Physik · Klasse 11 · Kapitel

Physik Einführungsphase: Messen, Messunsicherheit und Auswertung

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○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

MerkenZwei Arten von Abweichung

Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.

Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben, Mitteln hilft nicht. Zufällig heißt: Streuung nach beiden Seiten, Mitteln hilft.

BeispielSystematisch oder zufällig?

Messreihe 5: Die Zählrate einer Probe schwankt von Messung zu Messung. Welche Art von Abweichung entsteht?

Schritt für Schritt

Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
Also: eine zufällige Messabweichung

Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
Also: eine zufällige Messabweichung

Ergebnis:

eine zufällige Messabweichung

AchtungSystematische und zufällige Abweichung verwechselt

So nicht

Waage zeigt ohne Last 2 g: zufällige Abweichung

So richtig

jedes Mal 2 g zu viel → systematisch; mal mehr, mal weniger → zufällig

Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben. Zufällig heißt: mal darüber, mal darunter.

ÜbenJetzt du

○1
Messreihe 3: Die Zählrate einer Probe schwankt von Messung zu Messung. Welche Art von Abweichung entsteht?
So fängst du an:
Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
Lösung zeigen
1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
3. Also: eine zufällige Messabweichung
Ergebnis:
eine zufällige Messabweichung
●2
Messreihe 3: Die Waage zeigt ohne Last schon 2 g an. Welche Art von Abweichung entsteht?
Lösung zeigen
1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
3. Also: eine systematische Messabweichung
Ergebnis:
eine systematische Messabweichung
★3
Messreihe 9: Die Anzeige schwankt, man liest mal einen höheren, mal einen tieferen Wert ab. Was verringert diese Abweichung am besten?
Lösung zeigen
1. Art der Abweichung: eine zufällige Messabweichung.
2. Sie streut nach beiden Seiten, im Mittelwert gleicht sie sich aus.
3. Also: viele Messungen und ihr Mittelwert
Ergebnis:
viele Messungen und ihr Mittelwert

2Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

MerkenAbsolut und relativ

Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.

Die relative Abweichung ist dieser Unterschied geteilt durch den Vergleichswert, meist in Prozent.

BeispielAbsolute Abweichung

Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 2,13 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.

Schritt für Schritt

absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
2,13 − 2,01 = 0,12
Die absolute Abweichung beträgt 0,12 s.

absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
2,13 − 2,01 = 0,12
Die absolute Abweichung beträgt 0,12 s.

Ergebnis:

0,12 s

AchtungAbsolute und relative Abweichung verwechselt

So nicht

Tisch 2 m ± 1 cm, Münze 2 cm ± 1 mm: Die Münze ist genauer gemessen.

So richtig

Tisch: 1 cm : 200 cm = 0,5 %, Münze: 1 mm : 20 mm = 5 % → der Tisch ist genauer

Die relative Abweichung ist die absolute Abweichung geteilt durch den Vergleichswert. Erst sie sagt, wie genau gemessen wurde.

ÜbenJetzt du

○4
Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,47 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
So fängst du an:
absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
Lösung zeigen
1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
2. 0,49 − 0,47 = 0,02
3. Die absolute Abweichung beträgt 0,02 s.
Ergebnis:
0,02 s
●5
Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 1,91 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
Lösung zeigen
1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
2. 2,01 − 1,91 = 0,1
3. Die absolute Abweichung beträgt 0,10 s.
Ergebnis:
0,1 s
★6
Vier Messungen für die Fallbeschleunigung in m/s²: 10,50; 10,29; 10,65; 10,22. Vergleichswert 9,81 m/s². Bestimme die absolute Abweichung des Mittelwerts.
Lösung zeigen
1. Erst den Mittelwert der vier Messungen bilden, dann seinen Abstand zum Vergleichswert.
2. Mittelwert: (10,5 + 10,29 + 10,65 + 10,22) : 4 = 10,41
3. |10,41 − 9,81| m/s² ≈ 0,6 m/s²
Ergebnis:
0,6 m/s²

3Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

MerkenMittelwert und Standardabweichung

Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.

