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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●34
    Punkte im Test: 15, 4, 1, 8, 11. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,8
  2. ●35
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 3, 7, 4, 9, 15. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 4, 7, 9, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 15 − 3 = 12
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 339, 242, 358, 309, 272. Gruppe Falken: 349, 251, 374, 306, 360. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 339 + 242 + 358 + 309 + 272 = 1520, 1520 : 5 = 304
  2. Gruppe Falken: 349 + 251 + 374 + 306 + 360 = 1640, 1640 : 5 = 328
  3. 328 − 304 = 24
  1. Gruppe Adler: 339 + 242 + 358 + 309 + 272 = 1520, 1520 : 5 = 304
  2. Gruppe Falken: 349 + 251 + 374 + 306 + 360 = 1640, 1640 : 5 = 328
  3. 328 − 304 = 24
Ergebnis:
Gruppe Falken, um 24 cm

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 38, 15, 26, 20, 11. Jungen: 30, 17, 34, 35, 24. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen10152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 11, 15, 20, 26, 38, Median 20
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 11, 15, 20, 26, 38, Median 20
    2. Jungen geordnet: 17, 24, 30, 34, 35, Median 30
    3. 30 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 30 gegen 20)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 292, 335, 252, 365, 376. Gruppe Falken: 336, 268, 257, 380, 259. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 292 + 335 + 252 + 365 + 376 = 1620, 1620 : 5 = 324
    2. Gruppe Falken: 336 + 268 + 257 + 380 + 259 = 1500, 1500 : 5 = 300
    3. 324 ist mehr als 300.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (324 cm gegen 300 cm)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 324, 254, 363, 388, 291. Gruppe Falken: 276, 256, 367, 345. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 324 + 254 + 363 + 388 + 291 = 1620, 1620 : 5 = 324
    2. Gruppe Falken: 276 + 256 + 367 + 345 = 1244, 1244 : 4 = 311
    3. 324 ist mehr als 311.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (324 cm gegen 311 cm)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 57, 8, 4, 7, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 85 : 5 = 17
  2. Geordnet: 4, 7, 8, 9, 57, Median 8
  3. Der Wert 57 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 85 : 5 = 17
  2. Geordnet: 4, 7, 8, 9, 57, Median 8
  3. Der Wert 57 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (8 statt 17)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 47, 9, 9, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    47 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 47 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 75 : 5 = 15
    3. Ohne ihn: 28 : 4 = 7
    Ergebnis:
    Ausreißer 47, Mittelwert 15 statt 7
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 22, 14, 11, 25, 173. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175
    Lösung zeigen
    1. 173 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 245 : 5 = 49
    3. Ohne ihn: 72 : 4 = 18
    Ergebnis:
    Ausreißer 173, Mittelwert 49 statt 18
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 19, 26, 14, 202, 27, 24. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 52 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 14, 19, 24, 26, 27, 202
    2. Median: 25
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 202.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 25 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 303 cm. Bekannt sind 298, 357, 299. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 303 = 1212
  2. Summe der bekannten: 298 + 357 + 299 = 954
  3. 1212 − 954 = 258
  1. Summe aller Werte: 4 · 303 = 1212
  2. Summe der bekannten: 298 + 357 + 299 = 954
  3. 1212 − 954 = 258
Ergebnis:
258 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 13 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 16, 18, 4. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher468101214161820?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    2. Summe der bekannten: 16 + 18 + 4 = 38
    3. 52 − 38 = 14
    Ergebnis:
    14 Treffer
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 309 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 240, 341, 295, 341. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 309 = 1545
    2. Summe der bekannten: 240 + 341 + 295 + 341 = 1217
    3. 1545 − 1217 = 328
    Ergebnis:
    328 cm
  3. ★9
    Mila hat in 3 Spielen im Mittel 6 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 7 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 3 · 6 = 18
    2. Summe nachher: 4 · 7 = 28
    3. 28 − 18 = 10
    Ergebnis:
    10 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 9 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A2 von 10B9 von 20
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 210 = 0,2
  2. Schule am See: 920 = 0,45
  3. 0,45 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 210 = 0,2
  2. Schule am See: 920 = 0,45
  3. 0,45 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am See (0,45)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 3 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A3 von 10B6 von 25
    So fängst du an:
    Schule am Park: 310 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 310 = 0,3
    2. Schule am See: 625 = 0,24
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 16 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 14 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A16 von 40B14 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1640 = 0,4
    2. Fußball-AG: 1425 = 0,56
    3. 0,56 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,56)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 22 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 12 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A22 von 50B12 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2250 = 0,44
    2. Schule am See: 1220 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 39 Kinder mit, davon sind 24 Mädchen. 10 Mädchen und 5 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 39 − 24 = 15
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 15 − 5 = 10
  3. Kontrolle: 10 + 14 + 5 + 10 = 39
  1. Jungen: 39 − 24 = 15
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 15 − 5 = 10
  3. Kontrolle: 10 + 14 + 5 + 10 = 39
Ergebnis:
10

