Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Würfel und Quader

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Karton ist ganz mit Würfelzucker gefüllt. Oben siehst du 6 Reihen mit je 8 Stücken. Vorn siehst du 4 Lagen übereinander. Wie viele Stücke sind im Karton? Begründe deine Zahl.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele zählen nur die sichtbaren Stücke und addieren sie. Andere schätzen. Die Zahlen gehen weit auseinander. Die Oberseite zeigt eine Schicht: so viele Stücke liegen in jeder Lage. Die Vorderseite zeigt, wie viele Lagen übereinander liegen. Eine Schicht mal die Zahl der Lagen ergibt alle.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Netz ist die aufgeklappte Hülle eines Körpers; die Fläche zählt man in Kästchen.

●39
Wie viele Flächen, Ecken und Kanten hat ein Zylinder?
Lösung zeigen
1. Flächen zählen, dann Ecken, dann Kanten
2. 3 Flächen (2 Kreise, 1 gebogene), keine Ecken, 2 Kanten
Ergebnis:
3 Flächen (2 Kreise, 1 gebogene), keine Ecken, 2 Kanten
●40
Zeichne im Heft eine Figur mit genau 12 Kästchen. Finde verschiedene Lösungen – und miss bei jeder den Umfang.
Lösung zeigen
1. 12 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 4 · 3, aber auch anders
2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
Ergebnis:
Mehrere richtige Lösungen. 4 · 3 hat den Umfang 14; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Körper lässt sich falten und füllen

Ein Quader hat eine Hülle und einen Innenraum. Die Hülle lässt sich zu einem Netz aufklappen, der Innenraum mit Würfeln füllen. Wer beides im Kopf wechseln kann, rechnet später Oberfläche und Rauminhalt, ohne sie zu verwechseln.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Kartons fassen gleich viele Würfel. Brauchen sie deshalb gleich viel Pappe? Wie könntest du das prüfen?

1Ich beschreibe Würfel und Quader mit Ecken, Kanten und Flächen.

EntdeckenFrage

Warum sind Milchpackungen fast immer Quader?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Quader lassen sich lückenlos nebeneinander und übereinander stapeln. So passen im Kühlschrank und im Lastwagen mehr Packungen auf wenig Platz. Runde Flaschen lassen immer Lücken.

MerkenEcken, Kanten, Flächen

Würfel und Quader haben 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.

Beim Würfel sind alle Flächen gleich große Quadrate.

BeispielEcken, Kanten und Flächen

Ein Körper hat 6 Flächen. Alle sind gleich große Quadrate. Wie heißt der Körper? Ist er auch ein Quader?

Schritt für Schritt

6 gleich große Quadrate: Das ist ein Würfel.
Ein Quader hat 6 Rechtecke; ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck.
Also ist jeder Würfel auch ein Quader.

6 gleich große Quadrate: Das ist ein Würfel.
Ein Quader hat 6 Rechtecke; ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck.
Also ist jeder Würfel auch ein Quader.

Ergebnis:

Würfel, und er ist auch ein Quader

AchtungWürfel und Quader verwechselt

So nicht

6 gleich große Quadrate als Flächen → Quader, aber kein Würfel

So richtig

6 gleich große Quadrate als Flächen → Würfel, und ein Würfel ist auch ein Quader

Ein Würfel ist ein besonderer Quader: alle Flächen gleich große Quadrate. Nicht jeder Quader ist ein Würfel.

