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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Physik Einführungsphase: Wurfbewegungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann gleichmäßig beschleunigte Bewegungen mit Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit berechnen.

MerkenBewegung mit Anfangsbedingungen

Mit Anfangsort s₀ und Anfangsgeschwindigkeit v₀ gilt s = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t².

Dazu kommt v = v₀ + a · t, beim Bremsen ist a negativ. Bis zum Stillstand ist der Bremsweg v² : (2 · a).

BeispielBewegung mit Anfangsbedingungen

Ein Motorrad fährt mit v₀ = 12 m/s und beschleunigt dann 3 s lang gleichmäßig mit a = 1 m/s². Welchen Weg legt das Fahrzeug in dieser Zeit zurück?
v₀ = 12 m/sa = 1 m/s²t = 3 s, s = ?
Schritt für Schritt
  1. Weg mit Anfangsgeschwindigkeit: s = v₀ · t + ½ · a · t²
  2. s = 12 m/s · 3 s + ½ · 1 m/s² · (3 s)²
  3. s = 36 m + 4,5 m = 40,5 m
  1. Weg mit Anfangsgeschwindigkeit: s = v₀ · t + ½ · a · t²
  2. s = 12 m/s · 3 s + ½ · 1 m/s² · (3 s)²
  3. s = 36 m + 4,5 m = 40,5 m
Ergebnis:
40,5 m

AchtungAnfangswerte vergessen

So nicht
s₀ = 20 m, v₀ = 4 m/s, a = 1 m/s², t = 2 s: s = ½ · 1 m/s² · (2 s)² = 2 m
So richtig
s = 20 m + 4 m/s · 2 s + ½ · 1 m/s² · (2 s)² = 30 m

Der Körper startet nicht im Stand am Nullpunkt. Anfangsort s₀ und Anfangsgeschwindigkeit v₀ gehören mit in das Gesetz.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Bus fährt mit v₀ = 6 m/s und beschleunigt dann 5 s lang gleichmäßig mit a = 0,8 m/s². Welchen Weg legt das Fahrzeug in dieser Zeit zurück?
    v₀ = 6 m/sa = 0,8 m/s²t = 5 s, s = ?
    So fängst du an:
    Weg mit Anfangsgeschwindigkeit: s = v₀ · t + ½ · a · t²
    Lösung zeigen
    1. Weg mit Anfangsgeschwindigkeit: s = v₀ · t + ½ · a · t²
    2. s = 6 m/s · 5 s + ½ · 0,8 m/s² · (5 s)²
    3. s = 30 m + 10 m = 40 m
    Ergebnis:
    40 m
  2. ●2
    Ein Bus fährt mit v₀ = 12 m/s und beschleunigt dann 5 s lang gleichmäßig mit a = 1 m/s². Welchen Weg legt das Fahrzeug in dieser Zeit zurück?
    v₀ = 12 m/sa = 1 m/s²t = 5 s, s = ?
    Lösung zeigen
    1. Weg mit Anfangsgeschwindigkeit: s = v₀ · t + ½ · a · t²
    2. s = 12 m/s · 5 s + ½ · 1 m/s² · (5 s)²
    3. s = 60 m + 12,5 m = 72,5 m
    Ergebnis:
    72,5 m
  3. ★3
    Ein Elektroroller ist bei s₀ = 40 m, fährt dort mit v₀ = 2 m/s und beschleunigt mit a = 1 m/s². Wo ist das Fahrzeug nach 6 s?
    s₀ = 40 m, v₀ = 2 m/sa = 1 m/s²t = 6 s, s = ?
    Lösung zeigen
    1. Ort mit Anfangsbedingungen: s = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t²
    2. s = 40 m + 2 m/s · 6 s + ½ · 1 m/s² · (6 s)²
    3. s = 40 m + 12 m + 18 m = 70 m
    4. Das Fahrzeug ist dann bei s = 70 m.
    Ergebnis:
    70 m

2Ich kann beim senkrechten Wurf Steigzeit und Steighöhe berechnen.

MerkenSenkrechter Wurf

Der senkrechte Wurf startet mit v₀ und wird ständig mit g nach unten beschleunigt.

Steigzeit t = v₀ : g, Steighöhe h = v₀² : (2 · g). Ohne Luft dauert das Fallen so lang wie das Steigen.

