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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Würfel und Quader

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Karton ist ganz mit Würfelzucker gefüllt. Oben siehst du 6 Reihen mit je 8 Stücken. Vorn siehst du 4 Lagen übereinander. Wie viele Stücke sind im Karton? Begründe deine Zahl.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele zählen nur die sichtbaren Stücke und addieren sie. Andere schätzen. Die Zahlen gehen weit auseinander. Die Oberseite zeigt eine Schicht: so viele Stücke liegen in jeder Lage. Die Vorderseite zeigt, wie viele Lagen übereinander liegen. Eine Schicht mal die Zahl der Lagen ergibt alle.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Netz ist die aufgeklappte Hülle eines Körpers; die Fläche zählt man in Kästchen.

  1. ●38
    Wie viele Flächen, Ecken und Kanten hat eine quadratische Pyramide?
    Lösung zeigen
    1. Flächen zählen, dann Ecken, dann Kanten
    2. 1 Quadrat und 4 Dreiecke, 5 Ecken, 8 Kanten
    Ergebnis:
    1 Quadrat und 4 Dreiecke, 5 Ecken, 8 Kanten
  2. ●39
    Wie viele Kästchen hat die Figur? Wie lang ist der Rand (Umfang in Kästchenseiten)?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 7 · 2 = 14 Kästchen
    2. Umfang: 7 + 2 + 7 + 2 = 18
    Ergebnis:
    14 Kästchen · Umfang 18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Körper lässt sich falten und füllen

Ein Quader hat eine Hülle und einen Innenraum. Die Hülle lässt sich zu einem Netz aufklappen, der Innenraum mit Würfeln füllen. Wer beides im Kopf wechseln kann, rechnet später Oberfläche und Rauminhalt, ohne sie zu verwechseln.

Ein Würfelnetz aus sechs Quadraten, gefaltet zu einem WürfelNetz: die Hülle aufgeklapptgefaltet: Würfel

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Kartons fassen gleich viele Würfel. Brauchen sie deshalb gleich viel Pappe? Wie könntest du das prüfen?

1Ich beschreibe Würfel und Quader mit Ecken, Kanten und Flächen.

EntdeckenFrage

Warum sind Milchpackungen fast immer Quader?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Quader lassen sich lückenlos nebeneinander und übereinander stapeln. So passen im Kühlschrank und im Lastwagen mehr Packungen auf wenig Platz. Runde Flaschen lassen immer Lücken.

MerkenEcken, Kanten, Flächen

Würfel und Quader haben 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.

Beim Würfel sind alle Flächen gleich große Quadrate.

BeispielEcken, Kanten und Flächen

Wie viele Kanten hat ein Würfel? Begründe kurz.
Schritt für Schritt
  1. Unten 4, oben 4 und 4 senkrechte Kanten.
  2. Zusammen 12 Kanten.
  1. Unten 4, oben 4 und 4 senkrechte Kanten.
  2. Zusammen 12 Kanten.
Ergebnis:
12 Kanten

AchtungWürfel und Quader verwechselt

So nicht
6 gleich große Quadrate als Flächen → Quader, aber kein Würfel
So richtig
6 gleich große Quadrate als Flächen → Würfel, und ein Würfel ist auch ein Quader

Ein Würfel ist ein besonderer Quader: alle Flächen gleich große Quadrate. Nicht jeder Quader ist ein Würfel.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Wie viele Flächen hat ein Würfel? Begründe kurz.
    So fängst du an:
    Vorn und hinten, links und rechts, oben und unten.
    Lösung zeigen
    1. Vorn und hinten, links und rechts, oben und unten.
    2. Zusammen 6 Flächen.
    Ergebnis:
    6 Flächen
  2. ●2
    Wie viele Ecken hat ein Quader? Begründe kurz.
    Lösung zeigen
    1. Unten 4 Ecken, oben 4 Ecken.
    2. Zusammen 8 Ecken.
    Ergebnis:
    8 Ecken
  3. ★3
    Ein Quader ist 2 cm lang, 3 cm breit und 8 cm hoch. Wie viele seiner Flächen sind gleich groß wie die Bodenfläche?
    2 cm3 cm8 cm
    Lösung zeigen
    1. Die Bodenfläche ist 2 cm mal 3 cm.
    2. Je zwei Flächen des Quaders sind gleich groß: Boden und Deckel.
    3. Außer dem Boden ist es 1 weitere Fläche, der Deckel.
    Ergebnis:
    1 Fläche, der Deckel

2Ich bestimme Kantenlängen an Kantenmodellen.

