Mathematik · Klasse 8 und 9 · Kapitel

Lineare Gleichungssysteme

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Zwei Eis und ein Kaffee kosten 7 €, ein Eis und zwei Kaffee kosten 8 €. Was kostet ein Eis? Probier es aus.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Probieren findet die Lösung nach einer Weile, aber bei krummen Preisen nicht mehr. Und niemand weiß, ob es nur eine Lösung gibt. Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte – und ein Verfahren, das immer zum Ziel führt, auch bei 2,35 €.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man auf beiden Seiten dasselbe tut.

●40
Löse: 9x + 9 = 3x − 21
Lösung zeigen
1. | − 3x → 6x + 9 = −21
2. | − 9 → 6x = −30
3. | : 6 → x = −5
Ergebnis:
x = −5
●41
Fasse zusammen: 6x + 9 − 1x + 3
Lösung zeigen
1. x-Glieder: 6x − 1x = 5x
2. Zahlen: 9 + 3 = 12
Ergebnis:
5x + 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Schnittpunkt erfüllt beide Bedingungen

Zwei Gleichungen, zwei Bedingungen. Gesucht ist das Zahlenpaar, das BEIDE erfüllt – grafisch der Schnittpunkt der beiden Geraden.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei parallele Geraden. Wie viele Lösungen hat das zugehörige System – und warum?

1Ich lese die Lösung eines Gleichungssystems als Schnittpunkt zweier Geraden ab.

EntdeckenFrage

Wie findet ein Handy heraus, wo es ist – ohne zu wissen, wo es ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Gleichungen: Jeder Satellit liefert eine Gleichung (Abstand aus der Laufzeit), vier Satelliten vier Gleichungen, vier Unbekannte – Ort und Uhrzeit. Ein Gleichungssystem in jeder Hosentasche.

Ausprobieren: Lineare Funktion y = m · x + b

Steigung und Achsenabschnitt mit Reglern oder Ziehpunkten verändern – mit Steigungsdreieck und Wertetabelle.

MerkenGleichungssystem

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.

Die Lösung (x | y) erfüllt beide – grafisch: der Schnittpunkt zweier Geraden.

Eselsbrücke: Was du links tust, tu auch rechts – die Waage bleibt im Gleichgewicht

BeispielGleichungssystem: Schnittpunkt ablesen und prüfen

Das Bild zeigt die Geraden zu I: y = −2x + 2 und II: y = −3x + 2. Lies den Schnittpunkt ab und prüfe ihn durch Einsetzen in beide Gleichungen.

Schritt für Schritt

Ablesen: Beide Geraden gehen durch (0 | 2).
Probe in I: (−2) · 0 + 2 = 2
Probe in II: (−3) · 0 + 2 = 2
Lösung: x = 0, y = 2

Ablesen: Beide Geraden gehen durch (0 | 2).
Probe in I: (−2) · 0 + 2 = 2
Probe in II: (−3) · 0 + 2 = 2
Lösung: x = 0, y = 2

Ergebnis:

S(0 | 2)

AchtungNur eine Variable bestimmt

So nicht

x = 4  →  fertig

So richtig

x = 4, eingesetzt: y = 2 · 4 − 1 = 7. L = {(4 | 7)}

Nach x immer y berechnen und Probe machen.

ÜbenJetzt du

○1
Das Bild zeigt die Geraden zu I: y = 2x + 6 und II: y = −2x + 2. Lies den Schnittpunkt ab und prüfe ihn durch Einsetzen in beide Gleichungen.
So fängst du an:
Ablesen: Beide Geraden gehen durch (−1 | 4).
Lösung zeigen
1. Ablesen: Beide Geraden gehen durch (−1 | 4).
2. Probe in I: 2 · (−1) + 6 = 4
3. Probe in II: (−2) · (−1) + 2 = 4
4. Lösung: x = −1, y = 4
Ergebnis:
S(−1 | 4)
●2
Das Bild zeigt die Geraden zu I: y = −3x und II: y = 3x − 6. Lies den Schnittpunkt ab und prüfe ihn durch Einsetzen in beide Gleichungen.
Lösung zeigen
1. Ablesen: Beide Geraden gehen durch (1 | −3).
2. Probe in I: (−3) · 1 + 0 = −3
3. Probe in II: 3 · 1 − 6 = −3
4. Lösung: x = 1, y = −3
Ergebnis:
S(1 | −3)
★3
Das Bild zeigt die Geraden zu I: y = x − 3 und II: y = −0,5x − 1,5. Lies den Schnittpunkt ab und prüfe ihn durch Einsetzen in beide Gleichungen.
Lösung zeigen
1. Ablesen: Beide Geraden gehen durch (1 | −2).
2. Probe in I: 1 · 1 − 3 = −2
3. Probe in II: (−0,5) · 1 − 1,5 = −2
4. Lösung: x = 1, y = −2
Ergebnis:
S(1 | −2)

