Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Zählen und Wahrscheinlichkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen werden lang und ungeordnet. Manche Zahlen stehen doppelt da, andere fehlen, und die Gruppen kommen auf verschiedene Anzahlen. Niemand kann beweisen, dass seine Liste vollständig ist. Wer sicher sein will, braucht eine Ordnung: Wir halten die erste Ziffer fest und schreiben alle Fortsetzungen auf, dann die nächste erste Ziffer. Als Bild ist das ein Baum – und seine Pfade kann man zählen, ohne eine Zahl zu vergessen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt: günstige durch mögliche.

●39
Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne P(eine rote Karte).
Lösung zeigen
1. 16 günstige von 32
2. 1632 = 0,5
Ergebnis:
1632 = 50 %
●40
Ein Reißnagel wurde 250-mal geworfen, er landete 86-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,344 = 34,4 %

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZählen heißt Stufe für Stufe wählen

Jede Möglichkeit ist ein Weg durch mehrere Entscheidungen: erst die erste Stelle, dann die zweite. Das Baumdiagramm zeigt jeden Weg als Pfad. Gleich viele Zweige an jedem Ast heißt: Die Anzahlen werden multipliziert.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Baum hat 3 Äste und an jedem Ast 4 Zweige. Warum hat er mehr Pfade, als Äste und Zweige zusammen gezeichnet sind?

1Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.

EntdeckenFrage

Wie lange dauert es, ein Zahlenschloss durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jeder Ring hat 10 Ziffern, also gibt es 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Einstellungen. Braucht jeder Versuch 2 Sekunden, dauert das Durchprobieren im schlimmsten Fall 20.000 Sekunden, also mehr als 5 Stunden.

MerkenSystematisch zählen

Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.

Erst die erste Stelle festhalten und alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste. Aus den Karten 1, 4 und 7 entstehen so 14, 17, 41, 47, 71 und 74.

BeispielMöglichkeiten systematisch auflisten

Du hast die Ziffernkarten 5, 7, 8. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?

Schritt für Schritt

Mit 5 vorne: 57, 58
Mit 7 vorne: 75, 78
Mit 8 vorne: 85, 87
Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen

Mit 5 vorne: 57, 58
Mit 7 vorne: 75, 78
Mit 8 vorne: 85, 87
Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen

Ergebnis:

57, 58, 75, 78, 85, 87 (6 Zahlen)

AchtungMöglichkeit vergessen oder doppelt gezählt

So nicht

Karten 1, 4, 7, zweistellige Zahlen: 14, 41, 17, 71, 47 → 5 Zahlen

So richtig

Mit 1 vorne: 14, 17; mit 4: 41, 47; mit 7: 71, 74 → 6 Zahlen

Ordnen: erste Stelle festhalten, alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste erste Stelle.

ÜbenJetzt du

○1
Sara hat Shirts in rot, blau und dazu Rock, Jeans. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
So fängst du an:
Shirt rot: rot/Rock, rot/Jeans
Lösung zeigen
1. Shirt rot: rot/Rock, rot/Jeans
2. Shirt blau: blau/Rock, blau/Jeans
3. Zusammen: 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Kombinationen
●2
Zeynep hat Shirts in rot, blau und dazu Jeans, Shorts, Jogginghose. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
Lösung zeigen
1. Shirt rot: rot/Jeans, rot/Shorts, rot/Jogginghose
2. Shirt blau: blau/Jeans, blau/Shorts, blau/Jogginghose
3. Zusammen: 2 · 3 = 6
Ergebnis:
6 Kombinationen
★3
Du hast die Ziffernkarten 3, 7, 8, 9. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
Lösung zeigen
1. Mit 3 vorne: 37, 38, 39
2. Mit 7 vorne: 73, 78, 79
3. Mit 8 vorne: 83, 87, 89
4. Mit 9 vorne: 93, 97, 98
5. Zusammen: 4 · 3 = 12 Zahlen
Ergebnis:
37, 38, 39, 73, 78, 79, 83, 87, 89, 93, 97, 98 (12 Zahlen)

2Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.

