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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 6, 9, 1, 2, 7. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 8, 11, 4, 3, 17. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 4, 8, 11, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 17 − 3 = 14
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 8, 14, 5, 15, 13. Team Süd: 4, 4, 17, 16, 9. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 5, 8, 13, 14, 15, Median 13
  2. Team Süd geordnet: 4, 4, 9, 16, 17, Median 9
  3. 13 ist mehr als 9.
  1. Team Nord geordnet: 5, 8, 13, 14, 15, Median 13
  2. Team Süd geordnet: 4, 4, 9, 16, 17, Median 9
  3. 13 ist mehr als 9.
Ergebnis:
Team Nord (Median 13 gegen 9)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 284, 366, 310, 260, 280. Gruppe Falken: 253, 361, 383, 360, 333. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Gruppe Adler geordnet: 260, 280, 284, 310, 366, Median 284
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 260, 280, 284, 310, 366, Median 284
    2. Gruppe Falken geordnet: 253, 333, 360, 361, 383, Median 360
    3. 360 ist mehr als 284.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 360 gegen 284)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 383, 320, 357, 331, 249. Gruppe Falken: 370, 370, 294, 364, 262. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 249, 320, 331, 357, 383, Median 331
    2. Gruppe Falken geordnet: 262, 294, 364, 370, 370, Median 364
    3. 364 ist mehr als 331.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 364 gegen 331)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 41, 22, 33, 44, 45. Gruppe Falken: 26, 50, 41, 15. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1520253035404550
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 41 + 22 + 33 + 44 + 45 = 185, 185 : 5 = 37
    2. Gruppe Falken: 26 + 50 + 41 + 15 = 132, 132 : 4 = 33
    3. 37 ist mehr als 33.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (37 min gegen 33 min)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 4, 45, 6, 4, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte01020304050
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 4, 4, 6, 6, 45
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 45.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 4, 4, 6, 6, 45
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 45.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 4, 40, 8, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    So fängst du an:
    40 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 40 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 20, 29, 12, 27, 242. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 66 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 20, 27, 29, 242
    2. Median: 27
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 242.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 27 passt besser
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 20, 49, 57, 27, 353, 52. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 558 : 6 = 93
    2. Geordnet: 20, 27, 49, 52, 57, 353, Median 50,5
    3. Der Wert 353 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (50,5 statt 93)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 301 cm. Bekannt sind 260, 287, 328. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 301 = 1204
  2. Summe der bekannten: 260 + 287 + 328 = 875
  3. 1204 − 875 = 329
  1. Summe aller Werte: 4 · 301 = 1204
  2. Summe der bekannten: 260 + 287 + 328 = 875
  3. 1204 − 875 = 329
Ergebnis:
329 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 17 Punkte. Bekannt sind 17, 18, 25. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
    2. Summe der bekannten: 17 + 18 + 25 = 60
    3. 68 − 60 = 8
    Ergebnis:
    8 Punkte
  2. ●8
    Noah möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 17, 13, 7. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
    2. Summe der bekannten: 17 + 13 + 7 = 37
    3. 44 − 37 = 7
    Ergebnis:
    7 Treffer
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 38 min. Bekannt sind 27, 39, 58, 15, 49. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 38 = 228
    2. Summe der bekannten: 27 + 39 + 58 + 15 + 49 = 188
    3. 228 − 188 = 40
    Ergebnis:
    40 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 24-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord24 von 50Team Süd6 von 10
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 2450 = 0,48
  2. Team Süd: 610 = 0,6
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
  1. Team Nord: 2450 = 0,48
  2. Team Süd: 610 = 0,6
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 20 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord15 von 50Team Süd12 von 20
    So fängst du an:
    Team Nord: 1550 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1550 = 0,3
    2. Team Süd: 1220 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 21-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord21 von 40Team Süd9 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2140 = 0,525
    2. Team Süd: 920 = 0,45
    3. 0,525 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,525)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 16 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 12 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A16 von 40B12 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1640 = 0,4
    2. Schule am See: 1220 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben ein Haustier?
Haustierkein TiergesamtMädchen14418Jungen?613gesamt211031
Schritt für Schritt
  1. Zeile Jungen: zusammen 13.
  2. 13 − 6 = 7
  3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 14 = 21
  1. Zeile Jungen: zusammen 13.
  2. 13 − 6 = 7
  3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 14 = 21
Ergebnis:
7