2Ich löse grafisch.

EntdeckenFrage

Zwei Züge fahren aufeinander zu – woran sieht man im Diagramm, wann sie sich begegnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Am Schnittpunkt der beiden Linien. Dort stimmen Zeit und Ort für beide überein, und genau dieses Paar ist die Lösung eines Systems aus zwei Gleichungen.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenGrafisch lösen

Beide Gleichungen nach y auflösen, Geraden zeichnen, Schnittpunkt ablesen.

Ungenau bei krummen Zahlen – deshalb rechnen.

BeispielGleichungssystem grafisch lösen

Löse grafisch: I: y = x − 2 und II: y = −x. Zeichne beide Geraden und lies den Schnittpunkt ab.

Schritt für Schritt

I: Start (0 | −2), Steigung 1
II: Start (0 | 0), Steigung −1
Schnittpunkt ablesen: S(1 | −1)
Probe in II: −· 1 = −1 ✓

I: Start (0 | −2), Steigung 1
II: Start (0 | 0), Steigung −1
Schnittpunkt ablesen: S(1 | −1)
Probe in II: −· 1 = −1 ✓

Ergebnis:

S(1 | −1), also x = 1 und y = −1

Achtungy-Achsenabschnitt statt Schnittpunkt als Lösung genommen

So nicht

y = x − 4, y = −2x + 2 → S(0 | −4)

So richtig

y = x − 4, y = −2x + 2 → S(2 | −2)

Such die Stelle, an der sich beide Geraden kreuzen.

ÜbenJetzt du

○4
Löse grafisch: I: y = x − 4 und II: y = −x + 2. Zeichne beide Geraden und lies den Schnittpunkt ab.
So fängst du an:
I: Start (0 | −4), Steigung 1
Lösung zeigen
1. I: Start (0 | −4), Steigung 1
2. II: Start (0 | 2), Steigung −1
3. Schnittpunkt ablesen: S(3 | −1)
4. Probe in II: −· 3 + 2 = −1 ✓
Ergebnis:
S(3 | −1), also x = 3 und y = −1
●5
Löse grafisch: I: y = −x − 1 und II: y = −2x − 3. Zeichne beide Geraden und lies den Schnittpunkt ab.
Lösung zeigen
1. I: Start (0 | −1), Steigung −1
2. II: Start (0 | −3), Steigung −2
3. Schnittpunkt ablesen: S(−2 | 1)
4. Probe in II: −2· (−2) − 3 = 1 ✓
Ergebnis:
S(−2 | 1), also x = −2 und y = 1
★6
Löse grafisch: I: y = 2x + 3 und II: y = 0,5x + 1,5. Zeichne beide Geraden und lies den Schnittpunkt ab.
Lösung zeigen
1. I: Start (0 | 3), Steigung 2
2. II: Start (0 | 1,5), Steigung 0,5
3. Schnittpunkt ablesen: S(−1 | 1)
4. Probe in II: 0,5· (−1) + 1,5 = 1 ✓
Ergebnis:
S(−1 | 1), also x = −1 und y = 1

3Ich löse mit dem Gleichsetzungsverfahren.

EntdeckenFrage

Zwei Fahrradverleihe rechnen verschieden ab – ab wann ist der eine günstiger als der andere?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Genau dort, wo beide gleich viel verlangen. Man setzt die zwei Terme gleich und löst nach der Zeit auf; vorher liegt der eine vorn, danach der andere.

MerkenGleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und gleichsetzen.

Lösen, dann zurück einsetzen.

