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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 4, 6, 8, 3, 9. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 6, 19, 13, 16, 15. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 6, 13, 15, 16, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 15
    3. Spannweite = 19 − 6 = 13
    Ergebnis:
    Median 15; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 22, 34, 12, 17, 15. Gruppe Falken: 25, 37, 26, 19, 8. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 22 + 34 + 12 + 17 + 15 = 100, 100 : 5 = 20
  2. Gruppe Falken: 25 + 37 + 26 + 19 + 8 = 115, 115 : 5 = 23
  3. 23 ist mehr als 20.
  1. Gruppe Adler: 22 + 34 + 12 + 17 + 15 = 100, 100 : 5 = 20
  2. Gruppe Falken: 25 + 37 + 26 + 19 + 8 = 115, 115 : 5 = 23
  3. 23 ist mehr als 20.
Ergebnis:
Gruppe Falken (23 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 17, 37, 36, 34, 16. Jungen: 31, 12, 18, 19, 40. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen10152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen: 17 + 37 + 36 + 34 + 16 = 140, 140 : 5 = 28
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 17 + 37 + 36 + 34 + 16 = 140, 140 : 5 = 28
    2. Jungen: 31 + 12 + 18 + 19 + 40 = 120, 120 : 5 = 24
    3. 28 − 24 = 4
    Ergebnis:
    Mädchen, um 4 Hundert Schritte
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 16, 46, 55, 14, 44. Jungen: 47, 59, 16, 31, 27. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 16 + 46 + 55 + 14 + 44 = 175, 175 : 5 = 35
    2. Jungen: 47 + 59 + 16 + 31 + 27 = 180, 180 : 5 = 36
    3. 36 − 35 = 1
    Ergebnis:
    Jungen, um 1 min
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 24, 8, 20, 19, 16, 21. Team Süd: 18, 26, 14, 17, 25. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 24 + 8 + 20 + 19 + 16 + 21 = 108, 108 : 6 = 18
    2. Team Süd: 18 + 26 + 14 + 17 + 25 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 20 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Team Süd (20 Punkte gegen 18 Punkte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 12, 25, 185, 24, 19. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 53 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte0255075100125150175200
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 12, 19, 24, 25, 185
  2. Median: 24
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 185.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 12, 19, 24, 25, 185
  2. Median: 24
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 185.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 24 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 7, 6, 51, 2. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    Mittelwert: 75 : 5 = 15
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
    2. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 51, Median 7
    3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 15)
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 253, 36, 52, 55, 29. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 85 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 29, 36, 52, 55, 253
    2. Median: 52
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 253.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 52 passt besser
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 396, 55, 41, 34, 53, 27. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 101 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 27, 34, 41, 53, 55, 396
    2. Median: 47
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 396.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 47 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 321 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 350, 243, 281, 345. Was braucht Mila beim letzten Mal?
bisher240260280300320340360380?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 321 = 1605
  2. Summe der bekannten: 350 + 243 + 281 + 345 = 1219
  3. 1605 − 1219 = 386
  1. Summe aller Werte: 5 · 321 = 1605
  2. Summe der bekannten: 350 + 243 + 281 + 345 = 1219
  3. 1605 − 1219 = 386
Ergebnis:
386 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 292 cm. Bekannt sind 264, 336, 264. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 292 = 1168
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 292 = 1168
    2. Summe der bekannten: 264 + 336 + 264 = 864
    3. 1168 − 864 = 304
    Ergebnis:
    304 cm
  2. ●8
    Aylin möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 42 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 42, 37, 34, 50. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher34363840424446485052?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 42 = 210
    2. Summe der bekannten: 42 + 37 + 34 + 50 = 163
    3. 210 − 163 = 47
    Ergebnis:
    47 min
  3. ★9
    Mila hat die Ergebnisse von 6 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 326 cm. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 319, 340, 328, 253, 348. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 326 = 1956
    2. Summe der bekannten: 319 + 340 + 328 + 253 + 348 = 1588
    3. 1956 − 1588 = 368
    Ergebnis:
    368 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 29-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord16 von 20Team Süd29 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1620 = 0,8
  2. Team Süd: 2940 = 0,725
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 1620 = 0,8
  2. Team Süd: 2940 = 0,725
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Nord (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 8 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 12 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 20B12 von 40
    So fängst du an:
    Theater-AG: 820 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 820 = 0,4
    2. Fußball-AG: 1240 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 13 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 40B8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1340 = 0,325
    2. Fußball-AG: 810 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,8)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord14 von 40Team Süd5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1440 = 0,35
    2. Team Süd: 510 = 0,5
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,5)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 19 Kinder aus Klasse 5. 9 Kinder aus Klasse 5 und 12 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder aus Klasse 6: 35 − 19 = 16
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 16 − 12 = 4
  3. Kontrolle: 9 + 10 + 12 + 4 = 35
  1. Kinder aus Klasse 6: 35 − 19 = 16
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 16 − 12 = 4
  3. Kontrolle: 9 + 10 + 12 + 4 = 35
Ergebnis:
4

