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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Dreiecke und Vielecke: Winkel und besondere Linien

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Eine Gerade schneidet zwei parallele Geraden. Ein Winkel ist mit 65° angegeben. Bestimme alle anderen sieben Winkel, ohne Geodreieck.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Am ersten Schnittpunkt kommen alle mit Neben- und Scheitelwinkel weiter. Am zweiten Schnittpunkt fehlt der Anschluss: Einige behaupten, unten sei alles wie oben, können es aber nicht begründen. Die untere Kreuzung ist die obere, nur verschoben. Beim Verschieben ändert sich kein Winkel. Winkel an derselben Stelle heißen Stufenwinkel und sind gleich groß – damit sind alle acht bestimmt.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Nebenwinkel und die drei Dreieckswinkel ergeben je 180°.

  1. ●39
    Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 121°. Berechne seinen Nebenwinkel.
    Lösung zeigen
    1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
    2. 180° − 121° = 59°
    Ergebnis:
    59°
  2. ●40
    In einem Dreieck sind α = 78° und β = 70°. Berechne γ.
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
    2. γ = 180° − 78° − 70° = 32°
    Ergebnis:
    32°

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenWinkel folgen auseinander

Winkel in einer Figur hängen zusammen. Kennt man einen, folgen andere aus Sätzen: Nebenwinkel, Stufenwinkel, Winkelsumme. Man misst nicht, man begründet. Jedes Vieleck lässt sich in Dreiecke zerlegen, und jedes Dreieck hat 180°.

Ein Sechseck von einer Ecke aus in 4 Dreiecke zerlegt: 4 mal 180 Grad sind 720 GradSechseck = 4 Dreiecke4 · 180° = 720°jedes Dreieck 180°

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Kinder messen im selben Sechseck verschiedene Winkel und bekommen 716° und 723° als Summe. Warum muss die Summe trotzdem genau 720° sein?

1Ich berechne Winkel an geschnittenen Parallelen mit Stufen- und Wechselwinkeln.

EntdeckenFrage

Eine Straße kreuzt zwei parallele Straßen schräg. Warum sind beide Kreuzungen gleich spitz?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die zweite Kreuzung ist die erste, nur entlang der schrägen Straße verschoben. Beim Verschieben ändert sich kein Winkel. Deshalb sind Stufenwinkel an Parallelen gleich groß, an jeder Kreuzung dieselben Winkel.

MerkenStufenwinkel und Wechselwinkel

An geschnittenen Parallelen sind Stufenwinkel und Wechselwinkel gleich groß.

Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°. Aus 65° folgt also 65° oder 115°.

BeispielWinkel an geschnittenen Parallelen berechnen

Die Geraden g und h sind parallel. Der Winkel α ist 105° groß. Wie groß ist β?
ghsα = 105°β
Schritt für Schritt
  1. α und β liegen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von s: Wechselwinkel.
  2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 105°
  1. α und β liegen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von s: Wechselwinkel.
  2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 105°
Ergebnis:
β = 105°

AchtungNachbarwinkel für gleich groß gehalten

So nicht
g ∥ h; α = 70° und β liegen zwischen g und h auf derselben Seite → β = 70°
So richtig
Nachbarwinkel ergänzen sich: β = 180° − 70° = 110°

Nur Stufen- und Wechselwinkel sind gleich groß. Liegen beide Winkel zwischen den Parallelen auf derselben Seite, ergänzen sie sich zu 180°.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zwei parallele Geraden werden von s geschnitten. α liegt an h links oben und misst 40°. Berechne β.
    ghsα = 40°β
    So fängst du an:
    α und β liegen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von s: Wechselwinkel.
    Lösung zeigen
    1. α und β liegen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von s: Wechselwinkel.
    2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 40°
    Ergebnis:
    β = 40°
  2. ●2
    Die Geraden g und h sind parallel. Der Winkel α ist 115° groß. Wie groß ist β?
    ghsα = 115°β
    Lösung zeigen
    1. α und β liegen an g und h an derselben Stelle: Stufenwinkel.
    2. Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 115°
    Ergebnis:
    β = 115°
  3. ★3
    Zwei parallele Geraden werden von s geschnitten. α liegt an h rechts unten und misst 120°. Berechne β.
    ghsα = 120°β
    Lösung zeigen
    1. Der Stufenwinkel zu α am anderen Schnittpunkt ist auch 120°.
    2. β ist sein Nebenwinkel: β = 180° − 120° = 60°
    Ergebnis:
    β = 60°

2Ich berechne die Innenwinkelsumme von Vielecken durch Zerlegen in Dreiecke.