BeispielGleichsetzungsverfahren

Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y = 2x − 4, II: y = 4x − 14

Schritt für Schritt

Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst → gleichsetzen: 2x − 4 = 4x − 14
−2x = −10
x = 5
x in I: y = 2· 5 − 4 = 6

Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst → gleichsetzen: 2x − 4 = 4x − 14
−2x = −10
x = 5
x in I: y = 2· 5 − 4 = 6

Ergebnis:

x = 5, y = 6

AchtungVorzeichenregel beim Mal und Geteilt

So nicht

Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y = 2x − 4, II: y = 4x − 14 → x = −5, y = −14

So richtig

Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y = 2x − 4, II: y = 4x − 14 → x = 5, y = 6

Bestimme zuerst das Vorzeichen: gleiche Zeichen plus, verschiedene minus.

ÜbenJetzt du

○7
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y = x − 7, II: y = 4x − 22
So fängst du an:
Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst → gleichsetzen: x − 7 = 4x − 22
Lösung zeigen
1. Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst → gleichsetzen: x − 7 = 4x − 22
2. −3x = −15
3. x = 5
4. x in I: y = · 5 − 7 = −2
Ergebnis:
x = 5, y = −2
●8
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y = 2x − 9, II: y = −x
Lösung zeigen
1. Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst → gleichsetzen: 2x − 9 = −x
2. 3x = 9
3. x = 3
4. x in I: y = 2· 3 − 9 = −3
Ergebnis:
x = 3, y = −3
★9
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y = −3x + 1, II: y = −4x + 1
Lösung zeigen
1. Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst → gleichsetzen: −3x + 1 = −4x + 1
2. x = 0
3. x = 0
4. x in I: y = −3· 0 + 1 = 1
Ergebnis:
x = 0, y = 1

4Ich löse mit dem Einsetzungsverfahren.

EntdeckenFrage

Warum darf man eine Unbekannte einfach durch die andere ersetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil beide Gleichungen gleichzeitig gelten. Was die eine über y aussagt, darf in die andere hinein – aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wird eine mit einer.

MerkenEinsetzungsverfahren

Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und diesen Term in die andere einsetzen.

BeispielEinsetzungsverfahren

Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
I: y = x − 1
II: 3x − y = −5

Schritt für Schritt

I in II einsetzen: 3x − (x − 1) = −5
2x = −6, also x = −3
y = · −3 − 1 = −4

I in II einsetzen: 3x − (x − 1) = −5
2x = −6, also x = −3
y = · −3 − 1 = −4

Ergebnis:

x = −3; y = −4

AchtungBeim Seitenwechsel das Vorzeichen behalten

So nicht

3x = 6 − x → 2x = 6

So richtig

3x = 6 − x | + x → 4x = 6

Rechne auf beiden Seiten dasselbe, statt Zahlen zu verschieben.

ÜbenJetzt du

○10
Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
I: y = x + 9
II: 4x + y = −1
So fängst du an:
I in II einsetzen: 4x + (x + 9) = −1
Lösung zeigen
1. I in II einsetzen: 4x + (x + 9) = −1
2. 5x = −10, also x = −2
3. y = · −2 + 9 = 7
Ergebnis:
x = −2; y = 7
●11
Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
I: y = x + 3
II: 4x + 2y = 24
Lösung zeigen
1. I in II einsetzen: 4x + 2 · (x + 3) = 24
2. 6x = 18, also x = 3
3. y = · 3 + 3 = 6
Ergebnis:
x = 3; y = 6
★12
Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
I: y = −2x − 8
II: 2x − y = 0
Lösung zeigen
1. I in II einsetzen: 2x − (−2x − 8) = 0
2. 4x = −8, also x = −2
3. y = −2 · −2 − 8 = −4
Ergebnis:
x = −2; y = −4

5Ich löse mit dem Additionsverfahren.

EntdeckenFrage

Warum darf man zwei ganze Gleichungen einfach zusammenzählen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil links und rechts jeweils dasselbe steht. Addiert man Gleiches zu Gleichem, bleibt die Aussage wahr – und wenn sich dabei eine Unbekannte weghebt, bleibt nur eine übrig.

MerkenAdditionsverfahren

Gleichungen so multiplizieren, dass eine Variable beim Addieren wegfällt.

