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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele öffnen den Zirkel auf 12 cm : 5 = 2,4 cm und wundern sich, dass die Kreise viel zu groß werden und sich überschneiden. Andere probieren so lange, bis es ungefähr passt. Die Reihe besteht aus fünf Durchmessern: Jeder ist 2,4 cm lang. Der Zirkel wird aber auf den Radius geöffnet, und der ist halb so lang: 1,2 cm.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Zirkelöffnung ist der Radius, und der Durchmesser ist doppelt so lang.

  1. ●39
    Wie viele Kreise mit dem Radius 1 cm passen nebeneinander auf eine Strecke von 4 cm?
    4 cm1 cm?
    Lösung zeigen
    1. Ein Kreis braucht seinen Durchmesser: 2 · 1 cm = 2 cm.
    2. 4 cm : 2 cm = 2
    3. Es passen 2 Kreise nebeneinander.
    Ergebnis:
    2 Kreise
  2. ●40
    Ein Kreis um M hat den Radius 3 cm. Der Punkt A ist 3 cm von M entfernt. Liegt A innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises?
    Mr = 3 cmA: 3 cm von M?
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche: A ist 3 cm entfernt, der Radius ist 3 cm.
    2. 3 cm ist genau der Radius.
    3. A liegt auf dem Kreis.
    Ergebnis:
    auf dem Kreis

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Kreis ist das Ganze: 360°

Ein Kreis lässt sich in Teile schneiden wie eine Torte. Jeder Teil ist ein Bruchteil des Ganzen und hat denselben Bruchteil von 360° als Winkel. Radius und Durchmesser bestimmen die Größe des Kreises, der Mittelpunktswinkel den Anteil.

Kreis mit einem gefärbten Viertel: 360 Grad geteilt durch 4 sind 90 Grad90°ein Viertel des Kreises360° : 4 = 90°Der Kreis ist das Ganze:360°

WeiterdenkenDenk nach

Ist ein Viertel eines großen Kreises ein größerer Anteil als ein Viertel eines kleinen Kreises? Was ist gleich, was nicht?

1Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Seit wann zeichnen Menschen Zahlen als Tortenstücke in einen Kreis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das erste bekannte Kreisdiagramm veröffentlichte der Schotte William Playfair im Jahr 1801. Er zeigte damit, welcher Teil eines Reiches zu welchem Land gehörte. Seine Idee: Ein Anteil am Ganzen ist mit einem Blick zu sehen, wenn das Ganze ein Kreis ist.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenKreis und Kreismuster mit dem Zirkel

Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.

Eine Reihe sich berührender Kreise ist so lang wie alle Durchmesser zusammen.

BeispielKreismuster: Radius und Durchmesser nutzen

5 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 30 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
30 cm?
Schritt für Schritt
  1. Die Reihe besteht aus 5 Durchmessern.
  2. Durchmesser: 30 cm : 5 = 6 cm
  3. Radius: 6 cm : 2 = 3 cm
  1. Die Reihe besteht aus 5 Durchmessern.
  2. Durchmesser: 30 cm : 5 = 6 cm
  3. Radius: 6 cm : 2 = 3 cm
Ergebnis:
3 cm

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 8 cm = 11 cm
So richtig
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 4 cm = 7 cm

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Erst prüfen, welcher gegeben ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 1 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?
    M?
    So fängst du an:
    Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 2 cm.
    Lösung zeigen
    1. Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 2 cm.
    2. Radius: 1 cm + 4 · 2 cm = 9 cm
    3. Durchmesser: 2 · 9 cm = 18 cm
    Ergebnis:
    18 cm
  2. ●2
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 2 cm. Jeder weitere Radius ist 1 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?
    M?
    Lösung zeigen
    1. Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 1 cm.
    2. Radius: 2 cm + 4 · 1 cm = 6 cm
    3. Durchmesser: 2 · 6 cm = 12 cm
    Ergebnis:
    12 cm
  3. ★3
    Ein Kreis mit dem Durchmesser 10 cm und ein Kreis mit dem Radius 2 cm berühren sich. Der kleine liegt innen im großen. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
    Lösung zeigen
    1. Radius des großen Kreises: 10 cm : 2 = 5 cm
    2. Die Mittelpunkte liegen auf einer Linie mit dem Berührpunkt.
    3. Abstand: 5 cm − 2 cm = 3 cm
    Ergebnis:
    3 cm

2Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

EntdeckenFrage

Warum hat ein voller Kreis ausgerechnet 360 Grad und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Einteilung geht vermutlich auf die Astronomen Babylons zurück, die im Sechzigersystem rechneten. 360 lässt sich durch sehr viele Zahlen teilen: durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 und mehr. Deshalb haben Halbkreis, Drittel, Viertel und Sechstel ganze Gradzahlen.

MerkenSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Ein Kreisausschnitt ist eine Fläche wie ein Tortenstück.

BeispielSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Ist das rot markierte Teil eine Strecke, eine gebogene Linie oder eine Fläche? Wie heißt es?
M?
Schritt für Schritt
  1. Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
  2. Das heißt Durchmesser.
  1. Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
  2. Das heißt Durchmesser.
Ergebnis:
Durchmesser

AchtungSehne, Bogen und Ausschnitt verwechselt

So nicht
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Kreisbogen
So richtig
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Sehne

Sehne: gerade Strecke. Kreisbogen: gebogene Linie. Kreisausschnitt: Fläche mit zwei Radien.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Strecke führt vom Mittelpunkt M zum Punkt P auf dem Kreis. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    So fängst du an:
    Es ist eine Strecke von M zum Kreis.
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Strecke von M zum Kreis.
    2. Das heißt Radius.
    Ergebnis:
    Radius
  2. ●5
    Eine Fläche wird von den Strecken MK und ML und dem Stück der Kreislinie von K bis L begrenzt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
    2. Das heißt Kreisausschnitt.
    Ergebnis:
    Kreisausschnitt
  3. ★6
    Eine Fläche wird von den Strecken MC und MD und dem Stück der Kreislinie von C bis D begrenzt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
    2. Das heißt Kreisausschnitt.
    Ergebnis:
    Kreisausschnitt

3Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

EntdeckenFrage

Wie viel Grad liegen zwischen zwei Kapseln des Riesenrads London Eye?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das London Eye hat 32 Kapseln in gleichen Abständen: 360° : 32 = 11,25°. Für eine volle Umdrehung braucht das Rad etwa 30 Minuten, in jeder Minute dreht es sich also um etwa 12°.

MerkenAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.

So ist 1/4 des Kreises 360° : 4 = 90°, und 120° sind 120/360 = 1/3 des Kreises.

BeispielAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 216°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
216°
Schritt für Schritt
  1. Der ganze Kreis hat 360°.
  2. Anteil: 216360
  3. Gekürzt: 216360 = 35
  1. Der ganze Kreis hat 360°.
  2. Anteil: 216360
  3. Gekürzt: 216360 = 35
Ergebnis:
35

AchtungMit 100 statt 360 gerechnet

So nicht
1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°
So richtig
1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Bild ist ein Kreisausschnitt gefärbt. Sein Mittelpunktswinkel steht darin. Welchen Teil des ganzen Kreises bedeckt er?
    270°
    So fängst du an:
    Der Ausschnitt hat 270° von 360°.
    Lösung zeigen
    1. Der Ausschnitt hat 270° von 360°.
    2. Anteil: 270360
    3. Gekürzt: 270360 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●8
    Ein Kreisausschnitt ist 23 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
    ?2/3 des Kreises
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. 13 des Kreises: 360° : 3 = 120°
    3. 23 des Kreises: 2 · 120° = 240°
    Ergebnis:
    240°
  3. ★9
    Ein Kreisausschnitt ist 1724 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
    ?17/24 des Kreises
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. 124 des Kreises: 360° : 24 = 15°
    3. 1724 des Kreises: 17 · 15° = 255°
    Ergebnis:
    255°

4Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

EntdeckenFrage

Wie oft stehen Minutenzeiger und Stundenzeiger in zwölf Stunden genau übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur 11-mal, nicht 12-mal. Der Minutenzeiger dreht sich 6° je Minute, der Stundenzeiger nur 0,5°. Er holt also 5,5° je Minute auf und braucht für eine ganze Runde Vorsprung etwas mehr als eine Stunde. Zwischen 11 Uhr und 1 Uhr treffen sie sich deshalb nur einmal, um 12 Uhr.

