Mathematik · Klasse 9 und 10 · Kapitel

Potenzen und Wurzeln

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Bakterium teilt sich jede Stunde. Wie viele sind es nach 30 Stunden? Schreib die Rechnung vollständig auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: 2 · 2 · 2 · … dreißigmal – die Zeile ist zu lang, man verzählt die Zweien, und das Ergebnis 1.073.741.824 kommt kaum jemand heraus. 2 hoch 30. Zwei Zeichen für dreißig Faktoren – und Regeln, mit denen man rechnet, ohne alles auszumultiplizieren.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst – die Wurzel geht den Weg zurück.

●35
Berechne: 4²
Lösung zeigen
1. 4² = 4 · 4
2. = 16
Ergebnis:
16
●36
Berechne: 3²
Lösung zeigen
1. 3² = 3 · 3
2. = 9
Ergebnis:
9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenWurzelziehen macht Potenzieren rückgängig

Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrierens – so wie Minus die Umkehrung von Plus ist. √a fragt: Welche Zahl mal sich selbst ergibt a?

WeiterdenkenDenk nach

Warum ist √9 = 3 und nicht auch −3, obwohl (−3)² = 9 ist?

1Ich schreibe Produkte als Potenz und berechne Potenzen mit natürlichen Exponenten.

EntdeckenFrage

Wie oft muss man ein Blatt Papier falten, bis es bis zum Mond reicht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

42 Mal – jede Faltung verdoppelt die Dicke: 0,1 mm · 2⁴² ≈ 440 000 km. Praktisch schafft niemand mehr als 12 Faltungen; das Rekordblatt war 1,2 km lang.

MerkenPotenz

Eine Potenz ist eine abgekürzte Malkette: aⁿ = a · a · … · a mit n Faktoren.

Dabei heißt a Basis und n Exponent. 2⁵ = 32, nicht 2 · 5.

Eselsbrücke: Potenz mal Potenz, gleiche Basis: Exponenten addieren – „mal wird plus, geteilt wird minus, hoch wird mal“

BeispielPotenzen und Wurzeln

Vereinfache und berechne: 5⁴ · 5¹

Schritt für Schritt

Gleiche Basis: Exponenten addieren → 5⁵
= 3125

Gleiche Basis: Exponenten addieren → 5⁵
= 3125

Ergebnis:

5⁵ = 3125

AchtungExponenten multipliziert statt addiert

So nicht

2³ · 2⁴ = 2¹²

So richtig

2³ · 2⁴ = 2⁷

Gleiche Basis, Produkt → Exponenten addieren.

ÜbenJetzt du

○1
Vereinfache und berechne: 5⁴ · 5²
So fängst du an:
Gleiche Basis: Exponenten addieren → 5⁶
Lösung zeigen
1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 5⁶
2. = 15.625
Ergebnis:
5⁶ = 15.625
●2
Vereinfache und berechne: 2³ · 2¹
Lösung zeigen
1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 2⁴
2. = 16
Ergebnis:
2⁴ = 16
★3
Vereinfache: √8 (teilweise Wurzelziehen) und berechne 2⁻².
Lösung zeigen
1. √8 = √4 · 2 = 2√2
2. 2⁻² = 12² = 14
Ergebnis:
2√2; 14

2Ich nutze die Potenzgesetze.

EntdeckenFrage

Warum bekam der Mann, der das Schachspiel erfand, sein Reiskorn-Honorar nie?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Korn auf das erste Feld, dann jedes Mal verdoppelt: 2⁶⁴ − 1 Körner – rund 18 Trillionen, mehr als tausendmal die Weltjahresernte. Die Legende ist alt, die Rechnung stimmt.

MerkenPotenzgesetze

Gleiche Basis: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.

Gleicher Exponent: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ.