BeispielSenkrechter Wurf: Steigzeit

Ein Stein wird mit v₀ = 25 m/s senkrecht nach oben geworfen. Nach welcher Zeit erreicht er den höchsten Punkt? Rechne mit g = 9,81 m/s².
v₀ = 25 m/st_S = ?höchster Punkt
Schritt für Schritt
  1. Oben ist v = 0 m/s, also t_S = v₀ : g.
  2. t_S = 25 m/s : 9,81 m/s²
  3. t_S ≈ 2,55 s
  1. Oben ist v = 0 m/s, also t_S = v₀ : g.
  2. t_S = 25 m/s : 9,81 m/s²
  3. t_S ≈ 2,55 s
Ergebnis:
2,55 s

AchtungZwischenergebnis als Antwort

So nicht
Gesamtwiderstand gesucht, Antwort: I = 0,5 A
So richtig
erst I = 0,5 A, dann weiter bis zur gesuchten Größe

Das ist ein richtiger Zwischenschritt. Lies noch einmal, was gesucht ist, und rechne weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Volleyball wird mit v₀ = 25 m/s senkrecht nach oben geworfen. Nach welcher Zeit erreicht er den höchsten Punkt? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 25 m/st_S = ?höchster Punkt
    So fängst du an:
    Oben ist v = 0 m/s, also t_S = v₀ : g.
    Lösung zeigen
    1. Oben ist v = 0 m/s, also t_S = v₀ : g.
    2. t_S = 25 m/s : 9,81 m/s²
    3. t_S ≈ 2,55 s
    Ergebnis:
    2,55 s
  2. ●5
    Ein Apfel wird mit v₀ = 8 m/s senkrecht nach oben geworfen. Nach welcher Zeit erreicht er den höchsten Punkt? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 8 m/st_S = ?höchster Punkt
    Lösung zeigen
    1. Oben ist v = 0 m/s, also t_S = v₀ : g.
    2. t_S = 8 m/s : 9,81 m/s²
    3. t_S ≈ 0,815 s
    Ergebnis:
    0,815 s
  3. ★6
    Ein Tennisball wird senkrecht nach oben geworfen und ist nach 2,8 s wieder in der Abwurfhöhe. Mit welcher Geschwindigkeit wurde er abgeworfen? Berechne mit Einheit.
    v₀ = ?t gesamt = 2,8 shöchster Punkt
    Lösung zeigen
    1. Ohne Luftwiderstand dauern Steigen und Fallen gleich lang.
    2. Steigzeit: 2,8 s : 2 = 1,4 s
    3. v₀ = g · t_S = 9,81 m/s² · 1,4 s
    4. v₀ ≈ 13,7 m/s
    Ergebnis:
    13,7 m/s

3Ich kann beim waagerechten Wurf Fallzeit, Wurfweite und Bahnkurve bestimmen.

MerkenWaagerechter Wurf

Waagerecht bewegt sich der Körper gleichförmig mit v₀, senkrecht fällt er frei.

Die Fallzeit t = √(2 · h : g) hängt nur von der Höhe ab. Die Bahn ist die Parabel y = g : (2 · v₀²) · x².

BeispielWaagerechter Wurf: Wurfweite

Eine Stahlkugel rollt mit v₀ = 8 m/s waagerecht von einer Brücke in 7,2 m Höhe. Wie weit von der Kante trifft sie auf? Rechne mit g = 9,81 m/s².
v₀ = 8 m/sh = 7,2 mx = ?
Schritt für Schritt
  1. Senkrecht freier Fall: h = ½ · g · t², also t = √2 · h : g
  2. t = √2 · 7,2 m : 9,81 m/s² ≈ 1,21 s
  3. waagerecht gleichförmig: x = v₀ · t = 8 m/s · 1,21 s
  4. x ≈ 9,69 m
  1. Senkrecht freier Fall: h = ½ · g · t², also t = √2 · h : g
  2. t = √2 · 7,2 m : 9,81 m/s² ≈ 1,21 s
  3. waagerecht gleichförmig: x = v₀ · t = 8 m/s · 1,21 s
  4. x ≈ 9,69 m
Ergebnis:
9,69 m

AchtungDie Wurzel vergessen

So nicht
v² = 2 · 10 N/kg · 5 m = 100, also v = 100 m/s
So richtig
v² = 100 m²/s², also v = √(100 m²/s²) = 10 m/s