MerkenDrehungen als Teil einer Umdrehung

Eine volle Umdrehung sind 360°.

Der Minutenzeiger schafft sie in 60 Minuten, also 6° je Minute. Der Stundenzeiger braucht 12 Stunden, also 30° je Stunde.

BeispielDrehungen: Zeiger und Karussell

Es ist 1 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 45 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
123456789101112?
Schritt für Schritt
  1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
  3. In 45 Minuten: 45 · 6° = 270°
  1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
  3. In 45 Minuten: 45 · 6° = 270°
Ergebnis:
270°

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Karussell macht 34 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
    So fängst du an:
    14 Umdrehung: 360° : 4 = 90°
    Lösung zeigen
    1. 14 Umdrehung: 360° : 4 = 90°
    2. 34 Umdrehung: 3 · 90° = 270°
    Ergebnis:
    270°
  2. ●11
    Es ist 7 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 30 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
    3. In 30 Minuten: 30 · 6° = 180°
    Ergebnis:
    180°
  3. ★12
    Es ist 10 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 43 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
    3. In 43 Minuten: 43 · 6° = 258°
    Ergebnis:
    258°

5Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man die fünf olympischen Ringe so, dass alle gleich groß sind und sich richtig überlappen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle fünf Ringe haben denselben Radius, also dieselbe Zirkelöffnung. Die Mittelpunkte der oberen drei liegen in gleichen Abständen nebeneinander, die unteren zwei genau dazwischen und etwas tiefer. Pierre de Coubertin entwarf das Zeichen 1913; die fünf Ringe stehen für die fünf Erdteile.

MerkenKreisdiagramm zeichnen

Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.

Erst den Winkel für eine Person ausrechnen, dann mal die Anzahl jeder Gruppe. Zur Probe ergeben alle Winkel 360°.

BeispielKreisdiagramm: Winkel aus Anzahlen

Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „Ostsee“?
zu HauseOstseeBergeAnzahl1464Winkel?
Schritt für Schritt
  1. Alle 24 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 24 = 15°
  3. Ostsee: 6 · 15° = 90°
  1. Alle 24 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 24 = 15°
  3. Ostsee: 6 · 15° = 90°
Ergebnis:
15°, 90°

AchtungWinkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht
24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°
So richtig
24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    24 Kinder wurden gefragt: „Wo warst du in den Ferien?“ Die Antworten: zu Hause: 2, Ostsee: 14, Berge: 5, Ausland: 3. Welchen Winkel bekommt „Ostsee“ im Kreisdiagramm?
    zu HauseOstseeBergeAuslandAnzahl21453Winkel?
    So fängst du an:
    Alle 24 Kinder zusammen: 360°.
    Lösung zeigen
    1. Alle 24 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 24 = 15°
    3. Ostsee: 14 · 15° = 210°
    Ergebnis:
    210°
  2. ●14
    18 Kinder wurden gefragt: „Wie kommst du zur Schule?“ Die Antworten: zu Fuß: 5, Fahrrad: 2, Bus: 11. Welchen Winkel bekommt „zu Fuß“ im Kreisdiagramm?
    zu FußFahrradBusAnzahl5211Winkel?
    Lösung zeigen
    1. Alle 18 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 18 = 20°
    3. zu Fuß: 5 · 20° = 100°
    Ergebnis:
    100°
  3. ★15
    40 Kinder wurden gefragt: „Wie kommst du zur Schule?“ Die Antworten: zu Fuß: 17, Fahrrad: 4, Bus: 8, Auto: 11. Berechne alle Winkel für ein Kreisdiagramm.
    zu FußFahrradBusAutoAnzahl174811Winkel????
    Lösung zeigen
    1. Ein Kind: 360° : 40 = 9°
    2. zu Fuß: 17 · 9° = 153°
    3. Fahrrad: 4 · 9° = 36°
    4. Bus: 8 · 9° = 72°
    5. Auto: 11 · 9° = 99°
    Ergebnis:
    zu Fuß 153°, Fahrrad 36°, Bus 72°, Auto 99°

6Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

EntdeckenFrage

Warum sind Kanaldeckel auf der Straße meistens rund?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein runder Deckel kann nicht in sein eigenes Loch fallen. Jede Sehne quer durch den Kreis ist höchstens so lang wie der Durchmesser, und durch eine kürzere Öffnung passt er nicht. Ein quadratischer Deckel dagegen rutscht schräg hindurch, weil seine Diagonale länger ist als die Seite.