ÜbenJetzt du

○1
Wie viele Kanten hat ein Quader? Begründe kurz.
So fängst du an:
Unten 4, oben 4 und 4 senkrechte Kanten.
Lösung zeigen
1. Unten 4, oben 4 und 4 senkrechte Kanten.
2. Zusammen 12 Kanten.
Ergebnis:
12 Kanten
●2
Ein Quader ist 4 cm lang, 6 cm breit und 7 cm hoch. Wie viele seiner Flächen sind gleich groß wie die Bodenfläche?
Lösung zeigen
1. Die Bodenfläche ist 4 cm mal 6 cm.
2. Je zwei Flächen des Quaders sind gleich groß: Boden und Deckel.
3. Außer dem Boden ist es 1 weitere Fläche, der Deckel.
Ergebnis:
1 Fläche, der Deckel
★3
Ein Quader ist 8 cm lang, 7 cm breit und 4 cm hoch. Wie viele seiner Flächen sind gleich groß wie die Bodenfläche?
Lösung zeigen
1. Die Bodenfläche ist 8 cm mal 7 cm.
2. Je zwei Flächen des Quaders sind gleich groß: Boden und Deckel.
3. Außer dem Boden ist es 1 weitere Fläche, der Deckel.
Ergebnis:
1 Fläche, der Deckel

2Ich bestimme Kantenlängen an Kantenmodellen.

EntdeckenFrage

Wie viele verschiedene Netze gibt es für einen Würfel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze. Dabei zählen Netze, die man durch Drehen oder Umklappen aufeinanderlegen kann, als dasselbe. Von den 35 Formen aus sechs Quadraten lassen sich nur diese 11 zu einem Würfel falten.

MerkenKantenmodell

Ein Quader hat 12 Kanten: je 4 gleich lange Längen, Breiten und Höhen.

Beim Würfel sind alle 12 Kanten gleich lang.

BeispielKantenmodelle bauen

Für das Kantenmodell eines Würfels mit 11 cm langen Kanten werden Holzstäbe gebraucht. Wie viel cm Stab sind das zusammen?

Schritt für Schritt

Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
12 · 11 cm = 132 cm

Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
12 · 11 cm = 132 cm

Ergebnis:

132 cm

AchtungZu wenige Kanten gezählt

So nicht

Würfel mit 10 cm Kantenlänge: Draht 3 · 10 cm = 30 cm

So richtig

Würfel mit 10 cm Kantenlänge: Draht 12 · 10 cm = 120 cm

Ein Quader hat 12 Kanten, je 4 gleich lang. Draht für alle zwölf rechnen.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Kantenmodell eines Quaders soll 3 cm lang, 9 cm breit und 5 cm hoch werden. Wie viel Draht braucht man?
So fängst du an:
Von jeder Länge gibt es 4 Kanten: 4 · 3 + 4 · 9 + 4 · 5
Lösung zeigen
1. Von jeder Länge gibt es 4 Kanten: 4 · 3 + 4 · 9 + 4 · 5
2. 12 + 36 + 20 = 68
Ergebnis:
68 cm
●5
Ein Kantenmodell eines Quaders soll 2 cm lang, 5 cm breit und 6 cm hoch werden. Wie viel Draht braucht man?
Lösung zeigen
1. Von jeder Länge gibt es 4 Kanten: 4 · 2 + 4 · 5 + 4 · 6
2. 8 + 20 + 24 = 52
Ergebnis:
52 cm
★6
Emma hat 132 cm Draht und baut daraus das Kantenmodell eines Würfels. Der Draht wird ganz verbraucht. Wie lang ist eine Kante?
Lösung zeigen
1. Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
2. 132 cm : 12 = 11 cm
Ergebnis:
11 cm

3Ich erkenne Würfelnetze und gegenüberliegende Flächen.

EntdeckenFrage

Warum ergeben gegenüberliegende Seiten eines Spielwürfels immer zusammen 7?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

So ist der Spielwürfel seit dem Altertum gebaut: 1 liegt gegenüber der 6, 2 gegenüber der 5, 3 gegenüber der 4. Schon Würfel aus dem alten Rom folgen oft dieser Regel. Deshalb kann man verdeckte Augen immer ausrechnen.

MerkenWürfelnetz

Ein Würfelnetz besteht aus 6 Quadraten, die sich ohne Überlappung falten lassen.

Gegenüberliegende Flächen berühren sich im Netz nie.

BeispielWürfelnetz oder nicht?

Milan will aus diesem Netz einen Spielwürfel basteln. Klappt das? Begründe.

