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Mathematik · Klasse 4 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Winkel, Symmetrie, Körper und Flächeninhalt

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ist diese Ecke genau rechtwinklig oder nur fast? Entscheide mit bloßem Auge. Begründe deine Antwort.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Bei 87 Grad sagt die Hälfte „rechter Winkel“, die andere „nicht“. Mit dem Auge ist es nicht zu entscheiden. Das Geodreieck hat den rechten Winkel eingebaut: Kante an die eine Seite, und man sieht, ob die andere Seite auf der Null-Linie liegt.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Flächen mit Einheitsquadraten auslegen und rechte Winkel mit dem Geodreieck prüfen.

  1. ●30
    Emma und Mia vergleichen zwei Teppiche. Welcher Teppich ist größer? Zähle die Kästchen.
    AB
    Lösung zeigen
    1. Rechteck: 4 · 2 = 8 Kästchen
    2. Streifen: 7 Kästchen
    3. Größer: B
    Ergebnis:
    B
  2. ●31
    Wie viele rechte Winkel hat die Figur? Prüfe jede Ecke mit dem Geodreieck.
    ABCDE
    Lösung zeigen
    1. Lege die rechtwinklige Ecke des Geodreiecks genau in eine Ecke der Figur.
    2. Liegen beide Seiten an den Kanten an, ist der Winkel dort rechtwinklig. Sonst nicht.
    3. Es passt bei A, B: 2 rechte Winkel.
    Ergebnis:
    2 rechte Winkel

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Winkel ist die Öffnung

Ein Winkel misst, wie weit zwei Schenkel auseinanderklaffen – nicht, wie lang sie sind. Die Fläche ist das Innere, der Umfang der Rand; beide brauchen die passende Einheit (cm² und cm).

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Winkel, einer mit langen und einer mit kurzen Schenkeln, gleich weit geöffnet – welcher ist größer?

1Ich erkenne rechte, spitze und stumpfe Winkel mit dem Geodreieck.

EntdeckenFrage

Warum steht der Schiefe Turm von Pisa noch?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er neigt sich um etwa 4 Grad – sein Schwerpunkt liegt noch über der Grundfläche. Bei etwa 5,5 Grad wäre er gekippt; Ingenieure holten ihn bis 2001 um 40 cm zurück.

EntdeckenWinkel vergleichen

Das brauchst du: Faltpapier und Geodreieck

Falte einen rechten Winkel. Halte ihn an Ecken im Raum.

Mach die Augen zu. Öffne die Arme zu einem stumpfen Winkel.

Ausprobieren: Winkel ziehen und Winkelsumme

Einen Schenkel drehen und die Winkelart ablesen – oder die Spitze eines Dreiecks ziehen und die Summe beobachten.

MerkenWinkel

Rechter Winkel = Geodreieck-Ecke. Kleiner: spitz. Größer: stumpf.

BeispielRechte Winkel und Winkelarten

Ist der Winkel kleiner, gleich oder größer als ein rechter Winkel?
Schritt für Schritt
  1. Rechter Winkel = Ecke vom Geodreieck (90°)
  2. kleiner: spitz
  1. Rechter Winkel = Ecke vom Geodreieck (90°)
  2. kleiner: spitz
Ergebnis:
kleiner (spitz)

AchtungWinkel nach Schenkellänge beurteilt

So nicht
Winkel mit langen Schenkeln = größer als 90°
So richtig
Öffnung messen: beide Winkel = 60°, egal wie lang die Schenkel sind

Nur die Öffnung zählt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zwei Winkel. Welcher ist größer – A oder B? Halte das Geodreieck an.
    AB
    So fängst du an:
    Beide mit dem rechten Winkel vergleichen
    Lösung zeigen
    1. Beide mit dem rechten Winkel vergleichen
    2. A ist stumpf, B ist spitz
    Ergebnis:
    A ist größer (stumpf).
  2. ★2
    Finde verschiedene Dinge im Klassenzimmer mit einem rechten Winkel. Schreibe drei auf und prüfe sie mit dem Geodreieck.
    Lösung zeigen
    1. Alles, was eine „eckige Ecke“ hat
    2. Mit der Ecke vom Geodreieck nachprüfen – passt sie genau hinein?
    Ergebnis:
    Mehrere richtige Lösungen, zum Beispiel: Tischplatte, Tür, Fenster, Buch, Heft, Tafel, Fliese.

