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Mathematik · Klasse 9 und 10 · Kapitel

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Quadratische Gleichungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein rechteckiges Beet hat 3 m mehr Länge als Breite und 40 m² Fläche. Wie breit ist es? Probier es aus.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Probieren findet 5 m – aber bei 41 m² Fläche nicht mehr. Und die Klasse fragt, ob es zwei Lösungen gibt. x · (x + 3) = 41 ist eine quadratische Gleichung, und dafür gibt es eine Formel, die immer beide Lösungen liefert – auch die krummen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Lösung ist eine Zahl, die eingesetzt die Gleichung wahr macht – Einsetzen ist die Probe.

  1. ●35
    Löse die Gleichung: 5x − 12 = −7
    Lösung zeigen
    1. | + 12 → 5x = 5
    2. | : 5 → x = 1
    3. Probe: 5 · 1 − 12 = −7 ✓
    Ergebnis:
    x = 1
  2. ●36
    Löse: 7x − 10 = 2x + 40
    Lösung zeigen
    1. | − 2x → 5x − 10 = 40
    2. | + 10 → 5x = 50
    3. | : 5 → x = 10
    Ergebnis:
    x = 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenNullstellen sind Schnittpunkte

Eine quadratische Gleichung zu lösen heißt zu fragen, wo die Parabel die x-Achse trifft. Deshalb kann es zwei, eine oder keine Lösung geben – je nachdem, wo die Parabel liegt.

WeiterdenkenDenk nach

Zeichne die Parabel zu y = x² + 4. Warum hat x² + 4 = 0 dann keine Lösung?

1Ich löse reinquadratische Gleichungen x² = a durch Wurzelziehen (zwei Lösungen!).

EntdeckenFrage

Wer hat vor 4 000 Jahren schon quadratische Gleichungen gelöst – und wozu?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Babylonische Schreiber, auf Tontafeln, für Felder und Erbteilungen: „Fläche plus Seite ist 45 – wie lang ist die Seite?“ Ihr Weg ist die quadratische Ergänzung, ohne ein einziges Symbol.

MerkenSonderfälle

x² = a hat zwei Lösungen: plus und minus Wurzel a. Ohne Absolutglied x ausklammern.

Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.

Eselsbrücke: Mitternachtsformel – x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a – „Minus b plus minus Wurzel aus b Quadrat minus vier a c, durch zwei a“

BeispielQuadratische Gleichungen: Sonderfälle

Löse: x² + 12 = 133
Schritt für Schritt
  1. | − 12 → x² = 121
  2. Wurzel ziehen – zwei Lösungen: x = 11 oder x = −11
  1. | − 12 → x² = 121
  2. Wurzel ziehen – zwei Lösungen: x = 11 oder x = −11
Ergebnis:
x₁ = 11, x₂ = −11

AchtungNur eine Wurzel

So nicht
x² = 16 → x = 4
So richtig
x² = 16 → x₁ = 4, x₂ = −4

x² = 16 hat zwei Lösungen: 4 und −4. Durch x teilen verliert die Lösung x = 0.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Löse: x² = −100
    So fängst du an:
    Ein Quadrat ist nie negativ
    Lösung zeigen
    1. Ein Quadrat ist nie negativ
    2. keine Lösung
    Ergebnis:
    keine Lösung
  2. ●2
    Löse: x² − 49 = 0
    Lösung zeigen
    1. | + 49 → x² = 49
    2. Wurzel ziehen – zwei Lösungen: x = 7 oder x = −7
    Ergebnis:
    x₁ = 7, x₂ = −7
  3. ★3
    Löse: 3x² − 6x = 0
    Lösung zeigen
    1. Ausklammern: 3x · (x − 2) = 0
    2. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist
    3. x = 0 oder x = 2
    Ergebnis:
    x₁ = 0, x₂ = 2

2Ich löse Gleichungen ohne Absolutglied durch Ausklammern.

EntdeckenFrage

Warum hat x² = 5x zwei Lösungen, obwohl man doch durch x teilen könnte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil beim Teilen durch x die Lösung null verloren geht. Man klammert stattdessen aus: x mal (x − 5) gleich null, also x gleich 0 oder x gleich 5.

MerkenSonderfälle: Ausklammern

Fehlt das Absolutglied, klammere x aus: x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0 oder x = 5. Nie durch x teilen, sonst geht die Lösung x = 0 verloren.

