Mathematik · Klasse 11 · Kapitel

Funktionen: Potenz-, ganzrationale und Exponentialfunktionen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier sind vier Wertetabellen ohne Gleichung. Welche Tabelle gehört zu welcher Art von Funktion? Entscheide nur mit den Zahlen.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit bloßem Auge sehen alle vier „wachsend“ aus. Die Klasse braucht Kriterien: konstante Differenzen, konstante Quotienten, zweite Differenzen. Differenzen bilden: gleich bleibend heißt linear, in der zweiten Ebene gleich heißt quadratisch, Quotienten gleich heißt exponentiell. Drei Prüfungen für alle Tabellen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Parabel hat einen Scheitel und ist symmetrisch – Form und Lage stecken in der Gleichung.

●32
Gegeben ist f(x) = (x − 2)² + 3. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.
Lösung zeigen
1. Scheitelpunktform: S(d|e)
2. S(2|3); Normalparabel um 2 nach rechts und 3 nach oben
Ergebnis:
S(2|3)
●33
Gegeben ist f(x) = (x + 2)² − 2. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.
Lösung zeigen
1. Scheitelpunktform: S(d|e)
2. S(−2|−2); Normalparabel um 2 nach links und 2 nach unten
Ergebnis:
S(−2|−2)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung

Zu jedem x genau ein y – das ist der ganze Begriff. Alles andere (Graph, Term, Tabelle) sind Darstellungen derselben Sache.

WeiterdenkenDenk nach

Ist ein Kreis der Graph einer Funktion? Woran siehst du es?

1Ich beschreibe Potenzfunktionen: Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich der Graph von x³ am Ursprung, der von x² aber nicht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ungerade Hochzahlen das Vorzeichen mitnehmen und gerade es schlucken. (−2)³ ist −8, (−2)² ist 4 – daher die Punktsymmetrie bei der einen und die Achsensymmetrie bei der anderen.

Ausprobieren: Von der Sekante zur Tangente

h wird kleiner und kleiner – die Sekante dreht sich in die Tangente, ihre Steigung läuft auf f'(x₀) zu.

MerkenPotenzfunktionen: Symmetrie und Verhalten

Gerader Exponent: achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ungerader Exponent: punktsymmetrisch zum Ursprung. Das Vorzeichen von a entscheidet über die Richtung.

BeispielPotenzfunktionen: Symmetrie und Verhalten

f(x) = x². Bestimme Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.

Schritt für Schritt

Exponent 2 ist gerade → achsensymmetrisch zur y-Achse
x → +∞: f(x) → +∞ (Vorzeichen von a = 1)
x → −∞: f(x) → +∞

Exponent 2 ist gerade → achsensymmetrisch zur y-Achse
x → +∞: f(x) → +∞ (Vorzeichen von a = 1)
x → −∞: f(x) → +∞

Ergebnis:

achsensymmetrisch zur y-Achse; x→+∞: +∞, x→−∞: +∞

AchtungSymmetrie am Vorzeichen festgemacht

So nicht

f(x) = −x²: negatives a → punktsymmetrisch

So richtig

f(x) = −x²: gerader Exponent → achsensymmetrisch  (das Minus spiegelt nur)

Die Symmetrie hängt vom Exponenten ab, nicht vom Vorzeichen von a.

ÜbenJetzt du

○1
f(x) = −2x³. Bestimme Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.
So fängst du an:
Exponent 3 ist ungerade → punktsymmetrisch zum Ursprung
Lösung zeigen
1. Exponent 3 ist ungerade → punktsymmetrisch zum Ursprung
2. x → +∞: f(x) → −∞ (Vorzeichen von a = −2)
3. x → −∞: f(x) → +∞
Ergebnis:
punktsymmetrisch zum Ursprung; x→+∞: −∞, x→−∞: +∞
●2
f(x) = −2x². Bestimme Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.
Lösung zeigen
1. Exponent 2 ist gerade → achsensymmetrisch zur y-Achse
2. x → +∞: f(x) → −∞ (Vorzeichen von a = −2)
3. x → −∞: f(x) → −∞
Ergebnis:
achsensymmetrisch zur y-Achse; x→+∞: −∞, x→−∞: −∞
★3
f(x) = −x⁶. Bestimme Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.
Lösung zeigen
1. Exponent 6 ist gerade → achsensymmetrisch zur y-Achse
2. x → +∞: f(x) → −∞ (Vorzeichen von a = −1)
3. x → −∞: f(x) → −∞
Ergebnis:
achsensymmetrisch zur y-Achse; x→+∞: −∞, x→−∞: −∞

2Ich verschiebe und strecke Graphen und lese die Transformation aus dem Term ab.