Du hast v² ausgerechnet, nicht v. Zieh am Ende noch die Wurzel.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Kugel rollt mit v₀ = 5 m/s waagerecht von einem Felsen in 24,5 m Höhe. Wie weit von der Kante trifft sie auf? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 5 m/sh = 24,5 mx = ?
    So fängst du an:
    Senkrecht freier Fall: h = ½ · g · t², also t = √2 · h : g
    Lösung zeigen
    1. Senkrecht freier Fall: h = ½ · g · t², also t = √2 · h : g
    2. t = √2 · 24,5 m : 9,81 m/s² ≈ 2,23 s
    3. waagerecht gleichförmig: x = v₀ · t = 5 m/s · 2,23 s
    4. x ≈ 11,2 m
    Ergebnis:
    11,2 m
  2. ●8
    Eine Murmel rollt mit v₀ = 4 m/s waagerecht aus einem Fenster in 4,05 m Höhe. Wie weit von der Kante trifft sie auf? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 4 m/sh = 4,05 mx = ?
    Lösung zeigen
    1. Senkrecht freier Fall: h = ½ · g · t², also t = √2 · h : g
    2. t = √2 · 4,05 m : 9,81 m/s² ≈ 0,909 s
    3. waagerecht gleichförmig: x = v₀ · t = 4 m/s · 0,909 s
    4. x ≈ 3,63 m
    Ergebnis:
    3,63 m
  3. ★9
    Ein Wasserstrahl tritt in 1 m Höhe waagerecht aus einer Düse aus und trifft 4 m weiter auf den Boden. Mit welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus? Berechne mit Einheit.
    v₀ = ?h = 1 mx = 4 m
    Lösung zeigen
    1. Die Fallzeit hängt nur von der Höhe ab: t = √2 · h : g
    2. t = √2 · 1 m : 9,81 m/s² ≈ 0,452 s
    3. v₀ = x : t = 4 m : 0,452 s
    4. v₀ ≈ 8,86 m/s
    Ergebnis:
    8,86 m/s

4Ich kann zwei Bewegungen zu einer Bewegung überlagern und eine Geschwindigkeit in Komponenten zerlegen.

MerkenÜberlagerung und Komponenten

Bewegungen in verschiedene Richtungen laufen unabhängig ab und überlagern sich.

Geschwindigkeiten addiert man als Pfeile: im rechten Winkel mit dem Satz des Pythagoras. Komponenten: v_x = v · cos α, v_y = v · sin α.

BeispielÜberlagerung: Boot auf dem Fluss

Ein Schlauchboot quert einen 80 m breiten Fluss, mit 2 m/s relativ zum Wasser senkrecht zum Ufer gerichtet. Das Wasser strömt mit 1,2 m/s. Wie weit wird das Boot abgetrieben?
v_B = 2 m/sv_F = 1,2 m/sb = 80 mAbdrift = ?
Schritt für Schritt
  1. Quer zum Ufer: t = b : v_B, die Strömung ändert daran nichts.
  2. t = 80 m : 2 m/s = 40 s
  3. Abdrift: d = v_F · t = 1,2 m/s · 40 s
  4. d ≈ 48 m
  1. Quer zum Ufer: t = b : v_B, die Strömung ändert daran nichts.
  2. t = 80 m : 2 m/s = 40 s
  3. Abdrift: d = v_F · t = 1,2 m/s · 40 s
  4. d ≈ 48 m
Ergebnis:
48 m

AchtungGeschwindigkeiten als Zahlen addiert

So nicht
3 m/s quer und 4 m/s längs: v = 3 m/s + 4 m/s = 7 m/s
So richtig
im rechten Winkel: v = √((3 m/s)² + (4 m/s)²) = 5 m/s

