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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 15 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 15 · 10 = 150 mm
    Ergebnis:
    150 mm
  2. ●40
    Am Pausenkiosk kosten 4 belegte Brötchen zusammen 8,00 €. Was kosten 8 belegte Brötchen?
    Lösung zeigen
    1. Brötchen€
    2. 4 belegte Brötchen→8,00 €
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 belegtes Brötchen→8,00 € : 4 = 2,00 €
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 belegte Brötchen→2,00 € · 8 = 16,00 €
    Ergebnis:
    16,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele cm sind 1,5 m? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1,5 · 100 = 150
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1,5 · 100 = 150
Ergebnis:
150 cm

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Staubsauger hat 20 W. Gib die Angabe in kW an.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
    Ergebnis:
    0,02 kW
  2. ●2
    Rechne um: 40 cm in m.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 100 = 0,4
    Ergebnis:
    0,4 m
  3. ★3
    Rechne um: 6,5 ml in cl.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 6,5 : 10 = 0,65
    Ergebnis:
    0,65 cl

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
gegebengesucht30 km/h10 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
  2. 36 km/h > 30 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
  2. 36 km/h > 30 km/h
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Zug ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
    3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
    Ergebnis:
    36 km/h
  2. ●5
    Ein Radfahrer ist 20 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 20 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 20 · 3600 = 72.000, also 72.000 m in einer Stunde.
    3. 72.000 m = 72 km, also 72 km/h.
    Ergebnis:
    72 km/h
  3. ★6
    Ein ICE fährt 108 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 108 : 3,6 = 30, also 30 m in einer Sekunde.
    2. 30 · 60 = 1800, also 1800 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    30 m je Sekunde, 1800 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Spielkonsole hat 150 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht150 W3 Stunden30 Tage40 ct?
Schritt für Schritt
  1. 150 W = 0,15 kW
  2. Energie: 0,15 · 3 · 30 = 13,5, also 13,5 kWh.
  3. Kosten: 13,5 · 40 = 540, also 540 ct ≈ 5,40 €.
  1. 150 W = 0,15 kW
  2. Energie: 0,15 · 3 · 30 = 13,5, also 13,5 kWh.
  3. Kosten: 13,5 · 40 = 540, also 540 ct ≈ 5,40 €.
Ergebnis:
≈ 5,40 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW90 Minuten40 ct?
    So fängst du an:
    90 min = 1,5 h
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1,5 h
    2. 2 · 1,5 = 3, also 3 kWh.
    3. 3 · 40 = 120, also 120 ct.
    Ergebnis:
    3 kWh, 120 ct
  2. ●8
    Eine Lampe hat 10 W und läuft 2 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht10 W2 Stunden30 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 10 W = 0,01 kW
    2. Energie: 0,01 · 2 · 30 = 0,6, also 0,6 kWh.
    3. Kosten: 0,6 · 30 = 18, also 18 ct ≈ 0,18 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,18 €
  3. ★9
    Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 40 = 25, also 25 Stunden.
    Ergebnis:
    25 Stunden

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 120 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 120 : 6 = 20, also 20 ml.
  3. Saft: 1 · 20 = 20. Wasser: 5 · 20 = 100
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 120 : 6 = 20, also 20 ml.
  3. Saft: 1 · 20 = 20. Wasser: 5 · 20 = 100
Ergebnis:
Saft 20 ml, Wasser 100 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 30 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 5 = 6
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 30 : 6 = 5, also 5 ml.
    3. Blau: 1 · 5 = 5. Weiß: 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    Blau 5 ml, Weiß 25 ml
  2. ●11
    Für 30 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 2. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 30 : 3 = 10, also 10 l.
    3. Kompost: 1 · 10 = 10. Sand: 2 · 10 = 20
    Ergebnis:
    Kompost 10 l, Sand 20 l
  3. ★12
    Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 135 ml Farbe?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 135 : 3 = 45, also 45 ml.
    3. Blau: 1 · 45 = 45. Weiß: 2 · 45 = 90
    Ergebnis:
    Blau 45 ml, Weiß 90 ml

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht6 m3,5 m0,8 m10 %2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 0,8 = 18,2
  2. Mit Verschnitt: 18,2 · 1,1 = 20,02
  3. Leisten: 20,02 : 2 ≈ 10,01 → aufrunden auf 11
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 0,8 = 18,2
  2. Mit Verschnitt: 18,2 · 1,1 = 20,02
  3. Leisten: 20,02 : 2 ≈ 10,01 → aufrunden auf 11
Ergebnis:
11 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 3 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht3 m2 m15 %2 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 3 · 2 = 6, also 6 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 3 · 2 = 6, also 6 m².
    2. Mit Verschnitt: 6 · 1,15 = 6,9
    3. Pakete: 6,9 : 2 ≈ 3,45 → aufrunden auf 4
    Ergebnis:
    4 Pakete
  2. ●14
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m1 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 4) − 1 = 15
    2. Mit Verschnitt: 15 · 1,1 = 16,5
    3. Leisten: 16,5 : 2 ≈ 8,25 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 2 m breit und 2,4 m hoch. Das Fenster (0,75 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 24,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht2 m2,4 m0,75 m²10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 2 · 2,4 = 4,8, ohne Fenster 4,05 m²
    2. Mit Verschnitt: 4,05 · 1,1 = 4,455
    3. Pakete: 4,455 : 2 ≈ 2,23 → aufrunden auf 3
    4. Kosten: 3 · 24,00 € = 72,00 €
    Ergebnis:
    3 Pakete, 72,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

