Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

●37
Punkte im Test: 15, 12, 9, 13, 7. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 11,2
●38
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 12, 4, 3, 8, 18. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 3, 4, 8, 12, 18
2. Median = mittlerer Wert = 8
3. Spannweite = 18 − 3 = 15
Ergebnis:
Median 8; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 26, 15, 12, 13, 14. Team Süd: 30, 27, 13, 13, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?

Schritt für Schritt

Team Nord: 26 + 15 + 12 + 13 + 14 = 80, 80 : 5 = 16
Team Süd: 30 + 27 + 13 + 13 + 12 = 95, 95 : 5 = 19
19 ist mehr als 16.

Team Nord: 26 + 15 + 12 + 13 + 14 = 80, 80 : 5 = 16
Team Süd: 30 + 27 + 13 + 13 + 12 = 95, 95 : 5 = 19
19 ist mehr als 16.

Ergebnis:

Team Süd (19 Punkte gegen 16 Punkte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20

So richtig

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 28, 16, 23, 20, 8. Team Süd: 20, 14, 11, 27, 13. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
So fängst du an:
Team Nord: 28 + 16 + 23 + 20 + 8 = 95, 95 : 5 = 19
Lösung zeigen
1. Team Nord: 28 + 16 + 23 + 20 + 8 = 95, 95 : 5 = 19
2. Team Süd: 20 + 14 + 11 + 27 + 13 = 85, 85 : 5 = 17
3. 19 ist mehr als 17.
Ergebnis:
Team Nord (19 Punkte gegen 17 Punkte)
●2
Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 8, 14, 10, 5, 8. Jungen: 11, 6, 16, 11, 6. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
Lösung zeigen
1. Mädchen: 8 + 14 + 10 + 5 + 8 = 45, 45 : 5 = 9
2. Jungen: 11 + 6 + 16 + 11 + 6 = 50, 50 : 5 = 10
3. 10 ist mehr als 9.
Ergebnis:
Jungen (10 Treffer gegen 9 Treffer)
★3
Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 10, 14, 14, 8, 9. Jungen: 9, 14, 17, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
Lösung zeigen
1. Mädchen: 10 + 14 + 14 + 8 + 9 = 55, 55 : 5 = 11
2. Jungen: 9 + 14 + 17 + 12 = 52, 52 : 4 = 13
3. 13 ist mehr als 11.
Ergebnis:
Jungen (13 Treffer gegen 11 Treffer)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 6, 45, 5, 2. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.

Schritt für Schritt

Geordnet: 2, 5, 6, 7, 45
Median: 6
Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 45.
Der Median beschreibt die Gruppe besser.

Geordnet: 2, 5, 6, 7, 45
Median: 6
Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 45.
Der Median beschreibt die Gruppe besser.

Ergebnis:

Nein, der Median 6 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht

5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe

So richtig

5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

○4
Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 27, 313, 20, 49, 56. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
So fängst du an:
Mittelwert: 465 : 5 = 93
Lösung zeigen
1. Mittelwert: 465 : 5 = 93
2. Geordnet: 20, 27, 49, 56, 313, Median 49
3. Der Wert 313 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (49 statt 93)
●5
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 3, 3, 7, 45. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Lösung zeigen
1. 45 ist viel größer als alle anderen Werte.
2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
Ergebnis:
Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
★6
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 35, 9, 6, 2, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Lösung zeigen
1. Mittelwert: 60 : 6 = 10
2. Geordnet: 2, 3, 5, 6, 9, 35, Median 5,5
3. Der Wert 35 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (5,5 statt 10)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 340 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 330, 344, 354, 368. Was braucht Lukas beim letzten Mal?