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht
52 − 27 = 35
So richtig
52 − 27: 12 − 7 = 5, 4 − 2 = 2 → 25

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen15318Jungen6?17gesamt211435
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 17.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 17.
    2. 17 − 6 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 3 = 14
    Ergebnis:
    11
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a121123Klasse 6b?818gesamt221941
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 18.
    2. 18 − 8 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 12 = 22
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 21 Mädchen. 14 Mädchen und 7 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 42 − 21 = 21
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 21 − 7 = 14
    3. Kontrolle: 14 + 7 + 7 + 14 = 42
    Ergebnis:
    14

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer32241202
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 41 : 100 = 0,41
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 41 : 100 = 0,41
Ergebnis:
0,41

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41331153
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 31 : 100 = 0,31
    3. 153 : 500 = 0,306
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,306
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51022129
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 129 : 500 = 0,258
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,26.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,258
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer11231171
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 31 : 200 = 0,155
    3. 171 : 1000 = 0,171
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,171

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 12?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 12: 6 und 6
    3. Das sind 1 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    1 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 50, 50, 45, 23, 32. Gruppe Falken: 40, 39, 37, 52, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 50 + 50 + 45 + 23 + 32 = 200, 200 : 5 = 40
    2. Gruppe Falken: 40 + 39 + 37 + 52 + 17 = 185, 185 : 5 = 37
    3. 40 − 37 = 3
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 3 min
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 282, 269, 319, 303, 327. Team Süd: 295, 309, 296, 312, 288. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd260270280290300310320330
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 327 − 269 = 58
    2. Team Süd: 312 − 288 = 24
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 24 gegen 58)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 25, 16, 17, 196, 26. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 56 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 16, 17, 25, 26, 196
    2. Median: 25
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 196.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 25 passt besser
  4. ●28
    Mila möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 24, 11, 25, 12. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher10121416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 20 = 100
    2. Summe der bekannten: 24 + 11 + 25 + 12 = 72
    3. 100 − 72 = 28
    Ergebnis:
    28 Punkte
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 13 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 25 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 25B25 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1325 = 0,52
    2. Klasse 6b: 2540 = 0,625
    3. 0,625 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,625)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 10-mal auf den Korb und trifft 7-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 710
    2. 710 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 7 : 10 = 0,7
    Ergebnis:
    710 = 0,7

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    31
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 16 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 14, 28, 11. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher101520253035?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Punkte

  2. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    32
    Bei einer Umfrage machen 32 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 9 Mädchen und 5 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

  3. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    33
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (Median 30 gegen 20)
  2. Gruppe Adler (324 cm gegen 300 cm)
  3. Gruppe Adler (324 cm gegen 311 cm)
  4. Ausreißer 47, Mittelwert 15 statt 7
  5. Ausreißer 173, Mittelwert 49 statt 18
  6. Nein, der Median 25 passt besser
  7. 14 Treffer
  8. 328 cm
  9. 10 Punkte
  10. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  11. Fußball-AG (0,56)
  12. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  13. 11
  14. 10
  15. 14
  16. 0,306
  17. Nein, eher 0,258
  18. 0,171
  19. 118
  20. 16
  21. 1 Ergebnisse
  22. fair (3 zu 3)
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Gruppe Adler, um 3 min
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 24 gegen 58)
  27. Nein, der Median 25 passt besser
  28. 28 Punkte
  29. Klasse 6b (0,625)
  30. 710 = 0,7
  31. 11 Punkte
  32. 9
  33. fair (15 zu 15)
  34. x̄ = 7,8
  35. Median 7; Spannweite 12