EntdeckenFrage

Woran siehst du einem Term an, dass sein Graph nur verschoben wurde?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

An dem, was direkt beim x steht: f(x−3) rückt das Bild um drei nach rechts, ein Summand dahinter hebt es an. Die Form bleibt gleich, nur der Platz ändert sich.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenVerschieben und strecken

f(x − d) verschiebt nach rechts, f(x) + e nach oben, a · f(x) streckt in y-Richtung; negatives a spiegelt an der x-Achse.

BeispielFunktionen verschieben und strecken

Aus g(x) = x³ entsteht f(x) = ((x − 2)³) + 5. Beschreibe, wie der Graph von g verändert wurde.

Schritt für Schritt

x − 2 im Argument → Verschiebung um 2 nach rechts
+ 5 → Verschiebung um 5 nach oben

x − 2 im Argument → Verschiebung um 2 nach rechts
+ 5 → Verschiebung um 5 nach oben

Ergebnis:

2 nach rechts, 5 nach oben

AchtungVerschiebung falsch herum

So nicht

f(x) = (x − 3)²: Scheitel bei x = −3

So richtig

f(x) = (x − 3)²: f(3) = 0 → Scheitel bei x = 3, also 3 nach rechts

(x − 3) verschiebt nach rechts – das Minus täuscht.

ÜbenJetzt du

○4
Aus g(x) = x³ entsteht f(x) = ((x + 1)³) + 5. Beschreibe, wie der Graph von g verändert wurde.
So fängst du an:
x + 1 im Argument → Verschiebung um 1 nach links
Lösung zeigen
1. x + 1 im Argument → Verschiebung um 1 nach links
2. + 5 → Verschiebung um 5 nach oben
Ergebnis:
1 nach links, 5 nach oben
●5
Aus g(x) = √x entsteht f(x) = (√x + 3) + 5. Beschreibe, wie der Graph von g verändert wurde.
Lösung zeigen
1. x + 3 im Argument → Verschiebung um 3 nach links
2. + 5 → Verschiebung um 5 nach oben
Ergebnis:
3 nach links, 5 nach oben
★6
Aus g(x) = x² entsteht f(x) = 0,5 · ((x + 2)²) + 1. Beschreibe, wie der Graph von g verändert wurde.
Lösung zeigen
1. x + 2 im Argument → Verschiebung um 2 nach links
2. Faktor 0,5 → Streckung in y-Richtung mit 0,5
3. + 1 → Verschiebung um 1 nach oben
Ergebnis:
2 nach links, Streckung 0,5, 1 nach oben

3Ich bestimme Nullstellen ganzrationaler Funktionen durch Ausklammern und pq-Formel.

EntdeckenFrage

Warum genügt es, jeden Faktor einzeln null zu setzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ein Produkt nur dann null wird, wenn einer seiner Faktoren null ist. Deshalb lohnt das Ausklammern: Aus einer schweren Gleichung werden mehrere leichte.

MerkenNullstellen durch Ausklammern

Kein Absolutglied? x ausklammern.

Dann bleibt meist eine quadratische Gleichung für die pq-Formel.

BeispielNullstellen durch Ausklammern

Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ + 2x² − 3x.

Schritt für Schritt

x ausklammern: x · (x² + 2x − 3)
x = 0 oder x² + 2x − 3 = 0
pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 1 oder x = −3

x ausklammern: x · (x² + 2x − 3)
x = 0 oder x² + 2x − 3 = 0
pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 1 oder x = −3

Ergebnis:

x = 0, x = −3, x = 1

AchtungDurch x geteilt

So nicht

x³ = 4x  | : x  →  x² = 4

So richtig

x³ − 4x = 0, x(x² − 4) = 0 → x = 0, x = 2, x = −2

x ausklammern statt teilen, sonst fehlt die Nullstelle x = 0.