EntdeckenFrage

Warum bauen Bienen ihre Waben aus Sechsecken und nicht aus Achtecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ohne Lücken passen nur regelmäßige Vielecke zusammen, deren Innenwinkel 360° genau teilt: Dreiecke mit 60°, Quadrate mit 90°, Sechsecke mit 120°. Das Achteck hat 135°, drei davon sind zu viel, zwei zu wenig. Das Sechseck ist davon die rundeste Form.

Ausprobieren: Winkel ziehen und Winkelsumme

Einen Schenkel drehen und die Winkelart ablesen – oder die Spitze eines Dreiecks ziehen und die Summe beobachten.

MerkenWinkelsumme im Vieleck

Von einer Ecke aus zerfällt ein Vieleck mit n Ecken in n − 2 Dreiecke.

Deshalb ist seine Winkelsumme (n − 2) · 180°. Ein Fünfeck hat 3 · 180° = 540°.

BeispielInnenwinkelsumme im Vieleck

Zerlege ein Achteck von einer Ecke aus in Dreiecke. Wie groß ist die Summe seiner Innenwinkel?
Schritt für Schritt
  1. Von einer Ecke aus entstehen 8 − 2 = 6 Dreiecke.
  2. Jedes Dreieck hat 180°: 6 · 180° = 1080°
  1. Von einer Ecke aus entstehen 8 − 2 = 6 Dreiecke.
  2. Jedes Dreieck hat 180°: 6 · 180° = 1080°
Ergebnis:
1080°

AchtungWinkelsumme mit Eckenzahl mal 180° gerechnet

So nicht
Sechseck: 6 · 180° = 1080°
So richtig
Sechseck: 4 Dreiecke → 4 · 180° = 720°

Von einer Ecke aus entstehen nur n − 2 Dreiecke. Zeichne die Diagonalen ein und zähle die Dreiecke.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Viereck hat die Innenwinkel 95°, 64°, 47° und einen unbekannten Winkel. Wie groß ist er?
    gegebengesucht95 °64 °47 °?
    So fängst du an:
    Winkelsumme: 2 · 180° = 360°. Bekannt: 95 + 64 + 47 = 206
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme: 2 · 180° = 360°. Bekannt: 95 + 64 + 47 = 206
    2. Fehlender Winkel: 360° − 206° = 154°
    Ergebnis:
    154°
  2. ●5
    Ein Fünfeck hat die Innenwinkel 97°, 136°, 106°, 147° und einen unbekannten Winkel. Wie groß ist er?
    gegebengesucht97 °136 °106 °147 °?
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme: 3 · 180° = 540°. Bekannt: 97 + 136 + 106 + 147 = 486
    2. Fehlender Winkel: 540° − 486° = 54°
    Ergebnis:
    54°
  3. ★6
    Noah sagt: „Ein Siebeneck hat 7 Ecken, also ist seine Winkelsumme 7 · 180° = 1260°.“ Stimmt das? Begründe.
    gegebengesucht7 Ecken180 °1260 °?
    Lösung zeigen
    1. Von einer Ecke aus entstehen nur 5 Dreiecke, nicht 7.
    2. 5 · 180° = 900°, nicht 1260°
    Ergebnis:
    Nein, 900°

3Ich berechne Innen- und Außenwinkel regelmäßiger Vielecke.

