Zählen und Wahrscheinlichkeit

◆ÜbenJetzt du

1. ○1

   Von zu Hause zum Bahnhof gibt es 3 Wege (Bus, Rad, zu Fuß), von dort zum Stadion 2 Wege (U-Bahn, S-Bahn). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
   So fängst du an:

   Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn
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   1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn
   2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn
   3. Erst zu Fuß: zu Fuß/U-Bahn, zu Fuß/S-Bahn
   4. Zusammen: 3 · 2 = 6

   Ergebnis:

   6 Wege
2. ●2

   Jonas hat Shirts in rot, blau, weiß und dazu Jeans, Jogginghose. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
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   1. Shirt rot: rot/Jeans, rot/Jogginghose
   2. Shirt blau: blau/Jeans, blau/Jogginghose
   3. Shirt weiß: weiß/Jeans, weiß/Jogginghose
   4. Zusammen: 3 · 2 = 6

   Ergebnis:

   6 Kombinationen
3. ★3

   Du hast die Ziffernkarten 1, 3, 6, 7. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
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   1. Mit 1 vorne: 13, 16, 17
   2. Mit 3 vorne: 31, 36, 37
   3. Mit 6 vorne: 61, 63, 67
   4. Mit 7 vorne: 71, 73, 76
   5. Zusammen: 4 · 3 = 12 Zahlen

   Ergebnis:

   13, 16, 17, 31, 36, 37, 61, 63, 67, 71, 73, 76 (12 Zahlen)

◆ÜbenJetzt du

4. ○4

   Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 7. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
   So fängst du an:

   Jeder Ring: 8 Möglichkeiten
   Lösung zeigen

   1. Jeder Ring: 8 Möglichkeiten
   2. 8 · 8 · 8 = 512
   3. Zeit: 512 · 2 s = 1024 s ≈ 17 min

   Ergebnis:

   512 Einstellungen, etwa 17 Minuten
5. ●5

   Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 5. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
   Lösung zeigen

   1. Jeder Ring: 6 Möglichkeiten
   2. 6 · 6 · 6 = 216
   3. Zeit: 216 · 2 s = 432 s ≈ 7 min

   Ergebnis:

   216 Einstellungen, etwa 7 Minuten
6. ★6

   Für ein Foto wählst du eins von 4 Shirts, eine von 4 Hosen und eins von 3 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
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   1. Stufen: 4 Shirts, 4 Hosen, 3 Paar Schuhe
   2. Produktregel: 4 · 4 · 3 = 48

   Ergebnis:

   48 Outfits

◆ÜbenJetzt du

7. ○7

   Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von MOND legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
   So fängst du an:

   4 verschiedene Buchstaben
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   1. 4 verschiedene Buchstaben
   2. Stelle für Stelle: 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
   3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24

   Ergebnis:

   24 Folgen
8. ●8

   Im Kino sitzen 5 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
   Lösung zeigen

   1. Linker Platz: 5 Kinder, nächster: 4
   2. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
   3. Jede Sitzordnung ein Abend

   Ergebnis:

   120 Abende
9. ★9

   Beim Sportfest laufen 8 Kinder. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Plätze 1, 2 und 3 auf dem Siegertreppchen?
   Lösung zeigen

   1. Platz 1: 8 Möglichkeiten
   2. Platz 2: 7, Platz 3: 6
   3. 8 · 7 · 6 = 336

   Ergebnis:

   336 Möglichkeiten

◆ÜbenJetzt du

10. ○10

    In einer Gruppe mit 6 Kindern werden Klassensprecher und Stellvertretung gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
    So fängst du an:

    Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    Lösung zeigen

    1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    2. Klassensprecher: 6, danach Stellvertretung: 5
    3. 6 · 5 = 30

    Ergebnis:

    30 Besetzungen (ohne Wiederholung)
11. ●11

    In einer Gruppe mit 9 Kindern werden Kasse und Protokoll gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
    Lösung zeigen

    1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    2. Kasse: 9, danach Protokoll: 8
    3. 9 · 8 = 72

    Ergebnis:

    72 Besetzungen (ohne Wiederholung)
12. ★12

    Ein Code hat 3 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 5. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
    Lösung zeigen

