Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Zählen und Wahrscheinlichkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen werden lang und ungeordnet. Manche Zahlen stehen doppelt da, andere fehlen, und die Gruppen kommen auf verschiedene Anzahlen. Niemand kann beweisen, dass seine Liste vollständig ist. Wer sicher sein will, braucht eine Ordnung: Wir halten die erste Ziffer fest und schreiben alle Fortsetzungen auf, dann die nächste erste Ziffer. Als Bild ist das ein Baum – und seine Pfade kann man zählen, ohne eine Zahl zu vergessen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt: günstige durch mögliche.

●39
In einer Urne sind 2 rote, 6 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
Lösung zeigen
1. Insgesamt 8 Kugeln, davon 6 nicht rot
2. 68 = 0,75
Ergebnis:
68 ≈ 75 %
●40
Ein Reißnagel wurde 250-mal geworfen, er landete 49-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,196 = 19,6 %

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZählen heißt Stufe für Stufe wählen

Jede Möglichkeit ist ein Weg durch mehrere Entscheidungen: erst die erste Stelle, dann die zweite. Das Baumdiagramm zeigt jeden Weg als Pfad. Gleich viele Zweige an jedem Ast heißt: Die Anzahlen werden multipliziert.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Baum hat 3 Äste und an jedem Ast 4 Zweige. Warum hat er mehr Pfade, als Äste und Zweige zusammen gezeichnet sind?

1Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.

EntdeckenFrage

Wie lange dauert es, ein Zahlenschloss durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jeder Ring hat 10 Ziffern, also gibt es 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Einstellungen. Braucht jeder Versuch 2 Sekunden, dauert das Durchprobieren im schlimmsten Fall 20.000 Sekunden, also mehr als 5 Stunden.

MerkenSystematisch zählen

Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.

Erst die erste Stelle festhalten und alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste. Aus den Karten 1, 4 und 7 entstehen so 14, 17, 41, 47, 71 und 74.

BeispielMöglichkeiten systematisch auflisten

Du hast die Ziffernkarten 1, 5, 8. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?

Schritt für Schritt

Mit 1 vorne: 15, 18
Mit 5 vorne: 51, 58
Mit 8 vorne: 81, 85
Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen

Mit 1 vorne: 15, 18
Mit 5 vorne: 51, 58
Mit 8 vorne: 81, 85
Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen

Ergebnis:

15, 18, 51, 58, 81, 85 (6 Zahlen)

AchtungMöglichkeit vergessen oder doppelt gezählt

So nicht

Karten 1, 4, 7, zweistellige Zahlen: 14, 41, 17, 71, 47 → 5 Zahlen

So richtig

Mit 1 vorne: 14, 17; mit 4: 41, 47; mit 7: 71, 74 → 6 Zahlen

Ordnen: erste Stelle festhalten, alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste erste Stelle.

ÜbenJetzt du

○1
Tim hat Shirts in rot, blau und dazu Jeans, Jogginghose. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
So fängst du an:
Shirt rot: rot/Jeans, rot/Jogginghose
Lösung zeigen
1. Shirt rot: rot/Jeans, rot/Jogginghose
2. Shirt blau: blau/Jeans, blau/Jogginghose
3. Zusammen: 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Kombinationen
●2
Von zu Hause zum Bahnhof gibt es 3 Wege (Bus, Rad, zu Fuß), von dort zum Stadion 2 Wege (U-Bahn, S-Bahn). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
Lösung zeigen
1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn
2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn
3. Erst zu Fuß: zu Fuß/U-Bahn, zu Fuß/S-Bahn
4. Zusammen: 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6 Wege
★3
Du hast die Ziffernkarten 3, 5, 6, 9. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
Lösung zeigen
1. Mit 3 vorne: 35, 36, 39
2. Mit 5 vorne: 53, 56, 59
3. Mit 6 vorne: 63, 65, 69
4. Mit 9 vorne: 93, 95, 96
5. Zusammen: 4 · 3 = 12 Zahlen
Ergebnis:
35, 36, 39, 53, 56, 59, 63, 65, 69, 93, 95, 96 (12 Zahlen)

2Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.