EntdeckenFrage

Wie viele verschiedene Netze gibt es für einen Würfel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze. Dabei zählen Netze, die man durch Drehen oder Umklappen aufeinanderlegen kann, als dasselbe. Von den 35 Formen aus sechs Quadraten lassen sich nur diese 11 zu einem Würfel falten.

MerkenKantenmodell

Ein Quader hat 12 Kanten: je 4 gleich lange Längen, Breiten und Höhen.

Beim Würfel sind alle 12 Kanten gleich lang.

BeispielKantenmodelle bauen

Aylin hat 96 cm Draht und baut daraus das Kantenmodell eines Würfels. Der Draht wird ganz verbraucht. Wie lang ist eine Kante?
Schritt für Schritt
  1. Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
  2. 96 cm : 12 = 8 cm
  1. Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
  2. 96 cm : 12 = 8 cm
Ergebnis:
8 cm

AchtungZu wenige Kanten gezählt

So nicht
Würfel mit 10 cm Kantenlänge: Draht 3 · 10 cm = 30 cm
So richtig
Würfel mit 10 cm Kantenlänge: Draht 12 · 10 cm = 120 cm

Ein Quader hat 12 Kanten, je 4 gleich lang. Draht für alle zwölf rechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für das Kantenmodell eines Würfels mit 8 cm langen Kanten werden Holzstäbe gebraucht. Wie viel cm Stab sind das zusammen?
    So fängst du an:
    Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
    Lösung zeigen
    1. Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
    2. 12 · 8 cm = 96 cm
    Ergebnis:
    96 cm
  2. ●5
    Lea hat 36 cm Draht und baut daraus das Kantenmodell eines Würfels. Der Draht wird ganz verbraucht. Wie lang ist eine Kante?
    Lösung zeigen
    1. Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
    2. 36 cm : 12 = 3 cm
    Ergebnis:
    3 cm
  3. ★6
    Lea hat 72 cm Draht und baut daraus das Kantenmodell eines Würfels. Der Draht wird ganz verbraucht. Wie lang ist eine Kante?
    Lösung zeigen
    1. Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
    2. 72 cm : 12 = 6 cm
    Ergebnis:
    6 cm

3Ich erkenne Würfelnetze und gegenüberliegende Flächen.

EntdeckenFrage

Warum ergeben gegenüberliegende Seiten eines Spielwürfels immer zusammen 7?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

So ist der Spielwürfel seit dem Altertum gebaut: 1 liegt gegenüber der 6, 2 gegenüber der 5, 3 gegenüber der 4. Schon Würfel aus dem alten Rom folgen oft dieser Regel. Deshalb kann man verdeckte Augen immer ausrechnen.

MerkenWürfelnetz

Ein Würfelnetz besteht aus 6 Quadraten, die sich ohne Überlappung falten lassen.

Gegenüberliegende Flächen berühren sich im Netz nie.

BeispielWürfelnetz oder nicht?

