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Mathematik · Klasse 9 und 10 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Potenzen und Wurzeln

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Bakterium teilt sich jede Stunde. Wie viele sind es nach 30 Stunden? Schreib die Rechnung vollständig auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: 2 · 2 · 2 · … dreißigmal – die Zeile ist zu lang, man verzählt die Zweien, und das Ergebnis 1.073.741.824 kommt kaum jemand heraus. 2 hoch 30. Zwei Zeichen für dreißig Faktoren – und Regeln, mit denen man rechnet, ohne alles auszumultiplizieren.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst – die Wurzel geht den Weg zurück.

  1. ●35
    Berechne: 3²
    Lösung zeigen
    1. 3² = 3 · 3
    2. = 9
    Ergebnis:
    9
  2. ●36
    Berechne: 9²
    Lösung zeigen
    1. 9² = 9 · 9
    2. = 81
    Ergebnis:
    81

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenWurzelziehen macht Potenzieren rückgängig

Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrierens – so wie Minus die Umkehrung von Plus ist. √a fragt: Welche Zahl mal sich selbst ergibt a?

WeiterdenkenDenk nach

Warum ist √9 = 3 und nicht auch −3, obwohl (−3)² = 9 ist?

1Ich schreibe Produkte als Potenz und berechne Potenzen mit natürlichen Exponenten.

EntdeckenFrage

Wie oft muss man ein Blatt Papier falten, bis es bis zum Mond reicht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

42 Mal – jede Faltung verdoppelt die Dicke: 0,1 mm · 2⁴² ≈ 440 000 km. Praktisch schafft niemand mehr als 12 Faltungen; das Rekordblatt war 1,2 km lang.

MerkenPotenz

Eine Potenz ist eine abgekürzte Malkette: aⁿ = a · a · … · a mit n Faktoren.

Dabei heißt a Basis und n Exponent. 2⁵ = 32, nicht 2 · 5.

Eselsbrücke: Potenz mal Potenz, gleiche Basis: Exponenten addieren – „mal wird plus, geteilt wird minus, hoch wird mal“

BeispielPotenzen und Wurzeln

Vereinfache und berechne: 104 · 101
Schritt für Schritt
  1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 105
  2. = 100.000
  1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 105
  2. = 100.000
Ergebnis:
105 = 100.000

AchtungExponenten multipliziert statt addiert

So nicht
2³ · 2⁴ = 2¹²
So richtig
2³ · 2⁴ = 2⁷

Gleiche Basis, Produkt → Exponenten addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Vereinfache und berechne: 24 · 22
    So fängst du an:
    Gleiche Basis: Exponenten addieren → 26
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 26
    2. = 64
    Ergebnis:
    26 = 64
  2. ●2
    Vereinfache und berechne: 104 · 103
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 107
    2. = 10.000.000
    Ergebnis:
    107 = 10.000.000
  3. ★3
    Vereinfache: √245 (teilweise Wurzelziehen) und berechne 7⁻².
    Lösung zeigen
    1. √245 = √49 · 5 = 7√5
    2. 7⁻² = 17² = 149
    Ergebnis:
    7√5; 149

2Ich nutze die Potenzgesetze.

EntdeckenFrage

Warum bekam der Mann, der das Schachspiel erfand, sein Reiskorn-Honorar nie?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Korn auf das erste Feld, dann jedes Mal verdoppelt: 2⁶⁴ − 1 Körner – rund 18 Trillionen, mehr als tausendmal die Weltjahresernte. Die Legende ist alt, die Rechnung stimmt.

MerkenPotenzgesetze

Gleiche Basis: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.

Gleicher Exponent: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ.

BeispielPotenzgesetze

Vereinfache: 34 · 35
Schritt für Schritt
  1. Gleiche Basis, Produkt → Exponenten addieren
  2. 39
  1. Gleiche Basis, Produkt → Exponenten addieren
  2. 39
Ergebnis:
39

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Vereinfache: 53 · 54
    So fängst du an:
    Gleiche Basis, Produkt → Exponenten addieren
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis, Produkt → Exponenten addieren
    2. 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●5
    Vereinfache: x8 : x2
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis, Quotient → Exponenten subtrahieren
    2. x6
    Ergebnis:
    x6
  3. ★6
    Vereinfache: 34 · 33
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis, Produkt → Exponenten addieren
    2. 37
    Ergebnis:
    37

3Ich rechne mit negativen Exponenten und Zehnerpotenzen.

EntdeckenFrage

Wie viel kleiner als ein Mensch ist ein Virus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Coronavirus misst rund 100 Nanometer, also 10 hoch minus 7 Meter, ein Mensch knapp 2 Meter. Das sind sieben Zehnerpotenzen Unterschied – als Potenz passen beide in eine Zeile.

