Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 8, 14, 8, 14, 8. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 10,4
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 4, 14, 13, 12, 2. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 2, 4, 12, 13, 14
2. Median = mittlerer Wert = 12
3. Spannweite = 14 − 2 = 12
Ergebnis:
Median 12; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.

Schritt für Schritt

Die Antworten sind Zahlen
Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich

Die Antworten sind Zahlen
Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich

Ergebnis:

ja, die Antworten sind Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
So fängst du an:
Die Antworten sind Kategorien
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien
2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
●2
Ben will die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Preis des Mittagessens“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
2. Besser: Wunschgericht
Ergebnis:
nein, besser: Wunschgericht
★3
Sara will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
2. Besser: Schlafdauer in Stunden
Ergebnis:
nein, besser: Schlafdauer in Stunden

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 97, 94, 51, 133, 131, 102, 46, 68, 103, 87, 120, 62, 46, 88, 95. Wie viele Werte liegen in der Klasse 120 bis unter 150 min? Achte auf die Grenzen.

Schritt für Schritt

Die Klasse umfasst 120 und alles bis kurz vor 150
Gezählt: 133, 131, 120
Das sind 3

Die Klasse umfasst 120 und alles bis kurz vor 150
Gezählt: 133, 131, 120
Das sind 3

Ergebnis:

3 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 117, 123, 83, 52, 108, 128, 70, 126, 82, 138, 29, 95, 131, 62, 80. Wie viele Werte liegen in der Klasse 30 bis unter 60 min? Achte auf die Grenzen.
So fängst du an:
Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 60
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 60
2. Gezählt: 52
3. Das sind 1
Ergebnis:
1 Werte
●5
Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 144, 133, 77, 115, 152, 94, 94, 65, 49, 49, 27, 160, 57, 79, 110. Wie viele Werte liegen in der Klasse 0 bis unter 30 min? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 0 und alles bis kurz vor 30
2. Gezählt: 27
3. Das sind 1
Ergebnis:
1 Werte
★6
Sprungweite von 20 Kindern beim Sportfest in cm: 266, 294, 368, 294, 380, 282, 325, 339, 374, 349, 414, 299, 359, 348, 373, 337, 412, 329, 372, 432. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 5
2. 300 bis unter 350 cm: 6
3. 350 bis unter 400 cm: 6
4. 400 bis unter 450 cm: 3
5. Probe: 5 + 6 + 6 + 3 = 20
Ergebnis:
250 bis unter 300: 5; 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 3

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?

Schritt für Schritt

Säulen links von 170: 3, 10
3 + 10 = 13

Säulen links von 170: 3, 10
3 + 10 = 13

Ergebnis:

13 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
So fängst du an:
Säulenhöhen ablesen: 10, 3, 6, 1
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 10, 3, 6, 1
2. Summe: 10 + 3 + 6 + 1 = 20
Ergebnis:
20 Personen
●8
Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 3, 10, 6, 1
2. Summe: 3 + 10 + 6 + 1 = 20
Ergebnis:
20 Personen
★9
Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 20 min oder darüber?
Lösung zeigen
1. Ab 20: 19 + 5 = 24
2. Gesamt: 30
3. 24 : 30 · 100 = 80
Ergebnis:
80 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 17 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.

Schritt für Schritt

Häufigster Wert: 1 (5-mal)
17 Werte, Median ist der 9. Wert
Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 7, bis 2: 11
Median: 2

Häufigster Wert: 1 (5-mal)
17 Werte, Median ist der 9. Wert
Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 7, bis 2: 11
Median: 2

Ergebnis:

Modalwert 1, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 12 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
So fängst du an:
Häufigster Wert: 1 (8-mal)
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
2. 12 Werte, Median ist das Mittel aus dem 6. und 7. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 8
4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 1
●11
Sara schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 26 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 26 Werte: Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
2. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 13, bis 2: 16
3. Median: 1,5
Ergebnis:
Median 1,5
★12
Ben schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 21 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
2. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 9, bis 2: 10, bis 3: 15
3. Median: 3
Ergebnis:
Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 22 Antworten).