EntdeckenFrage

Warum sperrt die Bankkarte nach drei falschen PIN-Eingaben – reicht das wirklich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine vierstellige PIN hat 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Möglichkeiten. Wer rät, hat bei drei Versuchen nur 3 von 10.000 Chancen, also 0,03 Prozent. Ohne Sperre könnte man dagegen alle durchprobieren.

MerkenProduktregel

Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.

Bei 3 Shirts, 2 Hosen und 2 Paar Schuhen gibt es 3 · 2 · 2 = 12 Outfits. Im Baumdiagramm ist das die Zahl der Pfade.

BeispielProduktregel: Stufe für Stufe multiplizieren

Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 9. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?

Schritt für Schritt

Jeder Ring: 10 Möglichkeiten
10 · 10 · 10 = 1000
Zeit: 1000 · 2 s = 2000 s ≈ 33 min

Jeder Ring: 10 Möglichkeiten
10 · 10 · 10 = 1000
Zeit: 1000 · 2 s = 2000 s ≈ 33 min

Ergebnis:

1000 Einstellungen, etwa 33 Minuten

AchtungAddiert statt multipliziert

So nicht

3 Shirts und 4 Hosen: 3 + 4 = 7 Outfits

So richtig

Zu jedem Shirt 4 Hosen: 3 · 4 = 12 Outfits

Jede Wahl der ersten Stufe passt zu jeder der zweiten: multiplizieren. Addiert wird nur, wenn die Äste verschieden sind.

ÜbenJetzt du

○4
Für ein Foto wählst du eins von 5 Shirts, eine von 3 Hosen und eins von 3 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
So fängst du an:
Stufen: 5 Shirts, 3 Hosen, 3 Paar Schuhe
Lösung zeigen
1. Stufen: 5 Shirts, 3 Hosen, 3 Paar Schuhe
2. Produktregel: 5 · 3 · 3 = 45
Ergebnis:
45 Outfits
●5
Die Mensa bietet 4 Vorspeisen, 6 Hauptgerichte und 4 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
Lösung zeigen
1. Drei Stufen: 4, 6 und 4 Möglichkeiten
2. Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
3. 4 · 6 · 4 = 96
Ergebnis:
96 Menüs
★6
Ein Burger besteht aus einem Brot, einem Belag und einer Soße. Es gibt 5 Brote und 2 Soßen. Insgesamt sind 40 Burger möglich. Wie viele Beläge gibt es?
Lösung zeigen
1. Produktregel: 5 · ? · 2 = 40
2. 5 · 2 = 10
3. 40 : 10 = 4
Ergebnis:
4 Beläge

3Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine Saison der Fußball-Bundesliga?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

18 Mannschaften, jede spielt gegen jede andere ein Hinspiel und ein Rückspiel. Hier zählt die Reihenfolge, also 18 · 17 = 306 Spiele, verteilt auf 34 Spieltage mit je 9 Spielen.

MerkenAnordnungen

Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.

Jeder weitere Platz hat eine weniger. Vier Kinder stellen sich auf 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Arten auf.

BeispielAnordnungen in einer Reihe zählen

4 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?

Schritt für Schritt

Platz 1: 4 Möglichkeiten, Platz 2: noch 3
Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
4 · 3 · 2 · 1 = 24

Platz 1: 4 Möglichkeiten, Platz 2: noch 3
Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
4 · 3 · 2 · 1 = 24

Ergebnis:

24 Anordnungen

AchtungWiederholung übersehen

So nicht

Code aus 3 verschiedenen Ziffern von 1 bis 5: 5 · 5 · 5 = 125

So richtig

Jede Ziffer nur einmal: 5 · 4 · 3 = 60

Darf ein Zeichen nur einmal vorkommen, hat jede weitere Stelle eine Möglichkeit weniger: 5 · 4 · 3 statt 5 · 5 · 5.

