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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 3, 12, 6, 1, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 16, 3, 3, 20. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 3, 16, 16, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 16
    3. Spannweite = 20 − 3 = 17
    Ergebnis:
    Median 16; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 17, 7, 14, 18, 4. Team Süd: 12, 10, 16, 10, 17. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 17 + 7 + 14 + 18 + 4 = 60, 60 : 5 = 12
  2. Team Süd: 12 + 10 + 16 + 10 + 17 = 65, 65 : 5 = 13
  3. 13 ist mehr als 12.
  1. Team Nord: 17 + 7 + 14 + 18 + 4 = 60, 60 : 5 = 12
  2. Team Süd: 12 + 10 + 16 + 10 + 17 = 65, 65 : 5 = 13
  3. 13 ist mehr als 12.
Ergebnis:
Team Süd (13 Treffer gegen 12 Treffer)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 11, 29, 53, 49, 53. Jungen: 13, 53, 43, 27, 29. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen: 11 + 29 + 53 + 49 + 53 = 195, 195 : 5 = 39
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 11 + 29 + 53 + 49 + 53 = 195, 195 : 5 = 39
    2. Jungen: 13 + 53 + 43 + 27 + 29 = 165, 165 : 5 = 33
    3. 39 ist mehr als 33.
    Ergebnis:
    Mädchen (39 min gegen 33 min)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 14, 28, 21, 22, 10. Team Süd: 11, 23, 25, 27, 24. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 14 + 28 + 21 + 22 + 10 = 95, 95 : 5 = 19
    2. Team Süd: 11 + 23 + 25 + 27 + 24 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 − 19 = 3
    Ergebnis:
    Team Süd, um 3 Punkte
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 16, 10, 12, 3, 9. Team Süd: 9, 9, 18, 12. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 3, 9, 10, 12, 16, Median 10
    2. Team Süd geordnet: 9, 9, 12, 18, Median 10,5
    3. 10,5 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 10,5 gegen 10)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 28, 12, 12, 16, 227. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. 227 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 295 : 5 = 59
  3. Ohne ihn: 68 : 4 = 17
  1. 227 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 295 : 5 = 59
  3. Ohne ihn: 68 : 4 = 17
Ergebnis:
Ausreißer 227, Mittelwert 59 statt 17

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 9, 5, 46, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    46 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 40, 5, 3, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
    2. Geordnet: 3, 5, 6, 6, 40, Median 6
    3. Der Wert 40 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 12)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 48, 9, 5, 6, 7, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 78 : 6 = 13
    2. Geordnet: 3, 5, 6, 7, 9, 48, Median 6,5
    3. Der Wert 48 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6,5 statt 13)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 18 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 24, 24, 11, 20. Welches Ergebnis fehlt?
bisher101214161820222426?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
  2. Summe der bekannten: 24 + 24 + 11 + 20 = 79
  3. 90 − 79 = 11
  1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
  2. Summe der bekannten: 24 + 24 + 11 + 20 = 79
  3. 90 − 79 = 11
Ergebnis:
11 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 301 cm. Bekannt sind 305, 289, 265, 333. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 301 = 1505
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 301 = 1505
    2. Summe der bekannten: 305 + 289 + 265 + 333 = 1192
    3. 1505 − 1192 = 313
    Ergebnis:
    313 cm
  2. ●8
    Aylin möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 20, 24, 12, 23. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher1214161820222426?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    2. Summe der bekannten: 20 + 24 + 12 + 23 = 79
    3. 95 − 79 = 16
    Ergebnis:
    16 Punkte
  3. ★9
    Noah hat in 3 Spielen im Mittel 11 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 14 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 3 · 11 = 33
    2. Summe nachher: 4 · 14 = 56
    3. 56 − 33 = 23
    Ergebnis:
    23 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord9 von 40Team Süd7 von 20
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 940 = 0,225
  2. Team Süd: 720 = 0,35
  3. 0,35 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 940 = 0,225
  2. Team Süd: 720 = 0,35
  3. 0,35 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,35)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 40 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 19 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A40 von 50B19 von 40
    So fängst du an:
    Schule am Park: 4050 = 0,8
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 4050 = 0,8
    2. Schule am See: 1940 = 0,475
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,8)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 6 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 5 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 25B5 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 625 = 0,24
    2. Fußball-AG: 520 = 0,25
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 13 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A7 von 10B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 710 = 0,7
    2. Schule am See: 1320 = 0,65
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
RadBusgesamtKlasse 6a13??Klasse 6b111122gesamt?25?
Schritt für Schritt
  1. Spalte Bus: 25 − 11 = 14
  2. Zeile Klasse 6a: 13 + 14 = 27
  3. Insgesamt: 27 + 22 = 49
  1. Spalte Bus: 25 − 11 = 14
  2. Zeile Klasse 6a: 13 + 14 = 27
  3. Insgesamt: 27 + 22 = 49
Ergebnis:
49

