Mathematik · Klasse 5 und 6 · Kapitel

Koordinatensystem und Symmetrie

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mal einen Punkt auf ein Kästchenblatt. Beschreibe in Worten, wo er liegt. Würde jemand anderes ihn nach deiner Beschreibung genau treffen?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: „Ziemlich rechts, ein bisschen oben“ landet Kästchen daneben. Niemand trifft genau. Es braucht Zahlen und einen Anfang. Vom Nullpunkt aus: erst nach rechts zählen, dann nach oben – zwei Zahlen, und jeder trifft: (4|3).

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt auf der Zahlengeraden hat genau eine Zahl – und umgekehrt.

●27
Wo steht der Punkt? Schreibe die Zahl.
Lösung zeigen
1. Große Striche = 100er
2. 400
Ergebnis:
400
●28
Welche Zahl zeigt der Punkt?
Lösung zeigen
1. Große Striche = 100er
2. 750
Ergebnis:
750

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst nach rechts, dann nach oben

Ein Punkt braucht zwei Angaben, und die Reihenfolge ist verabredet: zuerst der Wert auf der Waagerechten, dann der auf der Senkrechten. P(3 | 5) ist nicht P(5 | 3).

WeiterdenkenDenk nach

Wo liegt P(0 | 4)? Und was ist der Unterschied zu P(4 | 0)?

1Ich trage Punkte im Koordinatensystem ein und lese sie ab.

EntdeckenFrage

Wie findet ein Schiff mitten im Ozean seinen Ort – mit zwei Zahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Breite und Länge sind ein Koordinatensystem über der ganzen Erde. Descartes hat die Idee 1637 aufs Papier geholt – angeblich beim Blick auf eine Fliege an der Zimmerdecke.

MerkenKoordinaten

Erst waagerecht (x), dann senkrecht (y).

P(3 | 2) heißt 3 nach rechts, 2 nach oben. Merke: „Erst kriechen, dann fliegen.“

Eselsbrücke: Erst in die Wohnung (x nach rechts), dann in den Lift (y nach oben)

BeispielPunkte im Koordinatensystem

Zeichne den Punkt P(5 | 7) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?

Schritt für Schritt

Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
5 nach rechts, 7 nach oben

Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
5 nach rechts, 7 nach oben

Ergebnis:

x = 5 nach rechts, y = 7 nach oben

Achtungx und y vertauscht

So nicht

P(3 | 5) → 3 nach oben, 5 nach rechts

So richtig

P(3 | 5) → 3 nach rechts, 5 nach oben  (x zuerst)

Erst zur Seite, dann hoch: „Erst kriechen, dann fliegen“.

ÜbenJetzt du

○1
Zeichne den Punkt P(5 | 4) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
So fängst du an:
Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
Lösung zeigen
1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
2. 5 nach rechts, 4 nach oben
Ergebnis:
x = 5 nach rechts, y = 4 nach oben
●2
Zeichne den Punkt P(4 | 8) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
Lösung zeigen
1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
2. 4 nach rechts, 8 nach oben
Ergebnis:
x = 4 nach rechts, y = 8 nach oben
★3
Zeichne den Punkt P(8 | 9) ins Koordinatensystem. In welchem Quadranten liegt er?
Lösung zeigen
1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
2. 8 nach rechts, 9 nach oben; Quadrant I
Ergebnis:
Quadrant I

2Ich zeichne Figuren nach Koordinaten und finde fehlende Eckpunkte.

EntdeckenFrage

Warum steht bei zwei Zahlen für einen Ort immer erst die waagerechte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man sich auf eine feste Reihenfolge geeinigt hat: erst nach rechts, dann nach oben. Wer sie vertauscht, landet an einer ganz anderen Stelle.

MerkenFiguren zeichnen

Punkte eintragen, in Reihenfolge verbinden.

Fehlende Ecke: an den Eigenschaften der Figur ablesen (Rechteck: parallele Seiten).

BeispielVierten Eckpunkt finden

Drei Ecken eines Rechtecks: A(3 | 2), B(7 | 2), C(7 | 7). Wo liegt D?