ÜbenJetzt du

○7
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 3x² + 2x.
So fängst du an:
x ausklammern: x · (x² − 3x + 2)
Lösung zeigen
1. x ausklammern: x · (x² − 3x + 2)
2. x = 0 oder x² − 3x + 2 = 0
3. pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 1 oder x = 2
Ergebnis:
x = 0, x = 1, x = 2
●8
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 9x.
Lösung zeigen
1. x ausklammern: x · (x² − 9)
2. x = 0 oder x² − 9 = 0
3. pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 3 oder x = −3
Ergebnis:
x = 0, x = −3, x = 3
★9
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 2x² − 3x.
Lösung zeigen
1. x ausklammern: x · (x² − 2x − 3)
2. x = 0 oder x² − 2x − 3 = 0
3. pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 3 oder x = −1
Ergebnis:
x = 0, x = −1, x = 3

4Ich erkenne den Grad und das Globalverhalten am Leitterm.

EntdeckenFrage

Woran siehst du in einer Sekunde, wohin ein Graph ganz links und ganz rechts läuft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

An der höchsten Potenz. Für sehr große Zahlen bestimmt allein der Leitterm das Bild; alle übrigen Glieder fallen dagegen kaum ins Gewicht.

MerkenLeitterm

Für große |x| bestimmt der Summand mit dem höchsten Exponenten den Verlauf.

BeispielGlobalverhalten am Leitterm

Beschreibe das Verhalten von f(x) = 2x³ + 4x² − 3x − 2 für x → +∞ und x → −∞.

Schritt für Schritt

Nur der Leitterm entscheidet: 2x³
Grad 3 ist ungerade, Leitkoeffizient ist positiv.
x → +∞: f(x) → +∞
x → −∞: f(x) → −∞

Nur der Leitterm entscheidet: 2x³
Grad 3 ist ungerade, Leitkoeffizient ist positiv.
x → +∞: f(x) → +∞
x → −∞: f(x) → −∞

Ergebnis:

x → +∞: +∞; x → −∞: −∞

ÜbenJetzt du

○10
Beschreibe das Verhalten von f(x) = −3x³ − x² + 4x + 1 für x → +∞ und x → −∞.
So fängst du an:
Nur der Leitterm entscheidet: −3x³
Lösung zeigen
1. Nur der Leitterm entscheidet: −3x³
2. Grad 3 ist ungerade, Leitkoeffizient ist negativ.
3. x → +∞: f(x) → −∞
4. x → −∞: f(x) → +∞
Ergebnis:
x → +∞: −∞; x → −∞: +∞
●11
Beschreibe das Verhalten von f(x) = −3x⁴ + 4x³ + x² + 3x + 2 für x → +∞ und x → −∞.
Lösung zeigen
1. Nur der Leitterm entscheidet: −3x⁴
2. Grad 4 ist gerade, Leitkoeffizient ist negativ.
3. x → +∞: f(x) → −∞
4. x → −∞: f(x) → −∞
Ergebnis:
x → +∞: −∞; x → −∞: −∞
★12
Beschreibe das Verhalten von f(x) = 2x⁴ + 3x³ − 5x² − 3x − 2 für x → +∞ und x → −∞.
Lösung zeigen
1. Nur der Leitterm entscheidet: 2x⁴
2. Grad 4 ist gerade, Leitkoeffizient ist positiv.
3. x → +∞: f(x) → +∞
4. x → −∞: f(x) → +∞
Ergebnis:
x → +∞: +∞; x → −∞: +∞

5Ich beschreibe Exponentialfunktionen und ihr Wachstum.

EntdeckenFrage

Wie oft müsste man ein Blatt Papier falten, bis der Stapel höher ist als der Mount Everest?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Blatt ist rund 0,1 mm dick, jede Faltung verdoppelt die Dicke. Nach n Faltungen sind es 0,1 mm · 2ⁿ. Nach 26 Faltungen sind es gut 6,7 km, nach 27 schon über 13 km. Also reichen 27 Faltungen für 8849 m.

MerkenExponentialfunktion

f(x) = c · aˣ: gleiche Schritte in x → gleicher Faktor in y. a > 1 Wachstum, 0 < a < 1 Zerfall.

BeispielPotenz- oder Exponentialfunktion?

Vergleiche f(x) = x³ und g(x) = 3ˣ. Berechne beide für x = 10 und x = 30. Welche Funktion wächst auf lange Sicht schneller?

