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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Dreiecke und Vielecke: Winkel und besondere Linien

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Eine Gerade schneidet zwei parallele Geraden. Ein Winkel ist mit 65° angegeben. Bestimme alle anderen sieben Winkel, ohne Geodreieck.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Am ersten Schnittpunkt kommen alle mit Neben- und Scheitelwinkel weiter. Am zweiten Schnittpunkt fehlt der Anschluss: Einige behaupten, unten sei alles wie oben, können es aber nicht begründen. Die untere Kreuzung ist die obere, nur verschoben. Beim Verschieben ändert sich kein Winkel. Winkel an derselben Stelle heißen Stufenwinkel und sind gleich groß – damit sind alle acht bestimmt.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Nebenwinkel und die drei Dreieckswinkel ergeben je 180°.

  1. ●39
    Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 83°. Berechne seinen Nebenwinkel.
    Lösung zeigen
    1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
    2. 180° − 83° = 97°
    Ergebnis:
    97°
  2. ●40
    In einem Dreieck sind α = 46° und β = 70°. Berechne γ.
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
    2. γ = 180° − 46° − 70° = 64°
    Ergebnis:
    64°

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenWinkel folgen auseinander

Winkel in einer Figur hängen zusammen. Kennt man einen, folgen andere aus Sätzen: Nebenwinkel, Stufenwinkel, Winkelsumme. Man misst nicht, man begründet. Jedes Vieleck lässt sich in Dreiecke zerlegen, und jedes Dreieck hat 180°.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Kinder messen im selben Sechseck verschiedene Winkel und bekommen 716° und 723° als Summe. Warum muss die Summe trotzdem genau 720° sein?

1Ich berechne Winkel an geschnittenen Parallelen mit Stufen- und Wechselwinkeln.

EntdeckenFrage

Eine Straße kreuzt zwei parallele Straßen schräg. Warum sind beide Kreuzungen gleich spitz?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die zweite Kreuzung ist die erste, nur entlang der schrägen Straße verschoben. Beim Verschieben ändert sich kein Winkel. Deshalb sind Stufenwinkel an Parallelen gleich groß, an jeder Kreuzung dieselben Winkel.

MerkenStufenwinkel und Wechselwinkel

An geschnittenen Parallelen sind Stufenwinkel und Wechselwinkel gleich groß.

Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°. Aus 65° folgt also 65° oder 115°.

BeispielWinkel an geschnittenen Parallelen berechnen

Die Geraden g und h sind parallel. Der Winkel α ist 130° groß. Wie groß ist β?
ghsα = 130°β
Schritt für Schritt
  1. α und β liegen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von s: Wechselwinkel.
  2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 130°
  1. α und β liegen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von s: Wechselwinkel.
  2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 130°
Ergebnis:
β = 130°

AchtungNachbarwinkel für gleich groß gehalten

So nicht
g ∥ h; α = 70° und β liegen zwischen g und h auf derselben Seite → β = 70°
So richtig
Nachbarwinkel ergänzen sich: β = 180° − 70° = 110°

Nur Stufen- und Wechselwinkel sind gleich groß. Liegen beide Winkel zwischen den Parallelen auf derselben Seite, ergänzen sie sich zu 180°.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    g ∥ h. Gegeben ist α = 110°. Bestimme β und nenne die Winkelbeziehung, die du benutzt.
    ghsα = 110°β
    So fängst du an:
    α und β liegen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von s: Wechselwinkel.
    Lösung zeigen
    1. α und β liegen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von s: Wechselwinkel.
    2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 110°
    Ergebnis:
    β = 110°
  2. ●2
    Die Geraden g und h sind parallel. Der Winkel α ist 105° groß. Wie groß ist β?
    ghsα = 105°β
    Lösung zeigen
    1. α und β liegen an g und h an derselben Stelle: Stufenwinkel.
    2. Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 105°
    Ergebnis:
    β = 105°
  3. ★3
    Zwei parallele Geraden werden von s geschnitten. α liegt an g rechts unten und misst 55°. Berechne β.
    ghsα = 55°β
    Lösung zeigen
    1. α und β liegen an g und h an derselben Stelle: Stufenwinkel.
    2. Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 55°
    Ergebnis:
    β = 55°

2Ich berechne die Innenwinkelsumme von Vielecken durch Zerlegen in Dreiecke.