ÜbenJetzt du

○7
Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von HAUS legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
So fängst du an:
4 verschiedene Buchstaben
Lösung zeigen
1. 4 verschiedene Buchstaben
2. Stelle für Stelle: 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ergebnis:
24 Folgen
●8
Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von UHR legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
Lösung zeigen
1. 3 verschiedene Buchstaben
2. Stelle für Stelle: 3, 2, 1 Möglichkeiten
3. 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis:
6 Folgen
★9
Beim Sportfest laufen 10 Kinder. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Plätze 1, 2 und 3 auf dem Siegertreppchen?
Lösung zeigen
1. Platz 1: 10 Möglichkeiten
2. Platz 2: 9, Platz 3: 8
3. 10 · 9 · 8 = 720
Ergebnis:
720 Möglichkeiten

4Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.

EntdeckenFrage

Warum kommt beim Werfen von zwei Würfeln die Augensumme 7 öfter als die 2 oder die 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Paare. Die 7 entsteht aus sechs davon: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 und umgekehrt. Die 2 entsteht nur aus 1 und 1, die 12 nur aus 6 und 6. Also 6/36 gegen 1/36.

MerkenDas Kapitel im Überblick

Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.

Diese Seite ist dein Spickzettel zum Wiederholen.

BeispielZählen mit und ohne Wiederholung

In einer Gruppe mit 8 Kindern werden Klassensprecher und Stellvertretung gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?

Schritt für Schritt

Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
Klassensprecher: 8, danach Stellvertretung: 7
8 · 7 = 56

Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
Klassensprecher: 8, danach Stellvertretung: 7
8 · 7 = 56

Ergebnis:

56 Besetzungen (ohne Wiederholung)

ÜbenJetzt du

○10
Ein Würfel wird 2-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
So fängst du an:
Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
Lösung zeigen
1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
2. 6 · 6 = 36
Ergebnis:
36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
●11
In einer Gruppe mit 6 Kindern werden Kasse und Protokoll gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
Lösung zeigen
1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
2. Kasse: 6, danach Protokoll: 5
3. 6 · 5 = 30
Ergebnis:
30 Besetzungen (ohne Wiederholung)
★12
Ein Code hat 4 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 5. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
Lösung zeigen
1. Doppelt erlaubt: 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Alle verschieden: 5 · 4 · 3 · 2 = 120
3. Ohne Doppelte sind es 505 weniger
Ergebnis:
mit Wiederholung 625, ohne Wiederholung 120

5Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

EntdeckenFrage

Wie viele Sitzordnungen gibt es für 25 Kinder in einem Klassenraum?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 · 24 · 23 · … · 2 · 1. Das ist eine Zahl mit 26 Stellen. Selbst wenn man jede Sekunde eine neue Sitzordnung ausprobierte, reichte das ganze Alter des Weltalls, rund 14 Milliarden Jahre, bei Weitem nicht.

MerkenAuswahl ohne Reihenfolge

Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.

Dann teilt man durch die doppelt gezählten. Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.

BeispielAuswahlen ohne Reihenfolge zählen

5 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?

Schritt für Schritt

Jedes Kind reicht 4 anderen die Hand: 5 · 4 = 20
So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
20 : 2 = 10

Jedes Kind reicht 4 anderen die Hand: 5 · 4 = 20
So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
20 : 2 = 10

Ergebnis:

10 Handschläge

AchtungReihenfolge mitgezählt, obwohl sie egal ist

So nicht

6 Kinder, jedes gibt jedem die Hand: 6 · 5 = 30 Handschläge

So richtig

Jeder Handschlag doppelt gezählt: 6 · 5 : 2 = 15 Handschläge

A mit B ist dasselbe Paar wie B mit A. Mit Reihenfolge zählen und dann durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

○13
9 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
So fängst du an:
Jedes Kind reicht 8 anderen die Hand: 9 · 8 = 72
Lösung zeigen
1. Jedes Kind reicht 8 anderen die Hand: 9 · 8 = 72
2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
3. 72 : 2 = 36
Ergebnis:
36 Handschläge
●14
In einer Liga mit 8 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
Lösung zeigen
1. Jede Mannschaft hat 7 Gegner: 8 · 7 = 56
2. Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
3. 56 : 2 = 28
Ergebnis:
28 Spiele
★15
15 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind reicht 14 anderen die Hand: 15 · 14 = 210
2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
3. 210 : 2 = 105
Ergebnis:
105 Handschläge

6Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.