Geschwindigkeiten sind Pfeile. Im rechten Winkel zueinander addiert man sie mit dem Satz des Pythagoras, nicht als Zahlen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Schlauchboot quert einen 90 m breiten Fluss, mit 2 m/s relativ zum Wasser senkrecht zum Ufer gerichtet. Das Wasser strömt mit 1,5 m/s. Wie weit wird das Boot abgetrieben?
    v_B = 2 m/sv_F = 1,5 m/sb = 90 mAbdrift = ?
    So fängst du an:
    Quer zum Ufer: t = b : v_B, die Strömung ändert daran nichts.
    Lösung zeigen
    1. Quer zum Ufer: t = b : v_B, die Strömung ändert daran nichts.
    2. t = 90 m : 2 m/s = 45 s
    3. Abdrift: d = v_F · t = 1,5 m/s · 45 s
    4. d ≈ 67,5 m
    Ergebnis:
    67,5 m
  2. ●11
    Ein Motorboot quert einen 120 m breiten Fluss, mit 2,5 m/s relativ zum Wasser senkrecht zum Ufer gerichtet. Das Wasser strömt mit 1,2 m/s. Wie weit wird das Boot abgetrieben?
    v_B = 2,5 m/sv_F = 1,2 m/sb = 120 mAbdrift = ?
    Lösung zeigen
    1. Quer zum Ufer: t = b : v_B, die Strömung ändert daran nichts.
    2. t = 120 m : 2,5 m/s = 48 s
    3. Abdrift: d = v_F · t = 1,2 m/s · 48 s
    4. d ≈ 57,6 m
    Ergebnis:
    57,6 m
  3. ★12
    Ein Schlauchboot fährt mit 2 m/s relativ zum Wasser senkrecht zum Ufer. Das Wasser strömt mit 1 m/s. Wie schnell bewegt sich das Boot gegenüber dem Ufer? Berechne mit Einheit.
    v_B = 2 m/sv_F = 1 m/sb = 40 mv gegenüber dem Ufer = ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Bewegungen überlagern sich, und sie stehen senkrecht aufeinander.
    2. v = √v_B² + v_F²
    3. v = √(2 m/s)² + (1 m/s)²
    4. v ≈ 2,24 m/s
    Ergebnis:
    2,24 m/s

5Ich kann beim schiefen Wurf Wurfweite und Scheitelhöhe berechnen.

MerkenSchiefer Wurf

Der schiefe Wurf ist waagerecht gleichförmig und senkrecht ein Wurf nach oben.

Mit v_y = v₀ · sin α ist die Scheitelhöhe h = v_y² : (2 · g). Auf gleicher Höhe ist die Wurfweite w = v₀² · sin(2 · α) : g.

BeispielSchiefer Wurf: Wurfweite und Scheitelhöhe

Eine Baseballspielerin wirft einen Ball mit v₀ = 14 m/s unter α = 70°. Wie weit fliegt er bis zur Landung auf gleicher Höhe? Rechne mit g = 9,81 m/s².
v₀ = 14 m/sα = 70°w = ?
Schritt für Schritt
  1. Wurfweite auf gleicher Höhe: w = v₀² · sin(2 · α) : g
  2. w = (14 m/s)² · sin 140° : 9,81 m/s²
  3. w ≈ 12,8 m
  1. Wurfweite auf gleicher Höhe: w = v₀² · sin(2 · α) : g
  2. w = (14 m/s)² · sin 140° : 9,81 m/s²
  3. w ≈ 12,8 m
Ergebnis:
12,8 m

AchtungDoppelten Winkel vergessen

So nicht
w = v₀² · sin α : g
So richtig
w = v₀² · sin(2 · α) : g, größte Weite bei 45°

In der Wurfweite steht sin(2 · α). Er kommt aus 2 · sin α · cos α, also aus Flugzeit mal waagerechter Geschwindigkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Torwart wirft einen Ball mit v₀ = 20 m/s unter α = 15°. Wie weit fliegt er bis zur Landung auf gleicher Höhe? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 20 m/sα = 15°w = ?
    So fängst du an:
    Wurfweite auf gleicher Höhe: w = v₀² · sin(2 · α) : g
    Lösung zeigen
    1. Wurfweite auf gleicher Höhe: w = v₀² · sin(2 · α) : g
    2. w = (20 m/s)² · sin 30° : 9,81 m/s²
    3. w ≈ 20,4 m
    Ergebnis:
    20,4 m
  2. ●14
    Ein Torwart wirft einen Ball mit v₀ = 15 m/s unter α = 65°. Wie weit fliegt er bis zur Landung auf gleicher Höhe? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 15 m/sα = 65°w = ?
    Lösung zeigen
    1. Wurfweite auf gleicher Höhe: w = v₀² · sin(2 · α) : g
    2. w = (15 m/s)² · sin 130° : 9,81 m/s²
    3. w ≈ 17,6 m
    Ergebnis:
    17,6 m
  3. ★15
    Eine Baseballspielerin wirft einen Ball mit v₀ = 18 m/s unter α = 70°. Wie hoch steigt er über die Abwurfhöhe? Rechne mit g = 9,81 m/s², ohne Luftwiderstand.
    v₀ = 18 m/sα = 70°h = ?
    Lösung zeigen
    1. Für die Höhe zählt nur die senkrechte Komponente: v_y = v₀ · sin α
    2. v_y = 18 m/s · sin 70° ≈ 16,9 m/s
    3. Scheitelhöhe wie beim senkrechten Wurf: h = v_y² : (2 · g)
    4. h ≈ 14,6 m
    Ergebnis:
    14,6 m

6Ich kann die Kräfte beim Wurf benennen, den Luftwiderstand beschreiben und Sensordaten auswerten.