Die Standardabweichung misst die Streuung: Abweichungen quadrieren, addieren, durch n − 1 teilen, Wurzel ziehen.

BeispielMittelwert einer Messreihe

Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 1,93; 2,06; 2,01; 2,10; 1,98. Bestimme den Mittelwert.

Schritt für Schritt

Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
Summe aller fünf Werte: 10,08 s
Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,016 s

Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
Summe aller fünf Werte: 10,08 s
Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,016 s

Ergebnis:

2,016 s

AchtungDurch die falsche Anzahl geteilt

So nicht

4 Werte: s = √(Summe : 4)

So richtig

4 Werte: s = √(Summe : 3), durch n − 1

Beim Mittelwert teilst du durch die Zahl der Werte. Bei der Standardabweichung einer Messreihe teilst du durch n − 1.

ÜbenJetzt du

○7
Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,07; 2,01; 1,97; 2,04; 1,95. Bestimme den Mittelwert.
So fängst du an:
Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
Lösung zeigen
1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
2. Summe aller fünf Werte: 10,04 s
3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,008 s
Ergebnis:
2,008 s
●8
Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,52; 0,54; 0,46; 0,49; 0,47. Bestimme den Mittelwert.
Lösung zeigen
1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
2. Summe aller fünf Werte: 2,48 s
3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 0,496 s
Ergebnis:
0,496 s
★9
Sechs Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,08; 2,01; 1,97; 2,05; 1,94; 1,21. Der 6. Wert wurde laut Protokoll falsch abgelesen. Bilde den Mittelwert der übrigen.
Lösung zeigen
1. Ohne den 6. Wert bleiben fünf Messungen.
2. Summe der fünf übrigen Werte: 10,05 s
3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,01 s
Ergebnis:
2,01 s

4Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

MerkenWert und Unsicherheit

Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².

Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Verträglich ist es, wenn der Vergleichswert im Bereich liegt.

BeispielErgebnis mit Unsicherheit angeben

Für die Dichte von Aluminium ergibt die Auswertung den Mittelwert 2,7106 g/cm³ und die Unsicherheit 0,07 g/cm³. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.

Schritt für Schritt

Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,07 g/cm³ legt die letzte Stelle fest.
Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 2,7106 → 2,71
Also: (2,71 ± 0,07) g/cm³

Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,07 g/cm³ legt die letzte Stelle fest.
Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 2,7106 → 2,71
Also: (2,71 ± 0,07) g/cm³

Ergebnis:

(2,71 ± 0,07) g/cm³

AchtungUnpassend viele Ziffern im Ergebnis

So nicht

g = (9,8137 ± 0,3) m/s²

So richtig

g = (9,8 ± 0,3) m/s²

Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Ziffern dahinter täuschen eine Genauigkeit vor, die es nicht gibt.

ÜbenJetzt du

○10
Für die Fallbeschleunigung ergibt die Auswertung den Mittelwert 9,910 m/s² und die Unsicherheit 0,2 m/s². Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
So fängst du an:
Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 m/s² legt die letzte Stelle fest.
Lösung zeigen
1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 m/s² legt die letzte Stelle fest.
2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 9,910 → 9,9
3. Also: (9,9 ± 0,2) m/s²
Ergebnis:
(9,9 ± 0,2) m/s²
●11
Für die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C ergibt die Auswertung den Mittelwert 346,14 m/s und die Unsicherheit 8 m/s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
Lösung zeigen
1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 8 m/s legt die letzte Stelle fest.
2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 346,14 → 346
3. Also: (346 ± 8) m/s
Ergebnis:
(346 ± 8) m/s
★12
Für die Dichte von Aluminium ergibt die Auswertung den Mittelwert 2,7146 g/cm³ und die Unsicherheit 0,0385 g/cm³. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
Lösung zeigen
1. Die Unsicherheit auf eine gültige Ziffer runden: 0,0385 → 0,04 g/cm³
2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 2,7146 → 2,71
3. Also: (2,71 ± 0,04) g/cm³
Ergebnis:
(2,71 ± 0,04) g/cm³

5Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

MerkenAusgleichsgerade

Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.