EntdeckenFrage

Warum sperrt die Bankkarte nach drei falschen PIN-Eingaben – reicht das wirklich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine vierstellige PIN hat 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Möglichkeiten. Wer rät, hat bei drei Versuchen nur 3 von 10.000 Chancen, also 0,03 Prozent. Ohne Sperre könnte man dagegen alle durchprobieren.

MerkenProduktregel

Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.

Bei 3 Shirts, 2 Hosen und 2 Paar Schuhen gibt es 3 · 2 · 2 = 12 Outfits. Im Baumdiagramm ist das die Zahl der Pfade.

BeispielProduktregel: Stufe für Stufe multiplizieren

Die Mensa bietet 4 Vorspeisen, 3 Hauptgerichte und 2 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?

Schritt für Schritt

Drei Stufen: 4, 3 und 2 Möglichkeiten
Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
4 · 3 · 2 = 24

Drei Stufen: 4, 3 und 2 Möglichkeiten
Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
4 · 3 · 2 = 24

Ergebnis:

24 Menüs

AchtungAddiert statt multipliziert

So nicht

3 Shirts und 4 Hosen: 3 + 4 = 7 Outfits

So richtig

Zu jedem Shirt 4 Hosen: 3 · 4 = 12 Outfits

Jede Wahl der ersten Stufe passt zu jeder der zweiten: multiplizieren. Addiert wird nur, wenn die Äste verschieden sind.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 5. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
So fängst du an:
Jeder Ring: 6 Möglichkeiten
Lösung zeigen
1. Jeder Ring: 6 Möglichkeiten
2. 6 · 6 · 6 = 216
3. Zeit: 216 · 2 s = 432 s ≈ 7 min
Ergebnis:
216 Einstellungen, etwa 7 Minuten
●5
Für ein Foto wählst du eins von 5 Shirts, eine von 2 Hosen und eins von 3 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
Lösung zeigen
1. Stufen: 5 Shirts, 2 Hosen, 3 Paar Schuhe
2. Produktregel: 5 · 2 · 3 = 30
Ergebnis:
30 Outfits
★6
Ein Fahrradschloss hat 4 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 7. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
Lösung zeigen
1. Jeder Ring: 8 Möglichkeiten
2. 8 · 8 · 8 · 8 = 4096
3. Zeit: 4096 · 2 s = 8192 s ≈ 137 min
Ergebnis:
4096 Einstellungen, etwa 137 Minuten

3Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine Saison der Fußball-Bundesliga?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

18 Mannschaften, jede spielt gegen jede andere ein Hinspiel und ein Rückspiel. Hier zählt die Reihenfolge, also 18 · 17 = 306 Spiele, verteilt auf 34 Spieltage mit je 9 Spielen.

MerkenAnordnungen

Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.

Jeder weitere Platz hat eine weniger. Vier Kinder stellen sich auf 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Arten auf.

BeispielAnordnungen in einer Reihe zählen

Im Kino sitzen 4 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?

Schritt für Schritt

Linker Platz: 4 Kinder, nächster: 3
4 · 3 · 2 · 1 = 24
Jede Sitzordnung ein Abend

Linker Platz: 4 Kinder, nächster: 3
4 · 3 · 2 · 1 = 24
Jede Sitzordnung ein Abend

Ergebnis:

24 Abende

AchtungWiederholung übersehen

So nicht

Code aus 3 verschiedenen Ziffern von 1 bis 5: 5 · 5 · 5 = 125

So richtig

Jede Ziffer nur einmal: 5 · 4 · 3 = 60

Darf ein Zeichen nur einmal vorkommen, hat jede weitere Stelle eine Möglichkeit weniger: 5 · 4 · 3 statt 5 · 5 · 5.

ÜbenJetzt du

○7
Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von WOLKE legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
So fängst du an:
5 verschiedene Buchstaben
Lösung zeigen
1. 5 verschiedene Buchstaben
2. Stelle für Stelle: 5, 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Ergebnis:
120 Folgen
●8
5 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
Lösung zeigen
1. Platz 1: 5 Möglichkeiten, Platz 2: noch 4
2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Ergebnis:
120 Anordnungen
★9
4 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
Lösung zeigen
1. Platz 1: 4 Möglichkeiten, Platz 2: noch 3
2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ergebnis:
24 Anordnungen

4Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.