Lässt sich aus diesen sechs Quadraten ein Würfel falten? Falte in Gedanken.
123456
Schritt für Schritt
  1. Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
  2. Ein Feld 2 mal 2 lässt sich nicht falten: An einer Ecke treffen nur drei Flächen.
  3. Nein, das ist kein Würfelnetz.
  1. Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
  2. Ein Feld 2 mal 2 lässt sich nicht falten: An einer Ecke treffen nur drei Flächen.
  3. Nein, das ist kein Würfelnetz.
Ergebnis:
Nein

AchtungNetz mit Überlappung für ein Würfelnetz gehalten

So nicht
6 Quadrate, zwei davon falten aufeinander → Würfelnetz
So richtig
6 Quadrate, zwei davon falten aufeinander → Überlappung → kein Würfelnetz

In Gedanken falten: Liegen zwei Quadrate aufeinander, ist es kein Netz.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lina will aus diesem Netz einen Spielwürfel basteln. Klappt das? Begründe.
    123456
    So fängst du an:
    Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
    Lösung zeigen
    1. Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
    2. Jedes Quadrat findet eine eigene Seite: Boden, Deckel und vier Wände.
    3. Ja, das ist ein Würfelnetz.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ★8
    Diese sechs Quadrate ergeben keinen Würfel. Begründe, woran es liegt.
    123456
    Lösung zeigen
    1. Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
    2. Ein Feld 2 mal 2 lässt sich nicht falten: An einer Ecke treffen nur drei Flächen.
    Ergebnis:
    Ein Feld 2 mal 2 lässt sich nicht falten

4Ich zeichne und lese Quadernetze.

EntdeckenFrage

Wie viele Liter Wasser passen in ein Aquarium, das 60 cm lang, 30 cm breit und 40 cm hoch ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Liter passt in einen Würfel mit 10 cm Kante. In die Länge passen 6, in die Breite 3 und in die Höhe 4 solche Würfel. Das sind 6 · 3 · 4 = 72 Würfel, also 72 Liter.

MerkenQuadernetz

Ein Quadernetz hat drei Paare gleicher Rechtecke.

Kanten, die beim Falten aufeinandertreffen, sind gleich lang.

BeispielQuadernetze und ihre Rechtecke

Ein Quader ist 5 cm lang, 2 cm breit und 4 cm hoch. Welche Rechtecke brauchst du für sein Netz?
Schritt für Schritt
  1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
  2. 2 · (5 cm mal 2 cm), 2 · (5 cm mal 4 cm), 2 · (2 cm mal 4 cm)
  1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
  2. 2 · (5 cm mal 2 cm), 2 · (5 cm mal 4 cm), 2 · (2 cm mal 4 cm)
Ergebnis:
je zwei Rechtecke 5 · 2, 5 · 4 und 2 · 4 (in cm)

AchtungRechtecke im Quadernetz falsch bemaßt

So nicht
Quader 6 cm, 2 cm, 4 cm: Rechtecke 6 · 2 und 6 · 4
So richtig
Quader 6 cm, 2 cm, 4 cm: je zwei Rechtecke 6 · 2, 6 · 4 und 2 · 4 → 6 Rechtecke

Jede Kante trifft beim Falten eine andere. Beide müssen gleich lang sein.

ÜbenJetzt du

  1. ○9
    Ein Quader ist 6 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch. Welche Rechtecke brauchst du für sein Netz?
    So fängst du an:
    Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
    Lösung zeigen
    1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
    2. 2 · (6 cm mal 4 cm), 2 · (6 cm mal 3 cm), 2 · (4 cm mal 3 cm)
    Ergebnis:
    je zwei Rechtecke 6 · 4, 6 · 3 und 4 · 3 (in cm)
  2. ●10
    Ein Quader ist 6 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch. Welche Rechtecke brauchst du für sein Netz?
    Lösung zeigen
    1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
    2. 2 · (6 cm mal 4 cm), 2 · (6 cm mal 2 cm), 2 · (4 cm mal 2 cm)
    Ergebnis:
    je zwei Rechtecke 6 · 4, 6 · 2 und 4 · 2 (in cm)
  3. ★11
    Im Quadernetz sind vier Rechtecke 6 cm mal 3 cm und 4 cm mal 3 cm schon gezeichnet. Welche zwei Rechtecke fehlen noch, und wo setzt du sie an?
    Lösung zeigen
    1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei gleich.
    2. Es fehlen Boden und Deckel: 2 Rechtecke 6 cm mal 4 cm.
    3. Man setzt sie oben und unten an die 6-cm-Kante eines Rechtecks 6 cm mal 3 cm.
    Ergebnis:
    2 Rechtecke 6 cm mal 4 cm

