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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 5 € in ct.
    Lösung zeigen
    1. 1 € = 100 ct
    2. 5 · 100 = 500 ct
    Ergebnis:
    500 ct
  2. ●40
    Am Pausenkiosk kosten 5 belegte Brötchen zusammen 10,00 €. Was kosten 8 belegte Brötchen?
    Lösung zeigen
    1. Brötchen€
    2. 5 belegte Brötchen→10,00 €
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 belegtes Brötchen→10,00 € : 5 = 2,00 €
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 belegte Brötchen→2,00 € · 8 = 16,00 €
    Ergebnis:
    16,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 3 kWh in Wh.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 3 · 1000 = 3000
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 3 · 1000 = 3000
Ergebnis:
3000 Wh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Das Ladegerät hat in einer Woche 2,5 kWh verbraucht. Gib die Angabe in Wh an.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2,5 · 1000 = 2500
    Ergebnis:
    2500 Wh
  2. ●2
    Die Fliesenfuge ist 40 mm breit. Gib die Angabe in m an.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 1000 = 0,04
    Ergebnis:
    0,04 m
  3. ★3
    Wie viele l sind 12,5 cl? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 12,5 : 100 = 0,125
    Ergebnis:
    0,125 l

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 144 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
Ergebnis:
40 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 25 km/h oder eine Läuferin mit 12 m/s?
    gegebengesucht25 km/h12 m/s?
    So fängst du an:
    Die Läuferin in km/h: 12 · 3,6 = 43,2
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 12 · 3,6 = 43,2
    2. 43,2 km/h > 25 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  2. ●5
    Eine Läuferin ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
    3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
    Ergebnis:
    108 km/h
  3. ★6
    Ein Rennwagen ist 8 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 8 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 8 · 3600 = 28.800, also 28.800 m in einer Stunde.
    3. 28.800 m = 28,8 km, also 28,8 km/h.
    Ergebnis:
    28,8 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 1 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
gegebengesucht1 kW90 Minuten40 ct?
Schritt für Schritt
  1. 90 min = 1,5 h
  2. 1 · 1,5 = 1,5, also 1,5 kWh.
  3. 1,5 · 40 = 60, also 60 ct.
  1. 90 min = 1,5 h
  2. 1 · 1,5 = 1,5, also 1,5 kWh.
  3. 1,5 · 40 = 60, also 60 ct.
Ergebnis:
1,5 kWh, 60 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 5 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 5 = 200, also 200 Stunden.
    Ergebnis:
    200 Stunden
  2. ●8
    Ein Gerät mit 1 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht1 kW45 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 1 · 0,75 = 0,75, also 0,75 kWh.
    3. 0,75 · 32 = 24, also 24 ct.
    Ergebnis:
    0,75 kWh, 24 ct
  3. ★9
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW15 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
    3. 0,375 · 32 = 12, also 12 ct.
    Ergebnis:
    0,375 kWh, 12 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 80 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 80 : 4 = 20, also 20 kg.
  3. Zement: 1 · 20 = 20. Sand: 3 · 20 = 60
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 80 : 4 = 20, also 20 kg.
  3. Zement: 1 · 20 = 20. Sand: 3 · 20 = 60
Ergebnis:
Zement 20 kg, Sand 60 kg

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 70 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 2 zu 5. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 70 : 7 = 10, also 10 ml.
    3. Blau: 2 · 10 = 20. Weiß: 5 · 10 = 50
    Ergebnis:
    Blau 20 ml, Weiß 50 ml
  2. ●11
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 30 l Blumenerde?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 30 : 3 = 10, also 10 l.
    3. Kompost: 1 · 10 = 10. Sand: 2 · 10 = 20
    Ergebnis:
    Kompost 10 l, Sand 20 l
  3. ★12
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 4 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 60 l Blumenerde?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 60 : 5 = 12, also 12 l.
    3. Kompost: 1 · 12 = 12. Sand: 4 · 12 = 48
    Ergebnis:
    Kompost 12 l, Sand 48 l

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 4 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
gegebengesucht4 m3 m0,9 m10 %2,5 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3) − 0,9 = 13,1
  2. Mit Verschnitt: 13,1 · 1,1 = 14,41
  3. Leisten: 14,41 : 2,5 ≈ 5,76 → aufrunden auf 6
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3) − 0,9 = 13,1
  2. Mit Verschnitt: 13,1 · 1,1 = 14,41
  3. Leisten: 14,41 : 2,5 ≈ 5,76 → aufrunden auf 6
Ergebnis:
6 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht36 m²8 m²2,5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
    2. Liter: 36 : 8 = 4,5
    3. Eimer: 4,5 : 2,5 ≈ 1,8 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 28 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht28 m²10 m²5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 28 · 1 = 28, also 28 m².
    2. Liter: 28 : 10 = 2,8
    3. Eimer: 2,8 : 5 ≈ 0,56 → aufrunden auf 1
    Ergebnis:
    1 Eimer
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 2,5 m breit und 2 m hoch. Das Fenster (0,75 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 29,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht2,5 m2 m0,75 m²10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 2,5 · 2 = 5, ohne Fenster 4,25 m²
    2. Mit Verschnitt: 4,25 · 1,1 = 4,675
    3. Pakete: 4,675 : 2 ≈ 2,34 → aufrunden auf 3
    4. Kosten: 3 · 29,00 € = 87,00 €
    Ergebnis:
    3 Pakete, 87,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