BeispielPotenzgesetze

Vereinfache: x⁵ : x³

Schritt für Schritt

Gleiche Basis, Quotient → Exponenten subtrahieren
x²

Gleiche Basis, Quotient → Exponenten subtrahieren
x²

Ergebnis:

x²

AchtungExponenten malgenommen statt addiert

So nicht

Vereinfache: 5^10 : 5^5 → 25

So richtig

Vereinfache: 5^10 : 5^5 → 5^5

Schreib die Potenzen aus und zähl die Faktoren.

ÜbenJetzt du

○4
Vereinfache: x⁵ : x²
So fängst du an:
Gleiche Basis, Quotient → Exponenten subtrahieren
Lösung zeigen
1. Gleiche Basis, Quotient → Exponenten subtrahieren
2. x³
Ergebnis:
x³
●5
Vereinfache: 5¹⁰ : 5⁵
Lösung zeigen
1. Gleiche Basis, Quotient → Exponenten subtrahieren
2. 5⁵
Ergebnis:
5⁵
★6
Vereinfache: (3⁵)³
Lösung zeigen
1. Potenz einer Potenz → Exponenten multiplizieren
2. 3¹⁵
Ergebnis:
3¹⁵

3Ich rechne mit negativen Exponenten und Zehnerpotenzen.

EntdeckenFrage

Wie viel kleiner als ein Mensch ist ein Virus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Coronavirus misst rund 100 Nanometer, also 10 hoch minus 7 Meter, ein Mensch knapp 2 Meter. Das sind sieben Zehnerpotenzen Unterschied – als Potenz passen beide in eine Zeile.

MerkenNegative Exponenten

Ein negativer Exponent heißt: Kehrwert nehmen, a⁻ⁿ = 1 : aⁿ.

So ist 10⁻³ = 0,001. Jede Zahl hoch 0 ist 1.

Eselsbrücke: Negativer Exponent = Kehrwert: a⁻ⁿ = 1/aⁿ – „Minus im Dach, dann in den Keller“

BeispielZehnerpotenzen (wissenschaftliche Schreibweise)

Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise: 3000

Schritt für Schritt

Komma um 3 Stellen nach rechts verschieben
3 · 10³ = 3000

Komma um 3 Stellen nach rechts verschieben
3 · 10³ = 3000

Ergebnis:

3000 = 3 · 10³

AchtungKomma falsch verschoben

So nicht

3 · 10⁻³ = 0,03

So richtig

3 · 10⁻³ = 0,003

10^−3: Komma drei Stellen nach links.

ÜbenJetzt du

○7
Schreibe als Dezimalzahl: 6,02 · 10⁶
So fängst du an:
Komma um 6 Stellen nach rechts verschieben
Lösung zeigen
1. Komma um 6 Stellen nach rechts verschieben
2. 6,02 · 10⁶ = 6.020.000
Ergebnis:
6.020.000 = 6,02 · 10⁶
●8
Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise: 750.000.000
Lösung zeigen
1. Komma um 8 Stellen nach rechts verschieben
2. 7,5 · 10⁸ = 750.000.000
Ergebnis:
750.000.000 = 7,5 · 10⁸
★9
Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise: 0,0015
Lösung zeigen
1. Komma um 3 Stellen nach links verschieben
2. 1,5 · 10⁻³ = 0,0015
Ergebnis:
0,0015 = 1,5 · 10⁻³

4Ich schätze Quadratwurzeln zwischen zwei ganzen Zahlen ein.

EntdeckenFrage

Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Wurzel aus 50 – ohne Taschenrechner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwischen 7 und 8, denn 7 mal 7 ist 49 und 8 mal 8 ist 64. Sie liegt dicht über 7, weil 50 fast 49 ist: rund 7,07.

MerkenQuadratwurzel

√a ist die Zahl, die quadriert a ergibt.

Zum Beispiel √49 = 7. Schätzen: √50 liegt zwischen 7 und 8, nahe 7.

BeispielWurzeln einschätzen

Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √61? Begründe ohne Taschenrechner.