MerkenNegative Exponenten

Ein negativer Exponent heißt: Kehrwert nehmen, a⁻ⁿ = 1 : aⁿ.

So ist 10⁻³ = 0,001. Jede Zahl hoch 0 ist 1.

Eselsbrücke: Negativer Exponent = Kehrwert: a⁻ⁿ = 1/aⁿ – „Minus im Dach, dann in den Keller“

BeispielZehnerpotenzen (wissenschaftliche Schreibweise)

Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise: 9100
Schritt für Schritt
  1. Komma um 3 Stellen nach rechts verschieben
  2. 9,1 · 103 = 9100
  1. Komma um 3 Stellen nach rechts verschieben
  2. 9,1 · 103 = 9100
Ergebnis:
9100 = 9,1 · 103

AchtungKomma falsch verschoben

So nicht
3 · 10⁻³ = 0,03
So richtig
3 · 10⁻³ = 0,003

10^−3: Komma drei Stellen nach links.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise: 150.000.000
    So fängst du an:
    Komma um 8 Stellen nach rechts verschieben
    Lösung zeigen
    1. Komma um 8 Stellen nach rechts verschieben
    2. 1,5 · 108 = 150.000.000
    Ergebnis:
    150.000.000 = 1,5 · 108
  2. ●8
    Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise: 3.000.000
    Lösung zeigen
    1. Komma um 6 Stellen nach rechts verschieben
    2. 3 · 106 = 3.000.000
    Ergebnis:
    3.000.000 = 3 · 106
  3. ★9
    Schreibe als Dezimalzahl: 6,02 · 10−3
    Lösung zeigen
    1. Komma um 3 Stellen nach links verschieben
    2. 6,02 · 10−3 = 0,00602
    Ergebnis:
    0,00602 = 6,02 · 10−3

4Ich schätze Quadratwurzeln zwischen zwei ganzen Zahlen ein.

EntdeckenFrage

Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Wurzel aus 50 – ohne Taschenrechner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwischen 7 und 8, denn 7 mal 7 ist 49 und 8 mal 8 ist 64. Sie liegt dicht über 7, weil 50 fast 49 ist: rund 7,07.

MerkenQuadratwurzel

√a ist die Zahl, die quadriert a ergibt.

Zum Beispiel √49 = 7. Schätzen: √50 liegt zwischen 7 und 8, nahe 7.

BeispielWurzeln einschätzen

Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √29? Begründe ohne Taschenrechner.
Schritt für Schritt
  1. 5² = 25 < 29 < 36 = 6²
  2. Also 5 < √29 < 6
  1. 5² = 25 < 29 < 36 = 6²
  2. Also 5 < √29 < 6
Ergebnis:
zwischen 5 und 6

AchtungWurzel halbiert

So nicht
√16 = 8
So richtig
√16 = 4, denn 4 · 4 = 16

√16 ist 4, nicht 8 – welche Zahl mal sich selbst?

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √24? Begründe ohne Taschenrechner.
    So fängst du an:
    4² = 16 < 24 < 25 = 5²
    Lösung zeigen
    1. 4² = 16 < 24 < 25 = 5²
    2. Also 4 < √24 < 5
    Ergebnis:
    zwischen 4 und 5
  2. ●11
    Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √70? Begründe ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    1. 8² = 64 < 70 < 81 = 9²
    2. Also 8 < √70 < 9
    Ergebnis:
    zwischen 8 und 9
  3. ★12
    Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √131? Begründe ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    1. 11² = 121 < 131 < 144 = 12²
    2. Also 11 < √131 < 12 (≈ 11,4)
    Ergebnis:
    zwischen 11 und 12

5Ich ziehe teilweise Wurzeln.

EntdeckenFrage

Warum schreiben Lösungen die Wurzel aus 8 lieber als 2 mal Wurzel aus 2?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil 8 gleich 4 mal 2 ist und die 4 als 2 herausgezogen werden kann. Diese Form ist genau, während 2,828 gerundet ist – mit dem genauen Wert rechnet man ohne Fehler weiter.

MerkenTeilweise Wurzelziehen

Quadratzahl als Faktor herausziehen: √50 = √(25 · 2) = 5√2.

BeispielQuadratwurzeln

Berechne ohne Taschenrechner: √100
A = 100Seite = ??
Schritt für Schritt
  1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 100?
  2. 10 · 10 = 100
  1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 100?
  2. 10 · 10 = 100
Ergebnis:
10

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne ohne Taschenrechner: √16
    So fängst du an:
    Welche Zahl mal sich selbst ergibt 16?
    Lösung zeigen
    1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 16?
    2. 4 · 4 = 16
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    Berechne ohne Taschenrechner: √81
    Lösung zeigen
    1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 81?
    2. 9 · 9 = 81
    Ergebnis:
    9
  3. ★15
    Berechne ohne Taschenrechner: √2,25
    Lösung zeigen
    1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 2,25?
    2. 1,5 · 1,5 = 2,25
    Ergebnis:
    1,5

6Ich rechne mit Wurzeln.