EntdeckenFrage

Wie groß ist jeder Winkel im Stoppschild?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck, damit man es auch von hinten an seiner Form erkennt. Ein Achteck zerfällt in 6 Dreiecke, also 6 · 180° = 1080°. Jeder der acht gleichen Winkel misst 1080° : 8 = 135°.

MerkenRegelmäßige Vielecke

Im regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.

Ein Außenwinkel ist 360° durch die Eckenzahl, im Sechseck 60°. Der Innenwinkel ist dann 180° − 60° = 120°.

BeispielInnen- und Außenwinkel regelmäßiger Vielecke

Ein Roboter fährt die Kanten eines regelmäßigen Neunecks ab. Um wie viel Grad dreht er sich an jeder Ecke?
Schritt für Schritt
  1. Einmal herum dreht er sich insgesamt um 360°.
  2. An jeder der 9 Ecken gleich viel: 360° : 9 = 40°
  1. Einmal herum dreht er sich insgesamt um 360°.
  2. An jeder der 9 Ecken gleich viel: 360° : 9 = 40°
Ergebnis:
40°

AchtungInnenwinkel und Außenwinkel verwechselt

So nicht
Regelmäßiges Zehneck: Innenwinkel = 360° : 10 = 36°
So richtig
Außenwinkel = 360° : 10 = 36° → Innenwinkel = 180° − 36° = 144°

Der Außenwinkel ist die Drehung an der Ecke: 360° durch die Eckenzahl. Der Innenwinkel ist 180° minus Außenwinkel.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie groß ist ein Innenwinkel im regelmäßigen Sechseck?
    ?
    So fängst du an:
    Winkelsumme: 4 · 180° = 720°
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme: 4 · 180° = 720°
    2. Alle 6 Winkel sind gleich: 720° : 6 = 120°
    Ergebnis:
    120°
  2. ●8
    Ein Roboter fährt die Kanten eines regelmäßigen Achtecks ab. Um wie viel Grad dreht er sich an jeder Ecke?
    Lösung zeigen
    1. Einmal herum dreht er sich insgesamt um 360°.
    2. An jeder der 8 Ecken gleich viel: 360° : 8 = 45°
    Ergebnis:
    45°
  3. ★9
    Ein Roboter fährt die Kanten eines regelmäßigen 18-Ecks ab. Um wie viel Grad dreht er sich an jeder Ecke?
    Lösung zeigen
    1. Einmal herum dreht er sich insgesamt um 360°.
    2. An jeder der 18 Ecken gleich viel: 360° : 18 = 20°
    Ergebnis:
    20°

4Ich zeichne Höhen in Dreiecken und berechne den Flächeninhalt mit jeder Höhe.

EntdeckenFrage

Wie findet man mit einem Blatt Papier die Mitte eines runden Tellers?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man legt die rechtwinklige Ecke des Blattes auf den Tellerrand. Wo die beiden Kanten den Rand schneiden, liegen die Enden eines Durchmessers – das sagt der Satz des Thales. Mit einem zweiten Durchmesser ist die Mitte ihr Schnittpunkt.

Ausprobieren: Flächen zerlegen und verschieben

Ein Dreieck abschneiden und verschieben: Aus dem Parallelogramm wird ein Rechteck, aus zwei Dreiecken ein Parallelogramm.

MerkenHöhe und Flächeninhalt

Die Höhe führt von einer Ecke senkrecht zur Gegenseite.

Sie kann auch außen liegen. Jede Seite kann Grundseite sein: A = g · h : 2.

BeispielHöhe und Flächeninhalt im Dreieck

Ein Dreieck hat die Grundseite c = 8 cm, die Höhe auf c ist 9 cm lang. Berechne seinen Flächeninhalt.
8 cm9 cmABC
Schritt für Schritt
  1. Flächeninhalt = Grundseite · Höhe : 2
  2. 8 · 9 : 2 = 36
  1. Flächeninhalt = Grundseite · Höhe : 2
  2. 8 · 9 : 2 = 36
Ergebnis:
36 cm²