EntdeckenFrage

Warum kommt beim Werfen von zwei Würfeln die Augensumme 7 öfter als die 2 oder die 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Paare. Die 7 entsteht aus sechs davon: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 und umgekehrt. Die 2 entsteht nur aus 1 und 1, die 12 nur aus 6 und 6. Also 6/36 gegen 1/36.

MerkenDas Kapitel im Überblick

Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.

Diese Seite ist dein Spickzettel zum Wiederholen.

BeispielZählen mit und ohne Wiederholung

Ein Würfel wird 3-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?

Schritt für Schritt

Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
6 · 6 · 6 = 216

Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
6 · 6 · 6 = 216

Ergebnis:

216 Ergebnisse (mit Wiederholung)

AchtungNoch einmal: Wiederholung übersehen

So nicht

Code aus 3 verschiedenen Ziffern von 1 bis 5: 5 · 5 · 5 = 125

So richtig

Jede Ziffer nur einmal: 5 · 4 · 3 = 60

Darf ein Zeichen nur einmal vorkommen, hat jede weitere Stelle eine Möglichkeit weniger: 5 · 4 · 3 statt 5 · 5 · 5.

ÜbenJetzt du

○10
In einer Gruppe mit 7 Kindern werden Kasse und Protokoll gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
So fängst du an:
Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
Lösung zeigen
1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
2. Kasse: 7, danach Protokoll: 6
3. 7 · 6 = 42
Ergebnis:
42 Besetzungen (ohne Wiederholung)
●11
Ein Würfel wird 2-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
Lösung zeigen
1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
2. 6 · 6 = 36
Ergebnis:
36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
★12
Ein Code hat 4 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 8. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
Lösung zeigen
1. Doppelt erlaubt: 8 · 8 · 8 · 8 = 4096
2. Alle verschieden: 8 · 7 · 6 · 5 = 1680
3. Ohne Doppelte sind es 2416 weniger
Ergebnis:
mit Wiederholung 4096, ohne Wiederholung 1680

5Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

EntdeckenFrage

Wie viele Sitzordnungen gibt es für 25 Kinder in einem Klassenraum?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 · 24 · 23 · … · 2 · 1. Das ist eine Zahl mit 26 Stellen. Selbst wenn man jede Sekunde eine neue Sitzordnung ausprobierte, reichte das ganze Alter des Weltalls, rund 14 Milliarden Jahre, bei Weitem nicht.

MerkenAuswahl ohne Reihenfolge

Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.

Dann teilt man durch die doppelt gezählten. Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.

BeispielAuswahlen ohne Reihenfolge zählen

In einer Liga mit 8 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?

Schritt für Schritt

Jede Mannschaft hat 7 Gegner: 8 · 7 = 56
Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
56 : 2 = 28

Jede Mannschaft hat 7 Gegner: 8 · 7 = 56
Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
56 : 2 = 28

Ergebnis:

28 Spiele

AchtungReihenfolge mitgezählt, obwohl sie egal ist

So nicht

6 Kinder, jedes gibt jedem die Hand: 6 · 5 = 30 Handschläge

So richtig

Jeder Handschlag doppelt gezählt: 6 · 5 : 2 = 15 Handschläge

A mit B ist dasselbe Paar wie B mit A. Mit Reihenfolge zählen und dann durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

○13
8 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
So fängst du an:
Jedes Kind reicht 7 anderen die Hand: 8 · 7 = 56
Lösung zeigen
1. Jedes Kind reicht 7 anderen die Hand: 8 · 7 = 56
2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
3. 56 : 2 = 28
Ergebnis:
28 Handschläge
●14
Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 6 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
Lösung zeigen
1. Erst mit Reihenfolge: 6 · 5 = 30
2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
3. 30 : 2 = 15
Ergebnis:
15 Pizzen
★15
Aus 8 Kindern wird ein Team aus 3 Kindern für die Staffel gebildet. Wie viele Teams gibt es, wenn nur zählt, wer dabei ist?
Lösung zeigen
1. Mit Reihenfolge: 8 · 7 · 6 = 336
2. Jedes Team lässt sich auf 3 · 2 · 1 = 6 Arten anordnen
3. 336 : 6 = 56
Ergebnis:
56 Teams

6Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.