Schritt für Schritt

Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
Jedes Quadrat findet eine eigene Seite: Boden, Deckel und vier Wände.
Ja, das ist ein Würfelnetz.

Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
Jedes Quadrat findet eine eigene Seite: Boden, Deckel und vier Wände.
Ja, das ist ein Würfelnetz.

Ergebnis:

AchtungNetz mit Überlappung für ein Würfelnetz gehalten

So nicht

6 Quadrate, zwei davon falten aufeinander → Würfelnetz

So richtig

6 Quadrate, zwei davon falten aufeinander → Überlappung → kein Würfelnetz

In Gedanken falten: Liegen zwei Quadrate aufeinander, ist es kein Netz.

ÜbenJetzt du

○7
Lässt sich aus diesen sechs Quadraten ein Würfel falten? Falte in Gedanken.
So fängst du an:
Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
Lösung zeigen
1. Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
2. Jedes Quadrat findet eine eigene Seite: Boden, Deckel und vier Wände.
3. Ja, das ist ein Würfelnetz.
Ergebnis:
Ja
●8
Ben will aus diesem Netz einen Spielwürfel basteln. Klappt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
2. Ein Feld 2 mal 2 lässt sich nicht falten: An einer Ecke treffen nur drei Flächen.
3. Nein, das ist kein Würfelnetz.
Ergebnis:
Nein
★9
Hanna will aus diesem Netz einen Spielwürfel basteln. Klappt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Ein Quadrat als Boden wählen und die anderen hochklappen.
2. Jedes Quadrat findet eine eigene Seite: Boden, Deckel und vier Wände.
3. Ja, das ist ein Würfelnetz.
Ergebnis:
Ja

4Ich zeichne und lese Quadernetze.

EntdeckenFrage

Wie viele Liter Wasser passen in ein Aquarium, das 60 cm lang, 30 cm breit und 40 cm hoch ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Liter passt in einen Würfel mit 10 cm Kante. In die Länge passen 6, in die Breite 3 und in die Höhe 4 solche Würfel. Das sind 6 · 3 · 4 = 72 Würfel, also 72 Liter.

MerkenQuadernetz

Ein Quadernetz hat drei Paare gleicher Rechtecke.

Kanten, die beim Falten aufeinandertreffen, sind gleich lang.

BeispielQuadernetze und ihre Rechtecke

Wie lang und wie breit ist das rot markierte Rechteck im Quadernetz? Nutze die angegebenen Maße.

Schritt für Schritt

Kanten, die beim Falten aufeinandertreffen, sind gleich lang.
Das rote Rechteck grenzt an Kanten mit 6 cm und 2 cm.
Es ist 6 cm mal 2 cm groß.

Kanten, die beim Falten aufeinandertreffen, sind gleich lang.
Das rote Rechteck grenzt an Kanten mit 6 cm und 2 cm.
Es ist 6 cm mal 2 cm groß.

Ergebnis:

6 cm mal 2 cm

AchtungRechtecke im Quadernetz falsch bemaßt

So nicht

Quader 6 cm, 2 cm, 4 cm: Rechtecke 6 · 2 und 6 · 4

So richtig

Quader 6 cm, 2 cm, 4 cm: je zwei Rechtecke 6 · 2, 6 · 4 und 2 · 4 → 6 Rechtecke

Jede Kante trifft beim Falten eine andere. Beide müssen gleich lang sein.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Quader ist 5 cm lang, 3 cm breit und 4 cm hoch. Welche Rechtecke brauchst du für sein Netz?
So fängst du an:
Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
Lösung zeigen
1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
2. 2 · (5 cm mal 3 cm), 2 · (5 cm mal 4 cm), 2 · (3 cm mal 4 cm)
Ergebnis:
je zwei Rechtecke 5 · 3, 5 · 4 und 3 · 4 (in cm)
●11
Ein Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 5 cm hoch. Welche Rechtecke brauchst du für sein Netz?
Lösung zeigen
1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
2. 2 · (4 cm mal 3 cm), 2 · (4 cm mal 5 cm), 2 · (3 cm mal 5 cm)
Ergebnis:
je zwei Rechtecke 4 · 3, 4 · 5 und 3 · 5 (in cm)
★12
Ein Quader ist 3 cm lang, 2 cm breit und 4 cm hoch. Welche Rechtecke brauchst du für sein Netz?
Lösung zeigen
1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
2. 2 · (3 cm mal 2 cm), 2 · (3 cm mal 4 cm), 2 · (2 cm mal 4 cm)
Ergebnis:
je zwei Rechtecke 3 · 2, 3 · 4 und 2 · 4 (in cm)