AchtungSchräge Seite statt Höhe eingesetzt

So nicht
Grundseite 4 cm, schräge Seite 6 cm, Höhe 5 cm → 4 · 6 : 2 = 12 cm²
So richtig
Grundseite 4 cm, Höhe 5 cm → 4 · 5 : 2 = 10 cm²

Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite oder ihrer Verlängerung. Eine schräge Seite ist immer länger.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 25 cm². Seine Grundseite ist 10 cm lang. Wie lang ist die zugehörige Höhe?
    10 cm?ABC
    So fängst du an:
    Grundseite · Höhe = 2 · 25 = 50
    Lösung zeigen
    1. Grundseite · Höhe = 2 · 25 = 50
    2. Höhe = 50 : 10 = 5
    Ergebnis:
    5 cm
  2. ●11
    Das Dreieck ABC ist stumpfwinklig. Die Grundseite AB ist 4 cm lang, die Seite AC 7,8 cm. Die Höhe von C auf die verlängerte Seite AB ist 5 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    4 cm5 cmABC
    Lösung zeigen
    1. Die Höhe steht senkrecht auf der Verlängerung von AB: h = 5 cm, nicht die schräge Seite.
    2. 4 · 5 : 2 = 10
    Ergebnis:
    10 cm²
  3. ★12
    Das Dreieck ABC ist stumpfwinklig. Die Grundseite AB ist 3 cm lang, die Seite AC 7,1 cm. Die Höhe von C auf die verlängerte Seite AB ist 5 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    3 cm5 cmABC
    Lösung zeigen
    1. Die Höhe steht senkrecht auf der Verlängerung von AB: h = 5 cm, nicht die schräge Seite.
    2. 3 · 5 : 2 = 7,5
    Ergebnis:
    7,5 cm²

5Ich zeichne Seitenhalbierende und finde den Schwerpunkt.

EntdeckenFrage

Wo muss man ein Pappdreieck auf die Bleistiftspitze setzen, damit es nicht kippt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Schwerpunkt. Dort schneiden sich die drei Seitenhalbierenden. Er teilt jede im Verhältnis 2 : 1 von der Ecke aus. Wer die Seitenhalbierenden einzeichnet, findet den Punkt ohne Probieren.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenSeitenhalbierende und Schwerpunkt

Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Alle drei schneiden sich im Schwerpunkt S. S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gezählt.

BeispielSeitenhalbierende und Schwerpunkt: 2 zu 1

Die Seitenhalbierende von A zur Mitte der Seite BC ist 12 cm lang. Wie weit ist der Schwerpunkt S von A entfernt?
Schritt für Schritt
  1. S teilt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gesehen.
  2. 12 : 3 = 4, zwei Teile: 2 · 4 = 8
  1. S teilt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gesehen.
  2. 12 : 3 = 4, zwei Teile: 2 · 4 = 8
Ergebnis:
8 cm

AchtungSchwerpunkt in die Mitte der Seitenhalbierenden gelegt

So nicht
Seitenhalbierende 12 cm → S liegt 6 cm von der Ecke entfernt
So richtig
Seitenhalbierende 12 cm → 2 : 1 → S liegt 8 cm von der Ecke entfernt

S teilt die Seitenhalbierende 2 : 1. Von der Ecke bis S sind es zwei Drittel, bis zur Seitenmitte ein Drittel.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Seitenhalbierende von A zur Mitte der Seite BC ist 9 cm lang. Wie weit ist der Schwerpunkt S von A entfernt?
    So fängst du an:
    S teilt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gesehen.
    Lösung zeigen
    1. S teilt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gesehen.
    2. 9 : 3 = 3, zwei Teile: 2 · 3 = 6
    Ergebnis:
    6 cm
  2. ●14
    Im Dreieck ABC ist der Schwerpunkt S 4 cm von der Ecke C entfernt. Wie lang ist die ganze Seitenhalbierende von C aus?
    Lösung zeigen
    1. Von C bis S sind zwei der drei gleichen Teile: 4 : 2 = 2
    2. Ganze Länge: 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 cm
  3. ★15
    Im Dreieck ABC ist der Schwerpunkt S 14 cm von der Ecke C entfernt. Wie lang ist die ganze Seitenhalbierende von C aus?
    Lösung zeigen
    1. Von C bis S sind zwei der drei gleichen Teile: 14 : 2 = 7
    2. Ganze Länge: 3 · 7 = 21
    Ergebnis:
    21 cm

6Ich nutze den Satz des Thales.