Dann lösen, zurück einsetzen.

BeispielAdditionsverfahren

Löse mit dem Additionsverfahren: I: 2x + 3y = 4, II: x − 3y = −7

Schritt für Schritt

y hat in I und II entgegengesetzte Vorzeichen → I + II addieren
3x = −3
x = −1
x in I: −2 + 3y = 4 → y = 2

y hat in I und II entgegengesetzte Vorzeichen → I + II addieren
3x = −3
x = −1
x in I: −2 + 3y = 4 → y = 2

Ergebnis:

x = −1, y = 2

Achtungx- und y-Koordinate vertauscht

So nicht

P(2 | 5) bei 5 nach rechts, 2 nach oben

So richtig

P(2 | 5): 2 nach rechts, 5 nach oben

Geh zuerst nach rechts oder links, dann nach oben oder unten.

ÜbenJetzt du

○13
Löse mit dem Additionsverfahren: I: 2x + 2y = 8, II: 2x − 2y = 12
So fängst du an:
y hat in I und II entgegengesetzte Vorzeichen → I + II addieren
Lösung zeigen
1. y hat in I und II entgegengesetzte Vorzeichen → I + II addieren
2. 4x = 20
3. x = 5
4. x in I: 10 + 2y = 8 → y = −1
Ergebnis:
x = 5, y = −1
●14
Löse mit dem Additionsverfahren: I: 3x + y = 12, II: 2x − y = 13
Lösung zeigen
1. y hat in I und II entgegengesetzte Vorzeichen → I + II addieren
2. 5x = 25
3. x = 5
4. x in I: 15 + y = 12 → y = −3
Ergebnis:
x = 5, y = −3
★15
Löse mit dem Additionsverfahren: I: 2x + 3y = 11, II: −3x − 3y = −12
Lösung zeigen
1. y hat in I und II entgegengesetzte Vorzeichen → I + II addieren
2. −x = −1
3. x = 1
4. x in I: 2 + 3y = 11 → y = 3
Ergebnis:
x = 1, y = 3

6Ich wähle das passende Verfahren.

EntdeckenFrage

Warum ist bei y = 2x + 1 und y = −x + 7 das Gleichsetzen schneller als das Additionsverfahren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beide Gleichungen sind schon nach y aufgelöst. Gleichsetzen ergibt 2x + 1 = −x + 7, also 3x = 6 und x = 2. Dann ist y = 5. Für das Additionsverfahren müsste man erst umstellen.

MerkenVerfahren wählen

Beide nach y aufgelöst → gleichsetzen.

Eine aufgelöst → einsetzen. Gleiche Koeffizienten → addieren.

BeispielLineares Gleichungssystem

Löse das Gleichungssystem:
I: 2x + y = 6
II: x + 3y = 8

Schritt für Schritt

I nach y umstellen, in II einsetzen
x = 2
Einsetzen: y = 2

I nach y umstellen, in II einsetzen
x = 2
Einsetzen: y = 2

Ergebnis:

x = 2; y = 2

AchtungSchnittpunkt mit vertauschten Koordinaten abgelesen

So nicht

Schnittpunkt → S(−2 | 2)

So richtig

Schnittpunkt → S(2 | −2)

Lies zuerst ab, wie weit rechts oder links, dann wie hoch.

ÜbenJetzt du

○16
Löse das Gleichungssystem:
I: 3x − y = −15
II: x − 2y = −15
So fängst du an:
I nach y umstellen, in II einsetzen
Lösung zeigen
1. I nach y umstellen, in II einsetzen
2. x = −3
3. Einsetzen: y = 6
Ergebnis:
x = −3; y = 6
●17
Löse das Gleichungssystem:
I: 2x + 2y = 2
II: 2x − 2y = 10
Lösung zeigen
1. Additionsverfahren: I·−2 + II·2
2. x = 3
3. Einsetzen: y = −2
Ergebnis:
x = 3; y = −2
★18
Löse das Gleichungssystem:
I: 4x + 5y = 33
II: 3x − 3y = −9
Lösung zeigen
1. Additionsverfahren: I·−3 + II·5
2. x = 2
3. Einsetzen: y = 5
Ergebnis:
x = 2; y = 5

7Ich erkenne Systeme ohne oder mit unendlich vielen Lösungen.

