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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●33
    Punkte im Test: 7, 1, 11, 6, 5. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6
  2. ●34
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 14, 15, 9, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 9, 14, 15, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 14
    3. Spannweite = 17 − 2 = 15
    Ergebnis:
    Median 14; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 3, 13, 4, 9, 16. Team Süd: 3, 15, 6, 14, 12. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Team NordTeam Süd246810121416
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 3 + 13 + 4 + 9 + 16 = 45, 45 : 5 = 9
  2. Team Süd: 3 + 15 + 6 + 14 + 12 = 50, 50 : 5 = 10
  3. 10 − 9 = 1
  1. Team Nord: 3 + 13 + 4 + 9 + 16 = 45, 45 : 5 = 9
  2. Team Süd: 3 + 15 + 6 + 14 + 12 = 50, 50 : 5 = 10
  3. 10 − 9 = 1
Ergebnis:
Team Süd, um 1 Treffer

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 364, 368, 306, 354, 308. Team Süd: 319, 255, 321, 296, 359. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    So fängst du an:
    Team Nord: 364 + 368 + 306 + 354 + 308 = 1700, 1700 : 5 = 340
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 364 + 368 + 306 + 354 + 308 = 1700, 1700 : 5 = 340
    2. Team Süd: 319 + 255 + 321 + 296 + 359 = 1550, 1550 : 5 = 310
    3. 340 − 310 = 30
    Ergebnis:
    Team Nord, um 30 cm
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 12, 23, 30, 15, 35. Jungen: 29, 18, 23, 25, 35. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 12 + 23 + 30 + 15 + 35 = 115, 115 : 5 = 23
    2. Jungen: 29 + 18 + 23 + 25 + 35 = 130, 130 : 5 = 26
    3. 26 ist mehr als 23.
    Ergebnis:
    Jungen (26 Hundert Schritte gegen 23 Hundert Schritte)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 10, 13, 4, 7, 16. Jungen: 12, 4, 18, 13, 12, 7. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 4, 7, 10, 13, 16, Median 10
    2. Jungen geordnet: 4, 7, 12, 12, 13, 18, Median 12
    3. 12 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 12 gegen 10)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 2, 35, 7, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte05101520253035
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 2, 5, 6, 7, 35
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 35.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 2, 5, 6, 7, 35
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 35.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 24, 176, 17, 26, 17. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160180
    So fängst du an:
    176 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 176 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 260 : 5 = 52
    3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 176, Mittelwert 52 statt 21
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 34, 355, 50, 30, 26. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. 355 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 495 : 5 = 99
    3. Ohne ihn: 140 : 4 = 35
    Ergebnis:
    Ausreißer 355, Mittelwert 99 statt 35
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 9, 8, 5, 7, 37. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte510152025303540
    Lösung zeigen
    1. 37 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 72 : 6 = 12
    3. Ohne ihn: 35 : 5 = 7
    Ergebnis:
    Ausreißer 37, Mittelwert 12 statt 7

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 39 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 37, 60, 12. Welches Ergebnis fehlt?
bisher10203040506070?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 39 = 156
  2. Summe der bekannten: 37 + 60 + 12 = 109
  3. 156 − 109 = 47
  1. Summe aller Werte: 4 · 39 = 156
  2. Summe der bekannten: 37 + 60 + 12 = 109
  3. 156 − 109 = 47
Ergebnis:
47 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Tim möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 322 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 360, 268, 334, 289. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher260280300320340360380?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 322 = 1610
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 322 = 1610
    2. Summe der bekannten: 360 + 268 + 334 + 289 = 1251
    3. 1610 − 1251 = 359
    Ergebnis:
    359 cm
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 42 min. Bekannt sind 33, 46, 33. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
    2. Summe der bekannten: 33 + 46 + 33 = 112
    3. 168 − 112 = 56
    Ergebnis:
    56 min
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 22 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 9, 28, 21, 29, 24. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 22 = 132
    2. Summe der bekannten: 9 + 28 + 21 + 29 + 24 = 111
    3. 132 − 111 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord4 von 10Team Süd5 von 25
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 410 = 0,4
  2. Team Süd: 525 = 0,2
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
  1. Team Nord: 410 = 0,4
  2. Team Süd: 525 = 0,2
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 14 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 18 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A14 von 50B18 von 40
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1450 = 0,28
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1450 = 0,28
    2. Fußball-AG: 1840 = 0,45
    3. 0,45 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,45)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 27-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 20-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord27 von 50Team Süd20 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2750 = 0,54
    2. Team Süd: 2025 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,8)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 8 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 5 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am Markt sagen 11 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 40B5 von 10C11 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 840 = 0,2
    2. Schule am See: 510 = 0,5
    3. Schule am Markt: 1120 = 0,55
    4. 0,55 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Markt (0,55)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 46 Kinder mit, davon sind 24 Mädchen. 15 Mädchen und 15 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 46 − 24 = 22
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 22 − 15 = 7
  3. Kontrolle: 15 + 9 + 15 + 7 = 46
  1. Jungen: 46 − 24 = 22
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 22 − 15 = 7
  3. Kontrolle: 15 + 9 + 15 + 7 = 46
Ergebnis:
7