2Ich zeichne parallele und senkrechte Linien.

EntdeckenFrage

Woher wussten die Ägypter ohne Geodreieck, wo ein rechter Winkel ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einem Seil mit zwölf Knoten: Spannt man es als Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5, ist der Winkel zwischen 3 und 4 genau ein rechter. So wurden Felder und Tempel abgesteckt.

EntdeckenParallel und senkrecht

Das brauchst du: Stifte und Geodreieck

Leg zwei Stifte so, dass sie sich nie treffen. Leg einen dritten quer darüber.

Mach die Augen zu. Wo im Raum siehst du parallele Linien?

MerkenParallel und senkrecht

Parallel: überall gleicher Abstand.

Senkrecht: rechter Winkel. Geodreieck: Mittellinie auf die Gerade.

BeispielParallel und senkrecht prüfen

Welche Linie ist parallel zu a? Prüfe mit dem Geodreieck.
abcd
Schritt für Schritt
  1. Miss den Abstand zu a an zwei Stellen
  2. Bei einer Parallelen ist er gleich
  3. Die Linie b
  1. Miss den Abstand zu a an zwei Stellen
  2. Bei einer Parallelen ist er gleich
  3. Die Linie b
Ergebnis:
b

ÜbenJetzt du

  1. ○3
    Welche Linie ist parallel zu a? Nimm das Geodreieck zu Hilfe.
    abcd
    So fängst du an:
    Miss den Abstand zu a an zwei Stellen
    Lösung zeigen
    1. Miss den Abstand zu a an zwei Stellen
    2. Bei einer Parallelen ist er gleich
    3. Die Linie b
    Ergebnis:
    b
  2. ●4
    Welche Linie ist parallel zu a? Lege das Geodreieck an.
    abcd
    Lösung zeigen
    1. Miss den Abstand zu a an zwei Stellen
    2. Bei einer Parallelen ist er gleich
    3. Die Linie b
    Ergebnis:
    b
  3. ★5
    Welche Linie ist senkrecht zu a? Lege das Geodreieck an.
    abcd
    Lösung zeigen
    1. Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf a
    2. Die senkrechte Linie liegt genau an der Kante
    3. Die Linie b
    Ergebnis:
    b

3Ich finde alle Symmetrieachsen einer Figur.

EntdeckenFrage

Warum sehen Schmetterlinge auf beiden Seiten gleich aus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihr Körper spiegelsymmetrisch gebaut ist: Eine gedachte Linie in der Mitte teilt ihn in zwei gleiche Hälften. Gesichter sind fast, aber nie ganz symmetrisch.

EntdeckenAlle Achsen finden

Das brauchst du: Faltpapier und Spiegel

Schneide ein Quadrat aus. Falte es so oft, wie die Hälften genau passen.

Mach die Augen zu. Wie viele Achsen hat ein Rechteck?

MerkenSymmetrieachsen

Quadrat 4, Rechteck 2, Kreis unendlich viele, Parallelogramm keine.

BeispielSymmetrieachsen

Wie viele Symmetrieachsen hat die Raute?
Schritt für Schritt
  1. Falten: Wo passen beide Hälften genau aufeinander?
  2. 2
  1. Falten: Wo passen beide Hälften genau aufeinander?
  2. 2
Ergebnis:
2

ÜbenJetzt du

  1. ○6
    Vier Buchstaben: N · A · X · E. Welcher passt nicht dazu? Sag dazu, warum.
    So fängst du an:
    Bei jedem Buchstaben die Achsen zählen
    Lösung zeigen
    1. Bei jedem Buchstaben die Achsen zählen
    2. Mehr als eine Antwort ist richtig – die Begründung entscheidet.
    Ergebnis:
    N hat keine Achse, X hat zwei, die anderen eine. Jede Antwort mit Begründung gilt.
  2. ●7
    Hat der Buchstabe R eine Symmetrieachse? Wenn ja: wie viele?
    Lösung zeigen
    1. Stell dir einen Spiegel mitten auf den Buchstaben
    2. R passt bei keiner Faltung auf sich selbst.
    Ergebnis:
    keine Achse
  3. ★8
    Wie viele Symmetrieachsen hat die Raute? Zeichne sie alle ein.
    Lösung zeigen
    1. Falten: Wo passen beide Hälften genau aufeinander?
    2. 2
    Ergebnis:
    2

4Ich beschreibe Körper: Flächen, Ecken, Kanten – und ihre Netze.