Schritt für Schritt

x = 10: f ergibt 1000, g ergibt etwa 59.049.
x = 30: f ergibt etwa 27.000, g ergibt etwa 2,06 · 10¹⁴.
Bei f kommt je Schritt ein fester Faktor x dazu, bei g wird immer mit 3 multipliziert.
Die Exponentialfunktion überholt jede Potenzfunktion.

x = 10: f ergibt 1000, g ergibt etwa 59.049.
x = 30: f ergibt etwa 27.000, g ergibt etwa 2,06 · 10¹⁴.
Bei f kommt je Schritt ein fester Faktor x dazu, bei g wird immer mit 3 multipliziert.
Die Exponentialfunktion überholt jede Potenzfunktion.

Ergebnis:

g wächst auf lange Sicht schneller

ÜbenJetzt du

○13
Vergleiche f(x) = x⁴ und g(x) = 1,5ˣ. Berechne beide für x = 10 und x = 60. Welche Funktion wächst auf lange Sicht schneller?
So fängst du an:
x = 10: f ergibt 10.000, g ergibt etwa 57,67.
Lösung zeigen
1. x = 10: f ergibt 10.000, g ergibt etwa 57,67.
2. x = 60: f ergibt etwa 1,3 · 10⁷, g ergibt etwa 3,68 · 10¹⁰.
3. Bei f kommt je Schritt ein fester Faktor x dazu, bei g wird immer mit 1,5 multipliziert.
4. Die Exponentialfunktion überholt jede Potenzfunktion.
Ergebnis:
g wächst auf lange Sicht schneller
●14
Vergleiche f(x) = x⁵ und g(x) = 1,5ˣ. Berechne beide für x = 10 und x = 60. Welche Funktion wächst auf lange Sicht schneller?
Lösung zeigen
1. x = 10: f ergibt 100.000, g ergibt etwa 57,67.
2. x = 60: f ergibt etwa 7,78 · 10⁸, g ergibt etwa 3,68 · 10¹⁰.
3. Bei f kommt je Schritt ein fester Faktor x dazu, bei g wird immer mit 1,5 multipliziert.
4. Die Exponentialfunktion überholt jede Potenzfunktion.
Ergebnis:
g wächst auf lange Sicht schneller
★15
Eine Tabelle gehört zu einer Exponentialfunktion, die andere zu einer Potenzfunktion. Welche ist welche? Gib beide Funktionsterme an.
Lösung zeigen
1. Exponentiell heißt: gleicher Quotient von Schritt zu Schritt.
2. B: 4 : 2 = 2, 8 : 4 = 2, 16 : 8 = 2, 32 : 16 = 2.
3. A beginnt bei 0, das passt zu keiner Exponentialfunktion.
4. f(2) : f(1) = 8, also Exponent 3.
5. B: 2 · 2ˣ, A: 3x³
Ergebnis:
B exponentiell: 2 · 2ˣ; A Potenz: 3x³

6Ich modelliere Sachsituationen mit passenden Funktionstypen.

EntdeckenFrage

Warum ist der Anhalteweg eines Autos bei doppeltem Tempo mehr als doppelt so lang?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Reaktionsweg wächst linear: (v : 10) · 3 Meter. Der Bremsweg wächst quadratisch: (v : 10)² Meter. Bei 50 km/h sind das 15 + 25 = 40 m, bei 100 km/h schon 30 + 100 = 130 m. Die Summe ist eine quadratische Funktion, keine Gerade.

MerkenWelcher Funktionstyp passt?

Gleiche Schritte, gleicher Zuwachs: linear.

Gleiche Schritte, gleicher Faktor: exponentiell. Ein Scheitel: quadratisch – erst die Daten ansehen, dann den Typ wählen.

BeispielBogen einer Brücke modellieren

Eine Brücke trägt einen Bogen, den die Funktion h(x) = −0,05x² + 2x beschreibt. Dabei sind x und h in Metern gemessen, und x zählt vom linken Fußpunkt. Wie breit ist der Bogen unten?

Schritt für Schritt

Unten ist h(x) = 0: x · (−0,05x + 2) = 0
x = 0 oder x = 2 / 0,05 = 40
Die Fußpunkte liegen 40 m auseinander.

Unten ist h(x) = 0: x · (−0,05x + 2) = 0
x = 0 oder x = 2 / 0,05 = 40
Die Fußpunkte liegen 40 m auseinander.