Ihre Steigung ist eine Messgröße, etwa der Widerstand im U-I-Diagramm. Vorhersagen kommen von der Geraden, nicht von einem einzelnen Punkt.

BeispielSteigung der Ausgleichsgeraden

Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (8 s | 12 m). Ein Messpunkt: (6 s | 9,45 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.

Schritt für Schritt

Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
12 : 8 = 1,5
Geschwindigkeit: 1,5 m/s

Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
12 : 8 = 1,5
Geschwindigkeit: 1,5 m/s

Ergebnis:

1,5 m/s

AchtungEin Messpunkt statt der ganzen Messreihe

So nicht

Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 6,1 V : 0,25 A = 24,4 Ω

So richtig

Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 9,2 V : 0,40 A = 23 Ω

Ein einzelner Messwert streut. Die Ausgleichsgerade oder der Mittelwert fassen alle Werte zusammen – nimm sie.

ÜbenJetzt du

○13
Im m-V-Diagramm eines Stoffs geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (40 cm³ | 32 g). Ein Messpunkt: (30 cm³ | 25,2 g). Bestimme die Dichte aus der Geraden.
So fängst du an:
Die Steigung der Geraden ist m : V, in g je cm³.
Lösung zeigen
1. Die Steigung der Geraden ist m : V, in g je cm³.
2. 32 : 40 = 0,8
3. Dichte: 0,8 g/cm³
Ergebnis:
0,8 g/cm³
●14
Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (5 s | 12,5 m). Ein Messpunkt: (2,5 s | 5,94 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.
Lösung zeigen
1. Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
2. 12,5 : 5 = 2,5
3. Geschwindigkeit: 2,5 m/s
Ergebnis:
2,5 m/s
★15
Die Ausgleichsgerade für einen Metallwiderstand geht durch (20 °C | 100 Ω) und (90 °C | 128 Ω). Bestimme ihre Steigung in Ω/K.
Lösung zeigen
1. Steigung = ΔR : Δϑ, aus zwei Punkten der Geraden
2. ΔR = 128 Ω − 100 Ω = 28 Ω, Δϑ = 70 K
3. Steigung = 28 Ω : 70 K ≈ 0,4 Ω/K
Ergebnis:
0,4 Ω/K

6Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

MerkenLinearisieren

Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.

Beim freien Fall trägt man s über t² auf, beim Pendel T² über l. Aus der Steigung folgt die gesuchte Größe.

BeispielLinearisieren

Für eine Feder gilt E = ½ · D · s². Eine Gruppe misst 14 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?

Schritt für Schritt

Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ s².
Also: E über s²

Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ s².
Also: E über s²

Ergebnis:

E über s²

AchtungFalsch linearisiert

So nicht

freier Fall: s über t auftragen, Gerade erwartet

So richtig

s = ½ · g · t² → s über t² ergibt eine Ursprungsgerade

Trag die Größe auf, zu der die andere proportional ist – mit Quadrat, Wurzel oder Kehrwert, wie es im Gesetz steht.

ÜbenJetzt du

○16
Für den freien Fall aus der Ruhe gilt s = ½ · g · t². Eine Gruppe misst 6 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
So fängst du an:
Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
Lösung zeigen
1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: s ~ t².
3. Also: s über t²
Ergebnis:
s über t²
●17
Für die Radialkraft bei festem m und r gilt F = m · v² : r. Eine Gruppe misst 7 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
Lösung zeigen
1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: F ~ v².
3. Also: F über v²
Ergebnis:
F über v²
★18
Für den freien Fall aus der Ruhe gilt s = ½ · g · t². Die Auftragung s über t² von 11 Wertepaaren ergibt eine Ursprungsgerade. Was gibt ihre Steigung an?
Lösung zeigen
1. Schreib das Gesetz als y = Steigung · x mit der Auftragung s über t².
2. Alles, was vor der aufgetragenen x-Größe steht, ist die Steigung.
3. Steigung = ½ · g
Ergebnis:
½ · g

7Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

MerkenMessen mit Sensoren

Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

Deshalb erst abgleichen und mit einer einfachen Messung vergleichen, dann der Anzeige trauen.