EntdeckenFrage

Warum besteht der klassische Fußball aus Fünfecken und Sechsecken und nicht nur aus Sechsecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

An jeder Ecke treffen drei Flächen zusammen. Drei Sechsecke haben zusammen 3 · 120° = 360° und liegen flach wie eine Wabe. Mit einem Fünfeck sind es 108° + 120° + 120° = 348°, dann wölbt sich die Fläche. Deshalb braucht der Ball 12 Fünfecke zu seinen 20 Sechsecken.

MerkenSatz des Thales

Liegt C auf dem Halbkreis über AB, ist der Winkel bei C ein rechter.

Der Mittelpunkt ist die Mitte von AB. Umgekehrt gilt das auch.

BeispielSatz des Thales anwenden

Die Strecke AB ist 18 cm lang. Ein Punkt C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Wie groß ist der Winkel bei C, und wie weit ist C von der Mitte M entfernt?
MABC?
Schritt für Schritt
  1. Auf dem Thaleskreis ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
  2. Der Radius ist die halbe Strecke AB: 18 : 2 = 9
  1. Auf dem Thaleskreis ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
  2. Der Radius ist die halbe Strecke AB: 18 : 2 = 9
Ergebnis:
90°, 9 cm

AchtungRechten Winkel an der falschen Ecke gesucht

So nicht
C auf dem Halbkreis über AB, α = 30° → α ist der rechte Winkel
So richtig
C auf dem Halbkreis → γ = 90°, β = 180° − 90° − 30° = 60°

Der rechte Winkel liegt bei C auf dem Halbkreis, nicht bei A oder B auf dem Durchmesser.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Strecke AB ist 8 cm lang. Ein Punkt C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Wie groß ist der Winkel bei C, und wie weit ist C von der Mitte M entfernt?
    MABC?
    So fängst du an:
    Auf dem Thaleskreis ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
    Lösung zeigen
    1. Auf dem Thaleskreis ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
    2. Der Radius ist die halbe Strecke AB: 8 : 2 = 4
    Ergebnis:
    90°, 4 cm
  2. ●17
    C liegt auf dem Halbkreis über AB. Der Winkel bei A ist 26° groß. Wie groß ist der Winkel bei B?
    MABC26°?
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
    2. Winkel bei B: 180° − 90° − 26° = 64°
    Ergebnis:
    64°
  3. ★18
    C liegt auf dem Halbkreis über AB. Der Winkel bei A ist 44° groß. Wie groß ist der Winkel bei B?
    MABC44°?
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
    2. Winkel bei B: 180° − 90° − 44° = 46°
    Ergebnis:
    46°

7Ich berechne Winkel in zusammengesetzten Figuren und begründe jeden Schritt.

EntdeckenFrage

Wie spitz ist jede Zacke eines fünfzackigen Sterns, den man in einem Zug zeichnet?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In der Mitte des Sterns liegt ein regelmäßiges Fünfeck mit Innenwinkeln von 108°. Daneben liegen Nebenwinkel von 180° − 108° = 72°. Jede Zacke ist ein Dreieck mit zwei solchen Winkeln. Also bleiben für die Spitze 180° − 144° = 36°.

MerkenWinkeljagd

Jeder gesuchte Winkel bekommt einen Grund.

Nebenwinkel, Stufenwinkel, Winkelsumme oder Basiswinkel stehen mit im Heft. Gemessen wird nicht.

