Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

●37
Punkte im Test: 4, 4, 4, 1, 12. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 5
●38
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 5, 16, 16, 5, 15. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 5, 5, 15, 16, 16
2. Median = mittlerer Wert = 15
3. Spannweite = 16 − 5 = 11
Ergebnis:
Median 15; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 298, 321, 259, 373, 299. Team Süd: 270, 379, 379, 332, 340. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?

Schritt für Schritt

Team Nord: 298 + 321 + 259 + 373 + 299 = 1550, 1550 : 5 = 310
Team Süd: 270 + 379 + 379 + 332 + 340 = 1700, 1700 : 5 = 340
340 − 310 = 30

Team Nord: 298 + 321 + 259 + 373 + 299 = 1550, 1550 : 5 = 310
Team Süd: 270 + 379 + 379 + 332 + 340 = 1700, 1700 : 5 = 340
340 − 310 = 30

Ergebnis:

Team Süd, um 30 cm

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20

So richtig

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 54, 43, 52, 23, 13. Gruppe Falken: 50, 19, 28, 33, 30. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
So fängst du an:
Gruppe Adler geordnet: 13, 23, 43, 52, 54, Median 43
Lösung zeigen
1. Gruppe Adler geordnet: 13, 23, 43, 52, 54, Median 43
2. Gruppe Falken geordnet: 19, 28, 30, 33, 50, Median 30
3. 43 ist mehr als 30.
Ergebnis:
Gruppe Adler (Median 43 gegen 30)
●2
Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 58, 57, 10, 14, 51. Jungen: 12, 13, 59, 32, 34. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
Lösung zeigen
1. Mädchen geordnet: 10, 14, 51, 57, 58, Median 51
2. Jungen geordnet: 12, 13, 32, 34, 59, Median 32
3. 51 ist mehr als 32.
Ergebnis:
Mädchen (Median 51 gegen 32)
★3
Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 30, 12, 21, 11, 26, 14. Gruppe Falken: 9, 9, 26, 20. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Lösung zeigen
1. Gruppe Adler: 30 + 12 + 21 + 11 + 26 + 14 = 114, 114 : 6 = 19
2. Gruppe Falken: 9 + 9 + 26 + 20 = 64, 64 : 4 = 16
3. 19 − 16 = 3
Ergebnis:
Gruppe Adler, um 3 Punkte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 380, 35, 44, 38, 23. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?

Schritt für Schritt

Mittelwert: 520 : 5 = 104
Geordnet: 23, 35, 38, 44, 380, Median 38
Der Wert 380 zieht den Mittelwert nach oben.

Mittelwert: 520 : 5 = 104
Geordnet: 23, 35, 38, 44, 380, Median 38
Der Wert 380 zieht den Mittelwert nach oben.

Ergebnis:

Median (38 statt 104)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht

5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe

So richtig

5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

○4
Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 16, 15, 26, 198. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 54 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
So fängst du an:
Geordnet: 15, 15, 16, 26, 198
Lösung zeigen
1. Geordnet: 15, 15, 16, 26, 198
2. Median: 16
3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 198.
4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 16 passt besser
●5
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 2, 6, 7, 41. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
Lösung zeigen
1. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 41
2. Median: 7
3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 7 passt besser
★6
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 2, 6, 53, 6, 2. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Lösung zeigen
1. Mittelwert: 78 : 6 = 13
2. Geordnet: 2, 2, 6, 6, 9, 53, Median 6
3. Der Wert 53 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (6 statt 13)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 35 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 45, 38, 33. Was braucht Lukas beim letzten Mal?