5Ich zeichne Schrägbilder und benenne Kanten und Flächen am Quader.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet man im Schrägbild die Tiefe kürzer, als sie wirklich ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Auge sieht Dinge, die nach hinten gehen, verkürzt. Wer die Tiefe in voller Länge zeichnet, lässt den Körper zu lang wirken. Die Regel, die Tiefe schräg und halb so lang zu zeichnen, heißt Kavalierperspektive.

MerkenSchrägbild

Im Schrägbild zeichnet man die Vorderfläche so, wie sie wirklich ist.

Die Tiefe wird schräg und verkürzt gezeichnet, verdeckte Kanten gestrichelt.

BeispielSchrägbild auf Kästchenpapier

Im Schrägbild eines Quaders sind drei Kanten gestrichelt. Warum?
Schritt für Schritt
  1. Die gestrichelten Kanten liegen hinten.
  2. Man könnte sie am echten Quader nicht sehen: Sie sind verdeckt.
  3. Gestrichelt zeigt, dass sie da sind, aber verdeckt.
  1. Die gestrichelten Kanten liegen hinten.
  2. Man könnte sie am echten Quader nicht sehen: Sie sind verdeckt.
  3. Gestrichelt zeigt, dass sie da sind, aber verdeckt.
Ergebnis:
Sie sind verdeckt

AchtungTiefe im Schrägbild nicht verkürzt

So nicht
Würfel mit 4 cm Kante: Tiefe 8 Kästchen schräg
So richtig
Würfel mit 4 cm Kante: Tiefe verkürzt → 4 Kästchendiagonalen

Die Tiefe schräg zeichnen und halbieren. Verdeckte Kanten stricheln.

ÜbenJetzt du

  1. ○12
    Paul zeichnet die Tiefe eines Würfels mit 3 cm Kante genauso lang wie die Vorderkante, also 6 Kästchen weit schräg. Was ist falsch?
    So fängst du an:
    Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
    Lösung zeigen
    1. Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
    2. Die Tiefe wird halb so lang gezeichnet: 3 Kästchendiagonalen statt 6.
    3. Sonst wirkt der Würfel viel zu tief.
    Ergebnis:
    Tiefe verkürzen: 3 Kästchendiagonalen
  2. ●13
    Du zeichnest einen Quader mit 2 cm Breite, 3 cm Tiefe und 4 cm Höhe im Schrägbild auf Kästchenpapier. Ein Kästchen ist 0,5 cm breit. Wie viele Kästchen breit und hoch wird die Vorderfläche, und wie viele Kästchendiagonalen lang ist die Tiefe?
    2 cm3 cm4 cm
    Lösung zeigen
    1. Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
    2. Breite 2 cm: 4 Kästchen. Höhe 4 cm: 8 Kästchen.
    3. Tiefe 3 cm: halb so lang, also 3 Kästchendiagonalen.
    Ergebnis:
    4 Kästchen breit, 8 hoch, 3 Diagonalen tief
  3. ★14
    Du zeichnest einen Quader mit 5 cm Breite, 4 cm Tiefe und 2 cm Höhe im Schrägbild auf Kästchenpapier. Ein Kästchen ist 0,5 cm breit. Wie viele Kästchen breit und hoch wird die Vorderfläche, und wie viele Kästchendiagonalen lang ist die Tiefe?
    5 cm4 cm2 cm
    Lösung zeigen
    1. Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
    2. Breite 5 cm: 10 Kästchen. Höhe 2 cm: 4 Kästchen.
    3. Tiefe 4 cm: halb so lang, also 4 Kästchendiagonalen.
    Ergebnis:
    10 Kästchen breit, 4 hoch, 4 Diagonalen tief

6Ich bestimme Rauminhalte durch Auszählen von Würfeln in Schichten.