EntdeckenFrage

Wie wahrscheinlich sind sechs Richtige im Lotto „6 aus 49“?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 13.983.816 Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist. Nur eine davon ist richtig. Die Chance ist also 1 zu knapp 14 Millionen – ohne die Superzahl.

MerkenErgebnismenge und Summenregel

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.

Ein Ereignis ist ein Teil davon, zum Beispiel A = {2, 4, 6} beim Würfel. Seine Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse.

BeispielErgebnismenge und Ereignis angeben

Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „zweimal dasselbe“. Wie wahrscheinlich ist es?

Schritt für Schritt

Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
Ereignis: {KK, ZZ}
P = 24 = 12

Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
Ereignis: {KK, ZZ}
P = 24 = 12

Ergebnis:

{KK, ZZ}, P = 12

AchtungWahrscheinlichkeit falsch gedeutet

So nicht

Zwei Würfel, Summe 7: Summen 2 bis 12 sind 11 Ergebnisse, also P = 1/11

So richtig

Zwei Würfel, Summe 7: 6 von 36 Paaren, Summen 2 bis 12 verschieden oft, also P = 1/6

Günstig durch möglich gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Und die Wahrscheinlichkeit sagt die Häufigkeit nur ungefähr voraus.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist eine Primzahl.“ Wie groß ist P(A)?
So fängst du an:
Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lösung zeigen
1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. A = {2, 3, 5}, das sind 3 Ergebnisse
3. P(A) = 36 = 12
Ergebnis:
A = {2, 3, 5}, P(A) = 12
●17
Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „mindestens einmal Kopf“. Wie wahrscheinlich ist es?
Lösung zeigen
1. Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
2. Ereignis: {KK, KZ, ZK}
3. P = 34
Ergebnis:
{KK, KZ, ZK}, P = 34
★18
Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 8. Beschreibe das Ereignis „durch 4 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.
Lösung zeigen
1. A = {4, 8}
2. Gegenereignis: alle übrigen 6 Zahlen
3. P(A) = 28 = 14
Ergebnis:
A = {4, 8}, P(A) = 1/4, P(nicht A) = 34

7Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.

EntdeckenFrage

Ein berühmter Mathematiker meinte, bei zwei Münzwürfen komme mit 2/3 mindestens einmal Kopf. Hatte er recht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Es gibt vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse: KK, KZ, ZK und ZZ. In drei davon kommt Kopf vor, also ist die Wahrscheinlichkeit 3/4. D'Alembert hatte nur drei Fälle gezählt, die nicht gleich wahrscheinlich sind.

MerkenWahrscheinlichkeit durch Abzählen

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.

Beide Zahlen werden gezählt. Bei zwei Würfeln gibt es 36 Paare, die Summe 7 kommt 6-mal vor, also 6/36 = 1/6.

BeispielZwei Würfel: Wahrscheinlichkeit durch Zählen

Du wettest bei zwei Würfeln auf eine Augensumme. Ist die Summe 6 oder die Summe 5 die bessere Wahl? Begründe mit Zählen.

