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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 7 m in dm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 10 dm
    2. 7 · 10 = 70 dm
    Ergebnis:
    70 dm
  2. ●40
    In 4 Sekunden sind 60 MB eines Updates geladen. Wie viel ist nach 10 Sekunden geladen?
    Lösung zeigen
    1. SekundenMB
    2. 4 Sekunden→60 MB
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Sekunde→60 MB : 4 = 15 MB
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Sekunden→15 MB · 10 = 150 MB
    Ergebnis:
    150 MB

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 8 W in kW.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
  1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
Ergebnis:
0,008 kW

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Eine Schraube ist 40 m lang. Gib die Angabe in km an.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 1000 = 0,04
    Ergebnis:
    0,04 km
  2. ●2
    Rechne um: 1200 Wh in kWh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2
    Ergebnis:
    1,2 kWh
  3. ★3
    Im Messbecher sind 45 l Wasser. Gib die Angabe in ml an.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 45 · 1000 = 45.000
    Ergebnis:
    45.000 ml

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 72 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 72 : 3,6 = 20
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 72 : 3,6 = 20
Ergebnis:
20 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Sprinter ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
    3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
    Ergebnis:
    36 km/h
  2. ●5
    Ein Zug ist 5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 5 · 3600 = 18.000, also 18.000 m in einer Stunde.
    3. 18.000 m = 18 km, also 18 km/h.
    Ergebnis:
    18 km/h
  3. ★6
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
    gegebengesucht45 km/h6 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    2. 21,6 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Laptop hat 40 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht40 W4 Stunden30 Tage35 ct?
Schritt für Schritt
  1. 40 W = 0,04 kW
  2. Energie: 0,04 · 4 · 30 = 4,8, also 4,8 kWh.
  3. Kosten: 4,8 · 35 = 168, also 168 ct ≈ 1,68 €.
  1. 40 W = 0,04 kW
  2. Energie: 0,04 · 4 · 30 = 4,8, also 4,8 kWh.
  3. Kosten: 4,8 · 35 = 168, also 168 ct ≈ 1,68 €.
Ergebnis:
≈ 1,68 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 25 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 25 = 40, also 40 Stunden.
    Ergebnis:
    40 Stunden
  2. ●8
    Ein Fernseher hat 100 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht100 W5 Stunden30 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 100 W = 0,1 kW
    2. Energie: 0,1 · 5 · 30 = 15, also 15 kWh.
    3. Kosten: 15 · 32 = 480, also 480 ct ≈ 4,80 €.
    Ergebnis:
    ≈ 4,80 €
  3. ★9
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW15 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 2 · 0,25 = 0,5, also 0,5 kWh.
    3. 0,5 · 32 = 16, also 16 ct.
    Ergebnis:
    0,5 kWh, 16 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 600 l Blumenerde?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 600 : 6 = 100, also 100 l.
  3. Kompost: 1 · 100 = 100. Sand: 5 · 100 = 500
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 600 : 6 = 100, also 100 l.
  3. Kompost: 1 · 100 = 100. Sand: 5 · 100 = 500
Ergebnis:
Kompost 100 l, Sand 500 l

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 120 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 5 = 6
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 120 : 6 = 20, also 20 ml.
    3. Blau: 1 · 20 = 20. Weiß: 5 · 20 = 100
    Ergebnis:
    Blau 20 ml, Weiß 100 ml
  2. ●11
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 500 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 500 : 5 = 100, also 100 kg.
    3. Zement: 1 · 100 = 100. Sand: 4 · 100 = 400
    Ergebnis:
    Zement 100 kg, Sand 400 kg
  3. ★12
    Für 60 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 2 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 60 : 5 = 12, also 12 kg.
    3. Zement: 2 · 12 = 24. Sand: 3 · 12 = 36
    Ergebnis:
    Zement 24 kg, Sand 36 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
gegebengesucht6 m3,5 m1 m10 %2,5 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 1 = 18
  2. Mit Verschnitt: 18 · 1,1 = 19,8
  3. Leisten: 19,8 : 2,5 ≈ 7,92 → aufrunden auf 8
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 1 = 18
  2. Mit Verschnitt: 18 · 1,1 = 19,8
  3. Leisten: 19,8 : 2,5 ≈ 7,92 → aufrunden auf 8
Ergebnis:
8 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 42 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht42 m²8 m²5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 42 · 1 = 42, also 42 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 42 · 1 = 42, also 42 m².
    2. Liter: 42 : 8 = 5,25
    3. Eimer: 5,25 : 5 ≈ 1,05 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  2. ●14
    Ein Boden von 5 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m2 m5 %1 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 5 · 2 = 10, also 10 m².
    2. Mit Verschnitt: 10 · 1,05 = 10,5
    3. Pakete: 10,5 : 1 ≈ 10,5 → aufrunden auf 11
    Ergebnis:
    11 Pakete
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m3,5 m0,9 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3,5) − 0,9 = 14,1
    2. Mit Verschnitt: 14,1 · 1,1 = 15,51
    3. Leisten: 15,51 : 2 ≈ 7,76 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