BeispielAbtastrate eines Sensors

Ein Drucksensor misst mit 200 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).

Schritt für Schritt

Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
1000 : 200 = 5
Δt = 5 ms

Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
1000 : 200 = 5
Δt = 5 ms

Ergebnis:

5 ms

AchtungFrequenz und Periodendauer nicht als Kehrwert

So nicht

T = 0,02 s, also f = 0,02 Hz

So richtig

f = 1 : 0,02 s = 50 Hz

Frequenz und Periodendauer sind Kehrwerte: f = 1 : T. Eine kurze Schwingung heißt viele Schwingungen in jeder Sekunde.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Lichtsensor misst mit 100 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
So fängst du an:
Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
Lösung zeigen
1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
2. 1000 : 100 = 10
3. Δt = 10 ms
Ergebnis:
10 ms
●20
Ein Drucksensor misst mit 25 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
Lösung zeigen
1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
2. 1000 : 25 = 40
3. Δt = 40 ms
Ergebnis:
40 ms
★21
Ein Kraftsensor misst mit 250 Hz. Ein Stoß dauert 0,04 s. Wie viele Messwerte fallen etwa in den Stoß? Berechne.
Lösung zeigen
1. In einer Sekunde liefert der Sensor 250 Werte.
2. 250 · 0,04 = 10
3. Etwa 10 Messwerte fallen in den Stoß.
Ergebnis:
10 Messwerte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●22
Messreihe 7: Die Anzeige schwankt, man liest mal einen höheren, mal einen tieferen Wert ab. Welche Art von Abweichung entsteht?
Lösung zeigen
1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
3. Also: eine zufällige Messabweichung
Ergebnis:
eine zufällige Messabweichung
●23
Gemessen wurde die Dichte von Aluminium in g/cm³: 2,74; 2,66; 2,79; 2,61; 2,70. Vergleichswert: 2,7 g/cm³. Was zeigt die Messreihe vor allem?
Lösung zeigen
1. Vergleiche jeden Wert mit 2,7 g/cm³: größer oder kleiner?
2. Einige Werte liegen darüber, andere darunter.
3. Also: zufällige Abweichungen: Die Werte streuen um den Vergleichswert.
Ergebnis:
zufällige Abweichungen: Die Werte streuen um den Vergleichswert.
●24
Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 2,09 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
Lösung zeigen
1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
2. 2,09 − 2,01 = 0,08
3. Die absolute Abweichung beträgt 0,08 s.
Ergebnis:
0,08 s
●25
Gemessen: die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C mit 346 m/s. Vergleichswert 343 m/s. Bestimme die relative Abweichung in Prozent.
Lösung zeigen
1. absolute Abweichung: |346 − 343| m/s = 3 m/s
2. relative Abweichung = absolute Abweichung : Vergleichswert
3. 3 : 343 ≈ 0,0087 = 0,87 %
Ergebnis:
0,87 %
●26
Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,01; 2,09; 1,98; 1,96; 2,06. Bestimme den Mittelwert.
Lösung zeigen
1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
2. Summe aller fünf Werte: 10,1 s
3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,02 s
Ergebnis:
2,02 s
●27
Vier Messungen für die spezifische Wärmekapazität von Wasser in kJ/(kg·K): 4,24; 4,32; 4,05; 4,19. Bestimme die Standardabweichung.
Lösung zeigen
1. Mittelwert: 4,2 kJ/(kg·K)
2. Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert ≈ 0,0386
3. s = √Summe : (n − 1) = √0,0386 : 3 ≈ 0,11 kJ/(kg·K)
Ergebnis:
0,11 kJ/(kg·K)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zwei Arten von Abweichung: Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.
Absolut und relativ: Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.
Mittelwert und Standardabweichung: Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.
Wert und Unsicherheit: Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².
Ausgleichsgerade: Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.
Linearisieren: Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.
Messen mit Sensoren: Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

AchtungMessabweichung als vermeidbarer Fehler

So nicht

Bei sorgfältiger Messung gibt es keine Abweichung.