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 23 Kinder mit, davon sind 12 Mädchen. 6 Mädchen und 5 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 23 − 12 = 11
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 23 − 12 = 11
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 11 − 5 = 6
    3. Kontrolle: 6 + 6 + 5 + 6 = 23
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 56??Klasse 610717gesamt?16?
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 16 − 7 = 9
    2. Zeile Klasse 5: 6 + 9 = 15
    3. Insgesamt: 15 + 17 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a151126Klasse 6b?418gesamt291544
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 18.
    2. 18 − 4 = 14
    3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 15 = 29
    Ergebnis:
    14

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer41945230
Schritt für Schritt
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 230 : 500 = 0,46
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,46.
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 230 : 500 = 0,46
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,46.
Ergebnis:
Nein, eher 0,46

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer21331153
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 153 : 500 = 0,306
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,31.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,306
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer32742222
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 222 : 500 = 0,444
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,44.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,444
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer21666355
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 66 : 200 = 0,33
    3. 355 : 1000 = 0,355
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,355

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
Ergebnis:
4 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 5 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 5: 1 und 5; 5 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
    4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
    4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 10, 19, 19, 29, 18. Team Süd: 10, 23, 18, 25, 29. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 10, 18, 19, 19, 29, Median 19
    2. Team Süd geordnet: 10, 18, 23, 25, 29, Median 23
    3. 23 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 23 gegen 19)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 15, 39, 25, 17, 29. Gruppe Falken: 23, 23, 28, 23, 28. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 39 − 15 = 24
    2. Gruppe Falken: 28 − 23 = 5
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 5 gegen 24)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 6, 9, 3, 41. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  4. ●28
    Aylin möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 22 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 16, 23, 28. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher1618202224262830?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
    2. Summe der bekannten: 16 + 23 + 28 = 67
    3. 88 − 67 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord18 von 25Team Süd15 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1825 = 0,72
    2. Team Süd: 1540 = 0,375
    3. 0,72 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,72)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 20-mal geworfen. 17-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer17 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1720
    2. 1720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 20 = 0,85
    Ergebnis:
    1720 = 0,85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    31
    Bei einer Umfrage machen 40 Kinder mit, davon sind 20 Mädchen. 12 Mädchen und 8 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  2. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    32
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord, um 30 cm
  2. Jungen (26 Hundert Schritte gegen 23 Hundert Schritte)
  3. Jungen (Median 12 gegen 10)
  4. Ausreißer 176, Mittelwert 52 statt 21
  5. Ausreißer 355, Mittelwert 99 statt 35
  6. Ausreißer 37, Mittelwert 12 statt 7
  7. 359 cm
  8. 56 min
  9. 21 Punkte
  10. Fußball-AG (0,45)
  11. Team Süd (0,8)
  12. Schule am Markt (0,55)
  13. 6
  14. 32
  15. 14
  16. Nein, eher 0,306
  17. Nein, eher 0,444
  18. 0,355
  19. 2 Ergebnisse
  20. 19
  21. 2 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. 2 Punkte
  24. 2 Punkte
  25. Team Süd (Median 23 gegen 19)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 5 gegen 24)
  27. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  28. 21 Punkte
  29. Team Nord (0,72)
  30. 1720 = 0,85
  31. 12
  32. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  33. x̄ = 6
  34. Median 14; Spannweite 15