MerkenAus dem Kreisdiagramm ablesen

Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.

Denselben Anteil nimmt man von der Gesamtzahl.

BeispielKreisdiagramm lesen: Anzahlen berechnen

Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 18 Kindern auf die Frage „Welcher Sport gefällt dir am besten?“ Wie viele Kinder antworteten „Basketball“?
Fußball80°Schwimmen140°Turnen60°Basketball80°
Schritt für Schritt
  1. „Basketball“ hat 80° von 360°.
  2. Anteil: 80360 = 29
  3. Basketball: 18 · 80 : 360 = 4
  1. „Basketball“ hat 80° von 360°.
  2. Anteil: 80360 = 29
  3. Basketball: 18 · 80 : 360 = 4
Ergebnis:
4

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    24 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „zu Fuß“ oder „Auto“ zusammen?
    zu Fuß60°Fahrrad90°Bus120°Auto90°
    So fängst du an:
    Zusammen: 60° + 90° = 150°
    Lösung zeigen
    1. Zusammen: 60° + 90° = 150°
    2. Anteil: 512
    3. 24 · 150 : 360 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●17
    Es wurden 18 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Apfel“ als „Banane“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
    Apfel120°Banane60°Erdbeere180°
    Lösung zeigen
    1. Apfel: 18 · 120 : 360 = 6
    2. Banane: 18 · 60 : 360 = 3
    3. Unterschied: 6 − 3 = 3
    Ergebnis:
    3
  3. ★18
    Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 40 Kindern auf die Frage „Welches Haustier hast du?“ Wie viele Kinder antworteten „Katze“?
    Hund90°Katze126°Fische144°
    Lösung zeigen
    1. „Katze“ hat 126° von 360°.
    2. Anteil: 126360 = 720
    3. Katze: 40 · 126 : 360 = 14
    Ergebnis:
    14

7Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet der Wetterdienst die Monatstemperaturen von Berlin als Säulen oder Linie und nie als Tortendiagramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen, zusammen 360°. Die Temperaturen von zwölf Monaten ergeben zusammen kein sinnvolles Ganzes. Ein kalter Januar kann sogar unter 0 °C liegen, dafür gibt es kein Tortenstück. Säulen zeigen jeden Monat für sich und lassen sich vergleichen.

MerkenKreis oder Säulen?

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.

Ein Säulendiagramm vergleicht Werte nebeneinander. Ergeben die Werte zusammen kein Ganzes, wie Temperaturen oder Mehrfachnennungen, passt nur das Säulendiagramm.

BeispielKreisdiagramm oder Säulendiagramm?

Bei der Wahl zur Klassensprecherin bekam Ada 11 Stimmen, Ben 6 und Cem 8. Alle 25 Kinder haben genau einmal gewählt. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
AdaBenCemAnzahl1168
Schritt für Schritt
  1. Jede Stimme zählt einmal: Die Stimmen sind Teile eines Ganzen, 25 Stimmen.
  2. Also passt ein Kreisdiagramm.
  1. Jede Stimme zählt einmal: Die Stimmen sind Teile eines Ganzen, 25 Stimmen.
  2. Also passt ein Kreisdiagramm.
Ergebnis:
Kreisdiagramm