EntdeckenFrage

Warum bauen Bienen ihre Waben sechseckig und nicht rund?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Sechsecke lückenlos aneinanderpassen und für dieselbe Fläche am wenigsten Wachs brauchen. Runde Zellen ließen Lücken – Sechsecke verschwenden nichts.

EntdeckenFlächen, Ecken, Kanten

Das brauchst du: Körper und Netze

Nimm einen Quader. Fahr mit dem Finger alle Kanten entlang.

Mach die Augen zu. Wie sieht das Netz eines Quaders aus?

MerkenKörper

Würfel und Quader: 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten.

Das Netz zeigt alle Flächen ausgebreitet.

BeispielWürfelnetze und Körper

Welcher Körper hat nur Quadrate als Flächen?
Schritt für Schritt
  1. Die Körper der Reihe nach durchgehen
  2. Antwort: Würfel
  1. Die Körper der Reihe nach durchgehen
  2. Antwort: Würfel
Ergebnis:
Würfel

ÜbenJetzt du

  1. ○9
    Wie viele Flächen, Ecken und Kanten hat ein Zylinder?
    So fängst du an:
    Flächen zählen, dann Ecken, dann Kanten
    Lösung zeigen
    1. Flächen zählen, dann Ecken, dann Kanten
    2. 3 Flächen (2 Kreise, 1 gebogene), keine Ecken, 2 Kanten
    Ergebnis:
    3 Flächen (2 Kreise, 1 gebogene), keine Ecken, 2 Kanten
  2. ●10
    Welcher Körper rollt in jede Richtung?
    Lösung zeigen
    1. Die Körper der Reihe nach durchgehen
    2. Antwort: Kugel
    Ergebnis:
    Kugel
  3. ★11
    Welcher Körper hat gar keine Ecke?
    Lösung zeigen
    1. Die Körper der Reihe nach durchgehen
    2. Antwort: Kugel, Zylinder oder Kegel
    Ergebnis:
    Kugel, Zylinder oder Kegel

5Ich bestimme Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken (Kästchen, cm).

EntdeckenFrage

Zwei Beete haben gleich viel Zaun – ist dann auch die Fläche gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Mit 20 Metern Zaun kann man 9 mal 1 Meter einfassen, das sind 9 Quadratmeter, oder 5 mal 5 Meter, das sind 25. Gleicher Umfang heißt nicht gleicher Flächeninhalt.

EntdeckenFläche und Umfang

Das brauchst du: Quadratplättchen und kariertes Papier

Leg ein Rechteck aus 3 Reihen mit je 5 Plättchen.

Mach die Augen zu. Wie viele Plättchen hat ein Rechteck mit 4 Reihen zu 6?

Ausprobieren: Flächen zerlegen und verschieben

Ein Dreieck abschneiden und verschieben: Aus dem Parallelogramm wird ein Rechteck, aus zwei Dreiecken ein Parallelogramm.

MerkenRechteck

Fläche: Länge mal Breite (Kästchen zählen). Umfang: einmal herum – 2 · Länge + 2 · Breite.

BeispielFläche und Umfang zählen

Zeichne im Heft eine Figur mit genau 12 Kästchen. Finde verschiedene Lösungen – und miss bei jeder den Umfang.
Schritt für Schritt
  1. 12 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 6 · 2, aber auch anders
  2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
  3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
  1. 12 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 6 · 2, aber auch anders
  2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
  3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
Ergebnis:
Mehrere richtige Lösungen. 6 · 2 hat den Umfang 16; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.

AchtungFläche und Umfang

So nicht
Rechteck 6 cm lang, 4 cm breit: Fläche = 20 cm
So richtig
Rechteck 6 cm lang, 4 cm breit: Fläche = 6 · 4 = 24 cm², Umfang = 2 · (6 + 4) = 20 cm

Fläche innen zählen, Umfang außen.