MerkenKräfte, Luft und Messwerte

Nach dem Abwurf wirkt ohne Luft nur die Gewichtskraft, eine Wurfkraft gibt es nicht.

Mit Luftwiderstand wird die Bahn kürzer und unsymmetrisch. Aus Ortsmesswerten erhält man v = Δs : Δt und a = Δv : Δt.

BeispielKräfte beim Wurf und Luftwiderstand

Ein Stein wird von einer Mauer doppelt so schnell waagerecht geworfen. Was passiert mit seiner Fallzeit?
?Stein ohne Luftwiderstand
Schritt für Schritt
  1. Zeichne nur Kräfte, die einen Verursacher haben: Nach dem Abwurf ist das nur die Erde.
  2. Zerlege die Bewegung: waagerecht gleichförmig, senkrecht gleichmäßig beschleunigt.
  3. Also: Sie bleibt gleich, nur die Wurfweite verdoppelt sich.
  1. Zeichne nur Kräfte, die einen Verursacher haben: Nach dem Abwurf ist das nur die Erde.
  2. Zerlege die Bewegung: waagerecht gleichförmig, senkrecht gleichmäßig beschleunigt.
  3. Also: Sie bleibt gleich, nur die Wurfweite verdoppelt sich.
Ergebnis:
Sie bleibt gleich, nur die Wurfweite verdoppelt sich.

AchtungFallzeit hänge von der waagerechten Geschwindigkeit ab

So nicht
doppelt so schnell waagerecht geworfen → doppelt so lange in der Luft
So richtig
Fallzeit t = √(2 · h : g) → hängt nur von der Höhe ab

Die Fallzeit hängt nur von der Höhe ab. Waagerechte und senkrechte Bewegung laufen unabhängig voneinander.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Stein fliegt nach dem Abwurf schräg nach oben. Welche Kraft wirkt auf ihn ohne Luftwiderstand?
    ?Stein ohne Luftwiderstand
    So fängst du an:
    Zeichne nur Kräfte, die einen Verursacher haben: Nach dem Abwurf ist das nur die Erde.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne nur Kräfte, die einen Verursacher haben: Nach dem Abwurf ist das nur die Erde.
    2. Zerlege die Bewegung: waagerecht gleichförmig, senkrecht gleichmäßig beschleunigt.
    3. Also: nur die Gewichtskraft, senkrecht nach unten
    Ergebnis:
    nur die Gewichtskraft, senkrecht nach unten
  2. ●17
    Kugel A fällt senkrecht. Kugel B wird zugleich aus derselben Höhe waagerecht geworfen. Welche Kugel landet zuerst?
    ?Kugel ohne Luftwiderstand
    Lösung zeigen
    1. Zeichne nur Kräfte, die einen Verursacher haben: Nach dem Abwurf ist das nur die Erde.
    2. Zerlege die Bewegung: waagerecht gleichförmig, senkrecht gleichmäßig beschleunigt.
    3. Also: beide zugleich, die Fallzeit hängt nur von der Höhe ab
    Ergebnis:
    beide zugleich, die Fallzeit hängt nur von der Höhe ab
  3. ★18
    Eine Stahlkugel und ein gleich großer Tischtennisball fallen aus 40 m Höhe durch die Luft. Was stimmt?
    ?Stahlkugel mit Luftwiderstand
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte, die einen Verursacher haben: die Erde und die Luft.
    2. Die Luftreibung zeigt gegen die Bewegung und wächst mit der Geschwindigkeit.
    3. Also: Die Stahlkugel, die Luft bremst den leichten Ball stärker.
    Ergebnis:
    Die Stahlkugel, die Luft bremst den leichten Ball stärker.