Schritt für Schritt

Summe aller Werte: 5 · 340 = 1700
Summe der bekannten: 330 + 344 + 354 + 368 = 1396
1700 − 1396 = 304

Summe aller Werte: 5 · 340 = 1700
Summe der bekannten: 330 + 344 + 354 + 368 = 1396
1700 − 1396 = 304

Ergebnis:

304 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14

So richtig

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

○7
Lukas möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 37 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 12, 57, 50. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
So fängst du an:
Summe aller Werte: 4 · 37 = 148
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 37 = 148
2. Summe der bekannten: 12 + 57 + 50 = 119
3. 148 − 119 = 29
Ergebnis:
29 min
●8
Mila möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 324 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 324, 367, 251. Was braucht Mila beim letzten Mal?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 324 = 1296
2. Summe der bekannten: 324 + 367 + 251 = 942
3. 1296 − 942 = 354
Ergebnis:
354 cm
★9
Lukas hat die Ergebnisse von 6 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 27, 8, 29, 12, 13. Welches Ergebnis fehlt?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 6 · 19 = 114
2. Summe der bekannten: 27 + 8 + 29 + 12 + 13 = 89
3. 114 − 89 = 25
Ergebnis:
25 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 10 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 21 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Schule am Park: 1020 = 0,5
Schule am See: 2150 = 0,42
Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.

Schule am Park: 1020 = 0,5
Schule am See: 2150 = 0,42
Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.

Ergebnis:

Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil

So richtig

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

○10
An der Schule am Park sagen 15 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 19 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
So fängst du an:
Schule am Park: 1525 = 0,6
Lösung zeigen
1. Schule am Park: 1525 = 0,6
2. Schule am See: 1940 = 0,475
3. 0,6 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,6)
●11
In der Theater-AG haben 22 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 9 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Theater-AG: 2250 = 0,44
2. Fußball-AG: 925 = 0,36
3. 0,44 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,44)
★12
An der Schule am Park sagen 12 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Schule am Park: 1250 = 0,24
2. Schule am See: 810 = 0,8
3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?

Schritt für Schritt

Zeile Mädchen: zusammen 23.
23 − 11 = 12
Kontrolle mit der Spalte: 12 + 6 = 18

Zeile Mädchen: zusammen 23.
23 − 11 = 12
Kontrolle mit der Spalte: 12 + 6 = 18

Ergebnis:

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht

Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4

So richtig

Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

○13
Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 15 Kinder der Klasse 6a. 11 Kinder der Klasse 6a und 15 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
So fängst du an:
Kinder der Klasse 6b: 35 − 15 = 20
Lösung zeigen
1. Kinder der Klasse 6b: 35 − 15 = 20
2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 15 = 5
3. Kontrolle: 11 + 4 + 15 + 5 = 35
Ergebnis:
5
●14
In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Lösung zeigen
1. Spalte AG nein: 15 − 11 = 4
2. Zeile Klasse 5: 15 + 4 = 19
3. Insgesamt: 19 + 17 = 36
Ergebnis:
36
★15
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Haustier“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
Lösung zeigen
1. Mädchen: 720 = 0,35
2. Jungen: 2025 = 0,8
3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
Ergebnis:
Jungen (0,8)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.

Schritt für Schritt

Treffer geteilt durch Würfe.
9 : 50 = 0,18

Treffer geteilt durch Würfe.
9 : 50 = 0,18

Ergebnis:

0,18

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht

3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3

So richtig

3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
So fängst du an:
1 : 10 = 0,1
Lösung zeigen
1. 1 : 10 = 0,1
2. 16 : 100 = 0,16
3. 104 : 500 = 0,208
4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,208
●17
Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Lösung zeigen
1. 2 : 10 = 0,2
2. 79 : 500 = 0,158
3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
Ergebnis:
Nein, eher 0,158
★18
Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Lösung zeigen
1. 1 : 10 = 0,1
2. 30 : 200 = 0,15
3. 169 : 1000 = 0,169
4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,169

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?

Schritt für Schritt

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
Das sind 3 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
Das sind 3 Ergebnisse.

Ergebnis:

3 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht

Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36

So richtig

Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

○19
Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
So fängst du an:
Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
Lösung zeigen
1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
2. Günstig: 1 Ergebnis.
3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig
●20
Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
Lösung zeigen
1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
2. Günstig: 3 Ergebnisse.
3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig
★21
Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 3 heraus?
Lösung zeigen
1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
2. Produkt 3: 1 und 3; 3 und 1
3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?