Schritt für Schritt

D hat die x-Koordinate von A und die y-Koordinate von C
D(3 | 7)

D hat die x-Koordinate von A und die y-Koordinate von C
D(3 | 7)

Ergebnis:

D(3 | 7)

ÜbenJetzt du

○4
Drei Ecken eines Rechtecks: A(2 | 1), B(6 | 1), C(6 | 4). Wo liegt D?
So fängst du an:
D hat die x-Koordinate von A und die y-Koordinate von C
Lösung zeigen
1. D hat die x-Koordinate von A und die y-Koordinate von C
2. D(2 | 4)
Ergebnis:
D(2 | 4)
●5
Drei Ecken eines Rechtecks: A(1 | 2), B(3 | 2), C(3 | 5). Wo liegt D?
Lösung zeigen
1. D hat die x-Koordinate von A und die y-Koordinate von C
2. D(1 | 5)
Ergebnis:
D(1 | 5)
★6
Drei Ecken eines Rechtecks: A(1 | 1), B(5 | 1), C(5 | 4). Wo liegt D? Berechne auch Umfang und Flächeninhalt (1 Einheit = 1 cm).
Lösung zeigen
1. D hat die x-Koordinate von A und die y-Koordinate von C
2. D(1 | 4)
3. Seiten 4 cm und 3 cm → U = 14 cm, A = 12 cm²
Ergebnis:
D(1 | 4) · U = 14 cm · A = 12 cm²

3Ich erkenne achsensymmetrische Figuren und zeichne Spiegelachsen.

EntdeckenFrage

Warum wirkt dein Spiegelbild anders als ein Foto von dir?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Spiegel links und rechts vertauscht. Gesichter sind nie ganz gleichmäßig gebaut, deshalb wirkt das ungespiegelte Foto fremd, obwohl es dich richtig zeigt.

MerkenAchsensymmetrie

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie beim Falten an der Achse deckungsgleich ist.

Manche Figuren haben mehrere Achsen.

BeispielAchsensymmetrisch, drehsymmetrisch oder beides?

Das Bild zeigt ein Trapez mit gleich langen Schenkeln. Welche Symmetrie hat die Figur: Achse, Drehung, beides oder keine? Begründe.

Schritt für Schritt

1 Symmetrieachse.
Erst nach einer vollen Drehung liegt sie wieder auf sich.
Also: achsensymmetrisch.

1 Symmetrieachse.
Erst nach einer vollen Drehung liegt sie wieder auf sich.
Also: achsensymmetrisch.

Ergebnis:

achsensymmetrisch

ÜbenJetzt du

○7
Das Bild zeigt ein Fünfeck mit gleich langen Seiten und gleichen Winkeln. Welche Symmetrie hat die Figur: Achse, Drehung, beides oder keine? Begründe.
So fängst du an:
5 Symmetrieachsen.
Lösung zeigen
1. 5 Symmetrieachsen.
2. Nach einer Drehung um 72° liegt die Figur wieder auf sich.
3. Also: beides.
Ergebnis:
beides
●8
Das Bild zeigt einen Stern mit fünf gleichen Zacken. Ist die Figur achsensymmetrisch, drehsymmetrisch, beides oder keins von beidem?
Lösung zeigen
1. 5 Symmetrieachsen.
2. Nach einer Drehung um 72° liegt die Figur wieder auf sich.
3. Also: beides.
Ergebnis:
beides
★9
Das Bild zeigt ein Trapez mit gleich langen Schenkeln. Wie viele Symmetrieachsen hat die Figur? Um welchen kleinsten Winkel dreht man sie, bis sie wieder auf sich liegt?
Lösung zeigen
1. 1 Symmetrieachse.
2. Erst nach einer vollen Drehung liegt sie wieder auf sich.
3. 1 Achse; keine Drehung unter 360°
Ergebnis:
1 Achse, nicht drehsymmetrisch

4Ich spiegle Punkte und Figuren an Achsen.

EntdeckenFrage

Warum steht vorn auf Rettungswagen die Schrift verkehrt herum?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Damit sie im Rückspiegel richtig herum erscheint. Die Spiegelung dreht die Reihenfolge um – schreibt man sie vorher schon gedreht, hebt sich beides auf.

MerkenSpiegeln

Bildpunkt und Punkt sind gleich weit von der Achse entfernt – auf der anderen Seite.

An der y-Achse: x wechselt das Vorzeichen.

BeispielAchsenspiegelung

Spiegle P(5 | 7) an der waagerechten Geraden y = 8. Wo liegt der Bildpunkt P'?

Schritt für Schritt

Abstand von P zur Geraden y = 8: 8 − 7 = 1. Genauso weit auf die andere Seite: y = 8 + 1 = 9, x bleibt
P'(5 | 9)

Abstand von P zur Geraden y = 8: 8 − 7 = 1. Genauso weit auf die andere Seite: y = 8 + 1 = 9, x bleibt
P'(5 | 9)

Ergebnis:

P'(5 | 9)

AchtungSpiegelung: falsches Vorzeichen

So nicht

P(3 | 5) an der y-Achse → P'(3 | −5)

So richtig

P(3 | 5) an der y-Achse → P'(−3 | 5)  (x wechselt das Vorzeichen)

An der y-Achse spiegeln ändert x, nicht y.