AchtungKreisdiagramm für Werte ohne gemeinsames Ganzes

So nicht
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → Kreisdiagramm
So richtig
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → kein Ganzes → Säulendiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen. Temperaturen oder Mehrfachnennungen gehören in Säulen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Lina bekommt im Monat 25 € Taschengeld. Davon gibt sie 15 € für Bücher, 5 € für Süßes aus und spart 5 €. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
    So fängst du an:
    Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 25 €.
    Lösung zeigen
    1. Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 25 €.
    2. Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen: gute Wahl.
    Ergebnis:
    ja
  2. ●20
    Lina bekommt im Monat 40 € Taschengeld. Davon gibt sie 10 € für Bücher, 15 € für Süßes aus und spart 15 €. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
    Lösung zeigen
    1. Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 40 €.
    2. Die Anteile am Ganzen sieht man im Kreisdiagramm sofort: besser.
    Ergebnis:
    ja
  3. ★21
    25 Kinder nennen ihre Hobbys. Jedes Kind darf mehrere nennen: Sport 13, Musik 15, Lesen 8. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
    SportMusikLesenAnzahl13158
    Lösung zeigen
    1. Zusammen sind es 36 Nennungen bei 25 Kindern: Das ist kein Ganzes, das man aufteilen kann.
    2. Ein Kreisdiagramm passt hier nicht: Das Säulendiagramm ist richtig.
    Ergebnis:
    nein

8Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

EntdeckenFrage

Passen zwei CDs nebeneinander auf ein A4-Blatt, ohne überzustehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine CD hat 12 cm Durchmesser. Zwei nebeneinander brauchen 24 cm Länge und 12 cm Breite. Ein A4-Blatt ist 21 cm breit und 29,7 cm lang. Quer passt es nicht, der Länge nach schon.

MerkenSachaufgaben rund um den Kreis

Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Der ganze Kreis hat 360°, ein Teil davon ist ein Bruchteil. Zur Probe ergeben alle Teile den ganzen Kreis.

BeispielSachaufgaben mit Kreisen

Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 90°, Blau hat 130°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
Rot90°Blau130°Gelb?
Schritt für Schritt
  1. Rot und Blau: 90° + 130° = 220°
  2. Gelb: 360° − 220° = 140°
  3. Anteil: 140360 = 718
  1. Rot und Blau: 90° + 130° = 220°
  2. Gelb: 360° − 220° = 140°
  3. Anteil: 140360 = 718
Ergebnis:
140°, 718

AchtungVollwinkel wie 100 % gerechnet

So nicht
1/4 des Kreises → 25°
So richtig
1/4 des Kreises → 90°

Schreib an den Kreis: ganz = 360°. Rechne den Teil von 360°.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Rasensprenger dreht sich um 240° hin und her. Welchen Teil einer vollen Runde bewässert er?
    240°?
    So fängst du an:
    Eine volle Runde hat 360°.
    Lösung zeigen
    1. Eine volle Runde hat 360°.
    2. Anteil: 240360
    3. Gekürzt: 240360 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●23
    Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 70°, Blau hat 110°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
    Rot70°Blau110°Gelb?
    Lösung zeigen
    1. Rot und Blau: 70° + 110° = 180°
    2. Gelb: 360° − 180° = 180°
    3. Anteil: 180360 = 12
    Ergebnis:
    180°, 12
  3. ★24
    Eine Pizza wird in 6 gleich große Stücke geschnitten. 3 Kinder essen je 1 Stück. Welcher Winkel ist von der Pizza noch übrig?
    Lösung zeigen
    1. Ein Stück: 360° : 6 = 60°
    2. Gegessen: 3 · 1 = 3 Stücke, übrig 3
    3. 3 · 60° = 180°
    Ergebnis:
    180°