EntdeckenFrage

Auf der Ringbahn fahren die Züge im 5-Minuten-Takt gleich schnell. Warum holt nie einer den anderen ein?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Weg-Zeit-Diagramm haben beide Züge dieselbe Steigung, der zweite ist nur um 5 Minuten verschoben. Die Geraden sind parallel. Gleichsetzen führt auf eine falsche Aussage wie 0 = 5. Das System hat keine Lösung.

MerkenKeine oder unendlich viele Lösungen

Falsche Aussage (0 = 5): parallele Geraden, keine Lösung.

Wahre Aussage (0 = 0): gleiche Gerade, unendlich viele.

BeispielKeine oder unendlich viele Lösungen

Wie viele Lösungen hat das System? I: y = 2x + 3, II: y = 2x + 3 Begründe.

Schritt für Schritt

Beide Geraden haben die Steigung 2 → parallel und gleich
Gleicher y-Achsenabschnitt 3 → dieselbe Gerade

Beide Geraden haben die Steigung 2 → parallel und gleich
Gleicher y-Achsenabschnitt 3 → dieselbe Gerade

Ergebnis:

Unendlich viele Lösungen – es ist dieselbe Gerade.

AchtungAnzahl der Lösungen nicht an der Lage der Geraden erkannt

So nicht

zwei Geraden kreuzen sich → keine Lösung

So richtig

zwei Geraden kreuzen sich → genau eine Lösung

Schau auf die Geraden: kreuzen, parallel oder aufeinander?

ÜbenJetzt du

○19
Wie viele Lösungen hat das System? I: y = 3x − 4, II: y = 3x − 1 Begründe.
So fängst du an:
Beide Geraden haben die Steigung 3 → parallel
Lösung zeigen
1. Beide Geraden haben die Steigung 3 → parallel
2. Verschiedene y-Achsenabschnitte (−4 und −1) → kein Schnittpunkt
Ergebnis:
Keine Lösung – die Geraden sind parallel.
●20
Wie viele Lösungen hat das System? I: y = 3x − 2, II: y = 3x − 5 Begründe.
Lösung zeigen
1. Beide Geraden haben die Steigung 3 → parallel
2. Verschiedene y-Achsenabschnitte (−2 und −5) → kein Schnittpunkt
Ergebnis:
Keine Lösung – die Geraden sind parallel.
★21
Wie viele Lösungen hat das System? I: y = x + 3, II: 2y = 2x + 6 Begründe.
Lösung zeigen
1. II durch 2 teilen: y = x + 3
2. Beide Geraden haben die Steigung 1 → parallel und gleich
3. Gleicher y-Achsenabschnitt 3 → dieselbe Gerade
Ergebnis:
Unendlich viele Lösungen – es ist dieselbe Gerade.

8Ich löse Sachaufgaben (Zahlenrätsel, Preise, Mischungen).

EntdeckenFrage

Leverkusen blieb 2023/24 in 34 Bundesligaspielen ungeschlagen und holte 90 Punkte. Wie oft spielte es unentschieden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit s Siegen und u Unentschieden gilt s + u = 34 und 3s + u = 90. Subtrahiert man die erste Gleichung, bleibt 2s = 56, also s = 28. Dann ist u = 6. Leverkusen spielte sechsmal unentschieden.

MerkenSachaufgaben

Zwei Unbekannte benennen, zwei Bedingungen aus dem Text → zwei Gleichungen.

Lösen, Probe am Text, Antwortsatz.

BeispielGleichungssystem als Sachaufgabe

8 Personen zahlen im Kino zusammen 48,00 €. Kinder zahlen 3,00 €, Erwachsene 9,00 €. Bestimme, wie viele Kinder und wie viele Erwachsene es sind.

Schritt für Schritt

k + e = 8; 3k + 9e = 48
k = 8 − e → 3(8 − e) + 9e = 48
6e = 24 → e = 4, k = 4

k + e = 8; 3k + 9e = 48
k = 8 − e → 3(8 − e) + 9e = 48
6e = 24 → e = 4, k = 4

Ergebnis:

4 Kinder, 4 Erwachsene

AchtungPunkt erfüllt nur eine der beiden Gleichungen

So nicht

S(3 | −1) passt in y = x − 4

So richtig

S(2 | −2) passt in beide Gleichungen

Setz den Punkt in beide Gleichungen ein. Er muss beide erfüllen.