ÜbenJetzt du

○10
Spiegle P(5 | 2) an der waagerechten Geraden y = 8. Wo liegt der Bildpunkt P'?
So fängst du an:
Abstand von P zur Geraden y = 8: 8 − 2 = 6. Genauso weit auf die andere Seite: y = 8 + 6 = 14, x bleibt
Lösung zeigen
1. Abstand von P zur Geraden y = 8: 8 − 2 = 6. Genauso weit auf die andere Seite: y = 8 + 6 = 14, x bleibt
2. P'(5 | 14)
Ergebnis:
P'(5 | 14)
●11
Spiegle P(4 | 5) an der senkrechten Geraden x = 8. Wo liegt der Bildpunkt P'?
Lösung zeigen
1. Abstand von P zur Geraden x = 8: 8 − 4 = 4. Genauso weit auf die andere Seite: x = 8 + 4 = 12, y bleibt
2. P'(12 | 5)
Ergebnis:
P'(12 | 5)
★12
Spiegle P(5 | 3) an der waagerechten Geraden y = 8. Wo liegt der Bildpunkt P'?
Lösung zeigen
1. Abstand von P zur Geraden y = 8: 8 − 3 = 5. Genauso weit auf die andere Seite: y = 8 + 5 = 13, x bleibt
2. P'(5 | 13)
Ergebnis:
P'(5 | 13)

5Ich finde Wege auf einem Plan mit Koordinaten.

EntdeckenFrage

Warum braucht ein Koordinatensystem auch Zahlen unter null?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sonst nur ein Viertel der Fläche beschreibbar wäre. Erst mit negativen Zahlen entstehen vier Felder: Links und unterhalb des Nullpunkts liegt genauso viel wie rechts und oberhalb.

MerkenNegative Koordinaten

Vier Quadranten: links von der y-Achse ist x negativ, unter der x-Achse ist y negativ.

Beispiel: P(−2 | −3).

BeispielWege auf dem Plan

Auf dem Stadtplan liegt der Eingang bei E(3 | 2) und der Brunnen bei B(3 | 6). Ein Kästchen ist in Wirklichkeit 50 m. Wie weit ist der Weg vom Eingang zum Brunnen?

Schritt für Schritt

Gleiche erste Zahl: der Weg geht gerade nach oben
6 − 2 sind 4 Kästchen
4 Kästchen mal 50 m sind 200 m

Gleiche erste Zahl: der Weg geht gerade nach oben
6 − 2 sind 4 Kästchen
4 Kästchen mal 50 m sind 200 m

Ergebnis:

200 m

ÜbenJetzt du

○13
Auf dem Stadtplan liegt der Eingang bei E(4 | 1) und der Brunnen bei B(4 | 3). Ein Kästchen ist in Wirklichkeit 25 m. Wie weit ist der Weg vom Eingang zum Brunnen?
So fängst du an:
Gleiche erste Zahl: der Weg geht gerade nach oben
Lösung zeigen
1. Gleiche erste Zahl: der Weg geht gerade nach oben
2. 3 − 1 sind 2 Kästchen
3. 2 Kästchen mal 25 m sind 50 m
Ergebnis:
50 m
●14
Auf dem Stadtplan liegt der Eingang bei E(2 | 2) und der Brunnen bei B(2 | 7). Ein Kästchen ist in Wirklichkeit 20 m. Wie weit ist der Weg vom Eingang zum Brunnen?
Lösung zeigen
1. Gleiche erste Zahl: der Weg geht gerade nach oben
2. 7 − 2 sind 5 Kästchen
3. 5 Kästchen mal 20 m sind 100 m
Ergebnis:
100 m
★15
Auf dem Stadtplan liegt der Eingang bei E(1 | 3) und der Spielplatz bei S(4 | 7). Die Wege laufen nur waagerecht und senkrecht, ein Kästchen ist 25 m. Wie lang ist der kürzeste Weg?
Lösung zeigen
1. Nach rechts: 4 − 1 sind 3 Kästchen
2. Nach oben: 7 − 3 sind 4 Kästchen
3. Zusammen 7 Kästchen mal 25 m sind 175 m
Ergebnis:
175 m

