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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 6, 4, 9, 8, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,8
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 20, 10, 11, 20, 4. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 10, 11, 20, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 20 − 4 = 16
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Kategorien
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●2
    Zeynep will die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Stunden Sport pro Woche“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Sport heißt nicht, welcher Sport beliebt ist
    2. Besser: Lieblingssportart
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingssportart
  3. ★3
    Ben will die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Stunden Sport pro Woche“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Sport heißt nicht, welcher Sport beliebt ist
    2. Besser: Lieblingssportart
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingssportart

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 174, 163, 171, 162, 168, 159, 172, 165, 156, 173, 169, 175, 175, 154, 156. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
Schritt für Schritt
  1. 150 bis unter 160 cm: 4
  2. 160 bis unter 170 cm: 5
  3. 170 bis unter 180 cm: 6
  4. Probe: 4 + 5 + 6 = 15
  1. 150 bis unter 160 cm: 4
  2. 160 bis unter 170 cm: 5
  3. 170 bis unter 180 cm: 6
  4. Probe: 4 + 5 + 6 = 15
Ergebnis:
150 bis unter 160: 4; 160 bis unter 170: 5; 170 bis unter 180: 6

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Schulweg in min): 23, 20, 22, 13, 27, 17, 23, 13, 42, 31, 22, 15, 24, 16, 19. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
    So fängst du an:
    10 bis unter 20 min: 6
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 6
    2. 20 bis unter 30 min: 7
    3. 30 bis unter 40 min: 1
    4. 40 bis unter 50 min: 1
    5. Probe: 6 + 7 + 1 + 1 = 15
    Ergebnis:
    6, 7, 1, 1
  2. ●5
    Die Werte (Körpergröße in cm): 184, 171, 158, 169, 156, 167, 165, 162, 168, 155, 174, 167, 161, 157, 173. Wie viele Werte liegen in der Klasse 150 bis unter 160 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 150 und alles bis kurz vor 160
    2. Gezählt: 158, 156, 155, 157
    3. Das sind 4
    Ergebnis:
    4 Werte
  3. ★6
    Körpergröße von 20 Jugendlichen im Sportverein in cm: 164, 172, 169, 180, 173, 167, 164, 181, 159, 160, 160, 155, 169, 168, 165, 175, 185, 185, 181, 163. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 2
    2. 160 bis unter 170 cm: 10
    3. 170 bis unter 180 cm: 3
    4. 180 bis unter 190 cm: 5
    5. Probe: 2 + 10 + 3 + 5 = 20
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 10; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 5

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
0123456789101112150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulen links von 170: 1, 11
  2. 1 + 11 = 12
  1. Säulen links von 170: 1, 11
  2. 1 + 11 = 12
Ergebnis:
12 Werte

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 10 min?
    012345678910010203040Schulweg in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 10: 2
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 10: 2
    2. Nur eine Säule: 2
    Ergebnis:
    2 Werte
  2. ●8
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456789306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 60 bis 90
    2. Höhe 8
    Ergebnis:
    60 bis unter 90 min: 8
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
    0246810121410203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 30: 10, 14
    2. 10 + 14 = 24
    Ergebnis:
    24 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 19 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Bücher01234Anzahl21655
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 2 (6-mal)
  2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 3, bis 2: 9, bis 3: 14
  4. Median: 3
  1. Häufigster Wert: 2 (6-mal)
  2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 3, bis 2: 9, bis 3: 14
  4. Median: 3
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 3