EntdeckenFrage

Warum bauen Bienen ihre Waben aus Sechsecken und nicht aus Achtecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ohne Lücken passen nur regelmäßige Vielecke zusammen, deren Innenwinkel 360° genau teilt: Dreiecke mit 60°, Quadrate mit 90°, Sechsecke mit 120°. Das Achteck hat 135°, drei davon sind zu viel, zwei zu wenig. Das Sechseck ist davon die rundeste Form.

MerkenWinkelsumme im Vieleck

Von einer Ecke aus zerfällt ein Vieleck mit n Ecken in n − 2 Dreiecke.

Deshalb ist seine Winkelsumme (n − 2) · 180°. Ein Fünfeck hat 3 · 180° = 540°.

BeispielInnenwinkelsumme im Vieleck

Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Neuneck?
Schritt für Schritt
  1. Von einer Ecke aus entstehen 9 − 2 = 7 Dreiecke.
  2. Jedes Dreieck hat 180°: 7 · 180° = 1260°
  1. Von einer Ecke aus entstehen 9 − 2 = 7 Dreiecke.
  2. Jedes Dreieck hat 180°: 7 · 180° = 1260°
Ergebnis:
1260°

AchtungWinkelsumme mit Eckenzahl mal 180° gerechnet

So nicht
Sechseck: 6 · 180° = 1080°
So richtig
Sechseck: 4 Dreiecke → 4 · 180° = 720°

Von einer Ecke aus entstehen nur n − 2 Dreiecke. Zeichne die Diagonalen ein und zähle die Dreiecke.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zerlege ein Sechseck von einer Ecke aus in Dreiecke. Wie groß ist die Summe seiner Innenwinkel?
    So fängst du an:
    Von einer Ecke aus entstehen 6 − 2 = 4 Dreiecke.
    Lösung zeigen
    1. Von einer Ecke aus entstehen 6 − 2 = 4 Dreiecke.
    2. Jedes Dreieck hat 180°: 4 · 180° = 720°
    Ergebnis:
    720°
  2. ●5
    Ein Fünfeck hat die Innenwinkel 108°, 109°, 65°, 135° und einen unbekannten Winkel. Wie groß ist er?
    gegebengesucht108 °109 °65 °135 °?
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme: 3 · 180° = 540°. Bekannt: 108 + 109 + 65 + 135 = 417
    2. Fehlender Winkel: 540° − 417° = 123°
    Ergebnis:
    123°
  3. ★6
    Sara sagt: „Ein Sechseck hat 6 Ecken, also ist seine Winkelsumme 6 · 180° = 1080°.“ Stimmt das? Begründe.
    gegebengesucht6 Ecken180 °1080 °?
    Lösung zeigen
    1. Von einer Ecke aus entstehen nur 4 Dreiecke, nicht 6.
    2. 4 · 180° = 720°, nicht 1080°
    Ergebnis:
    Nein, 720°

3Ich berechne Innen- und Außenwinkel regelmäßiger Vielecke.

EntdeckenFrage

Wie groß ist jeder Winkel im Stoppschild?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck, damit man es auch von hinten an seiner Form erkennt. Ein Achteck zerfällt in 6 Dreiecke, also 6 · 180° = 1080°. Jeder der acht gleichen Winkel misst 1080° : 8 = 135°.

MerkenRegelmäßige Vielecke

Im regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.

Ein Außenwinkel ist 360° durch die Eckenzahl, im Sechseck 60°. Der Innenwinkel ist dann 180° − 60° = 120°.