87 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,74. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht87 Kinder50 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 87 : 50 ≈ 1,74
  2. Mit 1 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 2
  1. 87 : 50 ≈ 1,74
  2. Mit 1 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 2
Ergebnis:
2 Busse

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht
400 sind 50 %, Ganzes → 200
So richtig
400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    149 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,7091. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht149 Kinder55 Plätze?
    So fängst du an:
    149 : 55 ≈ 2,71
    Lösung zeigen
    1. 149 : 55 ≈ 2,71
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse
  2. ●17
    123 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,2364. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht123 Kinder55 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 123 : 55 ≈ 2,24
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse
  3. ★18
    238 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,3273. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht238 Kinder55 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 238 : 55 ≈ 4,33
    2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
    Ergebnis:
    5 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht500 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
  2. 95.000 m = 95 km
  3. Gerundet: etwa 100 km
  1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
  2. 95.000 m = 95 km
  3. Gerundet: etwa 100 km
Ergebnis:
etwa 100 km

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    So fängst du an:
    Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
    3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m20 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
    3. Gerundet: etwa 4000
    Ergebnis:
    etwa 4000 Menschen
  3. ★21
    Wie oft schlägt dein Herz in einem Schuljahr, während du in der Schule bist? Annahmen: 75 Schläge in der Minute, 6 Stunden am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht75 Schläge6 Stunden190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 75 · 60 = 4500
    2. Am Tag: 4500 · 6 = 27.000
    3. Im Jahr: 27.000 · 190 = 5.130.000
    4. Gerundet: etwa 5 Millionen
    Ergebnis:
    etwa 5 Millionen

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,50 € je Stunde.
gegebengesucht7 h15 min14,50 €?
Schritt für Schritt
  1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
  2. 7 h 15 min = 7,25 h
  3. 7,25 · 14,5 ≈ 105,13
  1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
  2. 7 h 15 min = 7,25 h
  3. 7,25 · 14,5 ≈ 105,13
Ergebnis:
7,25 h; ≈ 105,13 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14 = 112
    Ergebnis:
    112,00 €
  2. ●23
    Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,00 € je Stunde.
    gegebengesucht8 h30 min14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    2. 8 h 30 min = 8,5 h
    3. 8,5 · 14 = 119
    Ergebnis:
    8,5 h; 119,00 €
  3. ★24
    Auf dem Stundenzettel steht 5 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 16,00 € je Stunde.
    gegebengesucht5 h45 min16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    2. 5 h 45 min = 5,75 h
    3. 5,75 · 16 = 92
    Ergebnis:
    5,75 h; 92,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele mm sind 8 m? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 8 · 1000 = 8000
    Ergebnis:
    8000 mm
  2. ●26
    Tim sagt: „750 g ist mehr als 0,8 kg, weil 750 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,8 kg = 800 g
    2. 800 g > 750 g
    Ergebnis:
    Nein, 0,8 kg ist mehr.
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 12 m/s?
    gegebengesucht30 km/h12 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 12 · 3,6 = 43,2
    2. 43,2 km/h > 30 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  4. ●28
    Ein Bus fährt 54 km/h. Bis zum Bremsen vergehen 2 Sekunden. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht54 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
    2. In 2 s: 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW30 Minuten?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 2 · 0,5 = 1, also 1 kWh.
    3. 1 · 32 = 32, also 32 ct.
    Ergebnis:
    1 kWh, 32 ct
  6. ●30
    Ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb braucht dauernd 20 W, Tag und Nacht, das ganze Jahr. Wie viele Kilowattstunden sind das im Jahr, und was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht20 W32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Stunden im Jahr: 24 · 365 = 8760
    2. 20 · 8760 = 175.200, also 175.200 Wh = 175,2 kWh.
    3. 175,2 · 32 = 5606,4, also 5606,4 ct ≈ 56,06 €.
    Ergebnis:
    175,2 kWh, etwa 56,06 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele cl sind 250 ml? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 cl

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
    gegebengesucht30 km/h6 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 20 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 42 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mira 12 €, Jonas 30 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²8 m²5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,7 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,98 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,7 m3,4 m15,98 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 16 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 18,00 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h15 min18,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7,25 h; 130,50 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 2500 Wh
  2. 0,04 m
  3. 0,125 l
  4. Die Läuferin ist schneller.
  5. 108 km/h
  6. 28,8 km/h
  7. 200 Stunden
  8. 0,75 kWh, 24 ct
  9. 0,375 kWh, 12 ct
  10. Blau 20 ml, Weiß 50 ml
  11. Kompost 10 l, Sand 20 l
  12. Kompost 12 l, Sand 48 l
  13. 2 Eimer
  14. 1 Eimer
  15. 3 Pakete, 87,00 €
  16. 3 Busse
  17. 3 Busse
  18. 5 Busse
  19. etwa 2.100.000 Liter
  20. etwa 4000 Menschen
  21. etwa 5 Millionen
  22. 112,00 €
  23. 8,5 h; 119,00 €
  24. 5,75 h; 92,00 €
  25. 8000 mm
  26. Nein, 0,8 kg ist mehr.
  27. Die Läuferin ist schneller.
  28. 30 m
  29. 1 kWh, 32 ct
  30. 175,2 kWh, etwa 56,06 €
  31. 25 cl
  32. Der Radfahrer ist schneller.
  33. 50 Stunden
  34. Mira 12 €, Jonas 30 €
  35. 2 Eimer
  36. ≈ 16 m²
  37. etwa 1.400.000 Liter
  38. 7,25 h; 130,50 €
  39. 500 ct
  40. 16,00 €