EntdeckenFrage

Warum vergrößert der Kopierer von A4 auf A3 mit 141 % und nicht mit 200 %?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A3-Blatt hat die doppelte Fläche von A4. Jede Seite wird dafür mit √2 ≈ 1,414 malgenommen. Denn √2 · √2 = 2, und so verdoppelt sich die Fläche.

MerkenMit Wurzeln rechnen

√a · √b = √(a · b), √a : √b = √(a : b). Aber √a + √b ≠ √(a + b).

BeispielMit Wurzeln rechnen

Berechne ohne Taschenrechner: √5 · √45
Schritt für Schritt
  1. Wurzeln malnehmen: √5 · √45 = √5 · 45
  2. 5 · 45 = 225
  3. √225 = 15
  1. Wurzeln malnehmen: √5 · √45 = √5 · 45
  2. 5 · 45 = 225
  3. √225 = 15
Ergebnis:
15

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Berechne ohne Taschenrechner: √200 : √2
    So fängst du an:
    Wurzeln teilen: √200 : √2 = √200 : 2
    Lösung zeigen
    1. Wurzeln teilen: √200 : √2 = √200 : 2
    2. 200 : 2 = 100
    3. √100 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●17
    Berechne ohne Taschenrechner: √6 · √54
    Lösung zeigen
    1. Wurzeln malnehmen: √6 · √54 = √6 · 54
    2. 6 · 54 = 324
    3. √324 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★18
    Fasse zusammen: √45 − √125
    Lösung zeigen
    1. Teilweise Wurzel ziehen: √45 = √9 · 5 = 3√5
    2. √125 = √25 · 5 = 5√5
    3. 3√5 − 5√5 = −2√5
    Ergebnis:
    −2√5

7Ich nutze die wissenschaftliche Schreibweise.

EntdeckenFrage

Das Sonnenlicht braucht gut 8 Minuten zu uns. Wie viele Meter ist die Sonne weg?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Licht schafft etwa 3 · 10⁸ m je Sekunde und braucht rund 499 Sekunden. Das ergibt etwa 1,5 · 10¹¹ m. Genau festgelegt ist die Astronomische Einheit als 149.597.870.700 m.

MerkenWissenschaftliche Schreibweise

Zahl zwischen 1 und 10 mal Zehnerpotenz: 384 000 = 3,84 · 10⁵; 0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴.

BeispielZehnerpotenzen im Sachkontext

Ein Haar ist etwa 0,00002 m dick. Schreibe die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise.
Schritt für Schritt
  1. Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
  2. Das sind 5 Stellen nach rechts.
  3. Nach rechts heißt: Der Exponent ist negativ, also 10⁻⁵.
  4. 0,00002 m = 2 · 10⁻⁵ m
  1. Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
  2. Das sind 5 Stellen nach rechts.
  3. Nach rechts heißt: Der Exponent ist negativ, also 10⁻⁵.
  4. 0,00002 m = 2 · 10⁻⁵ m
Ergebnis:
2 · 10⁻⁵ m

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Haar ist etwa 0,00005 m dick. Schreibe die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise.
    So fängst du an:
    Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
    Lösung zeigen
    1. Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
    2. Das sind 5 Stellen nach rechts.
    3. Nach rechts heißt: Der Exponent ist negativ, also 10⁻⁵.
    4. 0,00005 m = 5 · 10⁻⁵ m
    Ergebnis:
    5 · 10⁻⁵ m
  2. ●20
    Ein Bakterium ist etwa 0,0000025 m groß. Schreibe die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise.
    Lösung zeigen
    1. Das Komma wandert nach rechts, bis vor ihm genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist.
    2. Das sind 6 Stellen nach rechts.
    3. Nach rechts heißt: Der Exponent ist negativ, also 10⁻⁶.
    4. 0,0000025 m = 2,5 · 10⁻⁶ m
    Ergebnis:
    2,5 · 10⁻⁶ m
  3. ★21
    Ein Bakterium ist etwa 8 · 10⁻⁶ m groß. Wie viele davon passen hintereinander auf eine Strecke von 1 cm? Rechne mit Zehnerpotenzen.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10⁻² m.
    2. Anzahl = 10⁻² : (8 · 10⁻⁶).
    3. Zehnerpotenzen: 10⁻² : 10⁻⁶ = 10⁴.
    4. Dann noch durch 8 teilen: 10.000 : 8 = 1250.
    Ergebnis:
    1250 Stück

