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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Kreisbewegungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 120 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
T = 120 sω = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 120 s
  3. ω ≈ 0,0524 1/s
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 120 s
  3. ω ≈ 0,0524 1/s
Ergebnis:
0,0524 1/s

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 6 sω = ?
    So fängst du an:
    Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 6 s
    3. ω ≈ 1,05 1/s
    Ergebnis:
    1,05 1/s
  2. ●2
    Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 8 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 8 s
    3. ω ≈ 0,785 1/s
    Ergebnis:
    0,785 1/s
  3. ★3
    Ein Motor dreht sich gleichmäßig mit 1500 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    1500 Umdrehungen je Minuteω = ?
    Lösung zeigen
    1. Drehzahl je Sekunde: f = 1500 : 60 s = 25 1/s
    2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
    3. ω = 2π · 25 1/s
    4. ω ≈ 157 1/s
    Ergebnis:
    157 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 400 m, gleichmäßig mit 25 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
r = 400 mv = 25 m/sa_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (25 m/s)² : 400 m = 625 m²/s² : 400 m
  3. a_r ≈ 1,56 m/s²
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (25 m/s)² : 400 m = 625 m²/s² : 400 m
  3. a_r ≈ 1,56 m/s²
Ergebnis:
1,56 m/s²

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 40 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 40 mv = 12 m/sa_r = ?
    So fängst du an:
    Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (12 m/s)² : 40 m = 144 m²/s² : 40 m
    3. a_r ≈ 3,6 m/s²
    Ergebnis:
    3,6 m/s²
  2. ●5
    Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 80 mv = 20 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (20 m/s)² : 80 m = 400 m²/s² : 80 m
    3. a_r ≈ 5 m/s²
    Ergebnis:
    5 m/s²
  3. ★6
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 500 m, gleichmäßig mit 180 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
    r = 500 mv = 180 km/ha_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: v = 180 km/h : 3,6 ≈ 50 m/s
    2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
    3. a_r = (50 m/s)² : 500 m
    4. a_r ≈ 5 m/s², zur Mitte der Kurve
    Ergebnis:
    5 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
r = 15 mv = 15 m/sF_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 400 kg · (15 m/s)² : 15 m
  3. F_r ≈ 6000 N
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 400 kg · (15 m/s)² : 15 m
  3. F_r ≈ 6000 N
Ergebnis:
6000 N

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Auto der Masse 1500 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 30 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 30 mv = 10 m/sF_r = ?
    So fängst du an:
    Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 1500 kg · (10 m/s)² : 30 m
    3. F_r ≈ 5000 N
    Ergebnis:
    5000 N
  2. ●8
    Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 250 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 25 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 25 mv = 10 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 250 kg · (10 m/s)² : 25 m
    3. F_r ≈ 1000 N
    Ergebnis:
    1000 N
  3. ★9
    Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 4 kg auf einem Kreis mit r = 2 m, 1,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
    r = 2 m1,5 Umdrehungen je SekundeF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. ω = 2π · f = 2π · 1,5 1/s ≈ 9,42 1/s
    2. F_r = m · ω² · r
    3. F_r = 4 kg · (9,42 1/s)² · 2 m
    4. F_r ≈ 711 N
    Ergebnis:
    711 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Die Erde läuft auf einer fast kreisförmigen Bahn um die Sonne. Welche Kraft hält sie auf dieser Bahn?
zur MitteErde von obenF_r kommt woher?
Schritt für Schritt
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Gravitationskraft der Sonne
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Gravitationskraft der Sonne
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Sonne

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht
sin(30) im Modus RAD → −0,988
So richtig
sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Wäsche kreist in der Trommel einer Waschmaschine. Welche Kraft hält sie auf der Kreisbahn?
    zur MitteTrommel von obenF_r kommt woher?
    So fängst du an:
    Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
    Ergebnis:
    die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
  2. ●11
    Ein Güterzug fährt durch einen Gleisbogen. Welche Kraft lenkt ihn auf die Kreisbahn?
    zur MitteGüterzug von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
    Ergebnis:
    die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
  3. ★12
    Ein Auto fährt unten durch eine Senke, die wie ein Kreisbogen geformt ist. Was gilt dort für die Kraft der Fahrbahn?
    F_GF_KetteF_rαF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
    3. Also: Sie ist größer als die Gewichtskraft, um die Radialkraft.
    Ergebnis:
    Sie ist größer als die Gewichtskraft, um die Radialkraft.