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Ein Bus fährt mit v₀ = 15 m/s und beschleunigt dann 8 s lang gleichmäßig mit a = 2 m/s². Welchen Weg legt das Fahrzeug in dieser Zeit zurück?
    v₀ = 15 m/sa = 2 m/s²t = 8 s, s = ?
    Lösung zeigen
    1. Weg mit Anfangsgeschwindigkeit: s = v₀ · t + ½ · a · t²
    2. s = 15 m/s · 8 s + ½ · 2 m/s² · (8 s)²
    3. s = 120 m + 64 m = 184 m
    Ergebnis:
    184 m
  2. ●20
    Ein Motorrad fährt mit 18 m/s. Das Fahrzeug bremst gleichmäßig mit 5 m/s² bis zum Stillstand. Wie lang ist der Bremsweg? Berechne mit Einheit.
    v₀ = 18 m/sa = −5 m/s²Bremsweg = ?
    Lösung zeigen
    1. Bis zum Stillstand gilt s = v² : (2 · a).
    2. s = (18 m/s)² : (2 · 5 m/s²)
    3. s = 324 m²/s² : 10 m/s² = 32,4 m
    Ergebnis:
    32,4 m
  3. ●21
    Ein Ball wird mit v₀ = 15 m/s senkrecht nach oben geworfen. Nach welcher Zeit erreicht er den höchsten Punkt? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 15 m/st_S = ?höchster Punkt
    Lösung zeigen
    1. Oben ist v = 0 m/s, also t_S = v₀ : g.
    2. t_S = 15 m/s : 9,81 m/s²
    3. t_S ≈ 1,53 s
    Ergebnis:
    1,53 s
  4. ●22
    Ein Ball wird mit v₀ = 9 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wie hoch steigt er über die Abwurfstelle? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 9 m/sh = ?höchster Punkt
    Lösung zeigen
    1. Steighöhe: h = v₀² : (2 · g)
    2. h = (9 m/s)² : (2 · 9,81 m/s²) = 81 m²/s² : 19,62 m/s²
    3. h ≈ 4,13 m
    Ergebnis:
    4,13 m
  5. ●23
    Eine Holzkugel rollt mit v₀ = 6 m/s waagerecht von einer Brücke in 5 m Höhe. Wie weit von der Kante trifft sie auf? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 6 m/sh = 5 mx = ?
    Lösung zeigen
    1. Senkrecht freier Fall: h = ½ · g · t², also t = √2 · h : g
    2. t = √2 · 5 m : 9,81 m/s² ≈ 1,01 s
    3. waagerecht gleichförmig: x = v₀ · t = 6 m/s · 1,01 s
    4. x ≈ 6,06 m
    Ergebnis:
    6,06 m
  6. ●24
    Ein Tischtennisball wird mit v₀ = 12 m/s waagerecht abgeworfen. Um wie viel ist er gefallen, wenn er waagerecht 2,5 m zurückgelegt hat? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 12 m/sx = 2,5 m, y = ?
    Lösung zeigen
    1. Aus x = v₀ · t und y = ½ · g · t² folgt die Bahnkurve y = g : (2 · v₀²) · x².
    2. y = 9,81 m/s² : (2 · (12 m/s)²) · (2,5 m)²
    3. y ≈ 0,213 m
    Ergebnis:
    0,213 m

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bewegung mit Anfangsbedingungen
Mit Anfangsort s₀ und Anfangsgeschwindigkeit v₀ gilt s = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t².
Senkrechter Wurf
Der senkrechte Wurf startet mit v₀ und wird ständig mit g nach unten beschleunigt.
Waagerechter Wurf
Waagerecht bewegt sich der Körper gleichförmig mit v₀, senkrecht fällt er frei.
Überlagerung und Komponenten
Bewegungen in verschiedene Richtungen laufen unabhängig ab und überlagern sich.
Schiefer Wurf
Der schiefe Wurf ist waagerecht gleichförmig und senkrecht ein Wurf nach oben.
Kräfte, Luft und Messwerte
Nach dem Abwurf wirkt ohne Luft nur die Gewichtskraft, eine Wurfkraft gibt es nicht.

AchtungVorzeichen der Beschleunigung vergessen

So nicht
Bremsen mit 3 m/s²: s = 18 m/s · 2 s + ½ · 3 m/s² · (2 s)² = 42 m
So richtig
a = −3 m/s²: s = 36 m − 6 m = 30 m

Beim Bremsen zeigt die Beschleunigung gegen die Bewegung. Setz sie mit Minuszeichen ein: Das Fahrzeug kommt weniger weit.