ÜbenJetzt du

  1. ○12
    Wie viele Kästchen hat die Figur? Wie lang ist der Rand (Umfang in Kästchenseiten)?
    So fängst du an:
    Fläche: 7 · 3 = 21 Kästchen
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 7 · 3 = 21 Kästchen
    2. Umfang: 7 + 3 + 7 + 3 = 20
    Ergebnis:
    21 Kästchen · Umfang 20
  2. ●13
    Aus dem Rechteck fehlt eine Ecke. Wie viele Kästchen hat die Figur? Wie lang ist der Umfang?
    Lösung zeigen
    1. Rechteck 5 · 2 = 10, minus Ecke 3 · 1 = 3
    2. Fläche 7
    3. Umfang bleibt wie beim Rechteck: 14
    Ergebnis:
    7 Kästchen · Umfang 14
  3. ★14
    Zwei Figuren: A ist 8 mal 3 Kästchen groß, B ist 4 mal 6. Welche hat mehr Kästchen? Welche hat den längeren Rand?
    Lösung zeigen
    1. Fläche A: 8 · 3 = 24 · Fläche B: 4 · 6 = 24
    2. Umfang A: 22 · Umfang B: 20
    3. Mehr Fläche heißt nicht automatisch mehr Rand.
    Ergebnis:
    Gleich viele Kästchen · A hat den längeren Rand

6Ich vergrößere und verkleinere Figuren am Raster.

EntdeckenFrage

Du zeichnest ein Bild doppelt so breit und doppelt so hoch ab. Braucht es doppelt so viele Kästchen – und warum?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein, viermal so viele. Ein Rechteck mit 2 mal 3 Kästchen hat 6 Kästchen. Doppelt so groß ist es 4 mal 6, das sind 24 Kästchen. 24 ist viermal 6.

EntdeckenVergrößern am Raster

Das brauchst du: Kariertes Papier

Zeichne ein kleines Haus auf Kästchen. Zeichne es noch einmal mit doppelt so langen Seiten.

Mach die Augen zu. Wie viele Kästchen hat das große Dach?

MerkenVergrößern

Jede Seite doppelt so lang → Fläche viermal so groß.

BeispielSymmetrieachsen

Vier Buchstaben: Z · A · H · D. Welcher passt nicht dazu? Sag dazu, warum.
Schritt für Schritt
  1. Bei jedem Buchstaben die Achsen zählen
  2. Mehr als eine Antwort ist richtig – die Begründung entscheidet.
  1. Bei jedem Buchstaben die Achsen zählen
  2. Mehr als eine Antwort ist richtig – die Begründung entscheidet.
Ergebnis:
Z hat keine Achse, H hat zwei, die anderen eine. Jede Antwort mit Begründung gilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○15
    Wie viele Symmetrieachsen hat das Parallelogramm?
    So fängst du an:
    Falten: Wo passen beide Hälften genau aufeinander?
    Lösung zeigen
    1. Falten: Wo passen beide Hälften genau aufeinander?
    2. Keine Faltlinie passt – die Figur hat keine Achse.
    Ergebnis:
    0
  2. ●16
    Hat der Buchstabe X eine Symmetrieachse? Wenn ja: wie viele?
    Lösung zeigen
    1. Stell dir einen Spiegel mitten auf den Buchstaben
    2. X: zwei Achsen
    Ergebnis:
    2 Achsen
  3. ★17
    Vier Buchstaben: S · T · H · E. Welcher passt nicht dazu? Sag dazu, warum.
    Lösung zeigen
    1. Bei jedem Buchstaben die Achsen zählen
    2. Mehr als eine Antwort ist richtig – die Begründung entscheidet.
    Ergebnis:
    S hat keine Achse, H hat zwei, die anderen eine. Jede Antwort mit Begründung gilt.