So richtig

sorgfältige Messung → kleinere Abweichung, nie keine; Ergebnis mit Unsicherheit angeben

Jede Messung weicht ab, auch eine sehr sorgfältige. Man gibt die Abweichung an, statt sie zu verstecken.

AchtungWiederholen gegen jede Abweichung

So nicht

Die Waage zeigt immer 2 g zu viel – zwanzigmal messen und mitteln.

So richtig

jeder Wert 2 g zu viel → Mittelwert auch 2 g zu viel → Nullpunkt korrigieren

Mitteln gleicht nur zufällige Abweichungen aus. Eine systematische Abweichung steckt in jedem Wert und bleibt im Mittelwert.

AchtungSpannweite statt Mittelwert oder Standardabweichung

So nicht

Werte 2,0; 2,2; 2,4: Standardabweichung = 2,4 − 2,0 = 0,4

So richtig

Werte 2,0; 2,2; 2,4: Spannweite 0,4, Standardabweichung = √(0,08 : 2) = 0,2

Größter und kleinster Wert allein reichen nicht. Mittelwert und Standardabweichung nehmen alle Messwerte mit.

AchtungBegründeten Fehlwert mitgemittelt

So nicht

Protokoll: 3. Wert falsch abgelesen – trotzdem mitgemittelt

So richtig

begründeter Ablesefehler → Wert streichen und vermerken, dann mitteln

Ein Wert mit belegtem Ablesefehler gehört nicht in den Mittelwert. Nimm ihn aus der Rechnung und schreib den Grund dazu – ohne Grund bleibt er.

AchtungVerträglichkeit ohne Unsicherheitsbereich beurteilt

So nicht

(9,62 ± 0,05) m/s² und (9,79 ± 0,20) m/s², Vergleichswert 9,81: Das erste ist besser, die Unsicherheit ist kleiner.

So richtig

9,62 ± 0,05 → 9,57 bis 9,67, ohne 9,81; 9,79 ± 0,20 → 9,59 bis 9,99, mit 9,81 → nur das zweite ist verträglich

Verträglich ist ein Ergebnis, wenn der Vergleichswert im Bereich Mittelwert plus minus Unsicherheit liegt. Klein heißt genau, nicht richtig.

AchtungSensor misst ohne Abweichung

So nicht

Sensor in Eiswasser zeigt 1,4 °C – also hat das Wasser 1,4 °C.

So richtig

Sensor in Eiswasser zeigt 1,4 °C, Eiswasser hat 0 °C → Abweichung 1,4 K, Nullpunkt abgleichen

Ein Sensor ist ein Messgerät wie jedes andere. Prüfe ihn am Nullpunkt und vergleiche mit einer einfachen Messung, bevor du seinen Werten glaubst.

AchtungDifferenz vergessen

So nicht

v = 60 m : 8 s (ab null gerechnet)

So richtig

v = (60 m − 20 m) : (8 s − 4 s) = 10 m/s

Für die Steigung zählen die Änderungen: um wie viel der Weg in der Zeitspanne zunimmt. Rechne Endwert minus Anfangswert.

AchtungDie Wurzel vergessen

So nicht

v² = 2 · 10 N/kg · 5 m = 100, also v = 100 m/s

So richtig

v² = 100 m²/s², also v = √(100 m²/s²) = 10 m/s

Du hast v² ausgerechnet, nicht v. Zieh am Ende noch die Wurzel.

AchtungDen Faktor ½ vergessen

So nicht

m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J

So richtig

E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J

In der Formel für die Bewegungsenergie steht ein halb: E = ½ · m · v². Du musst am Ende die Hälfte nehmen.