BeispielInnen- und Außenwinkel regelmäßiger Vielecke

Wie groß ist ein Innenwinkel im regelmäßigen Fünfeck?
?
Schritt für Schritt
  1. Winkelsumme: 3 · 180° = 540°
  2. Alle 5 Winkel sind gleich: 540° : 5 = 108°
  1. Winkelsumme: 3 · 180° = 540°
  2. Alle 5 Winkel sind gleich: 540° : 5 = 108°
Ergebnis:
108°

AchtungInnenwinkel und Außenwinkel verwechselt

So nicht
Regelmäßiges Zehneck: Innenwinkel = 360° : 10 = 36°
So richtig
Außenwinkel = 360° : 10 = 36° → Innenwinkel = 180° − 36° = 144°

Der Außenwinkel ist die Drehung an der Ecke: 360° durch die Eckenzahl. Der Innenwinkel ist 180° minus Außenwinkel.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Roboter fährt die Kanten eines regelmäßigen Zwölfecks ab. Um wie viel Grad dreht er sich an jeder Ecke?
    So fängst du an:
    Einmal herum dreht er sich insgesamt um 360°.
    Lösung zeigen
    1. Einmal herum dreht er sich insgesamt um 360°.
    2. An jeder der 12 Ecken gleich viel: 360° : 12 = 30°
    Ergebnis:
    30°
  2. ●8
    Wie groß ist ein Innenwinkel im regelmäßigen Viereck?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme: 2 · 180° = 360°
    2. Alle 4 Winkel sind gleich: 360° : 4 = 90°
    Ergebnis:
    90°
  3. ★9
    Ein regelmäßiges Vieleck hat Außenwinkel von 45°. Wie viele Ecken hat es, und wie groß ist ein Innenwinkel?
    Lösung zeigen
    1. Ecken: 360° : 45° = 8
    2. Innenwinkel und Außenwinkel ergänzen sich: 180° − 45° = 135°
    Ergebnis:
    8 Ecken, Innenwinkel 135°

4Ich zeichne Höhen in Dreiecken und berechne den Flächeninhalt mit jeder Höhe.

EntdeckenFrage

Wie findet man mit einem Blatt Papier die Mitte eines runden Tellers?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man legt die rechtwinklige Ecke des Blattes auf den Tellerrand. Wo die beiden Kanten den Rand schneiden, liegen die Enden eines Durchmessers – das sagt der Satz des Thales. Mit einem zweiten Durchmesser ist die Mitte ihr Schnittpunkt.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenHöhe und Flächeninhalt

Die Höhe führt von einer Ecke senkrecht zur Gegenseite.

Sie kann auch außen liegen. Jede Seite kann Grundseite sein: A = g · h : 2.

BeispielHöhe und Flächeninhalt im Dreieck

Das Dreieck ABC ist stumpfwinklig. Die Grundseite AB ist 5 cm lang, die Seite AC 9,2 cm. Die Höhe von C auf die verlängerte Seite AB ist 6 cm. Berechne den Flächeninhalt.
5 cm6 cmABC
Schritt für Schritt
  1. Die Höhe steht senkrecht auf der Verlängerung von AB: h = 6 cm, nicht die schräge Seite.
  2. 5 · 6 : 2 = 15
  1. Die Höhe steht senkrecht auf der Verlängerung von AB: h = 6 cm, nicht die schräge Seite.
  2. 5 · 6 : 2 = 15
Ergebnis:
15 cm²

AchtungSchräge Seite statt Höhe eingesetzt

So nicht
Grundseite 4 cm, schräge Seite 6 cm, Höhe 5 cm → 4 · 6 : 2 = 12 cm²
So richtig
Grundseite 4 cm, Höhe 5 cm → 4 · 5 : 2 = 10 cm²

Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite oder ihrer Verlängerung. Eine schräge Seite ist immer länger.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Dreieck ABC ist stumpfwinklig. Die Grundseite AB ist 6 cm lang, die Seite AC 10 cm. Die Höhe von C auf die verlängerte Seite AB ist 6 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    6 cm6 cmABC
    So fängst du an:
    Die Höhe steht senkrecht auf der Verlängerung von AB: h = 6 cm, nicht die schräge Seite.
    Lösung zeigen
    1. Die Höhe steht senkrecht auf der Verlängerung von AB: h = 6 cm, nicht die schräge Seite.
    2. 6 · 6 : 2 = 18
    Ergebnis:
    18 cm²
  2. ●11
    Ein Dreieck hat die Grundseite c = 12 cm, die Höhe auf c ist 4 cm lang. Berechne seinen Flächeninhalt.
    12 cm4 cmABC
    Lösung zeigen
    1. Flächeninhalt = Grundseite · Höhe : 2
    2. 12 · 4 : 2 = 24
    Ergebnis:
    24 cm²
  3. ★12
    In einem Dreieck ist a = 10 cm, die Höhe auf a ist 9 cm lang. Die Seite b ist 9 cm lang. Wie lang ist die Höhe auf b?
    Lösung zeigen
    1. Flächeninhalt: 10 · 9 : 2 = 45
    2. Derselbe Flächeninhalt mit b: 9 · Höhe : 2 = 45
    3. Höhe auf b: 90 : 9 = 10
    Ergebnis:
    10 cm

5Ich zeichne Seitenhalbierende und finde den Schwerpunkt.

EntdeckenFrage

Wo muss man ein Pappdreieck auf die Bleistiftspitze setzen, damit es nicht kippt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Schwerpunkt. Dort schneiden sich die drei Seitenhalbierenden. Er teilt jede im Verhältnis 2 : 1 von der Ecke aus. Wer die Seitenhalbierenden einzeichnet, findet den Punkt ohne Probieren.

MerkenSeitenhalbierende und Schwerpunkt

Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Alle drei schneiden sich im Schwerpunkt S. S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gezählt.

BeispielSeitenhalbierende und Schwerpunkt: 2 zu 1

Die Seite BC hat die Endpunkte B(6 | 6) und C(0 | 6). Wo liegt ihre Mitte, der Fußpunkt der Seitenhalbierenden von A?
2468102468BC?
Schritt für Schritt
  1. x-Wert der Mitte: (6 + 0) : 2 = 3
  2. y-Wert der Mitte: (6 + 6) : 2 = 6
  1. x-Wert der Mitte: (6 + 0) : 2 = 3
  2. y-Wert der Mitte: (6 + 6) : 2 = 6
Ergebnis:
M(3 | 6)

AchtungSchwerpunkt in die Mitte der Seitenhalbierenden gelegt

So nicht
Seitenhalbierende 12 cm → S liegt 6 cm von der Ecke entfernt
So richtig
Seitenhalbierende 12 cm → 2 : 1 → S liegt 8 cm von der Ecke entfernt

S teilt die Seitenhalbierende 2 : 1. Von der Ecke bis S sind es zwei Drittel, bis zur Seitenmitte ein Drittel.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Seitenhalbierende von A zur Mitte der Seite BC ist 9 cm lang. Wie weit ist der Schwerpunkt S von A entfernt?
    So fängst du an:
    S teilt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gesehen.
    Lösung zeigen
    1. S teilt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gesehen.
    2. 9 : 3 = 3, zwei Teile: 2 · 3 = 6
    Ergebnis:
    6 cm
  2. ●14
    Die Seite BC hat die Endpunkte B(4 | 7) und C(6 | 3). Wo liegt ihre Mitte, der Fußpunkt der Seitenhalbierenden von A?
    2468102468BC?
    Lösung zeigen
    1. x-Wert der Mitte: (4 + 6) : 2 = 5
    2. y-Wert der Mitte: (7 + 3) : 2 = 5
    Ergebnis:
    M(5 | 5)
  3. ★15
    Im Dreieck ABC ist der Schwerpunkt S 8 cm von der Ecke C entfernt. Wie lang ist die ganze Seitenhalbierende von C aus?
    Lösung zeigen
    1. Von C bis S sind zwei der drei gleichen Teile: 8 : 2 = 4
    2. Ganze Länge: 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    12 cm

6Ich nutze den Satz des Thales.

