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Mathematik · Klasse 3 · Kapitel

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Muster, Zahlenfolgen und Platzhalter

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Figur 1 hat 4 Plättchen, Figur 2 hat 7, Figur 3 hat 10. Wie viele Plättchen hat Figur 50?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Kinder zeichnen oder zählen in Dreierschritten weiter. Nach Figur 12 verzählen sich die ersten, und Figur 50 erreicht fast niemand. Wir schauen nicht auf die Zeichnung, sondern auf die Regel: 1 Plättchen am Anfang, je Figur 3 dazu. Figur 50 hat also 1 + 50 · 3 = 151 Plättchen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Plus und minus gehören zusammen: Aus einer Plusaufgabe entstehen zwei Minusaufgaben.

  1. ●39
    4 + 4 = 8. Schreibe die Tauschaufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 + 4 = 8
  2. ●40
    Rechenkette: Start 36 + 16 − 6 = ___
    36+ 16− 6?
    Lösung zeigen
    1. + 16 → 52
    2. − 6 → 46
    Ergebnis:
    46

ÜbenWeißt du das noch?

Mal und geteilt gehören zusammen: 3 · 4 = 12, also 12 : 4 = 3.

  1. ●41
    20 : 5 = ___
    ? in jeder Reihe5 Reihen20 Punkte gesamt
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 5 · ___ = 20
    2. 5 · 4 = 20, also 20 : 5 = 4
    Ergebnis:
    4
  2. ●42
    35 : 5 = ___
    ? in jeder Reihe5 Reihen35 Punkte gesamt
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 5 · ___ = 35
    2. 5 · 7 = 35, also 35 : 5 = 7
    Ergebnis:
    7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMuster haben Regeln, „=“ heißt gleich viel

Ein Muster ist nicht zufällig: Es gibt eine Regel, die für jede Stelle gilt. Wer die Regel kennt, kann weit vorausspringen, ohne alles zu zeichnen. Und „=“ heißt nicht „jetzt kommt das Ergebnis“, sondern „beide Seiten sind gleich viel“ – deshalb darf das Kästchen auch links stehen.

Eine Waage im Gleichgewicht: 9 plus 14 ist gleich viel wie 10 plus Kästchen, das Kästchen ist 139 + 1410 + □beide Seiten gleich viel□ = 13, denn 9 + 14 = 23 und 10 + 13 = 23

WeiterdenkenDenk nach

Stimmt 9 + 14 = 10 + 13 – und woran siehst du es, ohne beide Seiten auszurechnen?

1Ich setze Zahlenfolgen fort und beschreibe die Regel.

EntdeckenFrage

Kaninchen bekommen jeden Monat ein junges Paar, junge Paare ab dem zweiten Monat auch. Wie viele Paare sind es nach einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Leonardo von Pisa rechnete es 1202 vor und kam auf 377 Paare. In seiner Liste ist jede Zahl die Summe der zwei davor. Sie beginnt so: 1, 2, 3, 5, 8, 13.

EntdeckenSchritte legen

Das brauchst du: Zahlenkarten und Wendeplättchen

Leg die Zahlenkarten in eine Reihe. Leg zwischen zwei Karten so viele Plättchen, wie der Schritt ist.

Mach die Augen zu. Wie viele Plättchen liegen vor der nächsten Karte?

MerkenZahlenfolge

Eine Zahlenfolge hat eine Regel.

Prüfe den Schritt zwischen allen Nachbarn, nicht nur zwischen zwei. Mal bleibt der Schritt gleich, mal wächst er, mal wird verdoppelt.

BeispielZahlenfolgen fortsetzen

Setze die Zahlenfolge fort: 4, 16, 28, 40, ?
4162840?
Schritt für Schritt
  1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 12.
  2. 40 + 12 = 52
  1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 12.
  2. 40 + 12 = 52
Ergebnis:
52

AchtungRegel nur an zwei Zahlen geprüft

So nicht
3, 5, 8, 12, ? → 16 (immer plus 4)
So richtig
3, 5, 8, 12, ? → Schritte 2, 3, 4, also plus 5: 17