EntdeckenFrage

Wie viel Draht braucht man für das Kantenmodell eines Würfels mit 10 cm Kantenlänge?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Würfel hat 12 Kanten, alle gleich lang. Man braucht also 12 · 10 cm = 120 cm Draht. Viele denken zuerst an 6 Kanten, weil der Würfel 6 Flächen hat.

MerkenRauminhalt in Schichten

Den Rauminhalt misst man mit Einheitswürfeln.

Man zählt eine Schicht und nimmt sie so oft, wie Schichten übereinander liegen.

BeispielVolumen durch Auszählen von Würfeln

Aus wie vielen gleich großen Würfeln ist der Quader gebaut? Zähle in Schichten. Schreibe auf, wie du gezählt hast.
Schritt für Schritt
  1. Eine Schicht: 3 Reihen mit je 3 Würfeln, also 3 · 3 = 9.
  2. 2 Schichten: 2 · 9 = 18
  1. Eine Schicht: 3 Reihen mit je 3 Würfeln, also 3 · 3 = 9.
  2. 2 Schichten: 2 · 9 = 18
Ergebnis:
18 Würfel

AchtungNur sichtbare Würfel gezählt

So nicht
Quader 4 lang, 2 breit, 3 hoch: sichtbar 18 Würfel → 18
So richtig
Quader 4 lang, 2 breit, 3 hoch: Schicht 4 · 2 = 8, 3 Schichten → 24 Würfel

In Schichten zählen: eine Schicht mal die Zahl der Schichten. Innen liegen auch Würfel.

ÜbenJetzt du

  1. ○15
    Elias zählt am Bild nur die Würfel, die man sieht, und kommt auf 10. Warum ist das zu wenig? Wie viele Würfel sind es?
    So fängst du an:
    Man sieht nur Würfel an der Vorderseite, rechts und oben.
    Lösung zeigen
    1. Man sieht nur Würfel an der Vorderseite, rechts und oben.
    2. Innen und hinten liegen weitere. In Schichten zählen: 2 · 3 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Würfel
  2. ●16
    Ein Karton ist innen 3 cm lang, 3 cm breit und 3 cm hoch. Wie viele Zentimeterwürfel passen hinein? Das ist sein Volumen in Zentimeterwürfeln.
    Lösung zeigen
    1. Boden: 3 · 3 = 9 Zentimeterwürfel.
    2. 3 Schichten übereinander: 3 · 9 = 27
    Ergebnis:
    27 Zentimeterwürfel
  3. ★17
    Aylin zählt am Bild nur die Würfel, die man sieht, und kommt auf 50. Warum ist das zu wenig? Wie viele Würfel sind es?
    Lösung zeigen
    1. Man sieht nur Würfel an der Vorderseite, rechts und oben.
    2. Innen und hinten liegen weitere. In Schichten zählen: 5 · 6 · 3 = 90
    Ergebnis:
    90 Würfel

7Ich rechne mit Litern und Millilitern.

EntdeckenFrage

Sind drei Getränkedosen zusammen mehr oder weniger als eine Literflasche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine übliche Dose fasst 330 ml. Drei Dosen sind 3 · 330 ml = 990 ml. Ein Liter sind 1.000 ml, also fehlen 10 ml zum Liter.

MerkenLiter und Milliliter

1 Liter sind 1000 Milliliter. Ein Liter passt genau in einen Würfel mit 10 cm Kantenlänge.

BeispielLiter und Milliliter

Ordne von klein nach groß: 250 ml, 750 ml, einen halben Liter, 1 l.
250 ml750 mleinen halben Liter1 l
Schritt für Schritt
  1. Alles in ml umrechnen.
  2. 250 ml: 250 ml, 750 ml: 750 ml, einen halben Liter: 500 ml, 1 l: 1000 ml
  3. 250 ml < einen halben Liter < 750 ml < 1 l
  1. Alles in ml umrechnen.
  2. 250 ml: 250 ml, 750 ml: 750 ml, einen halben Liter: 500 ml, 1 l: 1000 ml
  3. 250 ml < einen halben Liter < 750 ml < 1 l
Ergebnis:
250 ml < einen halben Liter < 750 ml < 1 l