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●18
    Wie viele rechte Winkel hat ein Quadrat?
    Lösung zeigen
    1. Jede Ecke einzeln mit dem Geodreieck prüfen
    2. ein Quadrat: vier rechte Ecken
    Ergebnis:
    4
  2. ●19
    Hat der Buchstabe H eine Symmetrieachse? Wenn ja: wie viele?
    Lösung zeigen
    1. Stell dir einen Spiegel mitten auf den Buchstaben
    2. H: zwei Achsen
    Ergebnis:
    2 Achsen
  3. ●20
    Wie lang ist der Rand (Umfang) der Figur? Ein Kästchen ist 1 cm.
    Lösung zeigen
    1. Oben 5, unten 5, links 5, rechts 5
    2. 5 + 5 + 5 + 5 = 20 cm
    Ergebnis:
    20 cm
  4. ●21
    Genau 4 Uhr. Welcher Winkel entsteht zwischen den Zeigern?
    121234567891011
    Lösung zeigen
    1. Ein rechter Winkel ist eine Viertelstunde: von der 12 bis zur 3
    2. 4 Uhr: stumpfer Winkel
    Ergebnis:
    stumpfer Winkel
  5. ●22
    Das Muster wird an der roten Achse gespiegelt. Wie viele Kästchen sind es dann zusammen?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kästchen bekommt ein Spiegelbild
    2. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  6. ●23
    Wie viele Flächen hat eine Pyramide? Denk auch an die, die man nicht sieht.
    Lösung zeigen
    1. Vorne und oben siehst du nicht alles
    2. Pyramide: 5 Flächen
    Ergebnis:
    5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Winkel
Rechter Winkel = Geodreieck-Ecke. Kleiner: spitz. Größer: stumpf.
Parallel und senkrecht
Parallel: überall gleicher Abstand.
Symmetrieachsen
Quadrat 4, Rechteck 2, Kreis unendlich viele, Parallelogramm keine.
Körper
Würfel und Quader: 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten.
Rechteck
Fläche: Länge mal Breite (Kästchen zählen). Umfang: einmal herum – 2 · Länge + 2 · Breite.
Vergrößern
Jede Seite doppelt so lang → Fläche viermal so groß.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne rechte, spitze und stumpfe Winkel mit dem Geodreieck.

    24
    Wie viele rechte Winkel hat ein Rechteck?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  2. Ich zeichne parallele und senkrechte Linien.

    25
    Welche Linie ist parallel zu a? Prüfe mit dem Geodreieck.
    abcd
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    b

  3. Ich finde alle Symmetrieachsen einer Figur.

    26
    Wie viele Symmetrieachsen hat das gleichseitige Dreieck?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3

  4. Ich beschreibe Körper: Flächen, Ecken, Kanten – und ihre Netze.

    27
    Wie viele Flächen, Ecken und Kanten hat ein Zylinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Flächen (2 Kreise, 1 gebogene), keine Ecken, 2 Kanten

  5. Ich bestimme Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken (Kästchen, cm).

    28
    Aus dem Rechteck fehlt eine Ecke. Wie viele Kästchen hat die Figur? Wie lang ist der Umfang?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 Kästchen · Umfang 26

  6. Ich vergrößere und verkleinere Figuren am Raster.

    29
    Wie viele Symmetrieachsen hat die Raute?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ist diese Ecke genau rechtwinklig oder nur fast? Entscheide mit bloßem Auge. Begründe deine Antwort.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Das Geodreieck: rechte Winkel und parallele Linien prüfen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Baupläne, Verpackungen auffalten.

Wörter

Flächeninhalt
wie viel Platz innen drin ist
Umfang
der Weg einmal außen herum

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Flächen, Umfang, Körper und Netze

Darauf baut auf: Vierecke, Kreise und Bewegungen, Ansichten und Baupläne, Würfel und Quader, Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Flächen und Umfang, Winkel

Lösungen

  1. A ist größer (stumpf).
  2. Mehrere richtige Lösungen, zum Beispiel: Tischplatte, Tür, Fenster, Buch, Heft, Tafel, Fliese.
  3. b
  4. b
  5. b
  6. N hat keine Achse, X hat zwei, die anderen eine. Jede Antwort mit Begründung gilt.
  7. keine Achse
  8. 2
  9. 3 Flächen (2 Kreise, 1 gebogene), keine Ecken, 2 Kanten
  10. Kugel
  11. Kugel, Zylinder oder Kegel
  12. 21 Kästchen · Umfang 20
  13. 7 Kästchen · Umfang 14
  14. Gleich viele Kästchen · A hat den längeren Rand
  15. 0
  16. 2 Achsen
  17. S hat keine Achse, H hat zwei, die anderen eine. Jede Antwort mit Begründung gilt.
  18. 4
  19. 2 Achsen
  20. 20 cm
  21. stumpfer Winkel
  22. 8
  23. 5
  24. 4
  25. b
  26. 3
  27. 3 Flächen (2 Kreise, 1 gebogene), keine Ecken, 2 Kanten
  28. 36 Kästchen · Umfang 26
  29. 2
  30. B
  31. 2 rechte Winkel