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 16 Antworten.
    Bücher01234Anzahl05038
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 4 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
    2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 5, bis 2: 5, bis 3: 8, bis 4: 16
    4. Median: 3,5
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 3,5
  2. ●11
    Emre schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 26 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl567215
    Lösung zeigen
    1. 26 Werte: Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 5, bis 2: 11, bis 3: 18
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 21 Antworten.
    Note123456Anzahl654231
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 1 (6-mal)
    2. 21 Werte, Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 6, bis 2: 11
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 21 Antworten).
Anzahl01234Anzahl03657
Schritt für Schritt
  1. 0 · 0 + 1 · 3 + 2 · 6 + 3 · 5 + 4 · 7 = 58
  2. Anzahl aller Werte: 21
  3. 58 : 21 ≈ 2,76
  1. 0 · 0 + 1 · 3 + 2 · 6 + 3 · 5 + 4 · 7 = 58
  2. Anzahl aller Werte: 21
  3. 58 : 21 ≈ 2,76
Ergebnis:
2,76

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 15 Antworten).
    Bücher01234Anzahl11508
    So fängst du an:
    0 · 1 + 1 · 1 + 2 · 5 + 3 · 0 + 4 · 8 = 43
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 1 + 2 · 5 + 3 · 0 + 4 · 8 = 43
    2. Anzahl aller Werte: 15
    3. 43 : 15 ≈ 2,87
    Ergebnis:
    2,87
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 26 Antworten).
    Note123456Anzahl026738
    Lösung zeigen
    1. 1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 6 + 4 · 7 + 5 · 3 + 6 · 8 = 113
    2. Anzahl aller Werte: 26
    3. 113 : 26 ≈ 4,35
    Ergebnis:
    4,35
  3. ★15
    Von Schulweg kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min210 bis unter 20 min820 bis unter 30 min1230 bis unter 40 min3
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 5, 15, 25, 35
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 535
    3. 535 : 25 = 21,4
    Ergebnis:
    etwa 21,4 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 18, 17, 14, 17, 17. Staffel B: 16, 17, 16, 13, 19, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 102 : 6 = 17
  2. Mittelwert Staffel B: 98 : 6 ≈ 16,33
  3. Spannweite: 5 gegen 6
  1. Mittelwert Staffel A: 102 : 6 = 17
  2. Mittelwert Staffel B: 98 : 6 ≈ 16,33
  3. Spannweite: 5 gegen 6
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 17, 12, 13, 21, 12, 9. 8b: 4, 7, 4, 12, 10, 19. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 84 : 6 = 14
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 84 : 6 = 14
    2. Mittelwert 8b: 56 : 6 ≈ 9,33
    3. Spannweite: 12 gegen 15
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 303, 341, 354, 407, 405, 346. Gruppe Süd: 337, 398, 293, 281, 409, 283. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2156 : 6 ≈ 359,33
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2001 : 6 = 333,5
    3. Spannweite: 104 gegen 128
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 288, 358, 292, 387, 413, 348, 383, 345. Gruppe Süd: 282, 333, 322, 367, 347, 337, 362, 282. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2814 : 8 = 351,75
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2632 : 8 = 329
    3. Spannweite: 125 gegen 85
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 122, 80, 96, 92, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 480: Mittelwert 870 : 5 = 174, Median 96
  2. Ohne: Mittelwert 390 : 4 = 97,5, Median 94
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 480: Mittelwert 870 : 5 = 174, Median 96
  2. Ohne: Mittelwert 390 : 4 = 97,5, Median 94
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 174 statt 97,5; Median 96 statt 94

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 3, 8, 5, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 45: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 5
    Lösung zeigen
    1. Mit 45: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 20 : 4 = 5, Median 4,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 13 statt 5; Median 5 statt 4,5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 122, 129, 64, 98, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 893 : 5 = 178,6, Median 122
    2. Ohne: Mittelwert 413 : 4 = 103,25, Median 110
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 178,6 statt 103,25; Median 122 statt 110
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 8, 3, 3, 5, 9, 2, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 70 : 7 = 10, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 30 : 6 = 5, Median 4
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 10 statt 5; Median 5 statt 4