Schritt für Schritt

7² = 49 < 61 < 64 = 8²
Also 7 < √61 < 8

7² = 49 < 61 < 64 = 8²
Also 7 < √61 < 8

Ergebnis:

zwischen 7 und 8

AchtungWurzel halbiert

So nicht

√16 = 8

So richtig

√16 = 4, denn 4 · 4 = 16

√16 ist 4, nicht 8 – welche Zahl mal sich selbst?

ÜbenJetzt du

○10
Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √20? Begründe ohne Taschenrechner.
So fängst du an:
4² = 16 < 20 < 25 = 5²
Lösung zeigen
1. 4² = 16 < 20 < 25 = 5²
2. Also 4 < √20 < 5
Ergebnis:
zwischen 4 und 5
●11
Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √83? Begründe ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
1. 9² = 81 < 83 < 100 = 10²
2. Also 9 < √83 < 10
Ergebnis:
zwischen 9 und 10
★12
Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √213? Begründe ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
1. 14² = 196 < 213 < 225 = 15²
2. Also 14 < √213 < 15 (≈ 14,6)
Ergebnis:
zwischen 14 und 15

5Ich ziehe teilweise Wurzeln.

EntdeckenFrage

Warum schreiben Lösungen die Wurzel aus 8 lieber als 2 mal Wurzel aus 2?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil 8 gleich 4 mal 2 ist und die 4 als 2 herausgezogen werden kann. Diese Form ist genau, während 2,828 gerundet ist – mit dem genauen Wert rechnet man ohne Fehler weiter.

MerkenTeilweise Wurzelziehen

Quadratzahl als Faktor herausziehen: √50 = √(25 · 2) = 5√2.

BeispielQuadratwurzeln

Berechne ohne Taschenrechner: √36

Schritt für Schritt

Welche Zahl mal sich selbst ergibt 36?
6 · 6 = 36

Welche Zahl mal sich selbst ergibt 36?
6 · 6 = 36

Ergebnis:

AchtungWurzel als Hälfte

So nicht

Berechne ohne Taschenrechner: √36 → 18

So richtig

Berechne ohne Taschenrechner: √36 → 6

Frag dich: Welche Zahl mal sich selbst ergibt die Zahl unter der Wurzel?

ÜbenJetzt du

○13
Berechne ohne Taschenrechner: √49
So fängst du an:
Welche Zahl mal sich selbst ergibt 49?
Lösung zeigen
1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 49?
2. 7 · 7 = 49
Ergebnis:
7
●14
Berechne ohne Taschenrechner: √9
Lösung zeigen
1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 9?
2. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
3
★15
Berechne ohne Taschenrechner: √0,25
Lösung zeigen
1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 0,25?
2. 0,5 · 0,5 = 0,25
Ergebnis:
0,5

6Ich rechne mit Wurzeln.

EntdeckenFrage

Warum vergrößert der Kopierer von A4 auf A3 mit 141 % und nicht mit 200 %?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A3-Blatt hat die doppelte Fläche von A4. Jede Seite wird dafür mit √2 ≈ 1,414 malgenommen. Denn √2 · √2 = 2, und so verdoppelt sich die Fläche.

MerkenMit Wurzeln rechnen

√a · √b = √(a · b), √a : √b = √(a : b). Aber √a + √b ≠ √(a + b).

BeispielMit Wurzeln rechnen

Berechne ohne Taschenrechner: √6 · √24

Schritt für Schritt

Wurzeln malnehmen: √6 · √24 = √6 · 24
6 · 24 = 144
√144 = 12

Wurzeln malnehmen: √6 · √24 = √6 · 24
6 · 24 = 144
√144 = 12

Ergebnis:

Achtungx² ausgerechnet, Wurzel vergessen

So nicht

Berechne ohne Taschenrechner: √6 · √24 → 144

So richtig

Berechne ohne Taschenrechner: √6 · √24 → 12

Ziehe am Ende die Wurzel. Gesucht ist x, nicht x².