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Zeichne den Punkt P(2 | 1) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
Lösung zeigen
1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
2. 2 nach rechts, 1 nach oben
Ergebnis:
x = 2 nach rechts, y = 1 nach oben
●17
Drei Ecken eines Rechtecks: A(2 | 4), B(7 | 4), C(7 | 6). Wo liegt D?
Lösung zeigen
1. D hat die x-Koordinate von A und die y-Koordinate von C
2. D(2 | 6)
Ergebnis:
D(2 | 6)
●18
Spiegle P(6 | 7) an der waagerechten Geraden y = 8. Wo liegt der Bildpunkt P'?
Lösung zeigen
1. Abstand von P zur Geraden y = 8: 8 − 7 = 1. Genauso weit auf die andere Seite: y = 8 + 1 = 9, x bleibt
2. P'(6 | 9)
Ergebnis:
P'(6 | 9)
●19
A(2 | 0) und B(2 | 3). Wie lang ist die Strecke AB?
Lösung zeigen
1. Gleiche x-Koordinate: die Strecke ist senkrecht
2. 3 − (0) = 3
Ergebnis:
3 Einheiten
●20
Auf dem Stadtplan liegt der Eingang bei E(3 | 1) und der Brunnen bei B(3 | 7). Ein Kästchen ist in Wirklichkeit 50 m. Wie weit ist der Weg vom Eingang zum Brunnen?
Lösung zeigen
1. Gleiche erste Zahl: der Weg geht gerade nach oben
2. 7 − 1 sind 6 Kästchen
3. 6 Kästchen mal 50 m sind 300 m
Ergebnis:
300 m
●21
Lies die Koordinaten des Punktes Q im Koordinatensystem ab.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Q(5 | 3)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Koordinaten: Erst waagerecht (x), dann senkrecht (y).
Figuren zeichnen: Punkte eintragen, in Reihenfolge verbinden.
Achsensymmetrie: Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie beim Falten an der Achse deckungsgleich ist.
Spiegeln: Bildpunkt und Punkt sind gleich weit von der Achse entfernt – auf der anderen Seite.
Negative Koordinaten: Vier Quadranten: links von der y-Achse ist x negativ, unter der x-Achse ist y negativ.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich trage Punkte im Koordinatensystem ein und lese sie ab.
22
Zeichne den Punkt P(8 | 4) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 8 nach rechts, y = 4 nach oben
Ich zeichne Figuren nach Koordinaten und finde fehlende Eckpunkte.
23
Drei Ecken eines Rechtecks: A(2 | 3), B(6 | 3), C(6 | 5). Wo liegt D?
Lösung zeigen
Ergebnis:
D(2 | 5)
Ich erkenne achsensymmetrische Figuren und zeichne Spiegelachsen.
24
Das Bild zeigt ein Parallelogramm ohne rechte Winkel. Ist die Figur achsensymmetrisch, drehsymmetrisch, beides oder keins von beidem?
Lösung zeigen
Ergebnis:
drehsymmetrisch
Ich spiegle Punkte und Figuren an Achsen.
25
Spiegle P(2 | 6) an der senkrechten Geraden x = 8. Wo liegt der Bildpunkt P'?
Lösung zeigen
Ergebnis:
P'(14 | 6)
Ich finde Wege auf einem Plan mit Koordinaten.
26
Auf dem Stadtplan liegt der Eingang bei E(1 | 3) und der Brunnen bei B(1 | 8). Ein Kästchen ist in Wirklichkeit 25 m. Wie weit ist der Weg vom Eingang zum Brunnen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
125 m

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mal einen Punkt auf ein Kästchenblatt. Beschreibe in Worten, wo er liegt. Würde jemand anderes ihn nach deiner Beschreibung genau treffen?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Koordinaten: einen Punkt mit zwei Zahlen benennen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Navi, Kinosaal (Reihe/Platz), Schiffe versenken. Beruf: GPS, CAD-Zeichnen, Landwirtschaft (Drohnen).

Wörter

Achsensymmetrisch: links und rechts gleich, wie gespiegelt
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zahlen bis 1000

Darauf baut auf: Symmetrie und Abbildungen, Verschieben, Spiegeln, Drehen, Zusammenhänge und Graphen, Kongruenzabbildungen im Koordinatensystem, Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Lineare Funktionen, Vektoren im Raum

Lösungen

x = 5 nach rechts, y = 4 nach oben
x = 4 nach rechts, y = 8 nach oben
Quadrant I
D(2 | 4)
D(1 | 5)
D(1 | 4) · U = 14 cm · A = 12 cm²
beides
beides
1 Achse, nicht drehsymmetrisch
P'(5 | 14)
P'(12 | 5)
P'(5 | 13)
50 m
100 m
175 m
x = 2 nach rechts, y = 1 nach oben
D(2 | 6)
P'(6 | 9)
3 Einheiten
300 m
Q(5 | 3)
x = 8 nach rechts, y = 4 nach oben
D(2 | 5)
drehsymmetrisch
P'(14 | 6)
125 m
400
750