Physik · Klasse 11 · Kapitel

Einführungsphase: Kreisbewegungen

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Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
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Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 5 s
ω ≈ 1,26 1/s

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 5 s
ω ≈ 1,26 1/s

Ergebnis:

1,26 1/s

ÜbenJetzt du

○1
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 5 s
3. ω ≈ 1,26 1/s
Ergebnis:
1,26 1/s
●2
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 4 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 4 s
3. ω ≈ 1,57 1/s
Ergebnis:
1,57 1/s
★3
Ein Ventilator dreht sich gleichmäßig mit 1200 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Drehzahl je Sekunde: f = 1200 : 60 s = 20 1/s
2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
3. ω = 2π · 20 1/s
4. ω ≈ 126 1/s
Ergebnis:
126 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 50 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (50 m/s)² : 80 m = 2500 m²/s² : 80 m
a_r ≈ 31,3 m/s²

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (50 m/s)² : 80 m = 2500 m²/s² : 80 m
a_r ≈ 31,3 m/s²

Ergebnis:

31,3 m/s²

ÜbenJetzt du

○4
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 8 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (8 m/s)² : 8 m = 64 m²/s² : 8 m
3. a_r ≈ 8 m/s²
Ergebnis:
8 m/s²
●5
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 6 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (6 m/s)² : 15 m = 36 m²/s² : 15 m
3. a_r ≈ 2,4 m/s²
Ergebnis:
2,4 m/s²
★6
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 45 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Erst umrechnen: v = 45 km/h : 3,6 ≈ 12,5 m/s
2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
3. a_r = (12,5 m/s)² : 15 m
4. a_r ≈ 10,4 m/s², zur Mitte der Kurve
Ergebnis:
10,4 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 75 kg bewegt sich mit 5 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 75 kg · (5 m/s)² : 15 m
F_r ≈ 125 N

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 75 kg · (5 m/s)² : 15 m
F_r ≈ 125 N

Ergebnis:

125 N

ÜbenJetzt du

○7
Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 70 kg bewegt sich mit 6 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 70 kg · (6 m/s)² : 12 m
3. F_r ≈ 210 N
Ergebnis:
210 N
●8
Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 300 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 20 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 300 kg · (10 m/s)² : 20 m
3. F_r ≈ 1500 N
Ergebnis:
1500 N
★9
Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 4 kg auf einem Kreis mit r = 1,5 m, 1,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. ω = 2π · f = 2π · 1,5 1/s ≈ 9,42 1/s
2. F_r = m · ω² · r
3. F_r = 4 kg · (9,42 1/s)² · 1,5 m
4. F_r ≈ 533 N
Ergebnis:
533 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Satellit kreist um die Erde. Was ist die Radialkraft?

Schritt für Schritt

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten

Ergebnis:

die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht

sin(30) im Modus RAD → −0,988

So richtig

sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Auto fährt auf ebener Straße durch eine Kurve. Welche Kraft hält das Fahrzeug auf der Kreisbahn?
So fängst du an:
Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
Ergebnis:
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
●11
Ein Güterzug fährt durch einen Gleisbogen. Welche Kraft lenkt ihn auf die Kreisbahn?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
Ergebnis:
die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
★12
Eine Kurve der Bobbahn ist nach innen geneigt. Wozu dient das?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
3. Also: Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.
Ergebnis:
Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?

Schritt für Schritt

r = 4740 km = 4.740.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 4.740.000 m : 86.400 s
v ≈ 345 m/s

r = 4740 km = 4.740.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 4.740.000 m : 86.400 s
v ≈ 345 m/s

Ergebnis:

345 m/s

AchtungKreisfläche und Kreisumfang verwechselt

So nicht

r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 5² = 78,5 cm

So richtig

r = 5 cm, Umfang → 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm

Frag dich: Weg um den Kreis oder Fläche innen? Nur die Fläche hat ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

○13
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Kairo auf einem Kreis mit r = 5520 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
r = 5520 km = 5.520.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
Lösung zeigen
1. r = 5520 km = 5.520.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 5.520.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 401 m/s
Ergebnis:
401 m/s
●14
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
1. r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 232 m/s
Ergebnis:
232 m/s
★15
Kapstadt liegt auf etwa 33,9° südlicher Breite. Wie schnell bewegt sich die Stadt durch die Erddrehung? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 33,9° ≈ 5290 km
2. T = 24 h = 86.400 s
3. v = 2π · r : T = 2π · 5290 km : 86.400 s
4. v ≈ 385 m/s
Ergebnis:
385 m/s

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 5 s
3. ω ≈ 1,26 1/s
Ergebnis:
1,26 1/s
●17
Ein Karussell hat einen Radius von 3 m und braucht für eine Umdrehung 8 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. v = 2π · r : T
2. v = 2π · 3 m : 8 s
3. v ≈ 2,36 m/s
Ergebnis:
2,36 m/s
●18
Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 300 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (20 m/s)² : 300 m = 400 m²/s² : 300 m
3. a_r ≈ 1,33 m/s²
Ergebnis:
1,33 m/s²
●19
Eine Murmel rollt durch eine halbkreisförmige Rinne auf einem Tisch und verlässt sie am Ende. Wie rollt sie weiter?
Lösung zeigen
1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
3. Also: geradeaus in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hatte
Ergebnis:
geradeaus in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hatte
●20
Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 75 kg bewegt sich mit 8 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 75 kg · (8 m/s)² : 15 m
3. F_r ≈ 320 N
Ergebnis:
320 N
●21
Durch eine Kurve fährt ein Zug mit der Radialkraft F_r = 3,6 kN. Wie groß ist sie bei gleichem Tempo, wenn die Masse dreimal so groß ist? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. F_r = m · v² : r, die Masse steht einfach im Zähler.
2. 3-fache Masse heißt 3-fache Kraft.
3. F_r = 3 · 3,6 kN = 10,8 kN
Ergebnis:
10,8 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen: Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung: Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft: Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?: Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik: Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht

m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N

So richtig

F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht

Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.

So richtig

Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.
22
Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,05 1/s
Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.
23
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
4,27 m/s²
Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.
24
Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
7500 N
Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.
25
Ein Hammerwerfer dreht den Hammer an einem Seil. Welche Kraft hält den Hammer auf dem Kreis?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.
26
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
Ergebnis:
232 m/s
Ich bereite die Klausur vor.
27
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,26 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

1,26 1/s
1,57 1/s
126 1/s
8 m/s²
2,4 m/s²
10,4 m/s²
210 N
1500 N
533 N
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.
401 m/s
232 m/s
385 m/s
1,26 1/s
2,36 m/s
1,33 m/s²
geradeaus in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hatte
320 N
10,8 kN
1,05 1/s
4,27 m/s²
7500 N
die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
232 m/s
1,26 1/s