ÜbenJetzt du

○16
Berechne ohne Taschenrechner: √200 : √2
So fängst du an:
Wurzeln teilen: √200 : √2 = √200 : 2
Lösung zeigen
1. Wurzeln teilen: √200 : √2 = √200 : 2
2. 200 : 2 = 100
3. √100 = 10
Ergebnis:
10
●17
Berechne ohne Taschenrechner: √2000 : √5
Lösung zeigen
1. Wurzeln teilen: √2000 : √5 = √2000 : 5
2. 2000 : 5 = 400
3. √400 = 20
Ergebnis:
20
★18
Fasse zusammen: √24 − √96
Lösung zeigen
1. Teilweise Wurzel ziehen: √24 = √4 · 6 = 2√6
2. √96 = √16 · 6 = 4√6
3. 2√6 − 4√6 = −2√6
Ergebnis:
−2√6

7Ich nutze die wissenschaftliche Schreibweise.

EntdeckenFrage

Das Sonnenlicht braucht gut 8 Minuten zu uns. Wie viele Meter ist die Sonne weg?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Licht schafft etwa 3 · 10⁸ m je Sekunde und braucht rund 499 Sekunden. Das ergibt etwa 1,5 · 10¹¹ m. Genau festgelegt ist die Astronomische Einheit als 149.597.870.700 m.

MerkenWissenschaftliche Schreibweise

Zahl zwischen 1 und 10 mal Zehnerpotenz: 384 000 = 3,84 · 10⁵; 0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴.

BeispielZehnerpotenzen im Sachkontext

Ein Sandkorn ist etwa 0,00012 m groß. Schreibe die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise.

Schritt für Schritt

Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
Das sind 4 Stellen nach rechts.
Nach rechts heißt: Der Exponent ist negativ, also 10⁻⁴.
0,00012 m = 1,2 · 10⁻⁴ m

Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
Das sind 4 Stellen nach rechts.
Nach rechts heißt: Der Exponent ist negativ, also 10⁻⁴.
0,00012 m = 1,2 · 10⁻⁴ m

Ergebnis:

1,2 · 10⁻⁴ m

AchtungNegativer Exponent als negative Zahl

So nicht

10 hoch minus 2 → −100

So richtig

10 hoch minus 2 → 0,01

Schreibe die Treppe auf: 10, 1, 0,1, 0,01. Jede Stufe weiter ist ein Zehntel.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Haar ist etwa 0,00007 m dick. Schreibe die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise.
So fängst du an:
Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
Lösung zeigen
1. Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
2. Das sind 5 Stellen nach rechts.
3. Nach rechts heißt: Der Exponent ist negativ, also 10⁻⁵.
4. 0,00007 m = 7 · 10⁻⁵ m
Ergebnis:
7 · 10⁻⁵ m
●20
Ein Sandkorn ist etwa 0,0002 m groß. Schreibe die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise.
Lösung zeigen
1. Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
2. Das sind 4 Stellen nach rechts.
3. Nach rechts heißt: Der Exponent ist negativ, also 10⁻⁴.
4. 0,0002 m = 2 · 10⁻⁴ m
Ergebnis:
2 · 10⁻⁴ m
★21
Ein Virus ist etwa 2 · 10⁻⁷ m groß. Wie viele davon passen hintereinander auf eine Strecke von 1 m? Rechne mit Zehnerpotenzen.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10⁰ m.
2. Anzahl = 10⁰ : (2 · 10⁻⁷).
3. Zehnerpotenzen: 10⁰ : 10⁻⁷ = 10⁷.
4. Dann noch durch 2 teilen: 10.000.000 : 2 = 5.000.000.
Ergebnis:
5.000.000 Stück

