 = 198
    2. Summe der bekannten: 16 + 56 + 45 + 25 + 18 = 160
    3. 198 − 160 = 38
    Ergebnis:
    38 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 13 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A13 von 25B14 von 40
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 1325 = 0,52
  2. Schule am See: 1440 = 0,35
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
  1. Schule am Park: 1325 = 0,52
  2. Schule am See: 1440 = 0,35
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 17 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A7 von 10B17 von 25
    So fängst du an:
    Schule am Park: 710 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 710 = 0,7
    2. Schule am See: 1725 = 0,68
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord4 von 10Team Süd9 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 410 = 0,4
    2. Team Süd: 925 = 0,36
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord5 von 10Team Süd12 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 510 = 0,5
    2. Team Süd: 1240 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
AG jaAG neingesamtKlasse 512921Klasse 6?412gesamt201333
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6: zusammen 12.
  2. 12 − 4 = 8
  3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 12 = 20
  1. Zeile Klasse 6: zusammen 12.
  2. 12 − 4 = 8
  3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 12 = 20
Ergebnis:
8

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen?1424Jungen81119gesamt182543
    So fängst du an:
    Zeile Mädchen: zusammen 24.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 24.
    2. 24 − 14 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen?1324Jungen9413gesamt201737
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 24.
    2. 24 − 13 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 9 = 20
    Ergebnis:
    11
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 34 Kinder mit, davon sind 16 Kinder aus Klasse 5. 11 Kinder aus Klasse 5 und 5 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 34 − 16 = 18
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 18 − 5 = 13
    3. Kontrolle: 11 + 5 + 5 + 13 = 34
    Ergebnis:
    13

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
Würfe1050100500Treffer31534175
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 175 : 500 = 0,35
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 175 : 500 = 0,35
Ergebnis:
0,35

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer41643194
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 194 : 500 = 0,388
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,388
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51329151
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 151 : 500 = 0,302
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,302
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer3849247
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 49 : 200 = 0,245
    3. 247 : 1000 = 0,247
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,247

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
Ergebnis:
16

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 5 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 5: 1 und 5; 5 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
  1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
Ergebnis:
nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Mila und Emre werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
    4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 8, 13, 19, 15, 30. Team Süd: 27, 20, 17, 21, 20. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 8 + 13 + 19 + 15 + 30 = 85, 85 : 5 = 17
    2. Team Süd: 27 + 20 + 17 + 21 + 20 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 21 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Team Süd (21 Punkte gegen 17 Punkte)
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 43, 36, 36, 44, 36. Gruppe Falken: 40, 34, 47, 44, 30. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken3035404550
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 44 − 36 = 8
    2. Gruppe Falken: 47 − 30 = 17
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 8 gegen 17)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 44, 323, 27, 44, 57. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. 323 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 495 : 5 = 99
    3. Ohne ihn: 172 : 4 = 43
    Ergebnis:
    Ausreißer 323, Mittelwert 99 statt 43
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 13 Treffer. Bekannt sind 18, 3, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    2. Summe der bekannten: 18 + 3 + 13 = 34
    3. 52 − 34 = 18
    Ergebnis:
    18 Treffer
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord12 von 50Team Süd18 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1250 = 0,24
    2. Team Süd: 1840 = 0,45
    3. 0,45 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,45)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 10-mal geworfen. 4-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 410
    2. Gekürzt: 410 = 25
    3. Als Dezimalzahl: 4 : 10 = 0,4
    Ergebnis:
    25 = 0,4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 37, 8, 27, 23, 25. Jungen: 28, 6, 18, 26, 22. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 25 gegen 22)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 7, 37, 7, 8, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 37, Mittelwert 13 statt 7

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 332 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 367, 331, 378. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher330340350360370380390?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    252 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord12 von 20Team Süd18 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 515??Klasse 661016gesamt?14?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer41843202
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,43

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Jonas und Ben werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler (41 min gegen 38 min)
  2. Jungen (43 min gegen 30 min)
  3. Gruppe Falken, um 1 cm
  4. Ausreißer 272, Mittelwert 88 statt 42
  5. Median (4 statt 14)
  6. Ausreißer 48, Mittelwert 13 statt 6
  7. 347 cm
  8. 23 min
  9. 38 min
  10. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  11. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  12. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  13. 10
  14. 11
  15. 13
  16. Nein, eher 0,388
  17. Nein, eher 0,302
  18. 0,247
  19. 3 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. 2 Punkte
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Team Süd (21 Punkte gegen 17 Punkte)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 8 gegen 17)
  27. Ausreißer 323, Mittelwert 99 statt 43
  28. 18 Treffer
  29. Team Süd (0,45)
  30. 25 = 0,4
  31. Mädchen (Median 25 gegen 22)
  32. Ausreißer 37, Mittelwert 13 statt 7
  33. 252 cm
  34. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  35. 35
  36. 0,43
  37. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  38. 2 Punkte
  39. x̄ = 11
  40. Median 12; Spannweite 6