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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Kreisbewegungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
T = 6 sω = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 6 s
  3. ω ≈ 1,05 1/s
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 6 s
  3. ω ≈ 1,05 1/s
Ergebnis:
1,05 1/s

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 7 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 7 sω = ?
    So fängst du an:
    Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 7 s
    3. ω ≈ 0,898 1/s
    Ergebnis:
    0,898 1/s
  2. ●2
    Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 5 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 5 s
    3. ω ≈ 1,26 1/s
    Ergebnis:
    1,26 1/s
  3. ★3
    Eine Bohrmaschine dreht sich gleichmäßig mit 1500 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    1500 Umdrehungen je Minuteω = ?
    Lösung zeigen
    1. Drehzahl je Sekunde: f = 1500 : 60 s = 25 1/s
    2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
    3. ω = 2π · 25 1/s
    4. ω ≈ 157 1/s
    Ergebnis:
    157 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 50 m, gleichmäßig mit 50 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
r = 50 mv = 50 m/sa_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (50 m/s)² : 50 m = 2500 m²/s² : 50 m
  3. a_r ≈ 50 m/s²
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (50 m/s)² : 50 m = 2500 m²/s² : 50 m
  3. a_r ≈ 50 m/s²
Ergebnis:
50 m/s²

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 4 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 10 mv = 4 m/sa_r = ?
    So fängst du an:
    Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (4 m/s)² : 10 m = 16 m²/s² : 10 m
    3. a_r ≈ 1,6 m/s²
    Ergebnis:
    1,6 m/s²
  2. ●5
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 400 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 400 mv = 20 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (20 m/s)² : 400 m = 400 m²/s² : 400 m
    3. a_r ≈ 1 m/s²
    Ergebnis:
    1 m/s²
  3. ★6
    Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 45 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
    r = 12 mv = 45 km/ha_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: v = 45 km/h : 3,6 ≈ 12,5 m/s
    2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
    3. a_r = (12,5 m/s)² : 12 m
    4. a_r ≈ 13 m/s², zur Mitte der Kurve
    Ergebnis:
    13 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Auto der Masse 1500 kg bewegt sich mit 20 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 40 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
r = 40 mv = 20 m/sF_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 1500 kg · (20 m/s)² : 40 m
  3. F_r ≈ 15.000 N
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 1500 kg · (20 m/s)² : 40 m
  3. F_r ≈ 15.000 N
Ergebnis:
15.000 N

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Kind auf einem Karussell der Masse 50 kg bewegt sich mit 2 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 2 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 2 mv = 2 m/sF_r = ?
    So fängst du an:
    Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 50 kg · (2 m/s)² : 2 m
    3. F_r ≈ 100 N
    Ergebnis:
    100 N
  2. ●8
    Ein Auto der Masse 800 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 40 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 40 mv = 10 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 800 kg · (10 m/s)² : 40 m
    3. F_r ≈ 2000 N
    Ergebnis:
    2000 N
  3. ★9
    Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 7,26 kg auf einem Kreis mit r = 1,6 m, 2,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
    r = 1,6 m2,5 Umdrehungen je SekundeF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. ω = 2π · f = 2π · 2,5 1/s ≈ 15,7 1/s
    2. F_r = m · ω² · r
    3. F_r = 7,26 kg · (15,7 1/s)² · 1,6 m
    4. F_r ≈ 2870 N
    Ergebnis:
    2870 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Satellit kreist um die Erde. Was ist die Radialkraft?
zur MitteSatellit von obenF_r kommt woher?
Schritt für Schritt
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht
sin(30) im Modus RAD → −0,988
So richtig
sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Der Mond umkreist die Erde. Welche Kraft wirkt als Radialkraft?
    zur MitteMond von obenF_r kommt woher?
    So fängst du an:
    Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Gravitationskraft der Erde
    Ergebnis:
    die Gravitationskraft der Erde
  2. ●11
    Die Erde läuft auf einer fast kreisförmigen Bahn um die Sonne. Welche Kraft hält sie auf dieser Bahn?
    zur MitteErde von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Gravitationskraft der Sonne
    Ergebnis:
    die Gravitationskraft der Sonne
  3. ★12
    Ein Flugzeug fliegt eine waagerechte Kurve. Woher kommt die Radialkraft?
    F_GF_KetteF_rαF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
    3. Also: aus der Auftriebskraft, die durch die Schräglage eine Komponente zur Mitte hat
    Ergebnis:
    aus der Auftriebskraft, die durch die Schräglage eine Komponente zur Mitte hat