Ergebnis:

40 m

ÜbenJetzt du

○16
Eine Brücke trägt einen Bogen, den die Funktion h(x) = −0,05x² + x beschreibt. Dabei sind x und h in Metern gemessen, und x zählt vom linken Fußpunkt. Wie breit ist der Bogen unten?
So fängst du an:
Unten ist h(x) = 0: x · (−0,05x + 1) = 0
Lösung zeigen
1. Unten ist h(x) = 0: x · (−0,05x + 1) = 0
2. x = 0 oder x = 1 / 0,05 = 20
3. Die Fußpunkte liegen 20 m auseinander.
Ergebnis:
20 m
●17
Eine Brücke trägt einen Bogen, den die Funktion h(x) = −0,02x² + x beschreibt. Dabei sind x und h in Metern gemessen, und x zählt vom linken Fußpunkt. Wie breit ist der Bogen unten?
Lösung zeigen
1. Unten ist h(x) = 0: x · (−0,02x + 1) = 0
2. x = 0 oder x = 1 / 0,02 = 50
3. Die Fußpunkte liegen 50 m auseinander.
Ergebnis:
50 m
★18
Eine Brücke trägt einen Bogen, den die Funktion h(x) = −0,02x² + 0,8x beschreibt. Dabei sind x und h in Metern gemessen, und x zählt vom linken Fußpunkt. Wie hoch ist der Bogen an seiner höchsten Stelle?
Lösung zeigen
1. Die Fußpunkte: x = 0 und x = 0,8 / 0,02 = 40
2. Die höchste Stelle liegt in der Mitte: x = 20
3. h(20) = 8
4. Der Bogen ist 8 m hoch, 20 m vom linken Fuß entfernt.
Ergebnis:
8 m

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●19
f(x) = x³. Bestimme Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.
Lösung zeigen
1. Exponent 3 ist ungerade → punktsymmetrisch zum Ursprung
2. x → +∞: f(x) → +∞ (Vorzeichen von a = 1)
3. x → −∞: f(x) → −∞
Ergebnis:
punktsymmetrisch zum Ursprung; x→+∞: +∞, x→−∞: −∞
●20
Aus g(x) = x³ entsteht f(x) = ((x + 1)³) − 1. Beschreibe, wie der Graph von g verändert wurde.
Lösung zeigen
1. x + 1 im Argument → Verschiebung um 1 nach links
2. − 1 → Verschiebung um 1 nach unten
Ergebnis:
1 nach links, 1 nach unten
●21
Löse: x² − 9x + 20 = 0
Lösung zeigen
1. Satz von Vieta: x₁ + x₂ = 9, x₁ · x₂ = 20
2. Passt: 5 und 4
Ergebnis:
x₁ = 4, x₂ = 5
●22
Beschreibe das Verhalten von f(x) = 2x⁴ + 2x³ + x² − 3x + 2 für x → +∞ und x → −∞.
Lösung zeigen
1. Nur der Leitterm entscheidet: 2x⁴
2. Grad 4 ist gerade, Leitkoeffizient ist positiv.
3. x → +∞: f(x) → +∞
4. x → −∞: f(x) → +∞
Ergebnis:
x → +∞: +∞; x → −∞: +∞
●23
Untersuche auf Symmetrie: f(x) = 2x⁴ + x² − 3
Lösung zeigen
1. Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch; nur ungerade → punktsymmetrisch.
2. Vorkommende Exponenten prüfen.
3. Ergebnis: achsensymmetrisch zur y-Achse
Ergebnis:
achsensymmetrisch zur y-Achse
●24
Eine Brücke trägt einen Bogen, den die Funktion h(x) = −0,02x² + 0,8x beschreibt. Dabei sind x und h in Metern gemessen, und x zählt vom linken Fußpunkt. Wie breit ist der Bogen unten?
Lösung zeigen
1. Unten ist h(x) = 0: x · (−0,02x + 0,8) = 0
2. x = 0 oder x = 0,8 / 0,02 = 40
3. Die Fußpunkte liegen 40 m auseinander.
Ergebnis:
40 m

