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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 3 kg in g.
    Lösung zeigen
    1. 1 kg = 1.000 g
    2. 3 · 1.000 = 3.000 g
    Ergebnis:
    3.000 g
  2. ●40
    In 5 Sekunden sind 75 MB eines Updates geladen. Wie viel ist nach 6 Sekunden geladen?
    Lösung zeigen
    1. SekundenMB
    2. 5 Sekunden→75 MB
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Sekunde→75 MB : 5 = 15 MB
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Sekunden→15 MB · 6 = 90 MB
    Ergebnis:
    90 MB

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele l sind 1,5 cl? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1,5 : 100 = 0,015
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1,5 : 100 = 0,015
Ergebnis:
0,015 l

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 1,5 l in ml.
    So fängst du an:
    Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1,5 · 1000 = 1500
    Ergebnis:
    1500 ml
  2. ●2
    Im Rezept stehen 6 kg Hefe. Gib die Angabe in g an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 6 · 1000 = 6000
    Ergebnis:
    6000 g
  3. ★3
    Rechne um: 0,9 ml in cl.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 0,9 : 10 = 0,09
    Ergebnis:
    0,09 cl

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Ein Zug ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Schritt für Schritt
  1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
  3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
  1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
  3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
Ergebnis:
36 km/h

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne 90 km/h in m/s um.
    So fängst du an:
    1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 90 : 3,6 = 25
    Ergebnis:
    25 m/s
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht45 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  3. ★6
    Ein ICE fährt 72 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 72 : 3,6 = 20, also 20 m in einer Sekunde.
    2. 20 · 60 = 1200, also 1200 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    20 m je Sekunde, 1200 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 10 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 10 = 100, also 100 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 10 = 100, also 100 Stunden.
Ergebnis:
100 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW45 Minuten35 ct?
    So fängst du an:
    45 min = 0,75 h
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 2 · 0,75 = 1,5, also 1,5 kWh.
    3. 1,5 · 35 = 52,5, also 52,5 ct.
    Ergebnis:
    1,5 kWh, 52,5 ct
  2. ●8
    Eine Spielkonsole hat 200 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht200 W4 Stunden30 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 200 W = 0,2 kW
    2. Energie: 0,2 · 4 · 30 = 24, also 24 kWh.
    3. Kosten: 24 · 40 = 960, also 960 ct ≈ 9,60 €.
    Ergebnis:
    ≈ 9,60 €
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 8 W ersetzt. Sie leuchtet 2 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W8 W2 Stunden35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 8 W = 52 W = 0,052 kW
    2. Im Jahr: 0,052 · 2 · 365 = 37,96, also 37,96 kWh.
    3. 37,96 · 35 ≈ 1329, also 1329 ct ≈ 13,29 €.
    Ergebnis:
    ≈ 13,29 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 800 ml Farbe?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 800 : 8 = 100, also 100 ml.
  3. Blau: 3 · 100 = 300. Weiß: 5 · 100 = 500
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 800 : 8 = 100, also 100 ml.
  3. Blau: 3 · 100 = 300. Weiß: 5 · 100 = 500
Ergebnis:
Blau 300 ml, Weiß 500 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 25 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 2 zu 3. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 3 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 25 : 5 = 5, also 5 l.
    3. Kompost: 2 · 5 = 10. Sand: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    Kompost 10 l, Sand 15 l
  2. ●11
    Für 80 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 80 : 4 = 20, also 20 kg.
    3. Zement: 1 · 20 = 20. Sand: 3 · 20 = 60
    Ergebnis:
    Zement 20 kg, Sand 60 kg
  3. ★12
    Apfelschorle wird aus Saft und Wasser im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Saft und wie viel Wasser brauchst du für 150 ml Apfelschorle?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 150 : 6 = 25, also 25 ml.
    3. Saft: 1 · 25 = 25. Wasser: 5 · 25 = 125
    Ergebnis:
    Saft 25 ml, Wasser 125 ml

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 28 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
gegebengesucht28 m²6 m²5 l?
Schritt für Schritt
  1. Fläche zum Streichen: 28 · 1 = 28, also 28 m².
  2. Liter: 28 : 6 ≈ 4,67
  3. Eimer: 4,67 : 5 ≈ 0,93 → aufrunden auf 1
  1. Fläche zum Streichen: 28 · 1 = 28, also 28 m².
  2. Liter: 28 : 6 ≈ 4,67
  3. Eimer: 4,67 : 5 ≈ 0,93 → aufrunden auf 1
Ergebnis:
1 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 3,5 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht3,5 m2,5 m2 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 3,5 · 2,5 = 8,75, also 8,75 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 3,5 · 2,5 = 8,75, also 8,75 m².
    2. Mit Verschnitt: 8,75 · 1,05 = 9,1875
    3. Pakete: 9,1875 : 2 ≈ 4,59 → aufrunden auf 5
    Ergebnis:
    5 Pakete
  2. ●14
    Ein Boden von 5 m mal 3,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m3,5 m15 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 5 · 3,5 = 17,5, also 17,5 m².
    2. Mit Verschnitt: 17,5 · 1,15 = 20,125
    3. Pakete: 20,125 : 1,5 ≈ 13,42 → aufrunden auf 14
    Ergebnis:
    14 Pakete
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m4 m0,9 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 0,9 = 17,1
    2. Mit Verschnitt: 17,1 · 1,1 = 18,81
    3. Leisten: 18,81 : 2,5 ≈ 7,52 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 12,92 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht3,8 m3,4 m12,92 m²?
Schritt für Schritt
  1. 3,8 · 3,4 = 12,92
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 12,92 ≈ 12,9
  1. 3,8 · 3,4 = 12,92
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 12,92 ≈ 12,9
Ergebnis:
≈ 12,9 m²

