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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 9 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 9 · 1.000 = 9.000 m
    Ergebnis:
    9.000 m
  2. ●40
    Nael verbraucht in 2 Tagen 2,4 GB Datenvolumen. Nach wie vielen Tagen sind 12 GB verbraucht?
    Lösung zeigen
    1. TageGB
    2. 2 Tage→2,4 GB
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Tag→2,4 GB : 2 = 1,2 GB
    5. ↓ · 10↓ · 1012 GB : 1,2 GB = 10
    6. 10 Tage→12 GB
    Ergebnis:
    10 Tage

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 1,5 g in mg.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1,5 · 1000 = 1500
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1,5 · 1000 = 1500
Ergebnis:
1500 mg

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Wie viele l sind 750 cl? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    So fängst du an:
    Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 750 : 100 = 7,5
    Ergebnis:
    7,5 l
  2. ●2
    Wie viele ml sind 2,5 l? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2,5 · 1000 = 2500
    Ergebnis:
    2500 ml
  3. ★3
    Die Spritze fasst 1500 cl. Gib die Angabe in l an.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1500 : 100 = 15
    Ergebnis:
    15 l

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 126 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 126 : 3,6 = 35
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 126 : 3,6 = 35
Ergebnis:
35 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Rennwagen ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
    3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
    Ergebnis:
    36 km/h
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht15 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  3. ★6
    Ein Sprinter ist 33 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 33 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 33 · 3600 = 118.800, also 118.800 m in einer Stunde.
    3. 118.800 m = 118,8 km, also 118,8 km/h.
    Ergebnis:
    118,8 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
gegebengesucht2,5 kW15 Minuten35 ct?
Schritt für Schritt
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 2,5 · 0,25 = 0,625, also 0,625 kWh.
  3. 0,625 · 35 = 21,88, also 21,88 ct.
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 2,5 · 0,25 = 0,625, also 0,625 kWh.
  3. 0,625 · 35 = 21,88, also 21,88 ct.
Ergebnis:
0,625 kWh, 21,88 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 40 = 25, also 25 Stunden.
    Ergebnis:
    25 Stunden
  2. ●8
    Eine Lampe hat 5 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 5 = 200, also 200 Stunden.
    Ergebnis:
    200 Stunden
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 9 W ersetzt. Sie leuchtet 4 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W9 W4 Stunden32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 9 W = 51 W = 0,051 kW
    2. Im Jahr: 0,051 · 4 · 365 = 74,46, also 74,46 kWh.
    3. 74,46 · 32 ≈ 2383, also 2383 ct ≈ 23,83 €.
    Ergebnis:
    ≈ 23,83 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Nina und Ali haben am Flohmarktstand 180 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 180 : 6 = 30, also 30 €.
  3. Nina: 1 · 30 = 30. Ali: 5 · 30 = 150
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 180 : 6 = 30, also 30 €.
  3. Nina: 1 · 30 = 30. Ali: 5 · 30 = 150
Ergebnis:
Nina 30 €, Ali 150 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 210 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 210 : 7 = 30, also 30 €.
    3. Nina: 2 · 30 = 60. Ali: 5 · 30 = 150
    Ergebnis:
    Nina 60 €, Ali 150 €
  2. ●11
    Für 250 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 2 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 250 : 5 = 50, also 50 ml.
    3. Saft: 2 · 50 = 100. Wasser: 3 · 50 = 150
    Ergebnis:
    Saft 100 ml, Wasser 150 ml
  3. ★12
    Für 175 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 2 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 175 : 5 = 35, also 35 ml.
    3. Blau: 2 · 35 = 70. Weiß: 3 · 35 = 105
    Ergebnis:
    Blau 70 ml, Weiß 105 ml

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 42 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
gegebengesucht42 m²10 m²5 l?
Schritt für Schritt
  1. Fläche zum Streichen: 42 · 1 = 42, also 42 m².
  2. Liter: 42 : 10 = 4,2
  3. Eimer: 4,2 : 5 ≈ 0,84 → aufrunden auf 1
  1. Fläche zum Streichen: 42 · 1 = 42, also 42 m².
  2. Liter: 42 : 10 = 4,2
  3. Eimer: 4,2 : 5 ≈ 0,84 → aufrunden auf 1
Ergebnis:
1 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 4 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht4 m2 m10 %2 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 4 · 2 = 8, also 8 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 4 · 2 = 8, also 8 m².
    2. Mit Verschnitt: 8 · 1,1 = 8,8
    3. Pakete: 8,8 : 2 ≈ 4,4 → aufrunden auf 5
    Ergebnis:
    5 Pakete
  2. ●14
    Ein Boden von 5 m mal 4 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m4 m10 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 5 · 4 = 20, also 20 m².
    2. Mit Verschnitt: 20 · 1,1 = 22
    3. Pakete: 22 : 1,5 ≈ 14,67 → aufrunden auf 15
    Ergebnis:
    15 Pakete
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3,5 m1 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3,5) − 1 = 16
    2. Mit Verschnitt: 16 · 1,1 = 17,6
    3. Leisten: 17,6 : 2 ≈ 8,8 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 5,2 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 19,24 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht5,2 m3,7 m19,24 m²?
Schritt für Schritt
  1. 5,2 · 3,7 = 19,24
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 19,24 ≈ 19,2
  1. 5,2 · 3,7 = 19,24
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 19,24 ≈ 19,2
Ergebnis:
≈ 19,2 m²