AchtungEinheiten Liter und Milliliter falsch umgerechnet

So nicht
3 l in Milliliter: 3 · 100 = 300 ml
So richtig
3 l in Milliliter: 3 · 1000 = 3000 ml

Beim Umrechnen gilt: 1 Liter sind 1000 Milliliter, nicht 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○18
    Schreibe in Millilitern: 7 l
    So fängst du an:
    1 l = 1000 ml
    Lösung zeigen
    1. 1 l = 1000 ml
    2. 7 · 1000 ml = 7000 ml
    Ergebnis:
    7000 ml
  2. ●19
    Ordne von klein nach groß: 750 ml, einen halben Liter, 250 ml, 1 l.
    750 mleinen halben Liter250 ml1 l
    Lösung zeigen
    1. Alles in ml umrechnen.
    2. 750 ml: 750 ml, einen halben Liter: 500 ml, 250 ml: 250 ml, 1 l: 1000 ml
    3. 250 ml < einen halben Liter < 750 ml < 1 l
    Ergebnis:
    250 ml < einen halben Liter < 750 ml < 1 l
  3. ★20
    Schreibe in Litern und Millilitern: 6650 ml
    Lösung zeigen
    1. 1000 ml = 1 l
    2. 6650 ml = 6 l und 650 ml
    Ergebnis:
    6 l 650 ml

8Ich bestimme den Oberflächeninhalt aus dem Netz.

EntdeckenFrage

Wie viele A4-Blätter braucht man mindestens, um einen Würfel mit 1 m Kantenlänge ganz zu bekleben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Netz des Würfels hat 6 Quadrate mit je 1 m², zusammen 6 m². Ein A4-Blatt ist ein Sechzehntel von 1 m². Also braucht man 6 · 16 = 96 Blätter, wenn nichts übersteht.

MerkenOberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt ist die Fläche des ganzen Netzes.

Man addiert die Flächen aller sechs Rechtecke.

BeispielOberflächeninhalt aus dem Netz

Ein Geschenkkarton ist 5 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch. Wie viel Geschenkpapier braucht man mindestens, ohne Überlappung?
5 cm4 cm2 cm
Schritt für Schritt
  1. Je zwei Flächen: 5 · 4 = 20, 5 · 2 = 10, 4 · 2 = 8 (in cm²)
  2. 2 · 20 + 2 · 10 + 2 · 8 = 76
  1. Je zwei Flächen: 5 · 4 = 20, 5 · 2 = 10, 4 · 2 = 8 (in cm²)
  2. 2 · 20 + 2 · 10 + 2 · 8 = 76
Ergebnis:
76 cm²

AchtungNicht alle Flächen addiert

So nicht
Quader 4, 2, 3 Würfel: 4 · 2 + 4 · 3 + 2 · 3 = 26 Flächen
So richtig
Quader 4, 2, 3 Würfel: 2 · (4 · 2 + 4 · 3 + 2 · 3) = 52 Flächen

Ein Quader hat 6 Flächen. Jede Fläche kommt im Netz einmal vor.

