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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 4 kg in g.
    Lösung zeigen
    1. 1 kg = 1.000 g
    2. 4 · 1.000 = 4.000 g
    Ergebnis:
    4.000 g
  2. ●40
    Ein Bundesligaverein schießt in 4 Spiele im Schnitt 8 Tore. Wie viele Spiele braucht der Verein für 12 Tore?
    Lösung zeigen
    1. SpieleTore
    2. 4 Spiele→8 Tore
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Spiel→8 Tore : 4 = 2 Tore
    5. ↓ · 6↓ · 612 Tore : 2 Tore = 6
    6. 6 Spiele→12 Tore
    Ergebnis:
    6 Spiele

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Ein Staubsauger hat 6 W. Gib die Angabe in kW an.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 6 : 1000 = 0,006
  1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 6 : 1000 = 0,006
Ergebnis:
0,006 kW

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Werkstatt hat an einem Tag 5 Wh verbraucht. Gib die Angabe in kWh an.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 5 : 1000 = 0,005
    Ergebnis:
    0,005 kWh
  2. ●2
    Rechne um: 20 W in kW.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
    Ergebnis:
    0,02 kW
  3. ★3
    Rechne um: 6,5 cl in l.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 6,5 : 100 = 0,065
    Ergebnis:
    0,065 l

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 72 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 72 : 3,6 = 20
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 72 : 3,6 = 20
Ergebnis:
20 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
    gegebengesucht15 km/h6 m/s?
    So fängst du an:
    Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    2. 21,6 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht15 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  3. ★6
    Ein ICE fährt 180 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 180 : 3,6 = 50, also 50 m in einer Sekunde.
    2. 50 · 60 = 3000, also 3000 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    50 m je Sekunde, 3000 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 1 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
gegebengesucht1 kW90 Minuten35 ct?
Schritt für Schritt
  1. 90 min = 1,5 h
  2. 1 · 1,5 = 1,5, also 1,5 kWh.
  3. 1,5 · 35 = 52,5, also 52,5 ct.
  1. 90 min = 1,5 h
  2. 1 · 1,5 = 1,5, also 1,5 kWh.
  3. 1,5 · 35 = 52,5, also 52,5 ct.
Ergebnis:
1,5 kWh, 52,5 ct

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW30 Minuten40 ct?
    So fängst du an:
    30 min = 0,5 h
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 2,5 · 0,5 = 1,25, also 1,25 kWh.
    3. 1,25 · 40 = 50, also 50 ct.
    Ergebnis:
    1,25 kWh, 50 ct
  2. ●8
    Eine Lampe hat 8 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht8 W4 Stunden30 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 8 W = 0,008 kW
    2. Energie: 0,008 · 4 · 30 = 0,96, also 0,96 kWh.
    3. Kosten: 0,96 · 30 = 28,8, also 28,8 ct ≈ 0,29 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,29 €
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 8 W ersetzt. Sie leuchtet 3 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W8 W3 Stunden35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 8 W = 52 W = 0,052 kW
    2. Im Jahr: 0,052 · 3 · 365 = 56,94, also 56,94 kWh.
    3. 56,94 · 35 ≈ 1993, also 1993 ct ≈ 19,93 €.
    Ergebnis:
    ≈ 19,93 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 70 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 2 zu 5. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 70 : 7 = 10, also 10 ml.
  3. Blau: 2 · 10 = 20. Weiß: 5 · 10 = 50
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 70 : 7 = 10, also 10 ml.
  3. Blau: 2 · 10 = 20. Weiß: 5 · 10 = 50
Ergebnis:
Blau 20 ml, Weiß 50 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 120 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 120 : 4 = 30, also 30 €.
    3. Nina: 1 · 30 = 30. Ali: 3 · 30 = 90
    Ergebnis:
    Nina 30 €, Ali 90 €
  2. ●11
    Für 15 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 2. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 15 : 3 = 5, also 5 kg.
    3. Zement: 1 · 5 = 5. Sand: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    Zement 5 kg, Sand 10 kg
  3. ★12
    Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 2 : 3 : 5 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 100 kg Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 + 5 = 10
    2. Ein Teil: 100 : 10 = 10, also 10 kg.
    3. Zement 2 · 10 = 20, Sand 3 · 10 = 30, Kies 5 · 10 = 50
    Ergebnis:
    Zement 20 kg, Sand 30 kg, Kies 50 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht6 m4 m0,9 m10 %2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 0,9 = 19,1
  2. Mit Verschnitt: 19,1 · 1,1 = 21,01
  3. Leisten: 21,01 : 2 ≈ 10,51 → aufrunden auf 11
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 0,9 = 19,1
  2. Mit Verschnitt: 19,1 · 1,1 = 21,01
  3. Leisten: 21,01 : 2 ≈ 10,51 → aufrunden auf 11
Ergebnis:
11 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m4 m1 m2 m?
    So fängst du an:
    Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 1 = 17
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 1 = 17
    2. Mit Verschnitt: 17 · 1,1 = 18,7
    3. Leisten: 18,7 : 2 ≈ 9,35 → aufrunden auf 10
    Ergebnis:
    10 Leisten
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 28 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht28 m²6 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 28 · 1 = 28, also 28 m².
    2. Liter: 28 : 6 ≈ 4,67
    3. Eimer: 4,67 : 2,5 ≈ 1,87 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 3,5 m breit und 2 m hoch. Das Fenster (0,75 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 24,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht3,5 m2 m0,75 m²10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 3,5 · 2 = 7, ohne Fenster 6,25 m²
    2. Mit Verschnitt: 6,25 · 1,1 = 6,875
    3. Pakete: 6,875 : 2 ≈ 3,44 → aufrunden auf 4
    4. Kosten: 4 · 24,00 € = 96,00 €
    Ergebnis:
    4 Pakete, 96,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 22,57 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht6,1 m3,7 m22,57 m²?
Schritt für Schritt
  1. 6,1 · 3,7 = 22,57
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 22,57 ≈ 22,6
  1. 6,1 · 3,7 = 22,57
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 22,57 ≈ 22,6
Ergebnis:
≈ 22,6 m²