ÜbenJetzt du

○22
7 Personen zahlen im Kino zusammen 42,00 €. Kinder zahlen 5,00 €, Erwachsene 12,00 €. Bestimme, wie viele Kinder und wie viele Erwachsene es sind.
So fängst du an:
k + e = 7; 5k + 12e = 42
Lösung zeigen
1. k + e = 7; 5k + 12e = 42
2. k = 7 − e → 5(7 − e) + 12e = 42
3. 7e = 7 → e = 1, k = 6
Ergebnis:
6 Kinder, 1 Erwachsene
●23
7 Personen zahlen im Kino zusammen 31,00 €. Kinder zahlen 3,00 €, Erwachsene 8,00 €. Bestimme, wie viele Kinder und wie viele Erwachsene es sind.
Lösung zeigen
1. k + e = 7; 3k + 8e = 31
2. k = 7 − e → 3(7 − e) + 8e = 31
3. 5e = 10 → e = 2, k = 5
Ergebnis:
5 Kinder, 2 Erwachsene
★24
8 Personen zahlen im Kino zusammen 60,00 €. Kinder zahlen 3,00 €, Erwachsene 12,00 €. Bestimme, wie viele Kinder und wie viele Erwachsene es sind.
Lösung zeigen
1. k + e = 8; 3k + 12e = 60
2. k = 8 − e → 3(8 − e) + 12e = 60
3. 9e = 36 → e = 4, k = 4
Ergebnis:
4 Kinder, 4 Erwachsene

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Löse das Gleichungssystem:
I: x + y = 3
II: 2x − 2y = −2
Lösung zeigen
1. I nach y umstellen, in II einsetzen
2. x = 1
3. Einsetzen: y = 2
Ergebnis:
x = 1; y = 2
●26
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y = 2x − 8, II: y = −2x + 4
Lösung zeigen
1. Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst → gleichsetzen: 2x − 8 = −2x + 4
2. 4x = 12
3. x = 3
4. x in I: y = 2· 3 − 8 = −2
Ergebnis:
x = 3, y = −2
●27
Löse mit dem Additionsverfahren: I: 4x + y = 21, II: x − y = 4
Lösung zeigen
1. y hat in I und II entgegengesetzte Vorzeichen → I + II addieren
2. 5x = 25
3. x = 5
4. x in I: 20 + y = 21 → y = 1
Ergebnis:
x = 5, y = 1
●28
Wie viele Lösungen hat das System? I: y = x + 4, II: y = x + 4 Begründe.
Lösung zeigen
1. Beide Geraden haben die Steigung 1 → parallel und gleich
2. Gleicher y-Achsenabschnitt 4 → dieselbe Gerade
Ergebnis:
Unendlich viele Lösungen – es ist dieselbe Gerade.
●29
10 Personen zahlen im Kino zusammen 56,00 €. Kinder zahlen 4,00 €, Erwachsene 8,00 €. Bestimme, wie viele Kinder und wie viele Erwachsene es sind.
Lösung zeigen
1. k + e = 10; 4k + 8e = 56
2. k = 10 − e → 4(10 − e) + 8e = 56
3. 4e = 16 → e = 4, k = 6
Ergebnis:
6 Kinder, 4 Erwachsene
●30
Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
I: y = 3x + 9
II: 4x + 2y = 8
Lösung zeigen
1. I in II einsetzen: 4x + 2 · (3x + 9) = 8
2. 10x = −10, also x = −1
3. y = 3 · −1 + 9 = 6
Ergebnis:
x = −1; y = 6