Schritt für Schritt

Summe aller Werte: 4 · 35 = 140
Summe der bekannten: 45 + 38 + 33 = 116
140 − 116 = 24

Summe aller Werte: 4 · 35 = 140
Summe der bekannten: 45 + 38 + 33 = 116
140 − 116 = 24

Ergebnis:

24 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14

So richtig

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

○7
Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 315 cm. Bekannt sind 320, 256, 383. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
So fängst du an:
Summe aller Werte: 4 · 315 = 1260
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 315 = 1260
2. Summe der bekannten: 320 + 256 + 383 = 959
3. 1260 − 959 = 301
Ergebnis:
301 cm
●8
Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 16 Punkte. Bekannt sind 14, 17, 20. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 16 = 64
2. Summe der bekannten: 14 + 17 + 20 = 51
3. 64 − 51 = 13
Ergebnis:
13 Punkte
★9
Noah hat in 4 Spielen im Mittel 14 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 15 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
Lösung zeigen
1. Summe vorher: 4 · 14 = 56
2. Summe nachher: 5 · 15 = 75
3. 75 − 56 = 19
Ergebnis:
19 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 4 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 33 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.

Schritt für Schritt

Theater-AG: 410 = 0,4
Fußball-AG: 3350 = 0,66
0,66 ist die größte Zahl.

Theater-AG: 410 = 0,4
Fußball-AG: 3350 = 0,66
0,66 ist die größte Zahl.

Ergebnis:

Fußball-AG (0,66)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil

So richtig

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

○10
An der Schule am Park sagen 4 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
So fängst du an:
Schule am Park: 410 = 0,4
Lösung zeigen
1. Schule am Park: 410 = 0,4
2. Schule am See: 825 = 0,32
3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
●11
An der Schule am Park sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 12 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Schule am Park: 810 = 0,8
2. Schule am See: 1225 = 0,48
3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
★12
In der Klasse 6a kommen 6 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6c kommen 16 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Klasse 6a: 620 = 0,3
2. Klasse 6b: 610 = 0,6
3. Klasse 6c: 1625 = 0,64
4. 0,64 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6c (0,64)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?

Schritt für Schritt

Spalte AG nein: 13 − 4 = 9
Zeile Klasse 5: 11 + 9 = 20
Insgesamt: 20 + 8 = 28

Spalte AG nein: 13 − 4 = 9
Zeile Klasse 5: 11 + 9 = 20
Insgesamt: 20 + 8 = 28

Ergebnis:

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht

Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4

So richtig

Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

○13
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
So fängst du an:
Zeile Jungen: zusammen 23.
Lösung zeigen
1. Zeile Jungen: zusammen 23.
2. 23 − 14 = 9
3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 7 = 16
Ergebnis:
9
●14
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
Lösung zeigen
1. Zeile Klasse 6: zusammen 18.
2. 18 − 13 = 5
3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 4 = 9
Ergebnis:
5
★15
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Frühstück“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
Lösung zeigen
1. Mädchen: 68 = 0,75
2. Jungen: 1425 = 0,56
3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
Ergebnis:
Mädchen (0,75)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?

Schritt für Schritt

5 : 10 = 0,5
129 : 500 = 0,258
10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,26.

5 : 10 = 0,5
129 : 500 = 0,258
10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,26.

Ergebnis:

Nein, eher 0,258

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht

3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3

So richtig

3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
So fängst du an:
1 : 10 = 0,1
Lösung zeigen
1. 1 : 10 = 0,1
2. 14 : 100 = 0,14
3. 82 : 500 = 0,164
4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,164
●17
Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Lösung zeigen
1. 2 : 10 = 0,2
2. 154 : 500 = 0,308
3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,31.
Ergebnis:
Nein, eher 0,308
★18
Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
Lösung zeigen
1. Treffer geteilt durch Würfe.
2. 310 : 1000 = 0,31
Ergebnis:
0,31

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.

Schritt für Schritt

Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
3 von 36, also 336 = 112

Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
3 von 36, also 336 = 112

Ergebnis:

112

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht

Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36

So richtig

Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

○19
Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
So fängst du an:
Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
Lösung zeigen
1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
3. Das sind 6 Ergebnisse.
Ergebnis:
6 Ergebnisse
●20
Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
Lösung zeigen
1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
2. Günstig: 3 Ergebnisse.
3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig
★21
Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 4 heraus?
Lösung zeigen
1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
2. Produkt 4: 1 und 4; 2 und 2; 4 und 1
3. Das sind 3 Ergebnisse.
Ergebnis:
3 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.