5Ich zeichne Schrägbilder und benenne Kanten und Flächen am Quader.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet man im Schrägbild die Tiefe kürzer, als sie wirklich ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Auge sieht Dinge, die nach hinten gehen, verkürzt. Wer die Tiefe in voller Länge zeichnet, lässt den Körper zu lang wirken. Die Regel, die Tiefe schräg und halb so lang zu zeichnen, heißt Kavalierperspektive.

MerkenSchrägbild

Im Schrägbild zeichnet man die Vorderfläche so, wie sie wirklich ist.

Die Tiefe wird schräg und verkürzt gezeichnet, verdeckte Kanten gestrichelt.

BeispielSchrägbild auf Kästchenpapier

Du zeichnest einen Quader mit 2 cm Breite, 3 cm Tiefe und 4 cm Höhe im Schrägbild auf Kästchenpapier. Ein Kästchen ist 0,5 cm breit. Wie viele Kästchen breit und hoch wird die Vorderfläche, und wie viele Kästchendiagonalen lang ist die Tiefe?

Schritt für Schritt

Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
Breite 2 cm: 4 Kästchen. Höhe 4 cm: 8 Kästchen.
Tiefe 3 cm: halb so lang, also 3 Kästchendiagonalen.

Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
Breite 2 cm: 4 Kästchen. Höhe 4 cm: 8 Kästchen.
Tiefe 3 cm: halb so lang, also 3 Kästchendiagonalen.

Ergebnis:

4 Kästchen breit, 8 hoch, 3 Diagonalen tief

AchtungTiefe im Schrägbild nicht verkürzt

So nicht

Würfel mit 4 cm Kante: Tiefe 8 Kästchen schräg

So richtig

Würfel mit 4 cm Kante: Tiefe verkürzt → 4 Kästchendiagonalen

Die Tiefe schräg zeichnen und halbieren. Verdeckte Kanten stricheln.

ÜbenJetzt du

○13
Noah zeichnet die Tiefe eines Würfels mit 5 cm Kante genauso lang wie die Vorderkante, also 10 Kästchen weit schräg. Was ist falsch?
So fängst du an:
Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
Lösung zeigen
1. Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
2. Die Tiefe wird halb so lang gezeichnet: 5 Kästchendiagonalen statt 10.
3. Sonst wirkt der Würfel viel zu tief.
Ergebnis:
Tiefe verkürzen: 5 Kästchendiagonalen
●14
Paul zeichnet die Tiefe eines Würfels mit 3 cm Kante genauso lang wie die Vorderkante, also 6 Kästchen weit schräg. Was ist falsch?
Lösung zeigen
1. Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
2. Die Tiefe wird halb so lang gezeichnet: 3 Kästchendiagonalen statt 6.
3. Sonst wirkt der Würfel viel zu tief.
Ergebnis:
Tiefe verkürzen: 3 Kästchendiagonalen
★15
Im Schrägbild eines Quaders sind drei Kanten gestrichelt. Warum?
Lösung zeigen
1. Die gestrichelten Kanten liegen hinten.
2. Man könnte sie am echten Quader nicht sehen: Sie sind verdeckt.
3. Gestrichelt zeigt, dass sie da sind, aber verdeckt.
Ergebnis:
Sie sind verdeckt

6Ich bestimme Rauminhalte durch Auszählen von Würfeln in Schichten.