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    164 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 5,4667. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht164 Kinder30 Plätze?
    So fängst du an:
    164 : 30 ≈ 5,47
    Lösung zeigen
    1. 164 : 30 ≈ 5,47
    2. Mit 5 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 6
    Ergebnis:
    6 Busse
  2. ●17
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,45 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht8 m0,45 m?
    Lösung zeigen
    1. 8 : 0,45 ≈ 17,78
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 17
    Ergebnis:
    17 Stücke
  3. ★18
    73 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,825. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht73 Kinder40 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 73 : 40 ≈ 1,83
    2. Mit 1 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 2
    Ergebnis:
    2 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
gegebengesucht650 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
Schritt für Schritt
  1. Blätter: 4 · 650 · 5 = 13.000
  2. Höhe: 13.000 · 0,1 = 1300, also 1300 mm.
  3. 1300 mm = 130 cm, also etwa 1,3 m.
  1. Blätter: 4 · 650 · 5 = 13.000
  2. Höhe: 13.000 · 0,1 = 1300, also 1300 mm.
  3. 1300 mm = 130 cm, also etwa 1,3 m.
Ergebnis:
etwa 1,3 m

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 5 · 650 · 5 = 16.250
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 5 · 650 · 5 = 16.250
    2. Höhe: 16.250 · 0,1 = 1625, also 1625 mm.
    3. 1625 mm = 162,5 cm, also etwa 1,6 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,6 m
  2. ●20
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
    2. 95.000 m = 95 km
    3. Gerundet: etwa 100 km
    Ergebnis:
    etwa 100 km
  3. ★21
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
Ergebnis:
128,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 15 = 120
    Ergebnis:
    120,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h4 h16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 6 + 5 + 4 = 20
    2. Lohn: 20 · 16 = 320
    Ergebnis:
    320,00 €
  3. ★24
    Auf dem Stundenzettel steht 5 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 18,00 € je Stunde.
    gegebengesucht5 h45 min18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    2. 5 h 45 min = 5,75 h
    3. 5,75 · 18 = 103,5
    Ergebnis:
    5,75 h; 103,50 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 3 mg in g.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3 : 1000 = 0,003
    Ergebnis:
    0,003 g
  2. ●26
    Tim sagt: „950 W ist mehr als 0,75 kW, weil 950 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,75 kW = 750 W
    2. 750 W < 950 W
    Ergebnis:
    Ja, 950 W ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht15 km/h8 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    2. 28,8 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  4. ●28
    Jemand fährt mit 18 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht18 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 2 s: 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 10 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 10 = 100, also 100 Stunden.
    Ergebnis:
    100 Stunden
  6. ●30
    Ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb braucht dauernd 10 W, Tag und Nacht, das ganze Jahr. Wie viele Kilowattstunden sind das im Jahr, und was kostet das bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht10 W40 ct?
    Lösung zeigen
    1. Stunden im Jahr: 24 · 365 = 8760
    2. 10 · 8760 = 87.600, also 87.600 Wh = 87,6 kWh.
    3. 87,6 · 40 = 3504, also 3504 ct ≈ 35,04 €.
    Ergebnis:
    87,6 kWh, etwa 35,04 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Rechne um: 500 ml in cl.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50 cl

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 7 m/s?
    gegebengesucht20 km/h7 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Ein Laptop hat 50 W und läuft 2 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht50 W2 Stunden30 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,90 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 60 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kompost 10 l, Sand 50 l

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 32 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht32 m²8 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    104 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 3,4667. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht104 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m25 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 6000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 18,00 € je Stunde.
    gegebengesucht8 h30 min18,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8,5 h; 153,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 7,5 l
  2. 2500 ml
  3. 15 l
  4. 36 km/h
  5. Die Läuferin ist schneller.
  6. 118,8 km/h
  7. 25 Stunden
  8. 200 Stunden
  9. ≈ 23,83 €
  10. Nina 60 €, Ali 150 €
  11. Saft 100 ml, Wasser 150 ml
  12. Blau 70 ml, Weiß 105 ml
  13. 5 Pakete
  14. 15 Pakete
  15. 9 Leisten
  16. 6 Busse
  17. 17 Stücke
  18. 2 Busse
  19. etwa 1,6 m
  20. etwa 100 km
  21. etwa 2.400.000 Liter
  22. 120,00 €
  23. 320,00 €
  24. 5,75 h; 103,50 €
  25. 0,003 g
  26. Ja, 950 W ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. Die Läuferin ist schneller.
  28. 10 m
  29. 100 Stunden
  30. 87,6 kWh, etwa 35,04 €
  31. 50 cl
  32. Die Läuferin ist schneller.
  33. ≈ 0,90 €
  34. Kompost 10 l, Sand 50 l
  35. 2 Eimer
  36. 4 Busse
  37. etwa 6000 Menschen
  38. 8,5 h; 153,00 €
  39. 9.000 m
  40. 10 Tage