116 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 3,8667. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht116 Kinder30 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 116 : 30 ≈ 3,87
  2. Mit 3 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 4
  1. 116 : 30 ≈ 3,87
  2. Mit 3 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 4
Ergebnis:
4 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht8 m0,7 m?
    So fängst du an:
    8 : 0,7 ≈ 11,43
    Lösung zeigen
    1. 8 : 0,7 ≈ 11,43
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 11
    Ergebnis:
    11 Stücke
  2. ●17
    Von einer 5 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht5 m0,7 m?
    Lösung zeigen
    1. 5 : 0,7 ≈ 7,14
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 7
    Ergebnis:
    7 Stücke
  3. ★18
    194 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 6,4667. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht194 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 194 : 30 ≈ 6,47
    2. Mit 6 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 7
    Ergebnis:
    7 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
  2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
  3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
  1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
  2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
  3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 2.100.000 Liter

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m20 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
    3. Gerundet: etwa 4000
    Ergebnis:
    etwa 4000 Menschen
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter
  3. ★21
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
    2. 114.000 m = 114 km
    3. Gerundet: etwa 110 km
    Ergebnis:
    etwa 110 km

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
gegebengesucht4 h2 h5 h14,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Stunden: 4 + 2 + 5 + 4 = 15
  2. Lohn: 15 · 14 = 210
  1. Stunden: 4 + 2 + 5 + 4 = 15
  2. Lohn: 15 · 14 = 210
Ergebnis:
210,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h3 h4 h14,00 €?
    So fängst du an:
    Stunden: 5 + 6 + 3 + 4 = 18
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 6 + 3 + 4 = 18
    2. Lohn: 18 · 14 = 252
    Ergebnis:
    252,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 16 = 128
    Ergebnis:
    128,00 €
  3. ★24
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 17,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
    Ergebnis:
    140,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 2,5 ml in cl.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2,5 : 10 = 0,25
    Ergebnis:
    0,25 cl
  2. ●26
    Sara sagt: „2100 W ist mehr als 0,75 kW, weil 2100 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,75 kW = 750 W
    2. 750 W < 2100 W
    Ergebnis:
    Ja, 2100 W ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
    gegebengesucht20 km/h5 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
    2. 18 km/h < 20 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  4. ●28
    Jemand fährt mit 36 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht36 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 36 km/h in m/s: 36 : 3,6 = 10
    2. In 2 s: 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20 m
  5. ●29
    Ein Laptop hat 50 W und läuft 4 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht50 W4 Stunden7 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 50 W = 0,05 kW
    2. Energie: 0,05 · 4 · 7 = 1,4, also 1,4 kWh.
    3. Kosten: 1,4 · 35 = 49, also 49 ct ≈ 0,49 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,49 €
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 15.383 kWh, am Monatsende 15.658 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 40 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht15.383 kWh15.658 kWh40 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 15.658 − 15.383 = 275, also 275 kWh.
    2. Kosten: 275 · 40 = 11.000, also 11.000 ct = 110,00 €.
    Ergebnis:
    110,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele kWh sind 2 Wh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,002 kWh

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht30 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Ein Fernseher hat 120 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht120 W3 Stunden7 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,81 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 80 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 30 kg, Sand 50 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 48 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht48 m²6 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 10 m langen Stoffbahn werden Stücke von 1,2 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht10 m1,2 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1,4 m

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,04 km
  2. 1,2 kWh
  3. 45.000 ml
  4. 36 km/h
  5. 18 km/h
  6. Der Radfahrer ist schneller.
  7. 40 Stunden
  8. ≈ 4,80 €
  9. 0,5 kWh, 16 ct
  10. Blau 20 ml, Weiß 100 ml
  11. Zement 100 kg, Sand 400 kg
  12. Zement 24 kg, Sand 36 kg
  13. 2 Eimer
  14. 11 Pakete
  15. 8 Leisten
  16. 11 Stücke
  17. 7 Stücke
  18. 7 Busse
  19. etwa 4000 Menschen
  20. etwa 2.400.000 Liter
  21. etwa 110 km
  22. 252,00 €
  23. 128,00 €
  24. 140,00 €
  25. 0,25 cl
  26. Ja, 2100 W ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. Der Radfahrer ist schneller.
  28. 20 m
  29. ≈ 0,49 €
  30. 110,00 €
  31. 0,002 kWh
  32. Die Läuferin ist schneller.
  33. ≈ 0,81 €
  34. Zement 30 kg, Sand 50 kg
  35. 4 Eimer
  36. 8 Stücke
  37. etwa 1,4 m
  38. 116,00 €
  39. 70 dm
  40. 150 MB