Den Schritt zwischen ALLEN Nachbarn aufschreiben lassen – erst dann fortsetzen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Setze die Zahlenfolge fort: 7, 14, 21, 28, ?
    7142128?
    So fängst du an:
    Von Zahl zu Zahl: immer plus 7.
    Lösung zeigen
    1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 7.
    2. 28 + 7 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●2
    Setze die Zahlenfolge fort: 50, 58, 66, 74, ?
    50586674?
    Lösung zeigen
    1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 8.
    2. 74 + 8 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★3
    Setze die Zahlenfolge fort: 13, 19, 26, 34, ? Achte auf die Schritte.
    13192634?
    Lösung zeigen
    1. Die Schritte sind 6, 7, 8 – jedes Mal eins mehr.
    2. Der nächste Schritt ist 9.
    3. 34 + 9 = 43
    Ergebnis:
    43

2Ich setze schöne Päckchen fort und finde Fehler mit dem Muster.

EntdeckenFrage

Warum ergibt 11 · 13 genau eins weniger als 12 · 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

12 · 12 = 144 und 11 · 13 = 143. Das Päckchen 10 · 10 = 100, 9 · 11 = 99, 8 · 12 = 96 zeigt das Muster: Beim ersten Schritt fehlt genau 1, beim nächsten 4, dann 9 – die Quadratzahlen.

EntdeckenWas sich ändert

Das brauchst du: Buntstifte und das Päckchen im Heft

Male in jeder Zeile die Zahl rot an, die sich ändert.

Mach die Augen zu. Was passiert mit dem Ergebnis in der nächsten Zeile?

MerkenSchönes Päckchen

Im schönen Päckchen ändert sich jede Zeile gleich.

Wächst eine Zahl um 1, wächst die Summe um 1. Wächst eine Zahl und schrumpft die andere, bleibt die Summe gleich.

BeispielSchöne Päckchen fortsetzen

Setze das Päckchen fort, das mit 15 + 15 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
15 + 15 = 3016 + 14 = 3017 + 13 = 3018 + 12 = ?
Schritt für Schritt
  1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite schrumpft um 1.
  2. Das Ergebnis bleibt gleich: 18 + 12 = 30
  1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite schrumpft um 1.
  2. Das Ergebnis bleibt gleich: 18 + 12 = 30
Ergebnis:
30

AchtungMuster im Päckchen nicht genutzt

So nicht
25 + 10 = 35, 26 + 10 = 35
So richtig
Erste Zahl plus 1, Ergebnis plus 1: 26 + 10 = 36

Mit Farbe markieren, welche Zahl sich ändert und welche bleibt; dann vorhersagen, erst danach rechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Setze das Päckchen fort, das mit 39 + 27 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
    39 + 27 = 6640 + 27 = 6741 + 27 = 6842 + 27 = ?
    So fängst du an:
    Die erste Zahl wächst um 1, die zweite bleibt.
    Lösung zeigen
    1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite bleibt.
    2. Also wächst das Ergebnis um 1: 42 + 27 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●5
    Setze das Päckchen fort, das mit 21 + 31 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
    21 + 31 = 5222 + 30 = 5223 + 29 = 5224 + 28 = ?
    Lösung zeigen
    1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite schrumpft um 1.
    2. Das Ergebnis bleibt gleich: 24 + 28 = 52
    Ergebnis:
    52
  3. ★6
    Setze das Päckchen fort, das mit 3 · 14 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe? Erkläre, warum es so weitergeht.
    3 · 14 = 423 · 15 = 453 · 16 = 483 · 17 = ?
    Lösung zeigen
    1. Die zweite Zahl wächst jedes Mal um 1.
    2. 3 mal eins mehr ist 3 mehr: Das Ergebnis wächst um 3.
    3. 3 · 17 = 51
    Ergebnis:
    51

3Ich sage voraus, wie sich eine Zahlenmauer verändert.

EntdeckenFrage

Was hat eine Zahlenmauer mit dem Zahlendreieck von Blaise Pascal zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Deckstein ist die Summe der Grundsteine, aber sie zählen verschieden oft. Bei drei Grundsteinen zählen sie 1-, 2- und 1-mal, bei vier Grundsteinen 1-, 3-, 3- und 1-mal. Genau diese Zahlen stehen in Pascals Zahlendreieck.

EntdeckenDer mittlere Stein wandert

Das brauchst du: Wendeplättchen und eine gezeichnete Zahlenmauer

Leg auf den mittleren Grundstein 3 Plättchen dazu. Schieb sie in die Steine darüber.

Mach die Augen zu. Wie viele Plättchen kommen oben im Deckstein an?