Schritt für Schritt

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 3 + 5 · 1 + 6 · 7 = 85
Anzahl aller Werte: 22
85 : 22 ≈ 3,86

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 3 + 5 · 1 + 6 · 7 = 85
Anzahl aller Werte: 22
85 : 22 ≈ 3,86

Ergebnis:

3,86

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 19 Antworten).
So fängst du an:
1 · 4 + 2 · 4 + 3 · 0 + 4 · 3 + 5 · 3 + 6 · 5 = 69
Lösung zeigen
1. 1 · 4 + 2 · 4 + 3 · 0 + 4 · 3 + 5 · 3 + 6 · 5 = 69
2. Anzahl aller Werte: 19
3. 69 : 19 ≈ 3,63
Ergebnis:
3,63
●14
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 19 Antworten).
Lösung zeigen
1. 0 · 3 + 1 · 2 + 2 · 6 + 3 · 4 + 4 · 0 + 5 · 4 = 46
2. Anzahl aller Werte: 19
3. 46 : 19 ≈ 2,42
Ergebnis:
2,42
★15
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 34 Antworten).
Lösung zeigen
1. 0 · 3 + 1 · 6 + 2 · 6 + 3 · 8 + 4 · 11 = 86
2. Anzahl aller Werte: 34
3. 86 : 34 ≈ 2,53
Ergebnis:
2,53

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 311, 303, 295, 415, 320, 364. Gruppe Süd: 284, 291, 339, 395, 286, 358. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?

Schritt für Schritt

Mittelwert Gruppe Nord: 2008 : 6 ≈ 334,67
Mittelwert Gruppe Süd: 1953 : 6 = 325,5
Spannweite: 120 gegen 111

Mittelwert Gruppe Nord: 2008 : 6 ≈ 334,67
Mittelwert Gruppe Süd: 1953 : 6 = 325,5
Spannweite: 120 gegen 111

Ergebnis:

im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 13, 19, 14, 19, 14. Staffel B: 18, 14, 16, 18, 16, 13. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
So fängst du an:
Mittelwert Staffel A: 98 : 6 ≈ 16,33
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 98 : 6 ≈ 16,33
2. Mittelwert Staffel B: 95 : 6 ≈ 15,83
3. Spannweite: 6 gegen 5
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
●17
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 334, 308, 376, 333, 320, 346. Gruppe Süd: 307, 283, 355, 390, 309, 332. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2017 : 6 ≈ 336,17
2. Mittelwert Gruppe Süd: 1976 : 6 ≈ 329,33
3. Spannweite: 68 gegen 107
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
★18
Punkte im Test. 8a: 19, 12, 18, 7, 21, 8, 24, 8. 8b: 19, 22, 7, 16, 15, 14, 13, 14. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 117 : 8 ≈ 14,63
2. Mittelwert 8b: 120 : 8 = 15
3. Spannweite: 17 gegen 15
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 100, 80, 117, 139, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?

Schritt für Schritt

Mit 540: Mittelwert 976 : 5 = 195,2, Median 117
Ohne: Mittelwert 436 : 4 = 109, Median 108,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 540: Mittelwert 976 : 5 = 195,2, Median 117
Ohne: Mittelwert 436 : 4 = 109, Median 108,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 195,2 statt 109; Median 117 statt 108,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Handyzeit am Tag in Minuten: 70, 115, 87, 137, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
So fängst du an:
Mit 480: Mittelwert 889 : 5 = 177,8, Median 115
Lösung zeigen
1. Mit 480: Mittelwert 889 : 5 = 177,8, Median 115
2. Ohne: Mittelwert 409 : 4 = 102,25, Median 101
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 177,8 statt 102,25; Median 115 statt 101
●20
Handyzeit am Tag in Minuten: 107, 69, 124, 93, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
Lösung zeigen
1. Mit 600: Mittelwert 993 : 5 = 198,6, Median 107
2. Ohne: Mittelwert 393 : 4 = 98,25, Median 100
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 198,6 statt 98,25; Median 107 statt 100
★21
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 9, 6, 5, 8, 2, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.
Lösung zeigen
1. Mit 45: Mittelwert 78 : 7 ≈ 11,14, Median 6
2. Ohne: Mittelwert 33 : 6 = 5,5, Median 5,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 11,14 statt 5,5; Median 6 statt 5,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 33 % auf 43 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 10 Prozent.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Unterschied: 43 − 33 = 10 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 10 : 33 · 100 ≈ 30,3 %