EntdeckenFrage

Wie wahrscheinlich sind sechs Richtige im Lotto „6 aus 49“?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 13.983.816 Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist. Nur eine davon ist richtig. Die Chance ist also 1 zu knapp 14 Millionen – ohne die Superzahl.

MerkenErgebnismenge und Summenregel

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.

Ein Ereignis ist ein Teil davon, zum Beispiel A = {2, 4, 6} beim Würfel. Seine Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse.

BeispielErgebnismenge und Ereignis angeben

Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 8. Beschreibe das Ereignis „durch 3 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.

Schritt für Schritt

A = {3, 6}
Gegenereignis: alle übrigen 6 Zahlen
P(A) = 28 = 14

A = {3, 6}
Gegenereignis: alle übrigen 6 Zahlen
P(A) = 28 = 14

Ergebnis:

A = {3, 6}, P(A) = 1/4, P(nicht A) = 34

AchtungWahrscheinlichkeit falsch gedeutet

So nicht

Zwei Würfel, Summe 7: Summen 2 bis 12 sind 11 Ergebnisse, also P = 1/11

So richtig

Zwei Würfel, Summe 7: 6 von 36 Paaren, Summen 2 bis 12 verschieden oft, also P = 1/6

Günstig durch möglich gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Und die Wahrscheinlichkeit sagt die Häufigkeit nur ungefähr voraus.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Glücksrad hat 12 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 12. Beschreibe das Ereignis „durch 4 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.
So fängst du an:
A = {4, 8, 12}
Lösung zeigen
1. A = {4, 8, 12}
2. Gegenereignis: alle übrigen 9 Zahlen
3. P(A) = 312 = 14
Ergebnis:
A = {4, 8, 12}, P(A) = 1/4, P(nicht A) = 34
●17
Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist eine gerade Zahl.“ Wie groß ist P(A)?
Lösung zeigen
1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. A = {2, 4, 6}, das sind 3 Ergebnisse
3. P(A) = 36 = 12
Ergebnis:
A = {2, 4, 6}, P(A) = 12
★18
Ein Glücksrad hat 10 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 10. Beschreibe das Ereignis „durch 3 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.
Lösung zeigen
1. A = {3, 6, 9}
2. Gegenereignis: alle übrigen 7 Zahlen
3. P(A) = 310
Ergebnis:
A = {3, 6, 9}, P(A) = 3/10, P(nicht A) = 710

7Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.

EntdeckenFrage

Ein berühmter Mathematiker meinte, bei zwei Münzwürfen komme mit 2/3 mindestens einmal Kopf. Hatte er recht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Es gibt vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse: KK, KZ, ZK und ZZ. In drei davon kommt Kopf vor, also ist die Wahrscheinlichkeit 3/4. D'Alembert hatte nur drei Fälle gezählt, die nicht gleich wahrscheinlich sind.

MerkenWahrscheinlichkeit durch Abzählen

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.

Beide Zahlen werden gezählt. Bei zwei Würfeln gibt es 36 Paare, die Summe 7 kommt 6-mal vor, also 6/36 = 1/6.

BeispielZwei Würfel: Wahrscheinlichkeit durch Zählen

Du wettest bei zwei Würfeln auf eine Augensumme. Ist die Summe 3 oder die Summe 4 die bessere Wahl? Begründe mit Zählen.

Schritt für Schritt

Summe 3: 2 von 36 Paaren
Summe 4: 3 von 36 Paaren
3 > 2

Summe 3: 2 von 36 Paaren
Summe 4: 3 von 36 Paaren
3 > 2

Ergebnis:

Summe 4

AchtungNoch einmal: Wahrscheinlichkeit falsch gedeutet

So nicht

Zwei Würfel, Summe 7: Summen 2 bis 12 sind 11 Ergebnisse, also P = 1/11

So richtig

Zwei Würfel, Summe 7: 6 von 36 Paaren, Summen 2 bis 12 verschieden oft, also P = 1/6

Günstig durch möglich gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Und die Wahrscheinlichkeit sagt die Häufigkeit nur ungefähr voraus.