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?715Klasse 681220gesamt161935
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 5: zusammen 15.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 15.
    2. 15 − 7 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 8 = 16
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 19 Kinder mit, davon sind 7 Kinder der Klasse 6a. 4 Kinder der Klasse 6a und 7 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 19 − 7 = 12
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 12 − 7 = 5
    3. Kontrolle: 4 + 3 + 7 + 5 = 19
    Ergebnis:
    5
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 513518Klasse 67?17gesamt201535
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 17.
    2. 17 − 7 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    10

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer451989
Schritt für Schritt
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 19 : 100 = 0,19
  3. 89 : 500 = 0,178
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 19 : 100 = 0,19
  3. 89 : 500 = 0,178
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,178

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,6.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer62038175
    So fängst du an:
    6 : 10 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 175 : 500 = 0,35
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,35
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer182083
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 83 : 500 = 0,166
    Ergebnis:
    0,166
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer52573395
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 73 : 200 = 0,365
    3. 395 : 1000 = 0,395
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,395

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 5? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 15, 29, 8, 24, 9. Team Süd: 8, 19, 25, 13, 30. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 15 + 29 + 8 + 24 + 9 = 85, 85 : 5 = 17
    2. Team Süd: 8 + 19 + 25 + 13 + 30 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 19 − 17 = 2
    Ergebnis:
    Team Süd, um 2 Punkte
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 17, 21, 18, 18, 21. Team Süd: 14, 9, 22, 27, 23. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 95 : 5 = 19
    2. Team Nord: 21 − 17 = 4
    3. Team Süd: 27 − 9 = 18
    4. Die Werte von Team Nord liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 4 gegen 18)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 9, 36, 4, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. 36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 302 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 324, 242, 356, 324. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 302 = 1510
    2. Summe der bekannten: 324 + 242 + 356 + 324 = 1246
    3. 1510 − 1246 = 264
    Ergebnis:
    264 cm
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 27 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 17 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A27 von 40B17 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2740 = 0,675
    2. Schule am See: 1725 = 0,68
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 10-mal geworfen. 4-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 410
    2. Gekürzt: 410 = 25
    3. Als Dezimalzahl: 4 : 10 = 0,4
    Ergebnis:
    25 = 0,4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 30, 39, 10, 31, 15. Gruppe Falken: 6, 21, 15, 27, 36. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 30 gegen 21)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 25, 24, 16, 205, 15. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (24 statt 57)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Tim möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 16 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 12, 19, 12. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher121314151617181920?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 28 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A28 von 50B13 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 22 Kinder aus Klasse 5. 14 Kinder aus Klasse 5 und 4 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (39 min gegen 33 min)
  2. Team Süd, um 3 Punkte
  3. Team Süd (Median 10,5 gegen 10)
  4. Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6
  5. Median (6 statt 12)
  6. Median (6,5 statt 13)
  7. 313 cm
  8. 16 Punkte
  9. 23 Punkte
  10. Schule am Park (0,8)
  11. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  12. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  13. 8
  14. 5
  15. 10
  16. Nein, eher 0,35
  17. 0,166
  18. 0,395
  19. 2 Ergebnisse
  20. 19
  21. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Team Süd, um 2 Punkte
  26. gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 4 gegen 18)
  27. Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  28. 264 cm
  29. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  30. 25 = 0,4
  31. Gruppe Adler (Median 30 gegen 21)
  32. Median (24 statt 57)
  33. 21 Punkte
  34. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  35. 11
  36. fair (15 zu 15)
  37. x̄ = 6
  38. Median 16; Spannweite 17