Unterschied: 43 − 33 = 10 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 10 : 33 · 100 ≈ 30,3 %

Ergebnis:

ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 30,3 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 39 % auf 47 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
So fängst du an:
Unterschied: 47 − 39 = 8 Prozentpunkte
Lösung zeigen
1. Unterschied: 47 − 39 = 8 Prozentpunkte
2. Im Verhältnis: 8 : 39 · 100 ≈ 20,51 %
Ergebnis:
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 20,51 % mehr
●23
Schlagzeile der Schülerzeitung: „70 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
Lösung zeigen
1. 14 von 20 sind 70 %
2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
★24
Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 60 auf 65 Punkte. Noah sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
Lösung zeigen
1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
Ergebnis:
nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Für die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ wird das Merkmal „Handyzeit in Minuten pro Tag“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen
●26
Zwei Vorschläge für die Frage „Wie zufrieden sind die Kinder mit dem Schulhof?“: A befragt 30 Personen, nämlich die Kinder, die sich bei der Schülervertretung beschwert haben. B lost 30 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
Lösung zeigen
1. A: wer sich beschwert, ist eher unzufrieden – das verzerrt
2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
Ergebnis:
B
●27
15 Werte (Körpergröße in cm): 158, 151, 164, 175, 172, 168, 163, 163, 177, 165, 173, 165, 179, 165, 167. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 150 bis unter 160 cm: 2
2. 160 bis unter 170 cm: 8
3. 170 bis unter 180 cm: 5
4. Probe: 2 + 8 + 5 = 15
Ergebnis:
2, 8, 5
●28
Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Welcher Anteil liegt unter 40 min? Gib ihn in Prozent an.
Lösung zeigen
1. Unter 40: 3 + 5 + 13 + 2 = 23
2. Anteil: 23 : 25 · 100 = 92
Ergebnis:
92 %
●29
Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 3, 10, 4, 3
2. Summe: 3 + 10 + 4 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen
●30
Aylin zeichnet für Sprungweite die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Aylin für die Klassen von 250 bis 450 cm?
Lösung zeigen
1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
2. (450 − 250) : 50 = 4
Ergebnis:
ohne Lücken, 4 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Jonas will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 165, 88, 120, 77, 136, 113, 83, 140, 140, 88, 69, 79, 82, 49, 56. Wie viele Werte liegen in der Klasse 60 bis unter 90 min? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Werte
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Personen
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 16 Antworten.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 1
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 21 Antworten).
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,19
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Punkte im Test. 8a: 12, 12, 21, 15, 16, 11. 8b: 19, 17, 14, 19, 22, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 6, 8, 9, 8, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 13,2 statt 7,75; Median 8 statt 8
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 23 % auf 27 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 17,39 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
nein, besser: Wunschgericht
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
1 Werte
1 Werte
250 bis unter 300: 5; 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 3
20 Personen
20 Personen
80 %
Modalwert 1, Median 1
Median 1,5
Median 3
3,63
2,42
2,53
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
Mittelwert 177,8 statt 102,25; Median 115 statt 101
Mittelwert 198,6 statt 98,25; Median 107 statt 100
Mittelwert 11,14 statt 5,5; Median 6 statt 5,5
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 20,51 % mehr
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
ja, die Antworten sind Zahlen
B
2, 8, 5
92 %
20 Personen
ohne Lücken, 4 Säulen
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
7 Werte
20 Personen
Modalwert 1, Median 1
2,19
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
Mittelwert 13,2 statt 7,75; Median 8 statt 8
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 17,39 % mehr
x̄ = 10,4
Median 12; Spannweite 12