ÜbenJetzt du

○19
Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 2?
So fängst du an:
36 gleich wahrscheinliche Paare
Lösung zeigen
1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
2. Summe 2: (1|1), das sind 1
3. P = 136 ≈ 2,8 %
Ergebnis:
136 ≈ 2,8 %
●20
Du wettest bei zwei Würfeln auf eine Augensumme. Ist die Summe 11 oder die Summe 5 die bessere Wahl? Begründe mit Zählen.
Lösung zeigen
1. Summe 11: 2 von 36 Paaren
2. Summe 5: 4 von 36 Paaren
3. 4 > 2
Ergebnis:
Summe 5
★21
Du wettest bei zwei Würfeln auf eine Augensumme. Ist die Summe 11 oder die Summe 2 die bessere Wahl? Begründe mit Zählen.
Lösung zeigen
1. Summe 11: 2 von 36 Paaren
2. Summe 2: 1 von 36 Paaren
3. 2 > 1
Ergebnis:
Summe 11

8Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.

EntdeckenFrage

Buffon warf eine Münze 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. War die Münze verdächtig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Erwartet sind 4040 · 0,5 = 2020-mal Kopf. Es kamen 28 mehr, die relative Häufigkeit ist 2048 : 4040 ≈ 0,507. Bei so vielen Würfen sind Abweichungen von einigen Dutzend ganz normal. Die Münze war also nicht verdächtig.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenVorhersage und Abweichung

Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Das Ergebnis schwankt darum. Bei wenigen Versuchen sind große Abweichungen normal, bei vielen selten.

BeispielHäufigkeiten vorhersagen und Abweichungen beurteilen

Gedreht oder geworfen wird 180-mal: ein Würfel, gezählt wird die 6. Wie oft erwartest du ungefähr „Sechs“?

Schritt für Schritt

P(Sechs) = 16
Erwartet: 180 · 16 = 30
Das Ergebnis schwankt um diesen Wert

P(Sechs) = 16
Erwartet: 180 · 16 = 30
Das Ergebnis schwankt um diesen Wert

Ergebnis:

etwa 30-mal

ÜbenJetzt du

○22
Bei 400 Versuchen (ein Glücksrad mit 4 gleichen Feldern, eines davon gewinnt) kam „Gewinn“ 126-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
So fängst du an:
Relative Häufigkeit: 126 : 400 ≈ 31,5 %
Lösung zeigen
1. Relative Häufigkeit: 126 : 400 ≈ 31,5 %
2. Wahrscheinlichkeit: 14 ≈ 25 %
3. Unterschied: 6,5 Prozentpunkte
Ergebnis:
31,5 % gegen 25 %
●23
Zwei Würfel, gezählt wird ein Pasch. Versuch A: 10-mal „Pasch“ bei 36 Versuchen. Versuch B: 100-mal bei 360 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
Lösung zeigen
1. Erwartet: A 6-mal, B 60-mal
2. Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
3. Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten
Ergebnis:
Versuch B
★24
Ein Glücksrad mit 4 gleichen Feldern, eines davon gewinnt. Versuch A: 9-mal „Gewinn“ bei 24 Versuchen. Versuch B: 90-mal bei 240 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
Lösung zeigen
1. Erwartet: A 6-mal, B 60-mal
2. Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
3. Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten
Ergebnis:
Versuch B