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 26 Kinder mit, davon sind 10 Mädchen. 5 Mädchen und 6 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 26 − 10 = 16
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 26 − 10 = 16
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 16 − 6 = 10
    3. Kontrolle: 5 + 5 + 6 + 10 = 26
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 514620Klasse 612?18gesamt261238
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 18.
    2. 18 − 12 = 6
    3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 6 = 12
    Ergebnis:
    6
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a121426Klasse 6b6?13gesamt182139
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 13.
    2. 13 − 6 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 14 = 21
    Ergebnis:
    7

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer31323121
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 23 : 100 = 0,23
  3. 121 : 500 = 0,242
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 23 : 100 = 0,23
  3. 121 : 500 = 0,242
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,242

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer42445229
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 45 : 100 = 0,45
    3. 229 : 500 = 0,458
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,458
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer162080
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 80 : 500 = 0,16
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,16
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer51865354
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 65 : 200 = 0,325
    Ergebnis:
    0,325

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
Ergebnis:
4 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungNoch einmal: Ergebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Ben gewinnt 2-mal so oft.
    4. Jonas braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 240, 280, 379, 387, 299. Gruppe Falken: 306, 240, 376, 309, 284. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 240 + 280 + 379 + 387 + 299 = 1585, 1585 : 5 = 317
    2. Gruppe Falken: 306 + 240 + 376 + 309 + 284 = 1515, 1515 : 5 = 303
    3. 317 − 303 = 14
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 14 cm
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 29, 24, 16, 25, 11. Gruppe Falken: 19, 21, 22, 22, 21. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 105 : 5 = 21
    2. Gruppe Adler: 29 − 11 = 18
    3. Gruppe Falken: 22 − 19 = 3
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 3 gegen 18)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 39, 29, 396, 21, 55. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 540 : 5 = 108
    2. Geordnet: 21, 29, 39, 55, 396, Median 39
    3. Der Wert 396 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (39 statt 108)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 37 min. Bekannt sind 30, 50, 43, 52. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 37 = 185
    2. Summe der bekannten: 30 + 50 + 43 + 52 = 175
    3. 185 − 175 = 10
    Ergebnis:
    10 min
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 40 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 22 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A40 von 50B22 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 4050 = 0,8
    2. Schule am See: 2240 = 0,55
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,8)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 50-mal geworfen. 27-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer27 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2750
    2. 2750 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 27 : 50 = 0,54
    Ergebnis:
    2750 = 0,54

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 59, 17, 49, 57, 33. Gruppe Falken: 41, 30, 49, 18, 47. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 49 gegen 41)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 24, 22, 13, 13, 203. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (22 statt 55)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 311 cm. Bekannt sind 295, 389, 249. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    311 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 24-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord7 von 10Team Süd24 von 40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 39 Kinder mit, davon sind 20 Kinder der Klasse 6a. 10 Kinder der Klasse 6a und 9 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen, um 4 Hundert Schritte
  2. Jungen, um 1 min
  3. Team Süd (20 Punkte gegen 18 Punkte)
  4. Median (7 statt 15)
  5. Nein, der Median 52 passt besser
  6. Nein, der Median 47 passt besser
  7. 304 cm
  8. 47 min
  9. 368 cm
  10. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  11. Fußball-AG (0,8)
  12. Team Süd (0,5)
  13. 10
  14. 6
  15. 7
  16. 0,458
  17. Nein, eher 0,16
  18. 0,325
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 3 Ergebnisse
  22. fair (3 zu 3)
  23. fair (3 zu 3)
  24. 2 Punkte
  25. Gruppe Adler, um 14 cm
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 3 gegen 18)
  27. Median (39 statt 108)
  28. 10 min
  29. Schule am Park (0,8)
  30. 2750 = 0,54
  31. Gruppe Adler (Median 49 gegen 41)
  32. Median (22 statt 55)
  33. 311 cm
  34. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  35. 10
  36. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  37. x̄ = 6
  38. Median 15; Spannweite 13