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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 6 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 6 · 1.000 = 6.000 m
    Ergebnis:
    6.000 m
  2. ●40
    4 Döner kosten zusammen 26,00 €. Was kosten 6 Döner?
    Lösung zeigen
    1. Döner€
    2. 4 Döner→26,00 €
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Döner→26,00 € : 4 = 6,50 €
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Döner→6,50 € · 6 = 39,00 €
    Ergebnis:
    39,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Ein Sack Zement wiegt 250 mg. Gib die Angabe in g an.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 250 : 1000 = 0,25
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 250 : 1000 = 0,25
Ergebnis:
0,25 g

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 6 mg in g.
    So fängst du an:
    Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 6 : 1000 = 0,006
    Ergebnis:
    0,006 g
  2. ●2
    Wie viele g sind 8 mg? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
    Ergebnis:
    0,008 g
  3. ★3
    Der Kühlschrank braucht im Monat 0,35 kWh. Gib die Angabe in Wh an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 0,35 · 1000 = 350
    Ergebnis:
    350 Wh

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 25 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
gegebengesucht25 km/h6 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
  2. 21,6 km/h < 25 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
  2. 21,6 km/h < 25 km/h
Ergebnis:
Der Radfahrer ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne 72 km/h in m/s um.
    So fängst du an:
    1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 72 : 3,6 = 20
    Ergebnis:
    20 m/s
  2. ●5
    Eine Läuferin ist 5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 5 · 3600 = 18.000, also 18.000 m in einer Stunde.
    3. 18.000 m = 18 km, also 18 km/h.
    Ergebnis:
    18 km/h
  3. ★6
    Ein ICE fährt 180 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 180 : 3,6 = 50, also 50 m in einer Sekunde.
    2. 50 · 60 = 3000, also 3000 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    50 m je Sekunde, 3000 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
Ergebnis:
125 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW90 Minuten40 ct?
    So fängst du an:
    90 min = 1,5 h
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1,5 h
    2. 2,5 · 1,5 = 3,75, also 3,75 kWh.
    3. 3,75 · 40 = 150, also 150 ct.
    Ergebnis:
    3,75 kWh, 150 ct
  2. ●8
    Ein Fernseher hat 100 W und läuft 4 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht100 W4 Stunden7 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 100 W = 0,1 kW
    2. Energie: 0,1 · 4 · 7 = 2,8, also 2,8 kWh.
    3. Kosten: 2,8 · 40 = 112, also 112 ct ≈ 1,12 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,12 €
  3. ★9
    Eine Lampe hat 10 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 10 = 100, also 100 Stunden.
    Ergebnis:
    100 Stunden

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 80 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 80 : 4 = 20, also 20 ml.
  3. Blau: 1 · 20 = 20. Weiß: 3 · 20 = 60
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 80 : 4 = 20, also 20 ml.
  3. Blau: 1 · 20 = 20. Weiß: 3 · 20 = 60
Ergebnis:
Blau 20 ml, Weiß 60 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 15 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 2. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 2 = 3
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 15 : 3 = 5, also 5 ml.
    3. Blau: 1 · 5 = 5. Weiß: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    Blau 5 ml, Weiß 10 ml
  2. ●11
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 120 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 120 : 6 = 20, also 20 kg.
    3. Zement: 1 · 20 = 20. Sand: 5 · 20 = 100
    Ergebnis:
    Zement 20 kg, Sand 100 kg
  3. ★12
    Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 36 ml Farbe?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 36 : 3 = 12, also 12 ml.
    3. Blau: 1 · 12 = 12. Weiß: 2 · 12 = 24
    Ergebnis:
    Blau 12 ml, Weiß 24 ml

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 4 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht4 m3,5 m1 m10 %2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3,5) − 1 = 14
  2. Mit Verschnitt: 14 · 1,1 = 15,4
  3. Leisten: 15,4 : 2 ≈ 7,7 → aufrunden auf 8
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3,5) − 1 = 14
  2. Mit Verschnitt: 14 · 1,1 = 15,4
  3. Leisten: 15,4 : 2 ≈ 7,7 → aufrunden auf 8
Ergebnis:
8 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m4 m1 m10 %2 m?
    So fängst du an:
    Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 1 = 19
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 1 = 19
    2. Mit Verschnitt: 19 · 1,1 = 20,9
    3. Leisten: 20,9 : 2 ≈ 10,45 → aufrunden auf 11
    Ergebnis:
    11 Leisten
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 48 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht48 m²8 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 48 · 1 = 48, also 48 m².
    2. Liter: 48 : 8 = 6
    3. Eimer: 6 : 2,5 ≈ 2,4 → aufrunden auf 3
    Ergebnis:
    3 Eimer
  3. ★15
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden zweimal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²10 m²5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 54 · 2 = 108, also 108 m².
    2. Liter: 108 : 10 = 10,8
    3. Eimer: 10,8 : 5 ≈ 2,16 → aufrunden auf 3
    Ergebnis:
    3 Eimer