181 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 6,0333. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht181 Kinder30 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 181 : 30 ≈ 6,03
  2. Mit 6 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 7
  1. 181 : 30 ≈ 6,03
  2. Mit 6 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 7
Ergebnis:
7 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,63 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m4,1 m17,63 m²?
    So fängst du an:
    4,3 · 4,1 = 17,63
    Lösung zeigen
    1. 4,3 · 4,1 = 17,63
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,63 ≈ 17,6
    Ergebnis:
    ≈ 17,6 m²
  2. ●17
    70 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,4. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht70 Kinder50 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 70 : 50 ≈ 1,4
    2. Mit 1 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 2
    Ergebnis:
    2 Busse
  3. ★18
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,45 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht8 m0,45 m?
    Lösung zeigen
    1. 8 : 0,45 ≈ 17,78
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 17
    Ergebnis:
    17 Stücke

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht600 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
  2. 114.000 m = 114 km
  3. Gerundet: etwa 110 km
  1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
  2. 114.000 m = 114 km
  3. Gerundet: etwa 110 km
Ergebnis:
etwa 110 km

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    So fängst du an:
    Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
    3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 4 · 650 · 5 = 13.000
    2. Höhe: 13.000 · 0,1 = 1300, also 1300 mm.
    3. 1300 mm = 130 cm, also etwa 1,3 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,3 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 15,00 € je Stunde.
gegebengesucht7 h15 min15,00 €?
Schritt für Schritt
  1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
  2. 7 h 15 min = 7,25 h
  3. 7,25 · 15 = 108,75
  1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
  2. 7 h 15 min = 7,25 h
  3. 7,25 · 15 = 108,75
Ergebnis:
7,25 h; 108,75 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 18,00 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h15 min18,00 €?
    So fängst du an:
    15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
    2. 7 h 15 min = 7,25 h
    3. 7,25 · 18 = 130,5
    Ergebnis:
    7,25 h; 130,50 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 17,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h4 h17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 6 + 5 + 4 = 20
    2. Lohn: 20 · 17,5 = 350
    Ergebnis:
    350,00 €
  3. ★24
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 18 = 144
    Ergebnis:
    144,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Heizlüfter hat 1200 W. Gib die Angabe in kW an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2
    Ergebnis:
    1,2 kW
  2. ●26
    Aylin sagt: „65 cm ist mehr als 1,35 m, weil 65 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 1,35 m = 135 cm
    2. 135 cm > 65 cm
    Ergebnis:
    Nein, 1,35 m ist mehr.
  3. ●27
    Ein E-Scooter fährt 18 km/h. Bis zum Bremsen vergeht 1 Sekunde. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht18 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 1 s: 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 m
  4. ●28
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW30 Minuten30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 1,5 · 0,5 = 0,75, also 0,75 kWh.
    3. 0,75 · 30 = 22,5, also 22,5 ct.
    Ergebnis:
    0,75 kWh, 22,5 ct
  5. ●29
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 16.705 kWh, am Monatsende 16.915 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 32 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht16.705 kWh16.915 kWh32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 16.915 − 16.705 = 210, also 210 kWh.
    2. Kosten: 210 · 32 = 6720, also 6720 ct = 67,20 €.
    Ergebnis:
    67,20 €
  6. ●30
    Apfelschorle wird aus Saft und Wasser im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Wie viel Saft und wie viel Wasser brauchst du für 800 ml Apfelschorle?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 800 : 8 = 100, also 100 ml.
    3. Saft: 3 · 100 = 300. Wasser: 5 · 100 = 500
    Ergebnis:
    Saft 300 ml, Wasser 500 ml

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Eine Tablette enthält 20 g Wirkstoff. Gib die Angabe in kg an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,02 kg

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Eine Drohne ist 20 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 10 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    100 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Apfelschorle wird aus Saft und Wasser im Verhältnis 1 : 4 gemischt. Wie viel Saft und wie viel Wasser brauchst du für 25 ml Apfelschorle?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Saft 5 ml, Wasser 20 ml

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Boden von 6 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht6 m2,5 m10 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Pakete

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 5 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,9 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1,1 m

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,02 kW
  2. 0,4 m
  3. 0,65 cl
  4. 36 km/h
  5. 72 km/h
  6. 30 m je Sekunde, 1800 m je Minute
  7. 3 kWh, 120 ct
  8. ≈ 0,18 €
  9. 25 Stunden
  10. Blau 5 ml, Weiß 25 ml
  11. Kompost 10 l, Sand 20 l
  12. Blau 45 ml, Weiß 90 ml
  13. 4 Pakete
  14. 9 Leisten
  15. 3 Pakete, 72,00 €
  16. ≈ 17,6 m²
  17. 2 Busse
  18. 17 Stücke
  19. etwa 2.100.000 Liter
  20. etwa 2.400.000 Liter
  21. etwa 1,3 m
  22. 7,25 h; 130,50 €
  23. 350,00 €
  24. 144,00 €
  25. 1,2 kW
  26. Nein, 1,35 m ist mehr.
  27. 5 m
  28. 0,75 kWh, 22,5 ct
  29. 67,20 €
  30. Saft 300 ml, Wasser 500 ml
  31. 0,02 kg
  32. 72 km/h
  33. 100 Stunden
  34. Saft 5 ml, Wasser 20 ml
  35. 11 Pakete
  36. 5 Stücke
  37. etwa 1,1 m
  38. 116,00 €
  39. 150 mm
  40. 16,00 €