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Kairo auf einem Kreis mit r = 5520 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
r = ?r = 5520 kmv = ?
Schritt für Schritt
  1. r = 5520 km = 5.520.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 5.520.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 401 m/s
  1. r = 5520 km = 5.520.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 5.520.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 401 m/s
Ergebnis:
401 m/s

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 6371 kmv = ?
    So fängst du an:
    r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    Lösung zeigen
    1. r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 463 m/s
    Ergebnis:
    463 m/s
  2. ●14
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 6370 kmv = ?
    Lösung zeigen
    1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 463 m/s
    Ergebnis:
    463 m/s
  3. ★15
    Reykjavík liegt auf etwa 64,1° nördlicher Breite. Wie schnell bewegt sich die Stadt durch die Erddrehung? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
    r = ?φ = 64,1°v = ?
    Lösung zeigen
    1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 64,1° ≈ 2780 km
    2. T = 24 h = 86.400 s
    3. v = 2π · r : T = 2π · 2780 km : 86.400 s
    4. v ≈ 202 m/s
    Ergebnis:
    202 m/s

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 10 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 10 s
    3. ω ≈ 0,628 1/s
    Ergebnis:
    0,628 1/s
  2. ●17
    Ein Karussell hat einen Radius von 4 m und braucht für eine Umdrehung 4 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
    r = 4 mT = 4 sv = ?
    Lösung zeigen
    1. v = 2π · r : T
    2. v = 2π · 4 m : 4 s
    3. v ≈ 6,28 m/s
    Ergebnis:
    6,28 m/s
  3. ●18
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 800 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 800 mv = 20 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (20 m/s)² : 800 m = 400 m²/s² : 800 m
    3. a_r ≈ 0,5 m/s²
    Ergebnis:
    0,5 m/s²
  4. ●19
    Ein Tennisball kreist an einer Schnur waagerecht über dem Kopf. Die Schnur reißt. Wie fliegt er von oben gesehen weiter?
    Tennisball?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
    2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
    3. Also: geradeaus entlang der Tangente an der Stelle des Risses
    Ergebnis:
    geradeaus entlang der Tangente an der Stelle des Risses
  5. ●20
    Ein Auto der Masse 1000 kg bewegt sich mit 20 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 80 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 80 mv = 20 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 1000 kg · (20 m/s)² : 80 m
    3. F_r ≈ 5000 N
    Ergebnis:
    5000 N
  6. ●21
    Durch eine Kurve fährt eine Radfahrerin mit der Radialkraft F_r = 2,4 kN. Wie groß ist sie bei gleicher Geschwindigkeit in einer Kurve mit vierfachem Radius? Berechne mit Einheit.
    vorher F_r = 2,4 kNF_r neu = ?
    Lösung zeigen
    1. F_r = m · v² : r, bei gleichem v steht der Radius unter dem Bruchstrich.
    2. 4-facher Radius heißt ein Viertel der Kraft.
    3. F_r = 2,4 kN : 4 = 0,6 kN
    Ergebnis:
    0,6 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen
Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung
Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft
Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?
Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik
Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht
m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N
So richtig
F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht
Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.
So richtig
Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

    22
    Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 4 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 4 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,57 1/s

  2. Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

    23
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 800 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 800 mv = 20 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,5 m/s²

  3. Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

    24
    Ein Kind auf einem Karussell der Masse 50 kg bewegt sich mit 3 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 2 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 2 mv = 3 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    225 N

  4. Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

    25
    Wäsche kreist in der Trommel einer Waschmaschine. Welche Kraft hält sie auf der Kreisbahn?
    zur MitteTrommel von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt

  5. Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

    26
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 3190 kmv = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232 m/s

  6. Ich bereite die Klausur vor.

    27
    Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 6 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,05 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

  1. 0,898 1/s
  2. 1,26 1/s
  3. 157 1/s
  4. 1,6 m/s²
  5. 1 m/s²
  6. 13 m/s²
  7. 100 N
  8. 2000 N
  9. 2870 N
  10. die Gravitationskraft der Erde
  11. die Gravitationskraft der Sonne
  12. aus der Auftriebskraft, die durch die Schräglage eine Komponente zur Mitte hat
  13. 463 m/s
  14. 463 m/s
  15. 202 m/s
  16. 0,628 1/s
  17. 6,28 m/s
  18. 0,5 m/s²
  19. geradeaus entlang der Tangente an der Stelle des Risses
  20. 5000 N
  21. 0,6 kN
  22. 1,57 1/s
  23. 0,5 m/s²
  24. 225 N
  25. die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
  26. 232 m/s
  27. 1,05 1/s