EntdeckenFrage

Wie viel Draht braucht man für das Kantenmodell eines Würfels mit 10 cm Kantenlänge?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Würfel hat 12 Kanten, alle gleich lang. Man braucht also 12 · 10 cm = 120 cm Draht. Viele denken zuerst an 6 Kanten, weil der Würfel 6 Flächen hat.

MerkenRauminhalt in Schichten

Den Rauminhalt misst man mit Einheitswürfeln.

Man zählt eine Schicht und nimmt sie so oft, wie Schichten übereinander liegen.

BeispielVolumen durch Auszählen von Würfeln

Can zählt am Bild nur die Würfel, die man sieht, und kommt auf 10. Warum ist das zu wenig? Wie viele Würfel sind es?

Schritt für Schritt

Man sieht nur Würfel an der Vorderseite, rechts und oben.
Innen und hinten liegen weitere. In Schichten zählen: 2 · 3 · 2 = 12

Man sieht nur Würfel an der Vorderseite, rechts und oben.
Innen und hinten liegen weitere. In Schichten zählen: 2 · 3 · 2 = 12

Ergebnis:

12 Würfel

AchtungNur sichtbare Würfel gezählt

So nicht

Quader 4 lang, 2 breit, 3 hoch: sichtbar 18 Würfel → 18

So richtig

Quader 4 lang, 2 breit, 3 hoch: Schicht 4 · 2 = 8, 3 Schichten → 24 Würfel

In Schichten zählen: eine Schicht mal die Zahl der Schichten. Innen liegen auch Würfel.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Karton ist innen 3 cm lang, 2 cm breit und 2 cm hoch. Wie viele Zentimeterwürfel passen hinein? Das ist sein Volumen in Zentimeterwürfeln.
So fängst du an:
Boden: 3 · 2 = 6 Zentimeterwürfel.
Lösung zeigen
1. Boden: 3 · 2 = 6 Zentimeterwürfel.
2. 2 Schichten übereinander: 2 · 6 = 12
Ergebnis:
12 Zentimeterwürfel
●17
Noah zählt am Bild nur die Würfel, die man sieht, und kommt auf 14. Warum ist das zu wenig? Wie viele Würfel sind es?
Lösung zeigen
1. Man sieht nur Würfel an der Vorderseite, rechts und oben.
2. Innen und hinten liegen weitere. In Schichten zählen: 2 · 3 · 3 = 18
Ergebnis:
18 Würfel
★18
Ein Karton ist innen 3 cm lang, 4 cm breit und 4 cm hoch. Wie viele Zentimeterwürfel passen hinein? Das ist sein Volumen in Zentimeterwürfeln.
Lösung zeigen
1. Boden: 3 · 4 = 12 Zentimeterwürfel.
2. 4 Schichten übereinander: 4 · 12 = 48
Ergebnis:
48 Zentimeterwürfel

7Ich rechne mit Litern und Millilitern.

EntdeckenFrage

Sind drei Getränkedosen zusammen mehr oder weniger als eine Literflasche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine übliche Dose fasst 330 ml. Drei Dosen sind 3 · 330 ml = 990 ml. Ein Liter sind 1.000 ml, also fehlen 10 ml zum Liter.

MerkenLiter und Milliliter

1 Liter sind 1000 Milliliter. Ein Liter passt genau in einen Würfel mit 10 cm Kantenlänge.

BeispielLiter und Milliliter

Ordne von klein nach groß: 250 ml, 1 l, einen halben Liter, 330 ml.

Schritt für Schritt

Alles in ml umrechnen.
250 ml: 250 ml, 1 l: 1000 ml, einen halben Liter: 500 ml, 330 ml: 330 ml
250 ml < 330 ml < einen halben Liter < 1 l

Alles in ml umrechnen.
250 ml: 250 ml, 1 l: 1000 ml, einen halben Liter: 500 ml, 330 ml: 330 ml
250 ml < 330 ml < einen halben Liter < 1 l

Ergebnis:

250 ml < 330 ml < einen halben Liter < 1 l

AchtungEinheiten Liter und Milliliter falsch umgerechnet

So nicht

3 l in Milliliter: 3 · 100 = 300 ml

So richtig

3 l in Milliliter: 3 · 1000 = 3000 ml

Beim Umrechnen gilt: 1 Liter sind 1000 Milliliter, nicht 100.