ÜbenJetzt du

  1. ○21
    Ein Würfel hat 4 cm lange Kanten. Wie groß ist sein Oberflächeninhalt?
    So fängst du an:
    Eine Fläche: 4 cm · 4 cm = 16 cm²
    Lösung zeigen
    1. Eine Fläche: 4 cm · 4 cm = 16 cm²
    2. 6 gleiche Flächen: 6 · 16 cm² = 96 cm²
    Ergebnis:
    96 cm²
  2. ●22
    Wie viele Kästchen bedeckt das Quadernetz? Das ist der Oberflächeninhalt in Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Mittlere Spalte: 2 · (3 · 3) + 2 · (3 · 1) = 24
    2. Seiten: 2 · (3 · 1) = 6
    3. Zusammen: 30 Kästchen
    Ergebnis:
    30 Kästchen
  3. ★23
    Ein Quader ist aus 24 Zentimeterwürfeln gebaut: 4 lang, 2 breit, 3 hoch. Wie viele Würfelflächen sind außen zu sehen, wenn man ihn rundherum anmalt?
    Lösung zeigen
    1. Oben und unten: 2 · 8; vorn und hinten: 2 · 12; links und rechts: 2 · 6.
    2. 16 + 24 + 12 = 52
    Ergebnis:
    52 Würfelflächen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●24
    Wie viele Ecken hat ein Würfel? Begründe kurz.
    Lösung zeigen
    1. Unten 4 Ecken, oben 4 Ecken.
    2. Zusammen 8 Ecken.
    Ergebnis:
    8 Ecken
  2. ●25
    Ein Körper hat 8 Ecken und 12 Kanten. Seine Flächen sind Rechtecke, nicht alle gleich groß. Nenne den Körper und einen Gegenstand mit dieser Form.
    Lösung zeigen
    1. 8 Ecken, 12 Kanten und Rechtecke: Quader.
    2. Beispiel: ein Tetrapak.
    Ergebnis:
    Quader
  3. ●26
    Hanna hat 24 cm Draht und baut daraus das Kantenmodell eines Würfels. Der Draht wird ganz verbraucht. Wie lang ist eine Kante?
    Lösung zeigen
    1. Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
    2. 24 cm : 12 = 2 cm
    Ergebnis:
    2 cm
  4. ●27
    Das Netz wird zu einem Würfel gefaltet. Welche Fläche ist dann die Gegenseite von Quadrat 3?
    123456
    Lösung zeigen
    1. Gegenüberliegende Flächen berühren sich im Netz nie.
    2. In einer Reihe aus drei Quadraten liegen die äußeren gegenüber.
    3. Gegenüber liegt Quadrat 5.
    Ergebnis:
    Quadrat 5
  5. ●28
    Ein Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Welche Rechtecke brauchst du für sein Netz?
    Lösung zeigen
    1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
    2. 2 · (4 cm mal 3 cm), 2 · (4 cm mal 2 cm), 2 · (3 cm mal 2 cm)
    Ergebnis:
    je zwei Rechtecke 4 · 3, 4 · 2 und 3 · 2 (in cm)
  6. ●29
    Welche Kanten des Quaders ABCDEFGH sind parallel zur Kante EF?
    ABCDEFGH
    Lösung zeigen
    1. Parallele Kanten zeigen in dieselbe Richtung.
    2. Parallel zu EF: AB, DC, HG
    Ergebnis:
    AB, DC, HG

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Ecken, Kanten, Flächen
Würfel und Quader haben 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.
Kantenmodell
Ein Quader hat 12 Kanten: je 4 gleich lange Längen, Breiten und Höhen.
Würfelnetz
Ein Würfelnetz besteht aus 6 Quadraten, die sich ohne Überlappung falten lassen.
Quadernetz
Ein Quadernetz hat drei Paare gleicher Rechtecke.
Schrägbild
Im Schrägbild zeichnet man die Vorderfläche so, wie sie wirklich ist.
Rauminhalt in Schichten
Den Rauminhalt misst man mit Einheitswürfeln.
Liter und Milliliter
1 Liter sind 1000 Milliliter. Ein Liter passt genau in einen Würfel mit 10 cm Kantenlänge.
Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt ist die Fläche des ganzen Netzes.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich beschreibe Würfel und Quader mit Ecken, Kanten und Flächen.

    30
    Wie viele Kanten hat ein Quader? Begründe kurz.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Kanten

  2. Ich bestimme Kantenlängen an Kantenmodellen.

    31
    Für das Kantenmodell eines Würfels mit 4 cm langen Kanten werden Holzstäbe gebraucht. Wie viel cm Stab sind das zusammen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48 cm

  3. Ich erkenne Würfelnetze und gegenüberliegende Flächen.

    32
    Lässt sich aus diesen sechs Quadraten ein Würfel falten? Falte in Gedanken.
    123456
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  4. Ich zeichne und lese Quadernetze.