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 29 Kinder mit, davon sind 13 Mädchen. 10 Mädchen und 11 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 29 − 13 = 16
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 29 − 13 = 16
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 16 − 11 = 5
    3. Kontrolle: 10 + 3 + 11 + 5 = 29
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 29 Kinder mit, davon sind 14 Kinder aus Klasse 5. 7 Kinder aus Klasse 5 und 12 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 29 − 14 = 15
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 15 − 12 = 3
    3. Kontrolle: 7 + 7 + 12 + 3 = 29
    Ergebnis:
    3
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 15 Kinder der Klasse 6a. 12 Kinder der Klasse 6a und 13 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 36 − 15 = 21
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 21 − 13 = 8
    3. Kontrolle: 12 + 3 + 13 + 8 = 36
    Ergebnis:
    8

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer22040196
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 196 : 500 = 0,392
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 196 : 500 = 0,392
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
Ergebnis:
Nein, eher 0,392

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,7.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer71843229
    So fängst du an:
    7 : 10 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. 7 : 10 = 0,7
    2. 229 : 500 = 0,458
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,46.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,458
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer2122077
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 77 : 500 = 0,154
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,15.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,154
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer41028161
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 161 : 1000 = 0,161
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,161

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
Ergebnis:
3 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Anna und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 18, 17, 27, 14, 34. Jungen: 18, 14, 30, 35, 28. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 14, 17, 18, 27, 34, Median 18
    2. Jungen geordnet: 14, 18, 28, 30, 35, Median 28
    3. 28 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 28 gegen 18)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 16, 17, 17, 17, 18. Gruppe Falken: 17, 12, 20, 10, 26. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 18 − 16 = 2
    2. Gruppe Falken: 26 − 10 = 16
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 2 gegen 16)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 50, 4, 8, 5, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 3, 4, 5, 8, 50, Median 5
    3. Der Wert 50 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (5 statt 14)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 21 Punkte. Bekannt sind 21, 18, 18, 21. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 21 = 105
    2. Summe der bekannten: 21 + 18 + 18 + 21 = 78
    3. 105 − 78 = 27
    Ergebnis:
    27 Punkte
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 24 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 10 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A24 von 50B10 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2450 = 0,48
    2. Schule am See: 1020 = 0,5
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 20-mal geworfen. 17-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer17 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1720
    2. 1720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 20 = 0,85
    Ergebnis:
    1720 = 0,85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 386, 366, 303, 273, 317. Team Süd: 306, 370, 250, 277, 347. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (329 cm gegen 310 cm)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 12, 16, 195, 25. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 55 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 25 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Lukas möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 27, 16, 10. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 15 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A15 von 50B8 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?611Klasse 6b61016gesamt111627
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer22135180
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,36

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (Median 360 gegen 284)
  2. Gruppe Falken (Median 364 gegen 331)
  3. Gruppe Adler (37 min gegen 33 min)
  4. Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
  5. Nein, der Median 27 passt besser
  6. Median (50,5 statt 93)
  7. 8 Punkte
  8. 7 Treffer
  9. 40 min
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Team Nord (0,525)
  12. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  13. 5
  14. 3
  15. 8
  16. Nein, eher 0,458
  17. Nein, eher 0,154
  18. Nein, eher 0,161
  19. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  20. 5 Ergebnisse
  21. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  22. fair (3 zu 3)
  23. 2 Punkte
  24. fair (3 zu 3)
  25. Jungen (Median 28 gegen 18)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 2 gegen 16)
  27. Median (5 statt 14)
  28. 27 Punkte
  29. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  30. 1720 = 0,85
  31. Team Nord (329 cm gegen 310 cm)
  32. Nein, der Median 25 passt besser
  33. 27 Punkte
  34. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  35. 5
  36. 0,36
  37. 6 Ergebnisse
  38. 2 Punkte
  39. x̄ = 5
  40. Median 8; Spannweite 14