EntdeckenFrage

Warum besteht der klassische Fußball aus Fünfecken und Sechsecken und nicht nur aus Sechsecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

An jeder Ecke treffen drei Flächen zusammen. Drei Sechsecke haben zusammen 3 · 120° = 360° und liegen flach wie eine Wabe. Mit einem Fünfeck sind es 108° + 120° + 120° = 348°, dann wölbt sich die Fläche. Deshalb braucht der Ball 12 Fünfecke zu seinen 20 Sechsecken.

MerkenSatz des Thales

Liegt C auf dem Halbkreis über AB, ist der Winkel bei C ein rechter.

Der Mittelpunkt ist die Mitte von AB. Umgekehrt gilt das auch.

BeispielSatz des Thales anwenden

Die Strecke AB ist 16 cm lang. Ein Punkt C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Wie groß ist der Winkel bei C, und wie weit ist C von der Mitte M entfernt?
MABC?
Schritt für Schritt
  1. Auf dem Thaleskreis ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
  2. Der Radius ist die halbe Strecke AB: 16 : 2 = 8
  1. Auf dem Thaleskreis ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
  2. Der Radius ist die halbe Strecke AB: 16 : 2 = 8
Ergebnis:
90°, 8 cm

AchtungRechten Winkel an der falschen Ecke gesucht

So nicht
C auf dem Halbkreis über AB, α = 30° → α ist der rechte Winkel
So richtig
C auf dem Halbkreis → γ = 90°, β = 180° − 90° − 30° = 60°

Der rechte Winkel liegt bei C auf dem Halbkreis, nicht bei A oder B auf dem Durchmesser.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Strecke AB ist 14 cm lang. Ein Punkt C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Wie groß ist der Winkel bei C, und wie weit ist C von der Mitte M entfernt?
    MABC?
    So fängst du an:
    Auf dem Thaleskreis ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
    Lösung zeigen
    1. Auf dem Thaleskreis ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
    2. Der Radius ist die halbe Strecke AB: 14 : 2 = 7
    Ergebnis:
    90°, 7 cm
  2. ●17
    C liegt auf dem Halbkreis über AB. Der Winkel bei A ist 38° groß. Wie groß ist der Winkel bei B?
    MABC38°?
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel bei C ein rechter: 90°
    2. Winkel bei B: 180° − 90° − 38° = 52°
    Ergebnis:
    52°
  3. ★18
    C liegt auf dem Halbkreis über AB mit Mittelpunkt M. Der Winkel bei A ist 28°. Wie groß ist der Winkel zwischen CM und CA?
    MABC28°
    Lösung zeigen
    1. MA und MC sind Radien, also ist das Dreieck AMC gleichschenklig.
    2. Basiswinkel sind gleich groß: der Winkel bei C im Dreieck AMC ist 28°
    Ergebnis:
    28°

7Ich berechne Winkel in zusammengesetzten Figuren und begründe jeden Schritt.

EntdeckenFrage

Wie spitz ist jede Zacke eines fünfzackigen Sterns, den man in einem Zug zeichnet?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In der Mitte des Sterns liegt ein regelmäßiges Fünfeck mit Innenwinkeln von 108°. Daneben liegen Nebenwinkel von 180° − 108° = 72°. Jede Zacke ist ein Dreieck mit zwei solchen Winkeln. Also bleiben für die Spitze 180° − 144° = 36°.

MerkenWinkeljagd

Jeder gesuchte Winkel bekommt einen Grund.

Nebenwinkel, Stufenwinkel, Winkelsumme oder Basiswinkel stehen mit im Heft. Gemessen wird nicht.