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Gleichungssystem: Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.
Grafisch lösen: Beide Gleichungen nach y auflösen, Geraden zeichnen, Schnittpunkt ablesen.
Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und gleichsetzen.
Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und diesen Term in die andere einsetzen.
Additionsverfahren: Gleichungen so multiplizieren, dass eine Variable beim Addieren wegfällt.
Verfahren wählen: Beide nach y aufgelöst → gleichsetzen.
Keine oder unendlich viele Lösungen: Falsche Aussage (0 = 5): parallele Geraden, keine Lösung.
Sachaufgaben: Zwei Unbekannte benennen, zwei Bedingungen aus dem Text → zwei Gleichungen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich lese die Lösung eines Gleichungssystems als Schnittpunkt zweier Geraden ab.
31
Das Bild zeigt die Geraden zu I: y = −3x − 3 und II: y = −2x − 2. Lies den Schnittpunkt ab und prüfe ihn durch Einsetzen in beide Gleichungen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(−1 | 0)
Ich löse grafisch.
32
Löse grafisch: I: y = x − 1 und II: y = −2x + 11. Zeichne beide Geraden und lies den Schnittpunkt ab.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(4 | 3), also x = 4 und y = 3
Ich löse mit dem Gleichsetzungsverfahren.
33
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y = 3x − 11, II: y = −2x + 9
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 4, y = 1
Ich löse mit dem Einsetzungsverfahren.
34
Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
I: y = 2x − 7
II: 2x + 2y = −2
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 2; y = −3
Ich löse mit dem Additionsverfahren.
35
Löse mit dem Additionsverfahren: I: 2x + y = 0, II: 5x − y = −21
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = −3, y = 6
Ich wähle das passende Verfahren.
36
Löse das Gleichungssystem:
I: 3x + y = 24
II: −x − 2y = −18
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 6; y = 6
Ich erkenne Systeme ohne oder mit unendlich vielen Lösungen.
37
Wie viele Lösungen hat das System? I: y = x − 3, II: y = x − 3 Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Unendlich viele Lösungen – es ist dieselbe Gerade.
Ich löse Sachaufgaben (Zahlenrätsel, Preise, Mischungen).
38
8 Personen zahlen im Kino zusammen 61,00 €. Kinder zahlen 5,00 €, Erwachsene 12,00 €. Bestimme, wie viele Kinder und wie viele Erwachsene es sind.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Kinder, 3 Erwachsene
Ich wiederhole vertiefend.
39
Löse das Gleichungssystem:
I: 3x + 2y = −13
II: x − 2y = 1
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = −3; y = −2

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Zwei Eis und ein Kaffee kosten 7 €, ein Eis und zwei Kaffee kosten 8 €. Was kostet ein Eis? Probier es aus.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Das Gleichungssystem: zwei Unbekannte, zwei Gleichungen.

Wo brauchst du das?

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Zwei Tarife – ab wann lohnt der andere? Beruf: Logistik (Mischungen), Elektrotechnik, Wirtschaft.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Term: eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen
Variable: ein Buchstabe, der für eine Zahl steht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme und Gleichungen, Lineare Funktionen, Gleichungen und Formeln

Darauf baut auf: Quadratische Gleichungen

Lösungen

S(−1 | 4)
S(1 | −3)
S(1 | −2)
S(3 | −1), also x = 3 und y = −1
S(−2 | 1), also x = −2 und y = 1
S(−1 | 1), also x = −1 und y = 1
x = 5, y = −2
x = 3, y = −3
x = 0, y = 1
x = −2; y = 7
x = 3; y = 6
x = −2; y = −4
x = 5, y = −1
x = 5, y = −3
x = 1, y = 3
x = −3; y = 6
x = 3; y = −2
x = 2; y = 5
Keine Lösung – die Geraden sind parallel.
Keine Lösung – die Geraden sind parallel.
Unendlich viele Lösungen – es ist dieselbe Gerade.
6 Kinder, 1 Erwachsene
5 Kinder, 2 Erwachsene
4 Kinder, 4 Erwachsene
x = 1; y = 2
x = 3, y = −2
x = 5, y = 1
Unendlich viele Lösungen – es ist dieselbe Gerade.
6 Kinder, 4 Erwachsene
x = −1; y = 6
S(−1 | 0)
S(4 | 3), also x = 4 und y = 3
x = 4, y = 1
x = 2; y = −3
x = −3, y = 6
x = 6; y = 6
Unendlich viele Lösungen – es ist dieselbe Gerade.
5 Kinder, 3 Erwachsene
x = −3; y = −2
x = −5
5x + 12