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 6 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,9 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    So fängst du an:
    6 : 0,9 ≈ 6,67
    Lösung zeigen
    1. 6 : 0,9 ≈ 6,67
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 6
    Ergebnis:
    6 Stücke
  2. ●17
    Von einer 6 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,45 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht6 m0,45 m?
    Lösung zeigen
    1. 6 : 0,45 ≈ 13,33
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 13
    Ergebnis:
    13 Stücke
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 470 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 70 km/h. Der Rechner zeigt 6,71429 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht470 km70 km/h6,71429 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 470 : 70 ≈ 6,714
    2. 0,714 h · 60 ≈ 43 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 6 h 43 min
    Ergebnis:
    ≈ 6 h 43 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht40 m25 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 40 · 25 = 1000, also etwa 1000 m².
  2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
  3. Gerundet: etwa 4000
  1. Fläche: 40 · 25 = 1000, also etwa 1000 m².
  2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
  3. Gerundet: etwa 4000
Ergebnis:
etwa 4000 Menschen

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m20 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
    3. Gerundet: etwa 4000
    Ergebnis:
    etwa 4000 Menschen
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter
  3. ★21
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 400 · 3 · 6 = 7200, also 7200 Liter.
    2. Im Jahr: 7200 · 190 = 1.368.000
    3. Das sind etwa 1368 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 4 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
gegebengesucht5 h4 h3 h15,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Stunden: 5 + 4 + 3 + 4 = 16
  2. Lohn: 16 · 15 = 240
  1. Stunden: 5 + 4 + 3 + 4 = 16
  2. Lohn: 16 · 15 = 240
Ergebnis:
240,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 15 = 120
    Ergebnis:
    120,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h2 h4 h14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 2 + 5 + 4 = 16
    2. Lohn: 16 · 14 = 224
    Ergebnis:
    224,00 €
  3. ★24
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,00 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h45 min14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    2. 7 h 45 min = 7,75 h
    3. 7,75 · 14 = 108,5
    Ergebnis:
    7,75 h; 108,50 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 5 Wh in kWh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 5 : 1000 = 0,005
    Ergebnis:
    0,005 kWh
  2. ●26
    Aylin sagt: „300 mg ist mehr als 0,25 g, weil 300 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,25 g = 250 mg
    2. 250 mg < 300 mg
    Ergebnis:
    Ja, 300 mg ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Ein Zug ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
    3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
    Ergebnis:
    90 km/h
  4. ●28
    Ein Bus fährt 54 km/h. Bis zum Bremsen vergehen 2 Sekunden. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht54 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
    2. In 2 s: 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
    Ergebnis:
    20 Stunden
  6. ●30
    Die Spielkonsole (150 W) läuft 2 Stunden am Tag, die Waschmaschine (1000 W) 1 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht150 W2 Stunden1000 W1 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Die Spielkonsole: 0,15 · 2 = 0,3, also 0,3 kWh.
    2. Die Waschmaschine: 1 · 1 = 1, also 1 kWh.
    Ergebnis:
    Die Waschmaschine braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele kWh sind 500 Wh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,5 kWh

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Eine Drohne ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 25 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 45 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mira 9 €, Jonas 36 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m3 m1 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Leisten

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 6 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,8 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht6 m0,8 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 4 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 15,00 € je Stunde.
    gegebengesucht4 h30 min15,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4,5 h; 67,50 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,005 kWh
  2. 0,02 kW
  3. 0,065 l
  4. Die Läuferin ist schneller.
  5. Die Läuferin ist schneller.
  6. 50 m je Sekunde, 3000 m je Minute
  7. 1,25 kWh, 50 ct
  8. ≈ 0,29 €
  9. ≈ 19,93 €
  10. Nina 30 €, Ali 90 €
  11. Zement 5 kg, Sand 10 kg
  12. Zement 20 kg, Sand 30 kg, Kies 50 kg
  13. 10 Leisten
  14. 2 Eimer
  15. 4 Pakete, 96,00 €
  16. 6 Stücke
  17. 13 Stücke
  18. ≈ 6 h 43 min
  19. etwa 4000 Menschen
  20. etwa 2.400.000 Liter
  21. etwa 1.400.000 Liter
  22. 120,00 €
  23. 224,00 €
  24. 7,75 h; 108,50 €
  25. 0,005 kWh
  26. Ja, 300 mg ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 90 km/h
  28. 30 m
  29. 20 Stunden
  30. Die Waschmaschine braucht mehr.
  31. 0,5 kWh
  32. 36 km/h
  33. 40 Stunden
  34. Mira 9 €, Jonas 36 €
  35. 6 Leisten
  36. 7 Stücke
  37. etwa 2.100.000 Liter
  38. 4,5 h; 67,50 €
  39. 4.000 g
  40. 6 Spiele