BeispielWinkeljagd in zusammengesetzten Figuren

Die Seite AC ist über C hinaus verlängert. Der Winkel bei A misst 70°, der Winkel außen bei C misst 103°. Wie groß ist β?
70°103°βABC
Schritt für Schritt
  1. γ ist Nebenwinkel des Außenwinkels: γ = 180° − 103° = 77°
  2. Winkelsumme im Dreieck: β = 180° − 70° − 77° = 33°
  1. γ ist Nebenwinkel des Außenwinkels: γ = 180° − 103° = 77°
  2. Winkelsumme im Dreieck: β = 180° − 70° − 77° = 33°
Ergebnis:
β = 33°

AchtungWinkel aus dem Bild geschätzt statt begründet

So nicht
Außenwinkel bei C 110°, α = 50° → β sieht aus wie 70°, also β = 70°
So richtig
γ = 180° − 110° = 70° (Nebenwinkel) → β = 180° − 50° − 70° = 60° (Winkelsumme)

Nenne zu jedem Schritt den Satz: Nebenwinkel, Stufenwinkel, Winkelsumme. Das Bild ist nur eine Skizze.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    ABCD ist ein Parallelogramm. Der Winkel bei A misst 80°. Wie groß ist der Winkel bei B? Begründe.
    80°?ABCD
    So fängst du an:
    Benachbarte Winkel im Parallelogramm sind Nachbarwinkel an Parallelen.
    Lösung zeigen
    1. Benachbarte Winkel im Parallelogramm sind Nachbarwinkel an Parallelen.
    2. Sie ergänzen sich zu 180°: 180° − 80° = 100°
    Ergebnis:
    100°
  2. ●20
    ABCD ist ein Parallelogramm. Der Winkel bei A misst 50°. Wie groß ist der Winkel bei C? Begründe.
    50°?ABCD
    Lösung zeigen
    1. Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß.
    2. Winkel bei C = Winkel bei A = 50°
    Ergebnis:
    50°
  3. ★21
    Die Seite AC ist über C hinaus verlängert. Der Winkel bei A misst 45°, der Winkel außen bei C misst 104°. Wie groß ist β?
    45°104°βABC
    Lösung zeigen
    1. γ ist Nebenwinkel des Außenwinkels: γ = 180° − 104° = 76°
    2. Winkelsumme im Dreieck: β = 180° − 45° − 76° = 59°
    Ergebnis:
    β = 59°

8Ich entscheide, ob Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen.

EntdeckenFrage

Warum wackelt ein Regal nicht mehr, wenn man hinten eine schräge Latte anschraubt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Rechteck mit vier festen Seiten kann sich noch zum schiefen Parallelogramm verschieben. Die schräge Latte teilt es in zwei Dreiecke. Ein Dreieck mit drei festen Seiten ist eindeutig festgelegt und kann seine Form nicht ändern.

MerkenKongruenzsätze

SSS, SWS, WSW und SsW legen ein Dreieck eindeutig fest.

Bei SsW liegt der Winkel der längeren Seite gegenüber. Drei Winkel legen nur die Form fest.

BeispielIst das Dreieck eindeutig festgelegt?

Kann man mit α = 64°, β = 71°, γ = 45° genau ein Dreieck konstruieren? Begründe.
gegebengesucht64 °71 °45 °?
Schritt für Schritt
  1. Nur Winkel: Die Form steht fest, die Größe nicht.
  2. Es gibt mehr als ein solches Dreieck.
  1. Nur Winkel: Die Form steht fest, die Größe nicht.
  2. Es gibt mehr als ein solches Dreieck.
Ergebnis:
nicht eindeutig

AchtungSsW mit dem Winkel an der kürzeren Seite für eindeutig gehalten

So nicht
a = 5 cm, c = 8 cm, α = 30° → SsW, eindeutig
So richtig
α liegt der kürzeren Seite a gegenüber → zwei Dreiecke möglich, nicht eindeutig