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●22
Berechne ohne Taschenrechner: √100
Lösung zeigen
1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 100?
2. 10 · 10 = 100
Ergebnis:
10
●23
Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √85? Begründe ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
1. 9² = 81 < 85 < 100 = 10²
2. Also 9 < √85 < 10
Ergebnis:
zwischen 9 und 10
●24
Vereinfache: 2⁶ : 2⁴
Lösung zeigen
1. Gleiche Basis, Quotient → Exponenten subtrahieren
2. 2²
Ergebnis:
2²
●25
Schreibe als Dezimalzahl: 9,1 · 10⁵
Lösung zeigen
1. Komma um 5 Stellen nach rechts verschieben
2. 9,1 · 10⁵ = 910.000
Ergebnis:
910.000 = 9,1 · 10⁵
●26
Berechne ohne Taschenrechner: √3087 : √7
Lösung zeigen
1. Wurzeln teilen: √3087 : √7 = √3087 : 7
2. 3087 : 7 = 441
3. √441 = 21
Ergebnis:
21
●27
Vereinfache und berechne: 3² · 3²
Lösung zeigen
1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 3⁴
2. = 81
Ergebnis:
3⁴ = 81

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Potenz: Eine Potenz ist eine abgekürzte Malkette: aⁿ = a · a · … · a mit n Faktoren.
Potenzgesetze: Gleiche Basis: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
Negative Exponenten: Ein negativer Exponent heißt: Kehrwert nehmen, a⁻ⁿ = 1 : aⁿ.
Quadratwurzel: √a ist die Zahl, die quadriert a ergibt.
Teilweise Wurzelziehen: Quadratzahl als Faktor herausziehen: √50 = √(25 · 2) = 5√2.
Mit Wurzeln rechnen: √a · √b = √(a · b), √a : √b = √(a : b). Aber √a + √b ≠ √(a + b).
Wissenschaftliche Schreibweise: Zahl zwischen 1 und 10 mal Zehnerpotenz: 384 000 = 3,84 · 10⁵; 0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich schreibe Produkte als Potenz und berechne Potenzen mit natürlichen Exponenten.
28
Vereinfache und berechne: 10⁴ · 10³
Lösung zeigen
Ergebnis:
10⁷ = 10.000.000
Ich nutze die Potenzgesetze.
29
Vereinfache: 5⁹ : 5³
Lösung zeigen
Ergebnis:
5⁶
Ich rechne mit negativen Exponenten und Zehnerpotenzen.
30
Schreibe als Dezimalzahl: 6,02 · 10⁸
Lösung zeigen
Ergebnis:
602.000.000 = 6,02 · 10⁸
Ich schätze Quadratwurzeln zwischen zwei ganzen Zahlen ein.
31
Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √23? Begründe ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis:
zwischen 4 und 5
Ich ziehe teilweise Wurzeln.
32
Berechne ohne Taschenrechner: √25
Lösung zeigen
Ergebnis:
5
Ich rechne mit Wurzeln.
33
Berechne ohne Taschenrechner: √2000 : √5
Lösung zeigen
Ergebnis:
20
Ich nutze die wissenschaftliche Schreibweise.
34
Ein Sandkorn ist etwa 0,00012 m groß. Schreibe die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,2 · 10⁻⁴ m

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Bakterium teilt sich jede Stunde. Wie viele sind es nach 30 Stunden? Schreib die Rechnung vollständig auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Potenzschreibweise und die Potenzgesetze.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Speichergrößen (Kilo, Mega, Giga), Erdbebenstärke. Beruf: IT, Naturwissenschaften, Finanzen (Zinseszins).

Wörter

Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme und Gleichungen

Darauf baut auf: Satz des Pythagoras, Exponentielles Wachstum, Funktionen, e-Funktion und Logarithmus, Binomialverteilung

Lösungen

5⁶ = 15.625
2⁴ = 16
2√2; 14
x³
5⁵
3¹⁵
6.020.000 = 6,02 · 10⁶
750.000.000 = 7,5 · 10⁸
0,0015 = 1,5 · 10⁻³
zwischen 4 und 5
zwischen 9 und 10
zwischen 14 und 15
7
3
0,5
10
20
−2√6
7 · 10⁻⁵ m
2 · 10⁻⁴ m
5.000.000 Stück
10
zwischen 9 und 10
2²
910.000 = 9,1 · 10⁵
21
3⁴ = 81
10⁷ = 10.000.000
5⁶
602.000.000 = 6,02 · 10⁸
zwischen 4 und 5
5
20
1,2 · 10⁻⁴ m
16
9