MerkenZahlenmauer

Jeder Stein ist die Summe der zwei Steine darunter.

Der mittlere Grundstein zählt für den Deckstein doppelt, ein Randstein nur einmal.

BeispielZahlenmauern verändern

Zahlenmauer mit den Grundsteinen 36, 18 und 19. Der linke Grundstein wird um 2 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
915437361819
Schritt für Schritt
  1. Oben stand 36 + 18 + 18 + 19 = 91
  2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
  3. Der Deckstein wird um 2 erhöht.
  1. Oben stand 36 + 18 + 18 + 19 = 91
  2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
  3. Der Deckstein wird um 2 erhöht.
Ergebnis:
2

AchtungMittlerer Grundstein einmal gezählt

So nicht
Mittlerer Grundstein plus 3 → Deckstein plus 3
So richtig
Mittlerer Grundstein plus 3 → beide Steine darüber plus 3 → Deckstein plus 6

Mit Plättchen legen: Der mittlere Stein wandert in beide Steine darüber.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 23, 18 und 27. Der linke Grundstein wird um 4 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
    864145231827
    So fängst du an:
    Oben stand 23 + 18 + 18 + 27 = 86
    Lösung zeigen
    1. Oben stand 23 + 18 + 18 + 27 = 86
    2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
    3. Der Deckstein wird um 4 erhöht.
    Ergebnis:
    4
  2. ●8
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 10, 28 und 23. Der linke Grundstein wird um 3 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
    893851102823
    Lösung zeigen
    1. Oben stand 10 + 28 + 28 + 23 = 89
    2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
    3. Der Deckstein wird um 3 erhöht.
    Ergebnis:
    3
  3. ★9
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 22, 6 und 8. Der mittlere Grundstein wird um 5 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein? Begründe.
    4228142268
    Lösung zeigen
    1. Der mittlere Grundstein steckt in beiden Steinen darüber.
    2. Beide werden um 5 erhöht.
    3. Der Deckstein wird um 5 + 5 = 10 erhöht
    Ergebnis:
    10

4Ich setze Plättchenmuster fort und berechne eine späte Figur.

EntdeckenFrage

An einen Tisch passen vier Kinder. Wie viele Tische braucht eine lange Tafel für 30 Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

14. Stellt man Tische aneinander, sitzen an jedem Tisch zwei Kinder an den Seiten und dazu je eines an den beiden Enden: 14 · 2 + 2 = 30. Wer 30 : 4 rechnet, stellt zu wenige Tische hin.

EntdeckenAnfang und Zuwachs

Das brauchst du: Wendeplättchen in zwei Farben

Leg Figur 1, 2 und 3. Nimm für den Anfang gelbe Plättchen, für den Zuwachs blaue.

Mach die Augen zu. Wie sieht Figur 10 aus?

MerkenPlättchenmuster

Zähle, was am Anfang liegt und was je Figur dazukommt.

Figur 10 = Anfang + 10 mal das, was dazukommt. Verdoppeln stimmt fast nie.

BeispielPlättchenmuster fortsetzen

Figur 1 hat 5 Plättchen, Figur 2 hat 7, Figur 3 hat 9. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 4?
Figur 1Figur 2Figur 3
Schritt für Schritt
  1. Von Figur zu Figur kommen 2 Plättchen dazu.
  2. Am Anfang liegen immer 3 gelbe Plättchen.
  3. Figur 4: 3 + 4 · 2 = 11
  1. Von Figur zu Figur kommen 2 Plättchen dazu.
  2. Am Anfang liegen immer 3 gelbe Plättchen.
  3. Figur 4: 3 + 4 · 2 = 11
Ergebnis:
11

AchtungFigur verdoppelt statt fortgesetzt

So nicht
Figur 5 hat 11, also Figur 10 dann 22
So richtig
Figur 5 hat 11 = 1 + 5 · 2, also Figur 10: 1 + 10 · 2 = 21

