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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 2, 5, 2, 6, 11. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5,2
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 20, 13, 10, 15, 15. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 10, 13, 15, 15, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 15
    3. Spannweite = 20 − 10 = 10
    Ergebnis:
    Median 15; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 35, 13, 25, 19, 23. Jungen: 20, 36, 20, 37, 12. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
MädchenJungen10152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 35 + 13 + 25 + 19 + 23 = 115, 115 : 5 = 23
  2. Jungen: 20 + 36 + 20 + 37 + 12 = 125, 125 : 5 = 25
  3. 25 − 23 = 2
  1. Mädchen: 35 + 13 + 25 + 19 + 23 = 115, 115 : 5 = 23
  2. Jungen: 20 + 36 + 20 + 37 + 12 = 125, 125 : 5 = 25
  3. 25 − 23 = 2
Ergebnis:
Jungen, um 2 Hundert Schritte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 29, 10, 10, 11, 25. Gruppe Falken: 25, 11, 23, 10, 21. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    So fängst du an:
    Gruppe Adler geordnet: 10, 10, 11, 25, 29, Median 11
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 10, 10, 11, 25, 29, Median 11
    2. Gruppe Falken geordnet: 10, 11, 21, 23, 25, Median 21
    3. 21 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 21 gegen 11)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 10, 6, 13, 16, 15. Jungen: 15, 11, 5, 14, 5. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen46810121416
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 6, 10, 13, 15, 16, Median 13
    2. Jungen geordnet: 5, 5, 11, 14, 15, Median 11
    3. 13 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 13 gegen 11)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 270, 282, 389, 315, 264, 334. Gruppe Falken: 309, 336, 316, 326, 263. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 270 + 282 + 389 + 315 + 264 + 334 = 1854, 1854 : 6 = 309
    2. Gruppe Falken: 309 + 336 + 316 + 326 + 263 = 1550, 1550 : 5 = 310
    3. 310 − 309 = 1
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 1 cm

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 6, 57, 6, 9, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 85 : 5 = 17
  2. Geordnet: 6, 6, 7, 9, 57, Median 7
  3. Der Wert 57 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 85 : 5 = 17
  2. Geordnet: 6, 6, 7, 9, 57, Median 7
  3. Der Wert 57 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (7 statt 17)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 7, 6, 3, 36, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    So fängst du an:
    36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 50, 4, 4, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 4, 4, 5, 7, 50, Median 5
    3. Der Wert 50 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (5 statt 14)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 9, 7, 2, 7, 48. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 78 : 6 = 13
    2. Geordnet: 2, 5, 7, 7, 9, 48, Median 7
    3. Der Wert 48 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 13)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 297 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 285, 278, 299, 366. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
bisher260280300320340360380400?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 297 = 1485
  2. Summe der bekannten: 285 + 278 + 299 + 366 = 1228
  3. 1485 − 1228 = 257
  1. Summe aller Werte: 5 · 297 = 1485
  2. Summe der bekannten: 285 + 278 + 299 + 366 = 1228
  3. 1485 − 1228 = 257
Ergebnis:
257 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 9 Treffer. Bekannt sind 3, 11, 16. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
    2. Summe der bekannten: 3 + 11 + 16 = 30
    3. 36 − 30 = 6
    Ergebnis:
    6 Treffer
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 10 Treffer. Bekannt sind 12, 17, 15, 3. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
    2. Summe der bekannten: 12 + 17 + 15 + 3 = 47
    3. 50 − 47 = 3
    Ergebnis:
    3 Treffer
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 12, 8, 15, 16, 3. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 11 = 66
    2. Summe der bekannten: 12 + 8 + 15 + 16 + 3 = 54
    3. 66 − 54 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 4 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 25 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A4 von 10B25 von 50
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 410 = 0,4
  2. Klasse 6b: 2550 = 0,5
  3. 0,5 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 410 = 0,4
  2. Klasse 6b: 2550 = 0,5
  3. 0,5 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6b (0,5)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord14 von 20Team Süd16 von 50
    So fängst du an:
    Team Nord: 1420 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1420 = 0,7
    2. Team Süd: 1650 = 0,32
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 20 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord6 von 10Team Süd9 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 610 = 0,6
    2. Team Süd: 920 = 0,45
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 9 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 16 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A9 von 25B16 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 925 = 0,36
    2. Fußball-AG: 1640 = 0,4
    3. 0,4 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,4)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 44 Kinder mit, davon sind 25 Kinder der Klasse 6a. 15 Kinder der Klasse 6a und 7 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 44 − 25 = 19
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 19 − 7 = 12
  3. Kontrolle: 15 + 10 + 7 + 12 = 44
  1. Kinder der Klasse 6b: 44 − 25 = 19
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 19 − 7 = 12
  3. Kontrolle: 15 + 10 + 7 + 12 = 44
Ergebnis:
12