BeispielWinkeljagd in zusammengesetzten Figuren

Die Seite AC ist über C hinaus verlängert. Der Winkel bei A misst 37°, der Winkel außen bei C misst 100°. Wie groß ist β?
37°100°βABC
Schritt für Schritt
  1. γ ist Nebenwinkel des Außenwinkels: γ = 180° − 100° = 80°
  2. Winkelsumme im Dreieck: β = 180° − 37° − 80° = 63°
  1. γ ist Nebenwinkel des Außenwinkels: γ = 180° − 100° = 80°
  2. Winkelsumme im Dreieck: β = 180° − 37° − 80° = 63°
Ergebnis:
β = 63°

AchtungWinkel aus dem Bild geschätzt statt begründet

So nicht
Außenwinkel bei C 110°, α = 50° → β sieht aus wie 70°, also β = 70°
So richtig
γ = 180° − 110° = 70° (Nebenwinkel) → β = 180° − 50° − 70° = 60° (Winkelsumme)

Nenne zu jedem Schritt den Satz: Nebenwinkel, Stufenwinkel, Winkelsumme. Das Bild ist nur eine Skizze.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    ABCD ist ein Parallelogramm. Der Winkel bei A misst 59°. Wie groß ist der Winkel bei D? Begründe.
    59°?ABCD
    So fängst du an:
    Benachbarte Winkel im Parallelogramm sind Nachbarwinkel an Parallelen.
    Lösung zeigen
    1. Benachbarte Winkel im Parallelogramm sind Nachbarwinkel an Parallelen.
    2. Sie ergänzen sich zu 180°: 180° − 59° = 121°
    Ergebnis:
    121°
  2. ●20
    Die Seite AC ist über C hinaus verlängert. Der Winkel bei A misst 32°, der Winkel außen bei C misst 104°. Wie groß ist β?
    32°104°βABC
    Lösung zeigen
    1. γ ist Nebenwinkel des Außenwinkels: γ = 180° − 104° = 76°
    2. Winkelsumme im Dreieck: β = 180° − 32° − 76° = 72°
    Ergebnis:
    β = 72°
  3. ★21
    Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit AC = BC, der Winkel bei C misst 92°. Durch C läuft eine Parallele p zu AB. Wie groß ist der Winkel δ zwischen p und CB?
    p92°δABC
    Lösung zeigen
    1. Basiswinkel: (180° − 92°) : 2 = 44°
    2. δ und der Winkel bei B sind Wechselwinkel an p ∥ AB: δ = 44°
    Ergebnis:
    δ = 44°

8Ich entscheide, ob Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen.

EntdeckenFrage

Warum wackelt ein Regal nicht mehr, wenn man hinten eine schräge Latte anschraubt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Rechteck mit vier festen Seiten kann sich noch zum schiefen Parallelogramm verschieben. Die schräge Latte teilt es in zwei Dreiecke. Ein Dreieck mit drei festen Seiten ist eindeutig festgelegt und kann seine Form nicht ändern.

MerkenKongruenzsätze

SSS, SWS, WSW und SsW legen ein Dreieck eindeutig fest.

Bei SsW liegt der Winkel der längeren Seite gegenüber. Drei Winkel legen nur die Form fest.

BeispielIst das Dreieck eindeutig festgelegt?

Legen die Angaben c = 7 cm, α = 52°, β = 31° ein Dreieck eindeutig fest? Nenne gegebenenfalls den Kongruenzsatz.
gegebengesucht7 cm52 °31 °?
Schritt für Schritt
  1. Eine Seite und die beiden Winkel an ihr.
  2. Kongruenzsatz WSW: Das Dreieck ist eindeutig.
  1. Eine Seite und die beiden Winkel an ihr.
  2. Kongruenzsatz WSW: Das Dreieck ist eindeutig.
Ergebnis:
eindeutig (WSW)

AchtungSsW mit dem Winkel an der kürzeren Seite für eindeutig gehalten

So nicht
a = 5 cm, c = 8 cm, α = 30° → SsW, eindeutig
So richtig
α liegt der kürzeren Seite a gegenüber → zwei Dreiecke möglich, nicht eindeutig