    1. Doppelt erlaubt: 5 · 5 · 5 = 125
    2. Alle verschieden: 5 · 4 · 3 = 60
    3. Ohne Doppelte sind es 65 weniger

    Ergebnis:

    mit Wiederholung 125, ohne Wiederholung 60

◆ÜbenJetzt du

13. ○13

    8 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
    So fängst du an:

    Jedes Kind reicht 7 anderen die Hand: 8 · 7 = 56
    Lösung zeigen

    1. Jedes Kind reicht 7 anderen die Hand: 8 · 7 = 56
    2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
    3. 56 : 2 = 28

    Ergebnis:

    28 Handschläge
14. ●14

    In einer Liga mit 7 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    Lösung zeigen

    1. Jede Mannschaft hat 6 Gegner: 7 · 6 = 42
    2. Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
    3. 42 : 2 = 21

    Ergebnis:

    21 Spiele
15. ★15

    In einer Liga mit 11 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
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    1. Jede Mannschaft hat 10 Gegner: 11 · 10 = 110
    2. Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
    3. 110 : 2 = 55

    Ergebnis:

    55 Spiele

◆ÜbenJetzt du

16. ○16

    Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist keine 6.“ Wie groß ist P(A)?
    So fängst du an:

    Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    Lösung zeigen

    1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    2. A = {1, 2, 3, 4, 5}, das sind 5 Ergebnisse
    3. P(A) = 56

    Ergebnis:

    A = {1, 2, 3, 4, 5}, P(A) = 56
17. ●17

    Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „mindestens einmal Kopf“. Wie wahrscheinlich ist es?
    Lösung zeigen

    1. Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
    2. Ereignis: {KK, KZ, ZK}
    3. P = 34

    Ergebnis:

    {KK, KZ, ZK}, P = 34
18. ★18

    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele Ergebnisse gibt es? Gib das Ereignis „Augensumme 6“ als Menge an. Wie groß ist P(A)?
    Lösung zeigen

    1. Ergebnisse: 6 · 6 = 36, jedes gleich wahrscheinlich
    2. A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}, das sind 5
    3. P(A) = 536

    Ergebnis:

    36 Ergebnisse; P(A) = 536

◆ÜbenJetzt du

19. ○19

    Zwei Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch, also zweimal dieselbe Augenzahl? Zähle die günstigen Paare.
    So fängst du an:

    Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen

    1. Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
    2. Pasch: (1|1), (2|2) bis (6|6), das sind 6
    3. P = 636 = 16

    Ergebnis:

    16 ≈ 16,7 %
20. ●20

    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 10?
    Lösung zeigen

    1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
    2. Summe 10: (4|6) (5|5) (6|4), das sind 3
    3. P = 336 = 112 ≈ 8,3 %

    Ergebnis:

    112 ≈ 8,3 %
21. ★21

    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 6?
    Lösung zeigen

    1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
    2. Summe 6: (1|5) (2|4) (3|3) (4|2) …, das sind 5
    3. P = 536 ≈ 13,9 %

    Ergebnis:

    536 ≈ 13,9 %

◆ÜbenJetzt du

22. ○22

    Gedreht oder geworfen wird 500-mal: ein Glücksrad mit 5 gleichen Feldern, zwei davon gewinnen. Wie oft erwartest du ungefähr „Gewinn“?
    So fängst du an:

    P(Gewinn) = 25
    Lösung zeigen

    1. P(Gewinn) = 25
    2. Erwartet: 500 · 25 = 200
    3. Das Ergebnis schwankt um diesen Wert

    Ergebnis:

    etwa 200-mal
23. ●23

    Bei 400 Versuchen (ein Glücksrad mit 4 gleichen Feldern, eines davon gewinnt) kam „Gewinn“ 113-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
    Lösung zeigen

    1. Relative Häufigkeit: 113 : 400 ≈ 28,3 %
    2. Wahrscheinlichkeit: 14 ≈ 25 %
    3. Unterschied: 3,3 Prozentpunkte

    Ergebnis:

    28,3 % gegen 25 %
24. ★24

    Zwei Würfel, gezählt wird ein Pasch. Versuch A: 10-mal „Pasch“ bei 36 Versuchen. Versuch B: 100-mal bei 360 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
    Lösung zeigen

    1. Erwartet: A 6-mal, B 60-mal
    2. Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
    3. Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten

    Ergebnis:

    Versuch B