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 551318Klasse 610?14gesamt151732
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6: zusammen 14.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 14.
    2. 14 − 10 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 13 = 17
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a11??Klasse 6b5611gesamt?14?
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 14 − 6 = 8
    2. Zeile Klasse 6a: 11 + 8 = 19
    3. Insgesamt: 19 + 11 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5358Klasse 6448gesamt7916
    Lösung zeigen
    1. Klasse 5: 38 = 0,375
    2. Klasse 6: 48 = 0,5
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6 (0,5)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer31938198
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 38 : 100 = 0,38
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 38 : 100 = 0,38
Ergebnis:
0,38

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer51433151
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 33 : 100 = 0,33
    3. 151 : 500 = 0,302
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,302
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer51937200
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 200 : 500 = 0,4
    Ergebnis:
    0,4
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer11955309
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 55 : 200 = 0,275
    3. 309 : 1000 = 0,309
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,309

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Ben werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 35, 13, 30, 6, 16. Gruppe Falken: 30, 30, 39, 7, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 35 + 13 + 30 + 6 + 16 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Gruppe Falken: 30 + 30 + 39 + 7 + 9 = 115, 115 : 5 = 23
    3. 23 − 20 = 3
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 3 Hundert Schritte
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 36, 34, 34, 18, 28. Gruppe Falken: 30, 29, 33, 29, 29. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 150 : 5 = 30
    2. Gruppe Adler: 36 − 18 = 18
    3. Gruppe Falken: 33 − 29 = 4
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 18)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 18, 193, 26, 24, 24. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 57 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 18, 24, 24, 26, 193
    2. Median: 24
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 193.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 24 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 7, 4, 14, 12. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
    2. Summe der bekannten: 7 + 4 + 14 + 12 = 37
    3. 55 − 37 = 18
    Ergebnis:
    18 Treffer
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 31 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 3 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A31 von 40B3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 3140 = 0,775
    2. Schule am See: 310 = 0,3
    3. 0,775 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,775)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 100-mal geworfen. 63-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer63 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 63100
    2. 63100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 63 : 100 = 0,63
    Ergebnis:
    63100 = 0,63

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 24, 27, 23, 17, 19. Team Süd: 19, 8, 24, 13, 21. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 23 gegen 19)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 35, 47, 284, 34, 60. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 284, Mittelwert 92 statt 44

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 330 cm. Bekannt sind 283, 383, 354. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    300 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord6 von 25Team Süd15 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (0,75)

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer1111477
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,154

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (Median 21 gegen 11)
  2. Mädchen (Median 13 gegen 11)
  3. Gruppe Falken, um 1 cm
  4. Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  5. Median (5 statt 14)
  6. Median (7 statt 13)
  7. 6 Treffer
  8. 3 Treffer
  9. 12 Treffer
  10. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  11. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  12. Fußball-AG (0,4)
  13. 4
  14. 30
  15. Klasse 6 (0,5)
  16. 0,302
  17. 0,4
  18. 0,309
  19. 3 Ergebnisse
  20. 3 Ergebnisse
  21. 112
  22. 2 Punkte
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  24. fair (18 zu 18)
  25. Gruppe Falken, um 3 Hundert Schritte
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 18)
  27. Nein, der Median 24 passt besser
  28. 18 Treffer
  29. Schule am Park (0,775)
  30. 63100 = 0,63
  31. Team Nord (Median 23 gegen 19)
  32. Ausreißer 284, Mittelwert 92 statt 44
  33. 300 cm
  34. Team Süd (0,75)
  35. 0,154
  36. fair (15 zu 15)
  37. x̄ = 5,2
  38. Median 15; Spannweite 10