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Von einer 10 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
gegebengesucht10 m0,7 m?
Schritt für Schritt
  1. 10 : 0,7 ≈ 14,29
  2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 14
  1. 10 : 0,7 ≈ 14,29
  2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 14
Ergebnis:
14 Stücke

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    118 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 3,9333. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht118 Kinder30 Plätze?
    So fängst du an:
    118 : 30 ≈ 3,93
    Lösung zeigen
    1. 118 : 30 ≈ 3,93
    2. Mit 3 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 4
    Ergebnis:
    4 Busse
  2. ●17
    Von einer 6 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,8 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht6 m0,8 m?
    Lösung zeigen
    1. 6 : 0,8 ≈ 7,5
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 7
    Ergebnis:
    7 Stücke
  3. ★18
    134 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,4667. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht134 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 134 : 30 ≈ 4,47
    2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
    Ergebnis:
    5 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht60 m25 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 60 · 25 = 1500, also etwa 1500 m².
  2. Menschen: 1500 · 4 = 6000
  3. Gerundet: etwa 6000
  1. Fläche: 60 · 25 = 1500, also etwa 1500 m².
  2. Menschen: 1500 · 4 = 6000
  3. Gerundet: etwa 6000
Ergebnis:
etwa 6000 Menschen

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 5 · 650 · 5 = 16.250
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 5 · 650 · 5 = 16.250
    2. Höhe: 16.250 · 0,1 = 1625, also 1625 mm.
    3. 1625 mm = 162,5 cm, also etwa 1,6 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,6 m
  2. ●20
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 5 · 450 · 5 = 11.250
    2. Höhe: 11.250 · 0,1 = 1125, also 1125 mm.
    3. 1125 mm = 112,5 cm, also etwa 1,1 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,1 m
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
    2. Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
    3. 1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,4 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 14 = 112
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 14 = 112
Ergebnis:
112,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 15 = 120
    Ergebnis:
    120,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 4 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h4 h5 h18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 4 + 5 + 4 = 16
    2. Lohn: 16 · 18 = 288
    Ergebnis:
    288,00 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h3 h4 h14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 6 + 3 + 4 = 18
    2. Lohn: 18 · 14 = 252
    Ergebnis:
    252,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele Wh sind 2 kWh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2 · 1000 = 2000
    Ergebnis:
    2000 Wh
  2. ●26
    Noah sagt: „140 cm ist mehr als 4,05 m, weil 140 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 4,05 m = 405 cm
    2. 405 cm > 140 cm
    Ergebnis:
    Nein, 4,05 m ist mehr.
  3. ●27
    Ein Zug ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
    3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
    Ergebnis:
    108 km/h
  4. ●28
    Ein Motorrad fährt 54 km/h. Bis zum Bremsen vergeht 1 Sekunde. Wie viele Meter fährt es in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht54 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
    2. In 1 s: 15 · 1 = 15
    Ergebnis:
    15 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 25 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 25 = 40, also 40 Stunden.
    Ergebnis:
    40 Stunden
  6. ●30
    Ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb braucht dauernd 20 W, Tag und Nacht, das ganze Jahr. Wie viele Kilowattstunden sind das im Jahr, und was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht20 W32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Stunden im Jahr: 24 · 365 = 8760
    2. 20 · 8760 = 175.200, also 175.200 Wh = 175,2 kWh.
    3. 175,2 · 32 = 5606,4, also 5606,4 ct ≈ 56,06 €.
    Ergebnis:
    175,2 kWh, etwa 56,06 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele W sind 6 kW? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6000 W

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 144 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 48 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nina 18 €, Ali 30 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3,5 m0,9 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Leisten

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    106 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 3,5333. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht106 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m30 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 6000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 5 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,50 € je Stunde.
    gegebengesucht5 h45 min14,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5,75 h; ≈ 83,38 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,006 g
  2. 0,008 g
  3. 350 Wh
  4. 20 m/s
  5. 18 km/h
  6. 50 m je Sekunde, 3000 m je Minute
  7. 3,75 kWh, 150 ct
  8. ≈ 1,12 €
  9. 100 Stunden
  10. Blau 5 ml, Weiß 10 ml
  11. Zement 20 kg, Sand 100 kg
  12. Blau 12 ml, Weiß 24 ml
  13. 11 Leisten
  14. 3 Eimer
  15. 3 Eimer
  16. 4 Busse
  17. 7 Stücke
  18. 5 Busse
  19. etwa 1,6 m
  20. etwa 1,1 m
  21. etwa 1,4 m
  22. 120,00 €
  23. 288,00 €
  24. 252,00 €
  25. 2000 Wh
  26. Nein, 4,05 m ist mehr.
  27. 108 km/h
  28. 15 m
  29. 40 Stunden
  30. 175,2 kWh, etwa 56,06 €
  31. 6000 W
  32. 40 m/s
  33. 25 Stunden
  34. Nina 18 €, Ali 30 €
  35. 9 Leisten
  36. 4 Busse
  37. etwa 6000 Menschen
  38. 5,75 h; ≈ 83,38 €
  39. 6.000 m
  40. 39,00 €