Schritt für Schritt

Summe 6: 5 von 36 Paaren
Summe 5: 4 von 36 Paaren
5 > 4

Summe 6: 5 von 36 Paaren
Summe 5: 4 von 36 Paaren
5 > 4

Ergebnis:

Summe 6

ÜbenJetzt du

○19
Du wettest bei zwei Würfeln auf eine Augensumme. Ist die Summe 10 oder die Summe 12 die bessere Wahl? Begründe mit Zählen.
So fängst du an:
Summe 10: 3 von 36 Paaren
Lösung zeigen
1. Summe 10: 3 von 36 Paaren
2. Summe 12: 1 von 36 Paaren
3. 3 > 1
Ergebnis:
Summe 10
●20
Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 5?
Lösung zeigen
1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
2. Summe 5: (1|4) (2|3) (3|2) (4|1), das sind 4
3. P = 436 = 19 ≈ 11,1 %
Ergebnis:
19 ≈ 11,1 %
★21
Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden multipliziert. Wie wahrscheinlich ist ein gerades Produkt?
Lösung zeigen
1. Ungerade nur, wenn beide ungerade sind: 3 · 3 = 9 Paare
2. Gerade: 36 − 9 = 27
3. P = 2736 = 34 = 75 %
Ergebnis:
34 = 75 %

8Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.

EntdeckenFrage

Buffon warf eine Münze 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. War die Münze verdächtig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Erwartet sind 4040 · 0,5 = 2020-mal Kopf. Es kamen 28 mehr, die relative Häufigkeit ist 2048 : 4040 ≈ 0,507. Bei so vielen Würfen sind Abweichungen von einigen Dutzend ganz normal. Die Münze war also nicht verdächtig.

MerkenVorhersage und Abweichung

Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Das Ergebnis schwankt darum. Bei wenigen Versuchen sind große Abweichungen normal, bei vielen selten.

BeispielHäufigkeiten vorhersagen und Abweichungen beurteilen

Gedreht oder geworfen wird 300-mal: ein Würfel, gezählt wird die 6. Wie oft erwartest du ungefähr „Sechs“?

Schritt für Schritt

P(Sechs) = 16
Erwartet: 300 · 16 = 50
Das Ergebnis schwankt um diesen Wert

P(Sechs) = 16
Erwartet: 300 · 16 = 50
Das Ergebnis schwankt um diesen Wert

Ergebnis:

etwa 50-mal

ÜbenJetzt du

○22
Ein Würfel, gezählt wird eine gerade Zahl. Versuch A: 8-mal „gerade Zahl“ bei 12 Versuchen. Versuch B: 80-mal bei 120 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
So fängst du an:
Erwartet: A 6-mal, B 60-mal
Lösung zeigen
1. Erwartet: A 6-mal, B 60-mal
2. Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
3. Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten
Ergebnis:
Versuch B
●23
Gedreht oder geworfen wird 250-mal: ein Glücksrad mit 5 gleichen Feldern, zwei davon gewinnen. Wie oft erwartest du ungefähr „Gewinn“?
Lösung zeigen
1. P(Gewinn) = 25
2. Erwartet: 250 · 25 = 100
3. Das Ergebnis schwankt um diesen Wert
Ergebnis:
etwa 100-mal
★24
Bei 300 Versuchen (zwei Würfel, gezählt wird ein Pasch) kam „Pasch“ 40-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
Lösung zeigen
1. Relative Häufigkeit: 40 : 300 ≈ 13,3 %
2. Wahrscheinlichkeit: 16 ≈ 16,7 %
3. Unterschied: 3,4 Prozentpunkte
Ergebnis:
13,3 % gegen 16,7 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ben hat Shirts in rot, blau, weiß und dazu Jeans, Shorts, Jogginghose. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
Lösung zeigen
1. Shirt rot: rot/Jeans, rot/Shorts, rot/Jogginghose
2. Shirt blau: blau/Jeans, blau/Shorts, blau/Jogginghose
3. Shirt weiß: weiß/Jeans, weiß/Shorts, weiß/Jogginghose
4. Zusammen: 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Kombinationen
●26
Pausenbrot: erst ein Brot, dann ein Belag. Zur Wahl stehen Vollkorn, Toast, Brötchen und danach Käse, Gurke. Zeichne ein Baumdiagramm und zähle die Möglichkeiten.
Lösung zeigen
1. Stufe 1: 3 Äste
2. An jedem Ast 2 Zweige
3. Pfade: 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6 Möglichkeiten
●27
Im Kino sitzen 4 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
Lösung zeigen
1. Linker Platz: 4 Kinder, nächster: 3
2. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
3. Jede Sitzordnung ein Abend
Ergebnis:
24 Abende
●28
Ein Würfel wird 3-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
Lösung zeigen
1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
2. 6 · 6 · 6 = 216
Ergebnis:
216 Ergebnisse (mit Wiederholung)
●29
8 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind reicht 7 anderen die Hand: 8 · 7 = 56
2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
3. 56 : 2 = 28
Ergebnis:
28 Handschläge
●30
Bei einer Feier stoßen alle Gäste miteinander an, jedes Paar genau einmal. Es klirrt 15-mal. Wie viele Gäste sind es?
Lösung zeigen
1. Bei x Gästen klirrt es x · (x − 1) : 2-mal
2. Probieren: 6 · 5 : 2 = 15
3. Also 6 Gäste
Ergebnis:
6 Gäste