Tabelle Figur – Anzahl anlegen, Anfang und Zuwachs farbig trennen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Figur 1 hat 6 Plättchen, Figur 2 hat 10, Figur 3 hat 14. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 6?
    Figur 1Figur 2Figur 3
    So fängst du an:
    Von Figur zu Figur kommen 4 Plättchen dazu.
    Lösung zeigen
    1. Von Figur zu Figur kommen 4 Plättchen dazu.
    2. Am Anfang liegen immer 2 gelbe Plättchen.
    3. Figur 6: 2 + 6 · 4 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●11
    Figur 1 hat 5 Plättchen, Figur 2 hat 8, Figur 3 hat 11. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 4?
    Figur 1Figur 2Figur 3
    Lösung zeigen
    1. Von Figur zu Figur kommen 3 Plättchen dazu.
    2. Am Anfang liegen immer 2 gelbe Plättchen.
    3. Figur 4: 2 + 4 · 3 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★12
    Figur 1 hat 6 Plättchen, Figur 2 hat 8, Figur 3 hat 10. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 6?
    Figur 1Figur 2Figur 3
    Lösung zeigen
    1. Von Figur zu Figur kommen 2 Plättchen dazu.
    2. Am Anfang liegen immer 4 gelbe Plättchen.
    3. Figur 6: 4 + 6 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

5Ich löse Platzhalteraufgaben mit der Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Wie schrieben Rechenmeister im alten Ägypten eine Zahl, die sie noch nicht kannten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie nannten sie „Haufen“. Im Papyrus Rhind, um 1550 vor Christus abgeschrieben, steht: Ein Haufen und sein Siebtel ergeben zusammen 19. Der Haufen war ihr Kästchen, und gelöst wurde durch Probieren und Zurückrechnen.

EntdeckenWas fehlt im Kästchen?

Das brauchst du: Wendeplättchen und ein umgedrehter Becher

Leg 60 Plättchen hin. Versteck einige unter dem Becher, 25 bleiben sichtbar.

Mach die Augen zu. Wie viele liegen unter dem Becher?

MerkenPlatzhalter

Das Kästchen steht für eine Zahl, die fehlt.

Die Umkehraufgabe findet sie: Bei □ + 25 = 60 rechnest du 60 − 25 = 35. Danach machst du die Probe.

BeispielPlatzhalteraufgaben mit plus und minus

Ergänze die Zahl im Kästchen. 12 + □ = 29
12+ ?29
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 29 − 12 = 17
  2. Probe: 12 + 17 = 29
  1. Umkehraufgabe: 29 − 12 = 17
  2. Probe: 12 + 17 = 29
Ergebnis:
17

AchtungUmkehraufgabe falsch gebildet

So nicht
□ + 25 = 60 → □ = 85
So richtig
□ + 25 = 60 → 60 − 25 = 35, Probe: 35 + 25 = 60

Aufgabenfamilie legen: Teil + Teil = Ganzes; das Ganze minus ein Teil gibt den anderen Teil.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Zahl im Kästchen. □ + 23 = 44
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 44 − 23 = 21
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 44 − 23 = 21
    2. Probe: 21 + 23 = 44
    Ergebnis:
    21
  2. ●14
    Ergänze die Zahl im Kästchen. □ + 24 = 38
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 38 − 24 = 14
    2. Probe: 14 + 24 = 38
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Ergänze die Zahl im Kästchen. □ − 87 = 234
    Lösung zeigen
    1. Hier fehlt die Zahl, von der weggenommen wurde.
    2. Umkehraufgabe: 234 + 87 = 321
    3. Probe: 321 − 87 = 234
    Ergebnis:
    321

6Ich vergleiche Rechenausdrücke mit kleiner, größer und gleich.

EntdeckenFrage

Wer hat das Gleichheitszeichen erfunden – und warum besteht es aus zwei gleich langen Strichen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Robert Recorde, ein walisischer Arzt und Rechenmeister, im Jahr 1557. Er schrieb, nichts sei gleicher als zwei parallele Striche von gleicher Länge. Vorher schrieb man jedes Mal das Wort aus. Das Zeichen heißt: Links und rechts ist gleich viel.

EntdeckenDie Waage

Das brauchst du: Balkenwaage und Steckwürfel

Leg links 9 und 14 Würfel, rechts 10 und 13 Würfel.

Mach die Augen zu. Was passiert, wenn rechts ein Würfel fehlt?

MerkenKleiner, größer, gleich

Das Gleichheitszeichen heißt: gleich viel.

Die Spitze von < und > zeigt immer zur Zahl, die weniger ist. Oft siehst du es, ohne auszurechnen.