Liegt der Winkel der kürzeren Seite gegenüber, passen oft zwei verschiedene Dreiecke. Nur die längere Seite macht es eindeutig.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Drei Kinder zeichnen je ein Dreieck mit b = 3 cm, c = 7 cm, α = 30°. Sind ihre Dreiecke sicher deckungsgleich?
    gegebengesucht3 cm7 cm30 °?
    So fängst du an:
    Zwei Seiten und der Winkel dazwischen: α liegt zwischen b und c.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Seiten und der Winkel dazwischen: α liegt zwischen b und c.
    2. Kongruenzsatz SWS: Das Dreieck ist eindeutig.
    Ergebnis:
    eindeutig (SWS)
  2. ●23
    Legen die Angaben c = 5 cm, α = 31°, β = 71° ein Dreieck eindeutig fest? Nenne gegebenenfalls den Kongruenzsatz.
    gegebengesucht5 cm31 °71 °?
    Lösung zeigen
    1. Eine Seite und die beiden Winkel an ihr.
    2. Kongruenzsatz WSW: Das Dreieck ist eindeutig.
    Ergebnis:
    eindeutig (WSW)
  3. ★24
    Drei Kinder zeichnen je ein Dreieck mit b = 3 cm, c = 3 cm, α = 70°. Sind ihre Dreiecke sicher deckungsgleich?
    gegebengesucht3 cm70 °?
    Lösung zeigen
    1. Zwei Seiten und der Winkel dazwischen: α liegt zwischen b und c.
    2. Kongruenzsatz SWS: Das Dreieck ist eindeutig.
    Ergebnis:
    eindeutig (SWS)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zwei parallele Geraden werden von s geschnitten. α liegt an h rechts oben und misst 125°. Berechne β.
    ghsα = 125°β
    Lösung zeigen
    1. α und β liegen an g und h an derselben Stelle: Stufenwinkel.
    2. Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 125°
    Ergebnis:
    β = 125°
  2. ●26
    g ∥ h, und α misst 130°. Gilt α = β oder α + β = 180°? Begründe mit dem Namen der Winkel.
    ghsαβ
    Lösung zeigen
    1. α und β liegen an g und h an derselben Stelle.
    2. Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß: α = β
    Ergebnis:
    Stufenwinkel: α = β
  3. ●27
    Zerlege ein Fünfeck von einer Ecke aus in Dreiecke. Wie groß ist die Summe seiner Innenwinkel?
    Lösung zeigen
    1. Von einer Ecke aus entstehen 5 − 2 = 3 Dreiecke.
    2. Jedes Dreieck hat 180°: 3 · 180° = 540°
    Ergebnis:
    540°
  4. ●28
    Zeichne in ein Fünfeck alle Diagonalen, die von einer Ecke ausgehen. Wie viele sind es, und wie viele Dreiecke entstehen?
    Lösung zeigen
    1. Zu sich selbst und zu den zwei Nachbarecken geht keine Diagonale: 5 − 3 = 2
    2. 2 Diagonalen teilen in 3 Dreiecke.
    Ergebnis:
    2 Diagonalen, 3 Dreiecke
  5. ●29
    Ein Roboter fährt die Kanten eines regelmäßigen Vierecks ab. Um wie viel Grad dreht er sich an jeder Ecke?
    Lösung zeigen
    1. Einmal herum dreht er sich insgesamt um 360°.
    2. An jeder der 4 Ecken gleich viel: 360° : 4 = 90°
    Ergebnis:
    90°
  6. ●30
    Ein Dreieck hat die Grundseite c = 7 cm, die Höhe auf c ist 2 cm lang. Berechne seinen Flächeninhalt.
    7 cm2 cmABC
    Lösung zeigen
    1. Flächeninhalt = Grundseite · Höhe : 2
    2. 7 · 2 : 2 = 7
    Ergebnis:
    7 cm²

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Stufenwinkel und Wechselwinkel
An geschnittenen Parallelen sind Stufenwinkel und Wechselwinkel gleich groß.
Winkelsumme im Vieleck
Von einer Ecke aus zerfällt ein Vieleck mit n Ecken in n − 2 Dreiecke.
Regelmäßige Vielecke
Im regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.
Höhe und Flächeninhalt
Die Höhe führt von einer Ecke senkrecht zur Gegenseite.
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.
Satz des Thales
Liegt C auf dem Halbkreis über AB, ist der Winkel bei C ein rechter.
Winkeljagd
Jeder gesuchte Winkel bekommt einen Grund.
Kongruenzsätze
SSS, SWS, WSW und SsW legen ein Dreieck eindeutig fest.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne Winkel an geschnittenen Parallelen mit Stufen- und Wechselwinkeln.