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    5 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 20 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
    20 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Reihe besteht aus 5 Durchmessern.
    2. Durchmesser: 20 cm : 5 = 4 cm
    3. Radius: 4 cm : 2 = 2 cm
    Ergebnis:
    2 cm
  2. ●26
    Ein Kreis um M hat den Radius 2 cm, ein Kreis um N den Radius 4 cm. M und N sind 4 cm voneinander entfernt. Liegen die Kreise getrennt, berühren sie sich oder schneiden sie sich?
    MN4 cmr = 2 cmr = 4 cm?
    Lösung zeigen
    1. Beide Radien zusammen: 2 cm + 4 cm = 6 cm
    2. 4 cm ist weniger als 6 cm, aber mehr als 2 cm: zwei Schnittpunkte.
    3. Die Kreise: schneiden sich.
    Ergebnis:
    schneiden sich
  3. ●27
    Kann eine Sehne in einem Kreis mit dem Durchmesser 6 cm genau 7 cm lang sein?
    Lösung zeigen
    1. Die längste Sehne ist der Durchmesser.
    2. Der Durchmesser ist 6 cm lang.
    3. 7 cm ist länger als jede Sehne: Das geht nicht.
    Ergebnis:
    nein
  4. ●28
    Ein Kreisausschnitt ist 310 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
    ?3/10 des Kreises
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. 110 des Kreises: 360° : 10 = 36°
    3. 310 des Kreises: 3 · 36° = 108°
    Ergebnis:
    108°
  5. ●29
    Eine Torte ist in 12 gleich große Stücke geteilt. 4 Stücke sind schon gegessen. Welcher Winkel bleibt zusammen übrig, und welcher Anteil ist das?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Ein Stück: 360° : 12 = 30°
    2. Übrig sind 8 Stücke: 8 · 30° = 240°
    3. Anteil: 23
    Ergebnis:
    240°, 23
  6. ●30
    Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 1 Uhr bis 6 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
    3. In 5 Stunden: 5 · 30° = 150°
    Ergebnis:
    150°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kreis und Kreismuster mit dem Zirkel
Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Sehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt
Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Anteil und Mittelpunktswinkel
Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.
Drehungen als Teil einer Umdrehung
Eine volle Umdrehung sind 360°.
Kreisdiagramm zeichnen
Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.
Aus dem Kreisdiagramm ablesen
Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.
Kreis oder Säulen?
Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.
Sachaufgaben rund um den Kreis
Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

    31
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 3 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 6. Kreis?
    M?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26 cm

  2. Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

    32
    Ist das rot markierte Teil eine Strecke, eine gebogene Linie oder eine Fläche? Wie heißt es?
    M?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Radius

  3. Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

    33
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 240°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    240°
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

  4. Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

    34
    Ein Karussell macht 12 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180°

  5. Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

    35
    30 Kinder wurden gefragt: „Welcher Sport gefällt dir am besten?“ Die Antworten: Fußball: 6, Schwimmen: 7, Turnen: 10, Basketball: 7. Welchen Winkel bekommt „Fußball“ im Kreisdiagramm?
    FußballSchwimmenTurnenBasketballAnzahl67107Winkel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72°

  6. Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

    36
    Es wurden 24 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Bus“ als „Auto“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
    zu Fuß225°Fahrrad30°Bus75°Auto30°
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3

  7. Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

    37
    Emma zählt, wie viele Bücher sie jeden Monat liest: Januar 3, Februar 2, März 1, April 7. Sie will sehen, ob es mehr wird. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
    JanuarFebruarMärzAprilAnzahl3217
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

    38
    Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen den beiden Zeigern einer Uhr um 4 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    120°

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, eine Reihe besteht aus Durchmessern.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tortenstücke, Uhren, Riesenrad, Umfragen in der Klasse. Beruf: Marktforschung und Zeitungsgrafik, Maschinenbau, Konditorei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Durchmesser
einmal quer durch den Kreis
Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Brüche und Dezimalzahlen, Winkel an Geraden und in Figuren

Darauf baut auf: Kreis und Zylinder

Lösungen

  1. 18 cm
  2. 12 cm
  3. 3 cm
  4. Radius
  5. Kreisausschnitt
  6. Kreisausschnitt
  7. 34
  8. 240°
  9. 255°
  10. 270°
  11. 180°
  12. 258°
  13. 210°
  14. 100°
  15. zu Fuß 153°, Fahrrad 36°, Bus 72°, Auto 99°
  16. 10
  17. 3
  18. 14
  19. ja
  20. ja
  21. nein
  22. 23
  23. 180°, 12
  24. 180°
  25. 2 cm
  26. schneiden sich
  27. nein
  28. 108°
  29. 240°, 23
  30. 150°
  31. 26 cm
  32. Radius
  33. 23
  34. 180°
  35. 72°
  36. 3
  37. nein
  38. 120°
  39. 2 Kreise
  40. auf dem Kreis