BeispielRechenausdrücke vergleichen

Setze <, > oder = ein: 60 + 24 ___ 81
Schritt für Schritt
  1. Erst rechnen: 60 + 24 = 84
  2. Die Spitze zeigt zu der Zahl, die weniger ist: 81
  1. Erst rechnen: 60 + 24 = 84
  2. Die Spitze zeigt zu der Zahl, die weniger ist: 81
Ergebnis:
60 + 24 > 81

AchtungGleichheitszeichen als „Ergebnis kommt“ gelesen

So nicht
9 + 14 = 10 + □ → □ = 23
So richtig
9 + 14 = 23, also 10 + 13 = 23 → □ = 13

Balkenwaage: Beide Seiten müssen gleich schwer sein, egal wo die Rechnung steht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Setze <, > oder = ein: 18 + 20 ___ 42
    So fängst du an:
    Erst rechnen: 18 + 20 = 38
    Lösung zeigen
    1. Erst rechnen: 18 + 20 = 38
    2. Die Spitze zeigt zu der Zahl, die weniger ist: 38
    Ergebnis:
    18 + 20 < 42
  2. ●17
    Setze <, > oder = ein: 19 + 29 ___ 47
    Lösung zeigen
    1. Erst rechnen: 19 + 29 = 48
    2. Die Spitze zeigt zu der Zahl, die weniger ist: 47
    Ergebnis:
    19 + 29 > 47
  3. ★18
    Setze <, > oder = ein. Versuch es erst ohne Ausrechnen. 379 + 179 ___ 374 + 185
    Lösung zeigen
    1. Rechts ist die erste Zahl um 5 weniger, die zweite um 6 mehr.
    2. 558 < 559
    Ergebnis:
    379 + 179 < 374 + 185

7Ich löse Zahlenrätsel mit Pfeilen und rechne rückwärts.

EntdeckenFrage

Wie fand Theseus aus dem Labyrinth des Minotaurus wieder heraus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ariadne gab ihm einen Faden, den er beim Hineingehen abwickelte. Zurück folgte er dem Faden rückwärts: jede Abbiegung umgekehrt, die letzte zuerst. Genauso rechnet man eine Pfeilkette zurück – aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

EntdeckenDen Weg zurückgehen

Das brauchst du: Pfeilkarten und Zahlenkarten

Leg die Pfeilkette. Dreh jede Pfeilkarte um und leg sie andersherum.

Mach die Augen zu. Geh die Kette vom Ende zum Anfang.

MerkenRückwärts rechnen

Beim Rückwärtsrechnen fängst du beim letzten Pfeil an.

Aus plus wird minus, aus mal wird geteilt. Die Probe rechnet wieder vorwärts.

BeispielZahlenrätsel rückwärts lösen

Ich denke mir eine Zahl. Ich rechne minus 39 und erhalte 18. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
?− 3918
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts wird aus minus ein plus.
  2. 18 + 39 = 57
  3. Probe: 57 − 39 = 18
  1. Rückwärts wird aus minus ein plus.
  2. 18 + 39 = 57
  3. Probe: 57 − 39 = 18
Ergebnis:
57

AchtungPfeil vorwärts statt rückwärts gerechnet

So nicht
Zahl plus 15 ergibt 42 → 42 + 15 = 57
So richtig
Rückwärts: 42 − 15 = 27, Probe: 27 + 15 = 42

Die Pfeilkette rückwärts neu zeichnen und die Zeichen umdrehen, bevor gerechnet wird.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ich denke mir eine Zahl. Ich rechne minus 36 und erhalte 20. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
    ?− 3620
    So fängst du an:
    Rückwärts wird aus minus ein plus.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts wird aus minus ein plus.
    2. 20 + 36 = 56
    3. Probe: 56 − 36 = 20
    Ergebnis:
    56
  2. ●20
    Ich denke mir eine Zahl. Ich rechne plus 14 und erhalte 69. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
    ?+ 1469
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts wird aus plus ein minus.
    2. 69 − 14 = 55
    3. Probe: 55 + 14 = 69
    Ergebnis:
    55
  3. ★21
    Ich denke mir eine Zahl. Ich nehme sie mal 9 und rechne dann plus 29. Ich erhalte 65. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
    ?· 9+ 2965
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, beim letzten Pfeil anfangen: 65 − 29 = 36
    2. Aus mal 9 wird geteilt durch 9: 36 : 9 = 4
    3. Probe: 4 · 9 + 29 = 65
    Ergebnis:
    4

8Ich fülle Tabellen „je mehr, desto mehr“ aus und entschlüssle Geheimschriften.