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 62 %, Chat-App 60 %, Spiele 44 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
gegebengesucht62 %60 %44 %100 %?
Schritt für Schritt
  1. 62 + 60 + 44 = 166
  2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
  3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
  1. 62 + 60 + 44 = 166
  2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
  3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „83 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht83 Prozent12 Kinder?
    So fängst du an:
    10 von 12 sind 83,33 %
    Lösung zeigen
    1. 10 von 12 sind 83,33 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 59 %, Chat-App 50 %, Spiele 31 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht59 %50 %31 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 59 + 50 + 31 = 140
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  3. ★24
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 50 %, Chat-App 56 %, Spiele 39 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht50 %56 %39 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 50 + 56 + 39 = 145
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder unserer Schule?“: A befragt 35 Personen, nämlich die Kinder, die in der Pause in der Bibliothek sitzen. B lost 35 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht35 Personen35 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: wer in der Bibliothek sitzt, liest wahrscheinlich mehr als andere
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  2. ●26
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 136, 91, 113, 142, 77, 123, 99, 101, 108, 46, 66, 87, 96, 67, 156. Wie viele Werte liegen in der Klasse 150 bis unter 180 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 150 und alles bis kurz vor 180
    2. Gezählt: 156
    3. Das sind 1
    Ergebnis:
    1 Werte
  3. ●27
    In der Tabelle (Körpergröße) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl140 bis unter 150 cm1150 bis unter 160 cm6160 bis unter 170 cm6170 bis unter 180 cm10180 bis unter 190 cm2
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 1 + 6 + 6 + 10 + 2 = 25
    2. Größte Anzahl: 10
    Ergebnis:
    25; 170 bis unter 180 cm
  4. ●28
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    01234567891011150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 3, 6, 10, 1
    2. Summe: 3 + 6 + 10 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  5. ●29
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 4, 11, 7, 2 für die Klassen ab 150 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    02468101214150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 4, 11, 7, 2 vergleichen
    2. Die Säule 160 bis unter 170 ist 14 hoch
    3. Richtig ist 11
    Ergebnis:
    160 bis unter 170 cm: 11 statt 14
  6. ●30
    Lukas schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 14 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl21713
    Lösung zeigen
    1. 14 Werte: Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 3, bis 2: 10
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Verkehrsmittel, Kategorien

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Schulweg in min): 38, 11, 31, 34, 23, 29, 21, 20, 30, 17, 42, 19, 21, 6, 29. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10?10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 3, 6, 4, 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456789306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60 bis unter 90 min: 8

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 31 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl708745
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 4

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl025181
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,06

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 336, 408, 316, 289, 300, 357. Gruppe Süd: 355, 419, 302, 415, 321, 316. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 96, 109, 89, 84, 600. Wie stark verändert der Wert 600 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 195,6 statt 94,5; Median 96 statt 92,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 45 %, Chat-App 56 %, Spiele 31 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht45 %56 %31 %100 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. nein, besser: Lieblingssportart
  3. nein, besser: Lieblingssportart
  4. 6, 7, 1, 1
  5. 4 Werte
  6. 150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 10; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 5
  7. 2 Werte
  8. 60 bis unter 90 min: 8
  9. 24 Werte
  10. Modalwert 4, Median 3,5
  11. Median 3
  12. Modalwert 1, Median 2
  13. 2,87
  14. 4,35
  15. etwa 21,4 min
  16. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  17. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  18. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  19. Mittelwert 13 statt 5; Median 5 statt 4,5
  20. Mittelwert 178,6 statt 103,25; Median 122 statt 110
  21. Mittelwert 10 statt 5; Median 5 statt 4
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  24. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  25. B
  26. 1 Werte
  27. 25; 170 bis unter 180 cm
  28. 20 Personen
  29. 160 bis unter 170 cm: 11 statt 14
  30. Median 2
  31. Verkehrsmittel, Kategorien
  32. 1, 3, 6, 4, 1
  33. 60 bis unter 90 min: 8
  34. Modalwert 3, Median 4
  35. 3,06
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  37. Mittelwert 195,6 statt 94,5; Median 96 statt 92,5
  38. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  39. x̄ = 7,8
  40. Median 11; Spannweite 16