ÜbenJetzt du

○19
Schreibe in Litern und Millilitern: 2650 ml
So fängst du an:
1000 ml = 1 l
Lösung zeigen
1. 1000 ml = 1 l
2. 2650 ml = 2 l und 650 ml
Ergebnis:
2 l 650 ml
●20
Schreibe in Millilitern: 2 l
Lösung zeigen
1. 1 l = 1000 ml
2. 2 · 1000 ml = 2000 ml
Ergebnis:
2000 ml
★21
Ordne von klein nach groß: 250 ml, 1 l, 330 ml, einen halben Liter.
Lösung zeigen
1. Alles in ml umrechnen.
2. 250 ml: 250 ml, 1 l: 1000 ml, 330 ml: 330 ml, einen halben Liter: 500 ml
3. 250 ml < 330 ml < einen halben Liter < 1 l
Ergebnis:
250 ml < 330 ml < einen halben Liter < 1 l

8Ich bestimme den Oberflächeninhalt aus dem Netz.

EntdeckenFrage

Wie viele A4-Blätter braucht man mindestens, um einen Würfel mit 1 m Kantenlänge ganz zu bekleben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Netz des Würfels hat 6 Quadrate mit je 1 m², zusammen 6 m². Ein A4-Blatt ist ein Sechzehntel von 1 m². Also braucht man 6 · 16 = 96 Blätter, wenn nichts übersteht.

MerkenOberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt ist die Fläche des ganzen Netzes.

Man addiert die Flächen aller sechs Rechtecke.

BeispielOberflächeninhalt aus dem Netz

Ein Geschenkkarton ist 8 cm lang, 2 cm breit und 6 cm hoch. Wie viel Geschenkpapier braucht man mindestens, ohne Überlappung?

Schritt für Schritt

Je zwei Flächen: 8 · 2 = 16, 8 · 6 = 48, 2 · 6 = 12 (in cm²)
2 · 16 + 2 · 48 + 2 · 12 = 152

Je zwei Flächen: 8 · 2 = 16, 8 · 6 = 48, 2 · 6 = 12 (in cm²)
2 · 16 + 2 · 48 + 2 · 12 = 152

Ergebnis:

152 cm²

AchtungNicht alle Flächen addiert

So nicht

Quader 4, 2, 3 Würfel: 4 · 2 + 4 · 3 + 2 · 3 = 26 Flächen

So richtig

Quader 4, 2, 3 Würfel: 2 · (4 · 2 + 4 · 3 + 2 · 3) = 52 Flächen

Ein Quader hat 6 Flächen. Jede Fläche kommt im Netz einmal vor.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Geschenkkarton ist 9 cm lang, 5 cm breit und 5 cm hoch. Wie viel Geschenkpapier braucht man mindestens, ohne Überlappung?
So fängst du an:
Je zwei Flächen: 9 · 5 = 45, 9 · 5 = 45, 5 · 5 = 25 (in cm²)
Lösung zeigen
1. Je zwei Flächen: 9 · 5 = 45, 9 · 5 = 45, 5 · 5 = 25 (in cm²)
2. 2 · 45 + 2 · 45 + 2 · 25 = 230
Ergebnis:
230 cm²
●23
Ein Geschenkkarton ist 7 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch. Wie viel Geschenkpapier braucht man mindestens, ohne Überlappung?
Lösung zeigen
1. Je zwei Flächen: 7 · 5 = 35, 7 · 4 = 28, 5 · 4 = 20 (in cm²)
2. 2 · 35 + 2 · 28 + 2 · 20 = 166
Ergebnis:
166 cm²
★24
Wie viele Kästchen bedeckt das Quadernetz? Das ist der Oberflächeninhalt in Kästchen.
Lösung zeigen
1. Mittlere Spalte: 2 · (4 · 2) + 2 · (4 · 3) = 40
2. Seiten: 2 · (2 · 3) = 12
3. Zusammen: 52 Kästchen
Ergebnis:
52 Kästchen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein Quader ist 4 cm lang, 7 cm breit und 6 cm hoch. Wie viele seiner Flächen sind gleich groß wie die Bodenfläche?
Lösung zeigen
1. Die Bodenfläche ist 4 cm mal 7 cm.
2. Je zwei Flächen des Quaders sind gleich groß: Boden und Deckel.
3. Außer dem Boden ist es 1 weitere Fläche, der Deckel.
Ergebnis:
1 Fläche, der Deckel
●26
Welche Form hat ein Schuhkarton: Würfel, Quader oder Kugel?
Lösung zeigen
1. Sechs Rechtecke, nicht alle gleich groß.
2. Also: Quader.
Ergebnis:
Quader
●27
Für das Kantenmodell eines Würfels mit 10 cm langen Kanten werden Holzstäbe gebraucht. Wie viel cm Stab sind das zusammen?
Lösung zeigen
1. Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten.
2. 12 · 10 cm = 120 cm
Ergebnis:
120 cm
●28
Quadrat 1 ist nach dem Falten der Boden. Welches Quadrat ist der Deckel? Begründe kurz.
Lösung zeigen
1. Gegenüberliegende Flächen berühren sich im Netz nie.
2. In einer Reihe aus drei Quadraten liegen die äußeren gegenüber.
3. Gegenüber liegt Quadrat 3.
Ergebnis:
Quadrat 3
●29
Ein Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Welche Rechtecke brauchst du für sein Netz?
Lösung zeigen
1. Ein Quader hat 6 Rechtecke, je zwei sind gleich.
2. 2 · (4 cm mal 3 cm), 2 · (4 cm mal 2 cm), 2 · (3 cm mal 2 cm)
Ergebnis:
je zwei Rechtecke 4 · 3, 4 · 2 und 3 · 2 (in cm)
●30
Lea zeichnet die Tiefe eines Würfels mit 2 cm Kante genauso lang wie die Vorderkante, also 4 Kästchen weit schräg. Was ist falsch?
Lösung zeigen
1. Vorderfläche in wahrer Größe, Tiefe schräg als Kästchendiagonalen, halb so lang.
2. Die Tiefe wird halb so lang gezeichnet: 2 Kästchendiagonalen statt 4.
3. Sonst wirkt der Würfel viel zu tief.
Ergebnis:
Tiefe verkürzen: 2 Kästchendiagonalen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Ecken, Kanten, Flächen: Würfel und Quader haben 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.
Kantenmodell: Ein Quader hat 12 Kanten: je 4 gleich lange Längen, Breiten und Höhen.
Würfelnetz: Ein Würfelnetz besteht aus 6 Quadraten, die sich ohne Überlappung falten lassen.
Quadernetz: Ein Quadernetz hat drei Paare gleicher Rechtecke.
Schrägbild: Im Schrägbild zeichnet man die Vorderfläche so, wie sie wirklich ist.
Rauminhalt in Schichten: Den Rauminhalt misst man mit Einheitswürfeln.
Liter und Milliliter: 1 Liter sind 1000 Milliliter. Ein Liter passt genau in einen Würfel mit 10 cm Kantenlänge.
Oberflächeninhalt: Der Oberflächeninhalt ist die Fläche des ganzen Netzes.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Würfel und Quader mit Ecken, Kanten und Flächen.
31
Ein Körper hat 6 Flächen. Alle sind gleich große Quadrate. Wie heißt der Körper? Ist er auch ein Quader?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Würfel, und er ist auch ein Quader
Ich bestimme Kantenlängen an Kantenmodellen.
32
Für das Kantenmodell eines Würfels mit 5 cm langen Kanten werden Holzstäbe gebraucht. Wie viel cm Stab sind das zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
60 cm
Ich erkenne Würfelnetze und gegenüberliegende Flächen.
33
Lässt sich aus diesen sechs Quadraten ein Würfel falten? Falte in Gedanken.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ja
Ich zeichne und lese Quadernetze.
34
Wie lang und wie breit ist das rot markierte Rechteck im Quadernetz? Nutze die angegebenen Maße.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 cm mal 4 cm
Ich zeichne Schrägbilder und benenne Kanten und Flächen am Quader.
35
Du zeichnest einen Quader mit 3 cm Breite, 2 cm Tiefe und 2 cm Höhe im Schrägbild auf Kästchenpapier. Ein Kästchen ist 0,5 cm breit. Wie viele Kästchen breit und hoch wird die Vorderfläche, und wie viele Kästchendiagonalen lang ist die Tiefe?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Kästchen breit, 4 hoch, 2 Diagonalen tief
Ich bestimme Rauminhalte durch Auszählen von Würfeln in Schichten.
36
Aus wie vielen gleich großen Würfeln ist der Quader gebaut? Zähle in Schichten. Schreibe auf, wie du gezählt hast.
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Ergebnis:
16 Würfel
Ich rechne mit Litern und Millilitern.
37
Ordne von klein nach groß: einen halben Liter, 1 l, 250 ml, 750 ml.
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Ergebnis:
250 ml < einen halben Liter < 750 ml < 1 l
Ich bestimme den Oberflächeninhalt aus dem Netz.
38
Wie viele Kästchen bedeckt das Quadernetz? Das ist der Oberflächeninhalt in Kästchen.
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Ergebnis:
32 Kästchen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Karton ist ganz mit Würfelzucker gefüllt. Oben siehst du 6 Reihen mit je 8 Stücken. Vorn siehst du 4 Lagen übereinander. Wie viele Stücke sind im Karton? Begründe deine Zahl.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: In Schichten zählen: eine Schicht mal die Zahl der Schichten.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Verpackungen, Spielwürfel, Getränke in Litern und Millilitern, Umzugskartons. Beruf: Verpackungsdesign, Lager und Versand, Tischlerei.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Oberfläche: alle Außenseiten zusammen