AchtungBewegungen nicht überlagert

So nicht
Das Paket aus dem Flugzeug fällt senkrecht herunter.
So richtig
Paket: waagerecht v des Flugzeugs + senkrecht freier Fall → bleibt unter dem Flugzeug

Beide Bewegungen bleiben erhalten und überlagern sich. Die waagerechte geht beim Fallen nicht verloren, die senkrechte kommt dazu.

AchtungSinus und Kosinus vertauscht

So nicht
v₀ = 10 m/s, α = 30°: v_x = 10 m/s · sin 30° = 5 m/s
So richtig
v_x = v₀ · cos α = 8,66 m/s, v_y = v₀ · sin α = 5 m/s

Die Seite am Winkel ist die Ankathete, dazu gehört der Kosinus. Die Seite gegenüber gehört zum Sinus.

AchtungGanze Geschwindigkeit statt Komponente

So nicht
Scheitelhöhe h = v₀² : (2 · g) beim schiefen Wurf
So richtig
h = (v₀ · sin α)² : (2 · g), nur die senkrechte Komponente zählt

Für die Höhe zählt nur die senkrechte Komponente, für die Weite nur die waagerechte. Zerlege v₀ zuerst.

AchtungIm höchsten Punkt stehe alles still

So nicht
im höchsten Punkt: v = 0 m/s und a = 0 m/s²
So richtig
im höchsten Punkt: v_y = 0 m/s, v_x bleibt, a = g nach unten

Im höchsten Punkt ist nur die senkrechte Geschwindigkeit verschwunden. Die waagerechte bleibt, und die Erde zieht dort genauso wie überall.

AchtungBahn mit Luftwiderstand symmetrisch gedacht

So nicht
mit Luft: dieselbe Parabel, nur kleiner
So richtig
mit Luft: Weite und Höhe kleiner, Abstieg steiler → Bahn unsymmetrisch

Die Luft bremst den ganzen Flug über. Beim Fallen ist der Ball langsamer als beim Steigen, deshalb wird die Bahn unsymmetrisch.

AchtungLuftwiderstand übersehen

So nicht
Federball nach langem Fall: a = 9,81 m/s²
So richtig
Luftreibung = Gewichtskraft → a = 0 m/s², gleich schnell

Mit Luft wirkt eine zweite Kraft, die mit der Geschwindigkeit wächst. Dann ist die Beschleunigung nicht mehr g.

AchtungFalsche Zeitspanne beim Differenzenquotienten

So nicht
v₁ und v₂ aus Abschnitten von 0,5 s: a = (v₂ − v₁) : 1 s
So richtig
Mitten der Abschnitte liegen 0,5 s auseinander: a = (v₂ − v₁) : 0,5 s

Eine mittlere Geschwindigkeit gehört zur Mitte ihres Abschnitts. Zwischen zwei Mitten liegt genau ein Zeitschritt Δt.

AchtungDie Wurfkraft steckt im Körper

So nicht
Im höchsten Punkt wirkt noch die Wurfkraft nach oben.
So richtig
nach dem Loslassen → nur F = Gewichtskraft nach unten (ohne Luftwiderstand)

Die Hand schiebt nur, solange sie den Ball berührt. Danach zieht nur noch die Erde am Ball – nach unten, auf dem ganzen Weg.

AchtungSchwere Körper fallen schneller

So nicht
Die schwere Kugel kommt zuerst unten an.
So richtig
1 kg und 5 kg im Vakuum → gleiche Fallzeit

Die schwere Kugel wird stärker gezogen, ist aber auch schwerer in Bewegung zu bringen. Ohne Luft fallen alle Körper gleich schnell.

AchtungDifferenz vergessen

So nicht
v = 60 m : 8 s (ab null gerechnet)
So richtig
v = (60 m − 20 m) : (8 s − 4 s) = 10 m/s

Für die Steigung zählen die Änderungen: um wie viel der Weg in der Zeitspanne zunimmt. Rechne Endwert minus Anfangswert.

AchtungDen Faktor ½ vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J

In der Formel für die Bewegungsenergie steht ein halb: E = ½ · m · v². Du musst am Ende die Hälfte nehmen.

AchtungDas Quadrat vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J

Die Geschwindigkeit steht im Quadrat: v² heißt v mal v. Rechne v² zuerst aus, dann hast du den Rest schnell.