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    Vereinfache und berechne: 32 · 33
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 35
    2. = 243
    Ergebnis:
    35 = 243
  2. ●23
    Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √47? Begründe ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    1. 6² = 36 < 47 < 49 = 7²
    2. Also 6 < √47 < 7
    Ergebnis:
    zwischen 6 und 7
  3. ●24
    Vereinfache: 26 : 23
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis, Quotient → Exponenten subtrahieren
    2. 23
    Ergebnis:
    23
  4. ●25
    Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise: 300.000
    Lösung zeigen
    1. Komma um 5 Stellen nach rechts verschieben
    2. 3 · 105 = 300.000
    Ergebnis:
    300.000 = 3 · 105
  5. ●26
    Berechne ohne Taschenrechner: √7 · √28
    Lösung zeigen
    1. Wurzeln malnehmen: √7 · √28 = √7 · 28
    2. 7 · 28 = 196
    3. √196 = 14
    Ergebnis:
    14
  6. ●27
    Vereinfache und berechne: 102 · 101
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 103
    2. = 1000
    Ergebnis:
    103 = 1000

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Potenz
Eine Potenz ist eine abgekürzte Malkette: aⁿ = a · a · … · a mit n Faktoren.
Potenzgesetze
Gleiche Basis: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
Negative Exponenten
Ein negativer Exponent heißt: Kehrwert nehmen, a⁻ⁿ = 1 : aⁿ.
Quadratwurzel
√a ist die Zahl, die quadriert a ergibt.
Teilweise Wurzelziehen
Quadratzahl als Faktor herausziehen: √50 = √(25 · 2) = 5√2.
Mit Wurzeln rechnen
√a · √b = √(a · b), √a : √b = √(a : b). Aber √a + √b ≠ √(a + b).
Wissenschaftliche Schreibweise
Zahl zwischen 1 und 10 mal Zehnerpotenz: 384 000 = 3,84 · 10⁵; 0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich schreibe Produkte als Potenz und berechne Potenzen mit natürlichen Exponenten.

    28
    Vereinfache und berechne: 32 · 32
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34 = 81

  2. Ich nutze die Potenzgesetze.

    29
    Vereinfache: 33 · 34
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

  3. Ich rechne mit negativen Exponenten und Zehnerpotenzen.

    30
    Schreibe als Dezimalzahl: 3 · 106
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3.000.000 = 3 · 106

  4. Ich schätze Quadratwurzeln zwischen zwei ganzen Zahlen ein.

    31
    Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √51? Begründe ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zwischen 7 und 8

  5. Ich ziehe teilweise Wurzeln.

    32
    Berechne ohne Taschenrechner: √16
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  6. Ich rechne mit Wurzeln.

    33
    Berechne ohne Taschenrechner: √432 : √3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  7. Ich nutze die wissenschaftliche Schreibweise.

    34
    Ein Bakterium ist etwa 0,0000085 m groß. Schreibe die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8,5 · 10⁻⁶ m

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Bakterium teilt sich jede Stunde. Wie viele sind es nach 30 Stunden? Schreib die Rechnung vollständig auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Potenzschreibweise und die Potenzgesetze.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Speichergrößen (Kilo, Mega, Giga), Erdbebenstärke. Beruf: IT, Naturwissenschaften, Finanzen (Zinseszins).

Wörter

Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme und Gleichungen

Darauf baut auf: Satz des Pythagoras, Exponentielles Wachstum, Funktionen, e-Funktion und Logarithmus, Binomialverteilung

Lösungen

  1. 26 = 64
  2. 107 = 10.000.000
  3. 7√5; 149
  4. 57
  5. x6
  6. 37
  7. 150.000.000 = 1,5 · 108
  8. 3.000.000 = 3 · 106
  9. 0,00602 = 6,02 · 10−3
  10. zwischen 4 und 5
  11. zwischen 8 und 9
  12. zwischen 11 und 12
  13. 4
  14. 9
  15. 1,5
  16. 10
  17. 18
  18. −2√5
  19. 5 · 10⁻⁵ m
  20. 2,5 · 10⁻⁶ m
  21. 1250 Stück
  22. 35 = 243
  23. zwischen 6 und 7
  24. 23
  25. 300.000 = 3 · 105
  26. 14
  27. 103 = 1000
  28. 34 = 81
  29. 37
  30. 3.000.000 = 3 · 106
  31. zwischen 7 und 8
  32. 4
  33. 12
  34. 8,5 · 10⁻⁶ m
  35. 9
  36. 81