    31
    Zwei parallele Geraden werden von s geschnitten. α liegt an h rechts oben und misst 140°. Berechne β.
    ghsα = 140°β
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    β = 140°

  2. Ich berechne die Innenwinkelsumme von Vielecken durch Zerlegen in Dreiecke.

    32
    Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Sechseck?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    720°

  3. Ich berechne Innen- und Außenwinkel regelmäßiger Vielecke.

    33
    Wie groß ist ein Innenwinkel im regelmäßigen Achteck?
    ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    135°

  4. Ich zeichne Höhen in Dreiecken und berechne den Flächeninhalt mit jeder Höhe.

    34
    Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 8 cm². Seine Grundseite ist 8 cm lang. Wie lang ist die zugehörige Höhe?
    8 cm?ABC
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 cm

  5. Ich zeichne Seitenhalbierende und finde den Schwerpunkt.

    35
    Im Dreieck ABC ist der Schwerpunkt S 6 cm von der Ecke C entfernt. Wie lang ist die ganze Seitenhalbierende von C aus?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 cm

  6. Ich nutze den Satz des Thales.

    36
    Die Strecke AB ist 10 cm lang. Ein Punkt C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Wie groß ist der Winkel bei C, und wie weit ist C von der Mitte M entfernt?
    MABC?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90°, 5 cm

  7. Ich berechne Winkel in zusammengesetzten Figuren und begründe jeden Schritt.

    37
    ABCD ist ein Parallelogramm. Der Winkel bei A misst 69°. Wie groß ist der Winkel bei C? Begründe.
    69°?ABCD
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69°

  8. Ich entscheide, ob Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen.

    38
    Kann man mit α = 72°, β = 59°, γ = 49° genau ein Dreieck konstruieren? Begründe.
    gegebengesucht72 °59 °49 °?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht eindeutig

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Eine Gerade schneidet zwei parallele Geraden. Ein Winkel ist mit 65° angegeben. Bestimme alle anderen sieben Winkel, ohne Geodreieck.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Sätze über Stufenwinkel und Wechselwinkel an Parallelen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Fliesenmuster, Straßenkreuzungen, das Pappdreieck auf der Bleistiftspitze. Beruf: Tischlerei und Dachdeckerei (Gehrung, Sparren), Vermessung, Metallbau.

Wörter

Flächeninhalt
wie viel Platz innen drin ist
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zeichnen und Konstruieren, Flächeninhalt und Volumen

Darauf baut auf: Satz des Pythagoras, Ähnlichkeit und Strahlensätze

Lösungen

  1. β = 110°
  2. β = 105°
  3. β = 55°
  4. 720°
  5. 123°
  6. Nein, 720°
  7. 30°
  8. 90°
  9. 8 Ecken, Innenwinkel 135°
  10. 18 cm²
  11. 24 cm²
  12. 10 cm
  13. 6 cm
  14. M(5 | 5)
  15. 12 cm
  16. 90°, 7 cm
  17. 52°
  18. 28°
  19. 100°
  20. 50°
  21. β = 59°
  22. eindeutig (SWS)
  23. eindeutig (WSW)
  24. eindeutig (SWS)
  25. β = 125°
  26. Stufenwinkel: α = β
  27. 540°
  28. 2 Diagonalen, 3 Dreiecke
  29. 90°
  30. 7 cm²
  31. β = 140°
  32. 720°
  33. 135°
  34. 2 cm
  35. 9 cm
  36. 90°, 5 cm
  37. 69°
  38. nicht eindeutig
  39. 97°
  40. 64°