Liegt der Winkel der kürzeren Seite gegenüber, passen oft zwei verschiedene Dreiecke. Nur die längere Seite macht es eindeutig.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Kann man mit a = 2 cm, b = 4 cm, c = 9 cm genau ein Dreieck konstruieren? Begründe.
    gegebengesucht2 cm4 cm9 cm?
    So fängst du an:
    2 + 4 = 6 ist nicht größer als 9.
    Lösung zeigen
    1. 2 + 4 = 6 ist nicht größer als 9.
    2. Es gibt kein solches Dreieck.
    Ergebnis:
    nicht möglich
  2. ●23
    Kann man mit c = 4 cm, α = 43°, β = 43° genau ein Dreieck konstruieren? Begründe.
    gegebengesucht4 cm43 °?
    Lösung zeigen
    1. Eine Seite und die beiden Winkel an ihr.
    2. Kongruenzsatz WSW: Das Dreieck ist eindeutig.
    Ergebnis:
    eindeutig (WSW)
  3. ★24
    Kann man mit a = 5 cm, c = 8 cm, α = 30° genau ein Dreieck konstruieren? Begründe.
    gegebengesucht5 cm8 cm30 °?
    Lösung zeigen
    1. α liegt der kürzeren Seite gegenüber: Es passen zwei verschiedene Dreiecke.
    2. Es gibt mehr als ein solches Dreieck.
    Ergebnis:
    nicht eindeutig

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    g ∥ h. Gegeben ist α = 75°. Bestimme β und nenne die Winkelbeziehung, die du benutzt.
    ghsα = 75°β
    Lösung zeigen
    1. α und β liegen an g und h an derselben Stelle: Stufenwinkel.
    2. Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 75°
    Ergebnis:
    β = 75°
  2. ●26
    α misst 130°. Welcher Name passt zu α und β, und wie groß ist β?
    ghsαβ
    Lösung zeigen
    1. Beide liegen zwischen g und h, auf verschiedenen Seiten von s.
    2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 130°
    Ergebnis:
    Wechselwinkel, β = 130°
  3. ●27
    Ein Fünfeck hat die Innenwinkel 129°, 94°, 118°, 98° und einen unbekannten Winkel. Wie groß ist er?
    gegebengesucht129 °94 °118 °98 °?
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme: 3 · 180° = 540°. Bekannt: 129 + 94 + 118 + 98 = 439
    2. Fehlender Winkel: 540° − 439° = 101°
    Ergebnis:
    101°
  4. ●28
    Im Bild ist ein Fünfeck von einer Ecke aus zerlegt. Warum ist die Summe seiner Innenwinkel 540°?
    Lösung zeigen
    1. Es entstehen 3 Dreiecke, ihre Winkel bilden zusammen die Innenwinkel.
    2. 3 · 180° = 540°
    Ergebnis:
    3 Dreiecke mit je 180°
  5. ●29
    Wie groß ist ein Innenwinkel im regelmäßigen Neuneck?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme: 7 · 180° = 1260°
    2. Alle 9 Winkel sind gleich: 1260° : 9 = 140°
    Ergebnis:
    140°
  6. ●30
    Ein Dreieck hat die Grundseite c = 7 cm, die Höhe auf c ist 2 cm lang. Berechne seinen Flächeninhalt.
    7 cm2 cmABC
    Lösung zeigen
    1. Flächeninhalt = Grundseite · Höhe : 2
    2. 7 · 2 : 2 = 7
    Ergebnis:
    7 cm²

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Stufenwinkel und Wechselwinkel
An geschnittenen Parallelen sind Stufenwinkel und Wechselwinkel gleich groß.
Winkelsumme im Vieleck
Von einer Ecke aus zerfällt ein Vieleck mit n Ecken in n − 2 Dreiecke.
Regelmäßige Vielecke
Im regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.
Höhe und Flächeninhalt
Die Höhe führt von einer Ecke senkrecht zur Gegenseite.
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.
Satz des Thales
Liegt C auf dem Halbkreis über AB, ist der Winkel bei C ein rechter.
Winkeljagd
Jeder gesuchte Winkel bekommt einen Grund.
Kongruenzsätze
SSS, SWS, WSW und SsW legen ein Dreieck eindeutig fest.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne Winkel an geschnittenen Parallelen mit Stufen- und Wechselwinkeln.