EntdeckenFrage

Wie kann man eine geheime Nachricht schreiben, die nur die Freundin lesen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man verschiebt jeden Buchstaben im Alphabet um dieselbe Zahl. Julius Caesar soll so Briefe verschlüsselt haben, mit einer Verschiebung um drei: aus A wird D.

EntdeckenHefte und Preise

Das brauchst du: Spielgeld und Hefte

Leg zu jedem Heft 2 Euro Spielgeld.

Mach die Augen zu. Wie viel Geld liegt bei 5 Heften?

MerkenJe mehr, desto mehr

Doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel.

In der Tabelle rechnest du zuerst den Preis für ein Stück. Auch eine Geheimschrift folgt einer Regel.

BeispielJe mehr, desto mehr: Tabellen

1 Karte fürs Kino kostet 6 €. Zwei kosten 12 €. Drei kosten 18 €. Rechne: Was kosten 4 Karten fürs Kino?
AnzahlPreis in €162123184?
Schritt für Schritt
  1. Je mehr Karten fürs Kino, desto mehr Euro: Jedes kostet 6 €.
  2. 4 · 6 € = 24 €
  1. Je mehr Karten fürs Kino, desto mehr Euro: Jedes kostet 6 €.
  2. 4 · 6 € = 24 €
Ergebnis:
24 €

AchtungZuordnung additiv fortgesetzt

So nicht
3 Hefte 6 €, also 5 Hefte 8 €
So richtig
3 Hefte 6 €, also 1 Heft 2 € und 5 Hefte 5 · 2 € = 10 €

Erst den Wert für 1 Stück in die Tabelle, dann vervielfachen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    1 Heft kostet 2 €. Zwei kosten 4 €. Drei kosten 6 €. Rechne: Was kosten 8 Hefte?
    AnzahlPreis in €1224368?
    So fängst du an:
    Je mehr Hefte, desto mehr Euro: Jedes kostet 2 €.
    Lösung zeigen
    1. Je mehr Hefte, desto mehr Euro: Jedes kostet 2 €.
    2. 8 · 2 € = 16 €
    Ergebnis:
    16 €
  2. ●23
    1 Kugel Eis kostet 2 €. Zwei kosten 4 €. Drei kosten 6 €. Rechne: Was kosten 10 Kugeln Eis?
    AnzahlPreis in €12243610?
    Lösung zeigen
    1. Je mehr Kugeln Eis, desto mehr Euro: Jedes kostet 2 €.
    2. 10 · 2 € = 20 €
    Ergebnis:
    20 €
  3. ★24
    3 Hefte kosten 6 €. Wie viele Hefte bekommst du für 36 €? Rechne mit einer Tabelle.
    AnzahlPreis in €36612?36
    Lösung zeigen
    1. Erst 1 Stück: 6 € : 3 = 2 €
    2. 36 € : 2 € = 18
    Ergebnis:
    18