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
r = ?r = 6371 kmv = ?
Schritt für Schritt
  1. r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
  1. r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
Ergebnis:
463 m/s

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Madrid auf einem Kreis mit r = 4850 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 4850 kmv = ?
    So fängst du an:
    r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    Lösung zeigen
    1. r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 353 m/s
    Ergebnis:
    353 m/s
  2. ●14
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 4740 kmv = ?
    Lösung zeigen
    1. r = 4740 km = 4.740.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 4.740.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 345 m/s
    Ergebnis:
    345 m/s
  3. ★15
    Kairo liegt auf etwa 30° nördlicher Breite. Wie schnell bewegt sich die Stadt durch die Erddrehung? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
    r = ?φ = 30°v = ?
    Lösung zeigen
    1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 30° ≈ 5520 km
    2. T = 24 h = 86.400 s
    3. v = 2π · r : T = 2π · 5520 km : 86.400 s
    4. v ≈ 401 m/s
    Ergebnis:
    401 m/s

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ein Kettenkarussell hat einen Radius von 7 m und braucht für eine Umdrehung 7 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
    r = 7 mT = 7 sv = ?
    Lösung zeigen
    1. v = 2π · r : T
    2. v = 2π · 7 m : 7 s
    3. v ≈ 6,28 m/s
    Ergebnis:
    6,28 m/s
  2. ●17
    Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 40 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 80 mv = 40 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (40 m/s)² : 80 m = 1600 m²/s² : 80 m
    3. a_r ≈ 20 m/s²
    Ergebnis:
    20 m/s²
  3. ●18
    Eine Tasche liegt auf dem Armaturenbrett. Das Auto fährt in eine Kurve. Wohin rutscht sie, von der Straße aus gesehen?
    Tasche?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
    2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
    3. Also: geradeaus weiter, während das Auto in die Kurve abbiegt
    Ergebnis:
    geradeaus weiter, während das Auto in die Kurve abbiegt
  4. ●19
    Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 250 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 30 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 30 mv = 15 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 250 kg · (15 m/s)² : 30 m
    3. F_r ≈ 1880 N
    Ergebnis:
    1880 N
  5. ●20
    Durch eine Kurve fährt ein Zug mit der Radialkraft F_r = 2 kN. Wie groß ist sie bei doppelt so großer Geschwindigkeit in derselben Kurve? Berechne mit Einheit.
    vorher F_r = 2 kNF_r neu = ?
    Lösung zeigen
    1. F_r = m · v² : r, die Geschwindigkeit steht im Quadrat.
    2. doppelt so schnell heißt 2² = 4-mal so viel Kraft.
    3. F_r = 4 · 2 kN = 8 kN
    Ergebnis:
    8 kN
  6. ●21
    Ein Kind wird an den Armen im Kreis herumgeschleudert. Welche Kraft hält es auf dem Kreis?
    zur MitteKind von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
    Ergebnis:
    die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen
Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung
Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft
Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?
Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik
Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht
m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N
So richtig
F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht
Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.
So richtig
Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

    22
    Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 3 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 3 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,09 1/s

  2. Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

    23
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 300 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 300 mv = 20 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,33 m/s²

  3. Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

    24
    Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 80 kg bewegt sich mit 8 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 10 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 10 mv = 8 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    512 N

  4. Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

    25
    Der Mond umkreist die Erde. Welche Kraft wirkt als Radialkraft?
    zur MitteMond von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Gravitationskraft der Erde

  5. Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

    26
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 3190 kmv = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232 m/s

  6. Ich bereite die Klausur vor.

    27
    Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 240 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 240 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,0262 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

  1. 1,05 1/s
  2. 0,785 1/s
  3. 157 1/s
  4. 3,6 m/s²
  5. 5 m/s²
  6. 5 m/s²
  7. 5000 N
  8. 1000 N
  9. 711 N
  10. die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
  11. die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
  12. Sie ist größer als die Gewichtskraft, um die Radialkraft.
  13. 353 m/s
  14. 345 m/s
  15. 401 m/s
  16. 6,28 m/s
  17. 20 m/s²
  18. geradeaus weiter, während das Auto in die Kurve abbiegt
  19. 1880 N
  20. 8 kN
  21. die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
  22. 2,09 1/s
  23. 1,33 m/s²
  24. 512 N
  25. die Gravitationskraft der Erde
  26. 232 m/s
  27. 0,0262 1/s