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    196 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 3,92. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht196 Kinder50 Plätze?
    So fängst du an:
    196 : 50 ≈ 3,92
    Lösung zeigen
    1. 196 : 50 ≈ 3,92
    2. Mit 3 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 4
    Ergebnis:
    4 Busse
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 20,74 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m3,4 m20,74 m²?
    Lösung zeigen
    1. 6,1 · 3,4 = 20,74
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 20,74 ≈ 20,7
    Ergebnis:
    ≈ 20,7 m²
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 470 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 75 km/h. Der Rechner zeigt 6,26667 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht470 km75 km/h6,26667 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 470 : 75 ≈ 6,267
    2. 0,267 h · 60 ≈ 16 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 6 h 16 min
    Ergebnis:
    ≈ 6 h 16 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht50 m20 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
  2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
  3. Gerundet: etwa 4000
  1. Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
  2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
  3. Gerundet: etwa 4000
Ergebnis:
etwa 4000 Menschen

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    So fängst du an:
    Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
    3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter
  2. ●20
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 5 · 450 · 5 = 11.250
    2. Höhe: 11.250 · 0,1 = 1125, also 1125 mm.
    3. 1125 mm = 112,5 cm, also etwa 1,1 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,1 m
  3. ★21
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 400 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 400 · 190 = 76.000, also 76.000 m.
    2. 76.000 m = 76 km
    3. Gerundet: etwa 80 km
    Ergebnis:
    etwa 80 km

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
Ergebnis:
128,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 6 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,50 € je Stunde.
    gegebengesucht6 h15 min14,50 €?
    So fängst du an:
    15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
    2. 6 h 15 min = 6,25 h
    3. 6,25 · 14,5 ≈ 90,63
    Ergebnis:
    6,25 h; ≈ 90,63 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 4 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h4 h5 h16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 4 + 5 + 4 = 16
    2. Lohn: 16 · 16 = 256
    Ergebnis:
    256,00 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h2 h5 h14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 4 + 2 + 5 + 4 = 15
    2. Lohn: 15 · 14 = 210
    Ergebnis:
    210,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 1,5 km in m.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1,5 · 1000 = 1500
    Ergebnis:
    1500 m
  2. ●26
    Was ist mehr: 0,25 g oder 1500 mg?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,25 g = 250 mg
    2. 250 mg < 1500 mg
    Ergebnis:
    1500 mg
  3. ●27
    Eine Läuferin ist 20 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 20 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 20 · 3600 = 72.000, also 72.000 m in einer Stunde.
    3. 72.000 m = 72 km, also 72 km/h.
    Ergebnis:
    72 km/h
  4. ●28
    Jemand fährt mit 54 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht54 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
    2. In 2 s: 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 40 = 25, also 25 Stunden.
    Ergebnis:
    25 Stunden
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 26.558 kWh, am Monatsende 26.798 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 32 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht26.558 kWh26.798 kWh32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 26.798 − 26.558 = 240, also 240 kWh.
    2. Kosten: 240 · 32 = 7680, also 7680 ct = 76,80 €.
    Ergebnis:
    76,80 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele Wh sind 3 kWh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3000 Wh

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 36 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 8 W und läuft 2 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht8 W2 Stunden30 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,19 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 500 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 2 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kompost 200 l, Sand 300 l

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Boden von 6 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht6 m2,5 m5 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Pakete

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,63 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m4,1 m17,63 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 17,6 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 110 km

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 16,00 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h15 min16,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7,25 h; 116,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 1500 ml
  2. 6000 g
  3. 0,09 cl
  4. 25 m/s
  5. Der Radfahrer ist schneller.
  6. 20 m je Sekunde, 1200 m je Minute
  7. 1,5 kWh, 52,5 ct
  8. ≈ 9,60 €
  9. ≈ 13,29 €
  10. Kompost 10 l, Sand 15 l
  11. Zement 20 kg, Sand 60 kg
  12. Saft 25 ml, Wasser 125 ml
  13. 5 Pakete
  14. 14 Pakete
  15. 8 Leisten
  16. 4 Busse
  17. ≈ 20,7 m²
  18. ≈ 6 h 16 min
  19. etwa 2.100.000 Liter
  20. etwa 1,1 m
  21. etwa 80 km
  22. 6,25 h; ≈ 90,63 €
  23. 256,00 €
  24. 210,00 €
  25. 1500 m
  26. 1500 mg
  27. 72 km/h
  28. 30 m
  29. 25 Stunden
  30. 76,80 €
  31. 3000 Wh
  32. 10 m/s
  33. ≈ 0,19 €
  34. Kompost 200 l, Sand 300 l
  35. 11 Pakete
  36. ≈ 17,6 m²
  37. etwa 110 km
  38. 7,25 h; 116,00 €
  39. 3.000 g
  40. 90 MB