    33
    Wie lang und wie breit ist das rot markierte Rechteck im Quadernetz? Nutze die angegebenen Maße.
    ?3 cm4 cm2 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 cm mal 2 cm

  5. Ich zeichne Schrägbilder und benenne Kanten und Flächen am Quader.

    34
    Du zeichnest einen Quader mit 4 cm Breite, 4 cm Tiefe und 3 cm Höhe im Schrägbild auf Kästchenpapier. Ein Kästchen ist 0,5 cm breit. Wie viele Kästchen breit und hoch wird die Vorderfläche, und wie viele Kästchendiagonalen lang ist die Tiefe?
    4 cm4 cm3 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Kästchen breit, 6 hoch, 4 Diagonalen tief

  6. Ich bestimme Rauminhalte durch Auszählen von Würfeln in Schichten.

    35
    Aus wie vielen gleich großen Würfeln ist der Quader gebaut? Zähle in Schichten. Schreibe auf, wie du gezählt hast.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Würfel

  7. Ich rechne mit Litern und Millilitern.

    36
    Schreibe in Millilitern: 5 l
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5000 ml

  8. Ich bestimme den Oberflächeninhalt aus dem Netz.

    37
    Wie viele Kästchen bedeckt das Quadernetz? Das ist der Oberflächeninhalt in Kästchen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30 Kästchen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Karton ist ganz mit Würfelzucker gefüllt. Oben siehst du 6 Reihen mit je 8 Stücken. Vorn siehst du 4 Lagen übereinander. Wie viele Stücke sind im Karton? Begründe deine Zahl.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: In Schichten zählen: eine Schicht mal die Zahl der Schichten.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Verpackungen, Spielwürfel, Getränke in Litern und Millilitern, Umzugskartons. Beruf: Verpackungsdesign, Lager und Versand, Tischlerei.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Oberfläche
alle Außenseiten zusammen

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Winkel, Symmetrie, Körper und Flächeninhalt, Flächen und Umfang

Darauf baut auf: Körper und Volumen, Würfelgebäude, Baupläne und Ansichten

Lösungen

  1. 6 Flächen
  2. 8 Ecken
  3. 1 Fläche, der Deckel
  4. 96 cm
  5. 3 cm
  6. 6 cm
  7. Ja
  8. Ein Feld 2 mal 2 lässt sich nicht falten
  9. je zwei Rechtecke 6 · 4, 6 · 3 und 4 · 3 (in cm)
  10. je zwei Rechtecke 6 · 4, 6 · 2 und 4 · 2 (in cm)
  11. 2 Rechtecke 6 cm mal 4 cm
  12. Tiefe verkürzen: 3 Kästchendiagonalen
  13. 4 Kästchen breit, 8 hoch, 3 Diagonalen tief
  14. 10 Kästchen breit, 4 hoch, 4 Diagonalen tief
  15. 12 Würfel
  16. 27 Zentimeterwürfel
  17. 90 Würfel
  18. 7000 ml
  19. 250 ml < einen halben Liter < 750 ml < 1 l
  20. 6 l 650 ml
  21. 96 cm²
  22. 30 Kästchen
  23. 52 Würfelflächen
  24. 8 Ecken
  25. Quader
  26. 2 cm
  27. Quadrat 5
  28. je zwei Rechtecke 4 · 3, 4 · 2 und 3 · 2 (in cm)
  29. AB, DC, HG
  30. 12 Kanten
  31. 48 cm
  32. Ja
  33. 3 cm mal 2 cm
  34. 8 Kästchen breit, 6 hoch, 4 Diagonalen tief
  35. 12 Würfel
  36. 5000 ml
  37. 30 Kästchen
  38. 1 Quadrat und 4 Dreiecke, 5 Ecken, 8 Kanten
  39. 14 Kästchen · Umfang 18