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Potenzfunktionen: Symmetrie und Verhalten: Gerader Exponent: achsensymmetrisch zur y-Achse.
Verschieben und strecken: f(x − d) verschiebt nach rechts, f(x) + e nach oben, a · f(x) streckt in y-Richtung; negatives a spiegelt an der x-Achse.
Nullstellen durch Ausklammern: Kein Absolutglied? x ausklammern.
Leitterm: Für große |x| bestimmt der Summand mit dem höchsten Exponenten den Verlauf.
Exponentialfunktion: f(x) = c · aˣ: gleiche Schritte in x → gleicher Faktor in y. a > 1 Wachstum, 0 < a < 1 Zerfall.
Welcher Funktionstyp passt?: Gleiche Schritte, gleicher Zuwachs: linear.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Potenzfunktionen: Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.
25
f(x) = 2x³. Bestimme Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.
Lösung zeigen
Ergebnis:
punktsymmetrisch zum Ursprung; x→+∞: +∞, x→−∞: −∞
Ich verschiebe und strecke Graphen und lese die Transformation aus dem Term ab.
26
Aus g(x) = |x| entsteht f(x) = (|(x + 3)|) + 2. Beschreibe, wie der Graph von g verändert wurde.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 nach links, 2 nach oben
Ich bestimme Nullstellen ganzrationaler Funktionen durch Ausklammern und pq-Formel.
27
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 5x² + 4x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 0, x = 1, x = 4
Ich erkenne den Grad und das Globalverhalten am Leitterm.
28
Beschreibe das Verhalten von f(x) = 2x⁵ − 2x⁴ − x³ + 2x − 1 für x → +∞ und x → −∞.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x → +∞: +∞; x → −∞: −∞
Ich beschreibe Exponentialfunktionen und ihr Wachstum.
29
Vergleiche f(x) = x⁵ und g(x) = 1,2ˣ. Berechne beide für x = 10 und x = 200. Welche Funktion wächst auf lange Sicht schneller?
Lösung zeigen
Ergebnis:
g wächst auf lange Sicht schneller
Ich modelliere Sachsituationen mit passenden Funktionstypen.
30
Eine Brücke trägt einen Bogen, den die Funktion h(x) = −0,04x² + x beschreibt. Dabei sind x und h in Metern gemessen, und x zählt vom linken Fußpunkt. Wie breit ist der Bogen unten?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 m
Ich bereite die Klausur vor.
31
f(x) = 3x³. Bestimme Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.
Lösung zeigen
Ergebnis:
punktsymmetrisch zum Ursprung; x→+∞: +∞, x→−∞: −∞

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier sind vier Wertetabellen ohne Gleichung. Welche Tabelle gehört zu welcher Art von Funktion? Entscheide nur mit den Zahlen.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Funktionsklassen unterscheiden: linear, quadratisch, exponentiell, Potenz.

Wo brauchst du das?

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Wörter

Achsensymmetrisch: links und rechts gleich, wie gespiegelt
Ausklammern: den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Nullstelle: wo der Graph die x-Achse trifft
Punktsymmetrisch: um den Punkt gedreht sieht es gleich aus
Term: eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Quadratische Funktionen und Gleichungen, Potenzen und Wurzeln

Darauf baut auf: Einführung in die Differenzialrechnung, Trigonometrische Funktionen

Lösungen

punktsymmetrisch zum Ursprung; x→+∞: −∞, x→−∞: +∞
achsensymmetrisch zur y-Achse; x→+∞: −∞, x→−∞: −∞
achsensymmetrisch zur y-Achse; x→+∞: −∞, x→−∞: −∞
1 nach links, 5 nach oben
3 nach links, 5 nach oben
2 nach links, Streckung 0,5, 1 nach oben
x = 0, x = 1, x = 2
x = 0, x = −3, x = 3
x = 0, x = −1, x = 3
x → +∞: −∞; x → −∞: +∞
x → +∞: −∞; x → −∞: −∞
x → +∞: +∞; x → −∞: +∞
g wächst auf lange Sicht schneller
g wächst auf lange Sicht schneller
B exponentiell: 2 · 2ˣ; A Potenz: 3x³
20 m
50 m
8 m
punktsymmetrisch zum Ursprung; x→+∞: +∞, x→−∞: −∞
1 nach links, 1 nach unten
x₁ = 4, x₂ = 5
x → +∞: +∞; x → −∞: +∞
achsensymmetrisch zur y-Achse
40 m
punktsymmetrisch zum Ursprung; x→+∞: +∞, x→−∞: −∞
3 nach links, 2 nach oben
x = 0, x = 1, x = 4
x → +∞: +∞; x → −∞: −∞
g wächst auf lange Sicht schneller
25 m
punktsymmetrisch zum Ursprung; x→+∞: +∞, x→−∞: −∞
S(2|3)
S(−2|−2)