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Setze die Zahlenfolge fort: 4, 7, 10, 13, ?
    471013?
    Lösung zeigen
    1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 3.
    2. 13 + 3 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●26
    In der Zahlenfolge fehlt eine Zahl: 76, 63, ?, 37, 24. Ergänze die Zahl an der Stelle mit dem Fragezeichen.
    7663?3724
    Lösung zeigen
    1. Von Zahl zu Zahl: immer minus 13.
    2. 63 − 13 = 50
    3. Probe: 50 − 13 = 37
    Ergebnis:
    50
  3. ●27
    Setze das Päckchen fort, das mit 27 + 12 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
    27 + 12 = 3928 + 12 = 4029 + 12 = 4130 + 12 = ?
    Lösung zeigen
    1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite bleibt.
    2. Also wächst das Ergebnis um 1: 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    42
  4. ●28
    Päckchen ab 28 + 13: In einer Zeile ist das Ergebnis falsch. Prüfe: Welches Ergebnis ist richtig? Nutze das Muster.
    28 + 13 = 4129 + 13 = 4230 + 13 = 4331 + 13 = 34
    Lösung zeigen
    1. Die erste Zahl wächst um 1: Jedes Ergebnis ist eins mehr als davor.
    2. In Zeile 4 steht 34.
    3. Richtig ist 31 + 13 = 44
    Ergebnis:
    44
  5. ●29
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 39, 10 und 25. Der linke Grundstein wird um 8 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
    844935391025
    Lösung zeigen
    1. Oben stand 39 + 10 + 10 + 25 = 84
    2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
    3. Der Deckstein wird um 8 erhöht.
    Ergebnis:
    8
  6. ●30
    Zahlenmauer: unten 12, 5, 14. Rechne bis oben.
    ???12514
    Lösung zeigen
    1. 12 + 5 = 17, 5 + 14 = 19
    2. 17 + 19 = 36
    Ergebnis:
    oben 36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge hat eine Regel.
Schönes Päckchen
Im schönen Päckchen ändert sich jede Zeile gleich.
Zahlenmauer
Jeder Stein ist die Summe der zwei Steine darunter.
Plättchenmuster
Zähle, was am Anfang liegt und was je Figur dazukommt.
Platzhalter
Das Kästchen steht für eine Zahl, die fehlt.
Kleiner, größer, gleich
Das Gleichheitszeichen heißt: gleich viel.
Rückwärts rechnen
Beim Rückwärtsrechnen fängst du beim letzten Pfeil an.
Je mehr, desto mehr
Doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich setze Zahlenfolgen fort und beschreibe die Regel.

    31
    Setze die Zahlenfolge fort: 48, 51, 54, 57, ?
    48515457?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  2. Ich setze schöne Päckchen fort und finde Fehler mit dem Muster.

    32
    Setze das Päckchen fort, das mit 37 + 27 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
    37 + 27 = 6438 + 26 = 6439 + 25 = 6440 + 24 = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  3. Ich sage voraus, wie sich eine Zahlenmauer verändert.

    33
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 27, 35 und 35. Der linke Grundstein wird um 9 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
    1326270273535
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

  4. Ich setze Plättchenmuster fort und berechne eine späte Figur.

    34
    Figur 1 hat 5 Plättchen, Figur 2 hat 7, Figur 3 hat 9. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 6?
    Figur 1Figur 2Figur 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15

  5. Ich löse Platzhalteraufgaben mit der Umkehraufgabe.

    35
    Ergänze die Zahl im Kästchen. □ + 34 = 85
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

  6. Ich vergleiche Rechenausdrücke mit kleiner, größer und gleich.

    36
    Setze <, > oder = ein: 52 + 38 ___ 94
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52 + 38 < 94

  7. Ich löse Zahlenrätsel mit Pfeilen und rechne rückwärts.

    37
    Ich denke mir eine Zahl. Ich rechne plus 36 und erhalte 106. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
    ?+ 36106
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  8. Ich fülle Tabellen „je mehr, desto mehr“ aus und entschlüssle Geheimschriften.

    38
    1 Karte fürs Kino kostet 4 €. Zwei kosten 8 €. Drei kosten 12 €. Rechne: Was kosten 4 Karten fürs Kino?
    AnzahlPreis in €14283124?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Figur 1 hat 4 Plättchen, Figur 2 hat 7, Figur 3 hat 10. Wie viele Plättchen hat Figur 50?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Regel der Folge: Anfang und Zuwachs statt Weiterzählen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preistabellen im Laden, Geheimschriften, Muster auf Fliesen und Stoffen, Rätsel mit gedachten Zahlen. Beruf: Programmieren: Schleifen und Regeln; Muster in der Weberei und im Fliesenlegen.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zahlen bis 1000, Einmaleins und Teilen, Zahlen bis 100

Darauf baut auf: Terme und einfache Gleichungen

Lösungen

  1. 35
  2. 82
  3. 43
  4. 69
  5. 52
  6. 51
  7. 4
  8. 3
  9. 10
  10. 26
  11. 14
  12. 16
  13. 21
  14. 14
  15. 321
  16. 18 + 20 < 42
  17. 19 + 29 > 47
  18. 379 + 179 < 374 + 185
  19. 56
  20. 55
  21. 4
  22. 16 €
  23. 20 €
  24. 18
  25. 16
  26. 50
  27. 42
  28. 44
  29. 8
  30. oben 36
  31. 60
  32. 64
  33. 9
  34. 15
  35. 51
  36. 52 + 38 < 94
  37. 70
  38. 16 €
  39. 4 + 4 = 8
  40. 46
  41. 4
  42. 7