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Winkel, Symmetrie, Körper und Flächeninhalt, Flächen und Umfang

Darauf baut auf: Körper und Volumen, Würfelgebäude, Baupläne und Ansichten

Lösungen

12 Kanten
1 Fläche, der Deckel
1 Fläche, der Deckel
68 cm
52 cm
11 cm
Ja
Nein
Ja
je zwei Rechtecke 5 · 3, 5 · 4 und 3 · 4 (in cm)
je zwei Rechtecke 4 · 3, 4 · 5 und 3 · 5 (in cm)
je zwei Rechtecke 3 · 2, 3 · 4 und 2 · 4 (in cm)
Tiefe verkürzen: 5 Kästchendiagonalen
Tiefe verkürzen: 3 Kästchendiagonalen
Sie sind verdeckt
12 Zentimeterwürfel
18 Würfel
48 Zentimeterwürfel
2 l 650 ml
2000 ml
250 ml < 330 ml < einen halben Liter < 1 l
230 cm²
166 cm²
52 Kästchen
1 Fläche, der Deckel
Quader
120 cm
Quadrat 3
je zwei Rechtecke 4 · 3, 4 · 2 und 3 · 2 (in cm)
Tiefe verkürzen: 2 Kästchendiagonalen
Würfel, und er ist auch ein Quader
60 cm
Ja
3 cm mal 4 cm
6 Kästchen breit, 4 hoch, 2 Diagonalen tief
16 Würfel
250 ml < einen halben Liter < 750 ml < 1 l
32 Kästchen
3 Flächen (2 Kreise, 1 gebogene), keine Ecken, 2 Kanten
Mehrere richtige Lösungen. 4 · 3 hat den Umfang 14; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.