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Systematisch zählen: Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.
Produktregel: Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.
Anordnungen: Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.
Das Kapitel im Überblick: Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.
Auswahl ohne Reihenfolge: Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.
Ergebnismenge und Summenregel: Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.
Wahrscheinlichkeit durch Abzählen: Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.
Vorhersage und Abweichung: Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.
31
Mira hat Shirts in rot, blau und dazu Jeans, Shorts, Jogginghose. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Kombinationen
Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.
32
Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 5. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
Lösung zeigen
Ergebnis:
216 Einstellungen, etwa 7 Minuten
Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.
33
5 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
120 Anordnungen
Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.
34
Ein Code hat 2 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 5. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
mit Wiederholung 25, ohne Wiederholung 20
Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.
35
7 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
21 Handschläge
Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.
36
Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist mehr als 4.“ Wie groß ist P(A)?
Lösung zeigen
Ergebnis:
A = {5, 6}, P(A) = 13
Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.
37
Zwei Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch, also zweimal dieselbe Augenzahl? Zähle die günstigen Paare.
Lösung zeigen
Ergebnis:
16 ≈ 16,7 %
Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.
38
Ein Würfel, gezählt wird eine gerade Zahl. Versuch A: 8-mal „gerade Zahl“ bei 12 Versuchen. Versuch B: 80-mal bei 120 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Versuch B

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Systematisches Zählen mit dem Baumdiagramm: erst die erste Stelle festhalten.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Zahlenschloss, Outfits, Turnierpläne und Würfelspiele. Beruf: Sicherheit von Passwörtern in der IT, Varianten in der Produktion, Schichtpläne.

Wörter

Ereignis: das, was passieren kann
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Wahrscheinlichkeit, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Wahrscheinlichkeit

Lösungen

4 Kombinationen
6 Kombinationen
37, 38, 39, 73, 78, 79, 83, 87, 89, 93, 97, 98 (12 Zahlen)
45 Outfits
96 Menüs
4 Beläge
24 Folgen
6 Folgen
720 Möglichkeiten
36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
30 Besetzungen (ohne Wiederholung)
mit Wiederholung 625, ohne Wiederholung 120
36 Handschläge
28 Spiele
105 Handschläge
A = {2, 3, 5}, P(A) = 12
{KK, KZ, ZK}, P = 34
A = {4, 8}, P(A) = 1/4, P(nicht A) = 34
Summe 10
19 ≈ 11,1 %
34 = 75 %
Versuch B
etwa 100-mal
13,3 % gegen 16,7 %
9 Kombinationen
6 Möglichkeiten
24 Abende
216 Ergebnisse (mit Wiederholung)
28 Handschläge
6 Gäste
6 Kombinationen
216 Einstellungen, etwa 7 Minuten
120 Anordnungen
mit Wiederholung 25, ohne Wiederholung 20
21 Handschläge
A = {5, 6}, P(A) = 13
16 ≈ 16,7 %
Versuch B
1632 = 50 %
0,344 = 34,4 %