Schritt für Schritt

Mila: 24 von 36 Ergebnissen
Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
Mila gewinnt 2-mal so oft.
Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.

Mila: 24 von 36 Ergebnissen
Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
Mila gewinnt 2-mal so oft.
Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.

Ergebnis:

2 Punkte

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht

Augensumme 7 → 3 Ergebnisse

So richtig

Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

○22
Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
So fängst du an:
Mila: 24 von 36 Ergebnissen
Lösung zeigen
1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte
●23
Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Lösung zeigen
1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)
★24
Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Lösung zeigen
1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 22, 27, 15, 16, 30. Gruppe Falken: 20, 18, 21, 8, 28. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Lösung zeigen
1. Gruppe Adler: 22 + 27 + 15 + 16 + 30 = 110, 110 : 5 = 22
2. Gruppe Falken: 20 + 18 + 21 + 8 + 28 = 95, 95 : 5 = 19
3. 22 ist mehr als 19.
Ergebnis:
Gruppe Adler (22 Punkte gegen 19 Punkte)
●26
Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 11, 13, 10, 9, 12. Jungen: 10, 13, 10, 6, 16. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
Lösung zeigen
1. Mädchen: 13 − 9 = 4
2. Jungen: 16 − 6 = 10
3. Die kleinere Spannweite hat Mädchen.
Ergebnis:
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 4 gegen 10)
●27
Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 43, 29, 35, 41, 337. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 97 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Lösung zeigen
1. Geordnet: 29, 35, 41, 43, 337
2. Median: 41
3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 337.
4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 41 passt besser
●28
Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 5, 15, 11. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
2. Summe der bekannten: 5 + 15 + 11 = 31
3. 44 − 31 = 13
Ergebnis:
13 Treffer
●29
In der Theater-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 23 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Theater-AG: 710 = 0,7
2. Fußball-AG: 2340 = 0,575
3. 0,7 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,7)
●30
Ein Würfel wird 50-mal geworfen. 23-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
Lösung zeigen
1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2350
2. 2350 lässt sich nicht kürzen.
3. Als Dezimalzahl: 23 : 50 = 0,46
Ergebnis:
2350 = 0,46

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer: Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert: Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit: Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle: Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil: Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen: Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness: Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.
31
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 273, 254, 309, 389, 370. Team Süd: 285, 254, 341, 384, 376. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Team Süd (328 cm gegen 319 cm)
Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.
32
Taschengeld in der Woche, in €: 4, 30, 6, 6, 4. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 10 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser
Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.
33
Mila möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 18 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 16, 27, 14, 21. Was braucht Mila beim letzten Mal?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Punkte
Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.
34
In der Klasse 6a kommen 23 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 15 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.
35
Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 20 Kinder aus Klasse 5. 9 Kinder aus Klasse 5 und 10 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8
Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.
36
Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

Team Nord (19 Punkte gegen 17 Punkte)
Jungen (10 Treffer gegen 9 Treffer)
Jungen (13 Treffer gegen 11 Treffer)
Median (49 statt 93)
Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
Median (5,5 statt 10)
29 min
354 cm
25 Punkte
Schule am Park (0,6)
Theater-AG (0,44)
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
5
36
Jungen (0,8)
0,208
Nein, eher 0,158
0,169
12 Ergebnisse, 1 davon günstig
12 Ergebnisse, 3 davon günstig
2 Ergebnisse
2 Punkte
fair (18 zu 18)
2 Punkte
Gruppe Adler (22 Punkte gegen 19 Punkte)
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 4 gegen 10)
Nein, der Median 41 passt besser
13 Treffer
Theater-AG (0,7)
2350 = 0,46
Team Süd (328 cm gegen 319 cm)
Nein, der Median 6 passt besser
12 Punkte
Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
8
fair (15 zu 15)
x̄ = 11,2
Median 8; Spannweite 15