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Du hast die Ziffernkarten 2, 7, 9. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
Lösung zeigen
1. Mit 2 vorne: 27, 29
2. Mit 7 vorne: 72, 79
3. Mit 9 vorne: 92, 97
4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen
Ergebnis:
27, 29, 72, 79, 92, 97 (6 Zahlen)
●26
Eis: erst Waffel oder Becher, dann eine Sorte. Zur Wahl stehen Waffel, Becher und danach Vanille, Schoko. Zeichne ein Baumdiagramm und zähle die Möglichkeiten.
Lösung zeigen
1. Stufe 1: 2 Äste
2. An jedem Ast 2 Zweige
3. Pfade: 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Möglichkeiten
●27
Für ein Foto wählst du eins von 5 Shirts, eine von 4 Hosen und eins von 2 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
Lösung zeigen
1. Stufen: 5 Shirts, 4 Hosen, 2 Paar Schuhe
2. Produktregel: 5 · 4 · 2 = 40
Ergebnis:
40 Outfits
●28
Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von BUS legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
Lösung zeigen
1. 3 verschiedene Buchstaben
2. Stelle für Stelle: 3, 2, 1 Möglichkeiten
3. 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis:
6 Folgen
●29
Ein Code hat 2 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 4. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
Lösung zeigen
1. Doppelt erlaubt: 4 · 4 = 16
2. Alle verschieden: 4 · 3 = 12
3. Ohne Doppelte sind es 4 weniger
Ergebnis:
mit Wiederholung 16, ohne Wiederholung 12
●30
Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 10 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
Lösung zeigen
1. Erst mit Reihenfolge: 10 · 9 = 90
2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
3. 90 : 2 = 45
Ergebnis:
45 Pizzen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Systematisch zählen: Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.
Produktregel: Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.
Anordnungen: Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.
Das Kapitel im Überblick: Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.
Auswahl ohne Reihenfolge: Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.
Ergebnismenge und Summenregel: Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.
Wahrscheinlichkeit durch Abzählen: Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.
Vorhersage und Abweichung: Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.
31
Jonas hat Shirts in rot, blau, weiß und dazu Jeans, Jogginghose. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
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Ergebnis:
6 Kombinationen
Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.
32
Die Mensa bietet 4 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 4 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
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Ergebnis:
64 Menüs
Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.
33
4 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
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Ergebnis:
24 Anordnungen
Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.
34
In einer Gruppe mit 5 Kindern werden Kasse und Protokoll gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Besetzungen (ohne Wiederholung)
Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.
35
Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 9 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 Pizzen
Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.
36
Ein Glücksrad hat 10 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 10. Beschreibe das Ereignis „durch 3 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.
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Ergebnis:
A = {3, 6, 9}, P(A) = 3/10, P(nicht A) = 710
Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.
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Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 11?
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Ergebnis:
118 ≈ 5,6 %
Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.
38
Gedreht oder geworfen wird 300-mal: zwei Würfel, gezählt wird ein Pasch. Wie oft erwartest du ungefähr „Pasch“?
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 50-mal

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Systematisches Zählen mit dem Baumdiagramm: erst die erste Stelle festhalten.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Zahlenschloss, Outfits, Turnierpläne und Würfelspiele. Beruf: Sicherheit von Passwörtern in der IT, Varianten in der Produktion, Schichtpläne.

Wörter

Ereignis: das, was passieren kann
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Wahrscheinlichkeit, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Wahrscheinlichkeit

Lösungen

4 Kombinationen
6 Wege
35, 36, 39, 53, 56, 59, 63, 65, 69, 93, 95, 96 (12 Zahlen)
216 Einstellungen, etwa 7 Minuten
30 Outfits
4096 Einstellungen, etwa 137 Minuten
120 Folgen
120 Anordnungen
24 Anordnungen
42 Besetzungen (ohne Wiederholung)
36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
mit Wiederholung 4096, ohne Wiederholung 1680
28 Handschläge
15 Pizzen
56 Teams
A = {4, 8, 12}, P(A) = 1/4, P(nicht A) = 34
A = {2, 4, 6}, P(A) = 12
A = {3, 6, 9}, P(A) = 3/10, P(nicht A) = 710
136 ≈ 2,8 %
Summe 5
Summe 11
31,5 % gegen 25 %
Versuch B
Versuch B
27, 29, 72, 79, 92, 97 (6 Zahlen)
4 Möglichkeiten
40 Outfits
6 Folgen
mit Wiederholung 16, ohne Wiederholung 12
45 Pizzen
6 Kombinationen
64 Menüs
24 Anordnungen
20 Besetzungen (ohne Wiederholung)
36 Pizzen
A = {3, 6, 9}, P(A) = 3/10, P(nicht A) = 710
118 ≈ 5,6 %
etwa 50-mal
68 ≈ 75 %
0,196 = 19,6 %