    31
    Zwei parallele Geraden werden von s geschnitten. α liegt an g rechts unten und misst 60°. Berechne β.
    ghsα = 60°β
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    β = 60°

  2. Ich berechne die Innenwinkelsumme von Vielecken durch Zerlegen in Dreiecke.

    32
    Zerlege ein Sechseck von einer Ecke aus in Dreiecke. Wie groß ist die Summe seiner Innenwinkel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    720°

  3. Ich berechne Innen- und Außenwinkel regelmäßiger Vielecke.

    33
    Wie groß ist ein Innenwinkel im regelmäßigen Viereck?
    ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90°

  4. Ich zeichne Höhen in Dreiecken und berechne den Flächeninhalt mit jeder Höhe.

    34
    Das Dreieck ABC ist stumpfwinklig. Die Grundseite AB ist 5 cm lang, die Seite AC 10 cm. Die Höhe von C auf die verlängerte Seite AB ist 6 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    5 cm6 cmABC
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 cm²

  5. Ich zeichne Seitenhalbierende und finde den Schwerpunkt.

    35
    Die Seite BC hat die Endpunkte B(6 | 1) und C(0 | 5). Wo liegt ihre Mitte, der Fußpunkt der Seitenhalbierenden von A?
    2468102468BC?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    M(3 | 3)

  6. Ich nutze den Satz des Thales.

    36
    C liegt auf dem Halbkreis über AB. Der Winkel bei A ist 43° groß. Wie groß ist der Winkel bei B?
    MABC43°?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47°

  7. Ich berechne Winkel in zusammengesetzten Figuren und begründe jeden Schritt.

    37
    Die Seite AC ist über C hinaus verlängert. Der Winkel bei A misst 31°, der Winkel außen bei C misst 89°. Wie groß ist β?
    31°89°βABC
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    β = 58°

  8. Ich entscheide, ob Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen.

    38
    Legen die Angaben a = 3 cm, b = 4 cm, c = 7 cm ein Dreieck eindeutig fest? Nenne gegebenenfalls den Kongruenzsatz.
    gegebengesucht3 cm4 cm7 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht möglich

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Eine Gerade schneidet zwei parallele Geraden. Ein Winkel ist mit 65° angegeben. Bestimme alle anderen sieben Winkel, ohne Geodreieck.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Sätze über Stufenwinkel und Wechselwinkel an Parallelen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Fliesenmuster, Straßenkreuzungen, das Pappdreieck auf der Bleistiftspitze. Beruf: Tischlerei und Dachdeckerei (Gehrung, Sparren), Vermessung, Metallbau.

Wörter

Flächeninhalt
wie viel Platz innen drin ist
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zeichnen und Konstruieren, Flächeninhalt und Volumen

Darauf baut auf: Satz des Pythagoras, Ähnlichkeit und Strahlensätze

Lösungen

  1. β = 40°
  2. β = 115°
  3. β = 60°
  4. 154°
  5. 54°
  6. Nein, 900°
  7. 120°
  8. 45°
  9. 20°
  10. 5 cm
  11. 10 cm²
  12. 7,5 cm²
  13. 6 cm
  14. 6 cm
  15. 21 cm
  16. 90°, 4 cm
  17. 64°
  18. 46°
  19. 121°
  20. β = 72°
  21. δ = 44°
  22. nicht möglich
  23. eindeutig (WSW)
  24. nicht eindeutig
  25. β = 75°
  26. Wechselwinkel, β = 130°
  27. 101°
  28. 3 Dreiecke mit je 180°
  29. 140°
  30. 7 cm²
  31. β = 60°
  32. 720°
  33. 90°
  34. 15 cm²
  35. M(3 | 3)
  36. 47°
  37. β = 58°
  38. nicht möglich
  39. 59°
  40. 32°