AchtungAnteil und Prozent verwechselt

So nicht

η = 30 J : 120 J = 0,25 %

So richtig

η = 30 J : 120 J = 0,25 = 25 %

0,25 ist ein Viertel, also 25 Prozent. Zum Umrechnen in Prozent mal 100 nehmen.

AchtungZwischenergebnis als Antwort

So nicht

Gesamtwiderstand gesucht, Antwort: I = 0,5 A

So richtig

erst I = 0,5 A, dann weiter bis zur gesuchten Größe

Das ist ein richtiger Zwischenschritt. Lies noch einmal, was gesucht ist, und rechne weiter.

AchtungGrößen verwechselt

So nicht

Masse = 50 N

So richtig

Masse m = 5 kg, Gewichtskraft F = 50 N

Hier sind zwei Größen vertauscht. Schreib zuerst auf: Gegeben ist …, gesucht ist … – mit Formelzeichen.

AchtungFormel falsch umgestellt

So nicht

V = ρ · m

So richtig

ρ = m : V   | · V   | : ρ   →   V = m : ρ

Stell die Formel wie eine Gleichung um: Auf beiden Seiten dasselbe tun, bis die gesuchte Größe allein steht.

AchtungEinheiten nicht angeglichen

So nicht

p = 200 N : 50 cm² = 4 Pa

So richtig

50 cm² = 0,005 m², p = 200 N : 0,005 m² = 40 000 Pa

Die Angaben passen noch nicht zusammen. Rechne zuerst in die Einheiten der Formel um, dann setz ein.

AchtungUmrechnungszahl falsch

So nicht

2,5 km = 250 m

So richtig

2,5 km = 2,5 · 1000 m = 2500 m

Die Umrechnungszahl stimmt nicht. k heißt 1000, m (milli) heißt ein Tausendstel. Bei cm² sind es 10 000 für einen m².

AchtungEinheit vergessen

So nicht

ρ = 54 : 20 = 2,7

So richtig

ρ = 54 g : 20 cm³ = 2,7 g/cm³

Deine Zahl stimmt – aber eine Größe ist Zahl und Einheit. Schreib die Einheit dazu.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.
28
Messreihe 7: Die Stoppuhr geht pro Minute zwei Sekunden vor. Welche Art von Abweichung entsteht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
eine systematische Messabweichung
Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.
29
Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 2,13 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,12 s
Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.
30
Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,52; 0,53; 0,44; 0,49; 0,47. Bestimme den Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,49 s
Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.
31
Für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck ergibt die Auswertung den Mittelwert 100,822 °C und die Unsicherheit 0,2 °C. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
(100,8 ± 0,2) °C
Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.
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Im m-V-Diagramm eines Stoffs geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (50 cm³ | 135 g). Ein Messpunkt: (37,5 cm³ | 94,16 g). Bestimme die Dichte aus der Geraden.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,7 g/cm³
Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.
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Für die Radialkraft bei festem m und r gilt F = m · v² : r. Eine Gruppe misst 8 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
F über v²
Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.
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Ein Drucksensor misst mit 250 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
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Ergebnis:
4 ms

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Steigung: wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten in Klassen, Lineare Funktionen

Lösungen

eine zufällige Messabweichung
eine systematische Messabweichung
viele Messungen und ihr Mittelwert
0,02 s
0,1 s
0,6 m/s²
2,008 s
0,496 s
2,01 s
(9,9 ± 0,2) m/s²
(346 ± 8) m/s
(2,71 ± 0,04) g/cm³
0,8 g/cm³
2,5 m/s
0,4 Ω/K
s über t²
F über v²
½ · g
10 ms
40 ms
10 Messwerte
eine zufällige Messabweichung
zufällige Abweichungen: Die Werte streuen um den Vergleichswert.
0,08 s
0,87 %
2,02 s
0,11 kJ/(kg·K)
eine systematische Messabweichung
0,12 s
0,49 s
(100,8 ± 0,2) °C
2,7 g/cm³
F über v²
4 ms