Schritt für Schritt

Mila: 24 von 36 Ergebnissen
Emre: 12 von 36 Ergebnissen
24 ist mehr als 12.

Mila: 24 von 36 Ergebnissen
Emre: 12 von 36 Ergebnissen
24 ist mehr als 12.

Ergebnis:

nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht

Augensumme 7 → 3 Ergebnisse

So richtig

Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
So fängst du an:
Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
Lösung zeigen
1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)
●23
Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Lösung zeigen
1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte
★24
Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Lösung zeigen
1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 19, 34, 14, 11, 27. Gruppe Falken: 35, 23, 13, 21, 18. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
Lösung zeigen
1. Gruppe Adler: 19 + 34 + 14 + 11 + 27 = 105, 105 : 5 = 21
2. Gruppe Falken: 35 + 23 + 13 + 21 + 18 = 110, 110 : 5 = 22
3. 22 ist mehr als 21.
Ergebnis:
Gruppe Falken (22 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
●26
Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 32, 32, 37, 34, 35. Jungen: 36, 20, 48, 21, 45. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert beider Gruppen: 170 : 5 = 34
2. Mädchen: 37 − 32 = 5
3. Jungen: 48 − 20 = 28
4. Die Werte von Mädchen liegen enger beisammen.
Ergebnis:
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 28)
●27
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 55, 9, 4, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Lösung zeigen
1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
2. Geordnet: 3, 4, 4, 9, 55, Median 4
3. Der Wert 55 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (4 statt 15)
●28
Noah möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 325 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 247, 384, 283. Was braucht Noah beim letzten Mal?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 325 = 1300
2. Summe der bekannten: 247 + 384 + 283 = 914
3. 1300 − 914 = 386
Ergebnis:
386 cm
●29
In der Klasse 6a kommen 13 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 5 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Klasse 6a: 1325 = 0,52
2. Klasse 6b: 510 = 0,5
3. 0,52 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6a (0,52)
●30
Beim Basketball wirft Jana 20-mal auf den Korb und trifft 3-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
Lösung zeigen
1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 320
2. 320 lässt sich nicht kürzen.
3. Als Dezimalzahl: 3 : 20 = 0,15
Ergebnis:
320 = 0,15

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer: Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert: Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit: Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle: Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil: Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen: Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness: Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.
31
Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 8, 13, 19, 24, 21. Gruppe Falken: 23, 19, 21, 26, 16. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Gruppe Falken (21 Punkte gegen 17 Punkte)
Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.
32
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 51, 6, 9, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser
Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.
33
Aylin möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 21 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 23, 25, 15. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
Lösung zeigen
Ergebnis:
21 Punkte
Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.
34
In der Theater-AG haben 18 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Fußball-AG (0,8)
Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.
35
Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,342
Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.
36
Jonas und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

Gruppe Adler (Median 43 gegen 30)
Mädchen (Median 51 gegen 32)
Gruppe Adler, um 3 Punkte
Nein, der Median 16 passt besser
Nein, der Median 7 passt besser
Median (6 statt 13)
301 cm
13 Punkte
19 Punkte
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
Klasse 6c (0,64)
9
5
Mädchen (0,75)
0,164
Nein, eher 0,308
0,31
6 Ergebnisse
12 Ergebnisse, 3 davon günstig
3 Ergebnisse
fair (15 zu 15)
2 Punkte
fair (3 zu 3)
Gruppe Falken (22 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 28)
Median (4 statt 15)
386 cm
Klasse 6a (0,52)
320 = 0,15
Gruppe Falken (21 Punkte gegen 17 Punkte)
Nein, der Median 6 passt besser
21 Punkte
Fußball-AG (0,8)
0,342
fair (3 zu 3)
x̄ = 5
Median 15; Spannweite 11