AchtungFormel falsch umgestellt

So nicht
V = ρ · m
So richtig
ρ = m : V   | · V   | : ρ   →   V = m : ρ

Stell die Formel wie eine Gleichung um: Auf beiden Seiten dasselbe tun, bis die gesuchte Größe allein steht.

AchtungGrößen verwechselt

So nicht
Masse = 50 N
So richtig
Masse m = 5 kg, Gewichtskraft F = 50 N

Hier sind zwei Größen vertauscht. Schreib zuerst auf: Gegeben ist …, gesucht ist … – mit Formelzeichen.

AchtungEinheiten nicht angeglichen

So nicht
p = 200 N : 50 cm² = 4 Pa
So richtig
50 cm² = 0,005 m², p = 200 N : 0,005 m² = 40 000 Pa

Die Angaben passen noch nicht zusammen. Rechne zuerst in die Einheiten der Formel um, dann setz ein.

AchtungEinheit vergessen

So nicht
ρ = 54 : 20 = 2,7
So richtig
ρ = 54 g : 20 cm³ = 2,7 g/cm³

Deine Zahl stimmt – aber eine Größe ist Zahl und Einheit. Schreib die Einheit dazu.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann gleichmäßig beschleunigte Bewegungen mit Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit berechnen.

    25
    Ein Lastwagen fährt mit v₀ = 3 m/s und beschleunigt dann 2 s lang gleichmäßig mit a = 2,5 m/s². Welchen Weg legt das Fahrzeug in dieser Zeit zurück?
    v₀ = 3 m/sa = 2,5 m/s²t = 2 s, s = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 m

  2. Ich kann beim senkrechten Wurf Steigzeit und Steighöhe berechnen.

    26
    Ein Schlüsselbund wird mit v₀ = 20 m/s senkrecht nach oben geworfen. Nach welcher Zeit erreicht er den höchsten Punkt? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 20 m/st_S = ?höchster Punkt
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,04 s

  3. Ich kann beim waagerechten Wurf Fallzeit, Wurfweite und Bahnkurve bestimmen.

    27
    Eine Holzkugel rollt mit v₀ = 4 m/s waagerecht von einer Brücke in 5 m Höhe. Wie weit von der Kante trifft sie auf? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 4 m/sh = 5 mx = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4,04 m

  4. Ich kann zwei Bewegungen zu einer Bewegung überlagern und eine Geschwindigkeit in Komponenten zerlegen.

    28
    Ein Kanu quert einen 90 m breiten Fluss, mit 4 m/s relativ zum Wasser senkrecht zum Ufer gerichtet. Das Wasser strömt mit 1,5 m/s. Wie weit wird das Boot abgetrieben?
    v_B = 4 m/sv_F = 1,5 m/sb = 90 mAbdrift = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33,8 m

  5. Ich kann beim schiefen Wurf Wurfweite und Scheitelhöhe berechnen.

    29
    Ein Volleyballer wirft einen Ball mit v₀ = 10 m/s unter α = 30°. Wie weit fliegt er bis zur Landung auf gleicher Höhe? Rechne mit g = 9,81 m/s².
    v₀ = 10 m/sα = 30°w = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8,83 m

  6. Ich kann die Kräfte beim Wurf benennen, den Luftwiderstand beschreiben und Sensordaten auswerten.

    30
    Ein Flugzeug fliegt waagerecht und wirft ein Paket ab. Wo ist das Paket ohne Luftwiderstand, während es fällt?
    ?Flugzeug ohne Luftwiderstand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    immer genau unter dem Flugzeug

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Quadratische Funktionen und Gleichungen, Trigonometrie

Lösungen

  1. 40 m
  2. 72,5 m
  3. 70 m
  4. 2,55 s
  5. 0,815 s
  6. 13,7 m/s
  7. 11,2 m
  8. 3,63 m
  9. 8,86 m/s
  10. 67,5 m
  11. 57,6 m
  12. 2,24 m/s
  13. 20,4 m
  14. 17,6 m
  15. 14,6 m
  16. nur die Gewichtskraft, senkrecht nach unten
  17. beide zugleich, die Fallzeit hängt nur von der Höhe ab
  18. Die Stahlkugel, die Luft bremst den leichten Ball stärker.
  19. 184 m
  20. 32,4 m
  21. 1,53 s
  22. 4,13 m
  23. 6,06 m
  24. 0,213 m
  25. 11 m
  26. 2,04 s
  27. 4,04 m
  28. 33,8 m
  29. 8,83 m
  30. immer genau unter dem Flugzeug