BeispielQuadratische Gleichung durch Faktorisieren / pq-Formel

Löse: x² + 2x − 24 = 0
−8−6−4−22468−10−55100
Schritt für Schritt
  1. Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −2, x₁ · x₂ = −24
  2. Passt: −6 und 4
  1. Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −2, x₁ · x₂ = −24
  2. Passt: −6 und 4
Ergebnis:
x₁ = −6, x₂ = 4

AchtungVorzeichen in pq-Formel

So nicht
x² − 6x + 8: p = 6
So richtig
x² − 6x + 8: p = −6, q = 8  (mit Vorzeichen)

p und q mit Vorzeichen einsetzen: bei x² − 6x + 8 ist p = −6, also −p/2 = +3.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Löse: x² − x − 2 = 0
    So fängst du an:
    Satz von Vieta: x₁ + x₂ = 1, x₁ · x₂ = −2
    Lösung zeigen
    1. Satz von Vieta: x₁ + x₂ = 1, x₁ · x₂ = −2
    2. Passt: −1 und 2
    Ergebnis:
    x₁ = −1, x₂ = 2
  2. ●5
    Löse: x² + 3x + 2 = 0
    Lösung zeigen
    1. Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −3, x₁ · x₂ = 2
    2. Passt: −1 und −2
    Ergebnis:
    x₁ = −2, x₂ = −1
  3. ★6
    Löse: x² − 4x + 3,75 = 0
    Lösung zeigen
    1. pq-Formel: x = −p/2 ± √(p/2)² − q
    2. x = 2 ± √4 − (3,75) = 2 ± 0,5
    3. x₁ = 1,5, x₂ = 2,5
    Ergebnis:
    x₁ = 1,5, x₂ = 2,5

3Ich löse Gleichungen mit der pq-Formel.

EntdeckenFrage

Woher kommt die pq-Formel – hat die jemand erraten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein, sie ist die quadratische Ergänzung, einmal allgemein durchgerechnet. Wer die Ergänzung an einem Beispiel selbst macht, hat die Formel im Grunde hergeleitet.

Merkenpq-Formel

x² + px + q = 0 hat die Lösungen x = −p/2 ± √((p/2)² − q).

Vorher auf die Form mit 1·x² bringen.

Beispielpq-Formel

Löse mit der pq-Formel: x² − 5x + 6 = 0
−10−5510−10−55100
Schritt für Schritt
  1. p = −5, q = 6
  2. x = −(−5) : 2 ± √(−5 : 2)² − (6)
  3. x₁ = 2, x₂ = 3
  1. p = −5, q = 6
  2. x = −(−5) : 2 ± √(−5 : 2)² − (6)
  3. x₁ = 2, x₂ = 3
Ergebnis:
x₁ = 2; x₂ = 3

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Löse mit der pq-Formel: x² − 4x + 3 = 0
    So fängst du an:
    p = −4, q = 3
    Lösung zeigen
    1. p = −4, q = 3
    2. x = −(−4) : 2 ± √(−4 : 2)² − (3)
    3. x₁ = 1, x₂ = 3
    Ergebnis:
    x₁ = 1; x₂ = 3
  2. ●8
    Löse mit der pq-Formel: x² − 3x + 2 = 0
    Lösung zeigen
    1. p = −3, q = 2
    2. x = −(−3) : 2 ± √(−3 : 2)² − (2)
    3. x₁ = 1, x₂ = 2
    Ergebnis:
    x₁ = 1; x₂ = 2
  3. ★9
    Löse 2x² − 4x − 30 = 0 und prüfe mit dem Satz von Vieta.
    Lösung zeigen
    1. Durch 2 teilen: x² − 2x − 15 = 0, also p = −2, q = −15
    2. pq-Formel: x₁ = −3, x₂ = 5
    3. Vieta: −3 + 5 = 2 = −p und −3 · 5 = −15 = q
    Ergebnis:
    x₁ = −3; x₂ = 5

4Ich prüfe mit dem Satz von Vieta und der Probe.

EntdeckenFrage

Wie prüfst du in zehn Sekunden, ob deine beiden Lösungen stimmen können?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ihre Summe muss minus p ergeben und ihr Produkt q. Das ist der Satz von Vieta und geht schneller als jede Probe durch Einsetzen.

MerkenVieta

x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q – schnelle Probe und oft Kopfrechnung.

BeispielLösungen prüfen: Einsetzen und Vieta

Jonas hat x² − 2x − 8 = 0 gelöst und x₁ = −4, x₂ = 2 erhalten. Prüfe durch Einsetzen.
Schritt für Schritt
  1. x = −4 einsetzen: 16 + 8 − 8 = 16, nicht 0.
  2. x = 2 einsetzen: 4 − 4 − 8 = −8, nicht 0.
  3. Die Vorzeichen sind vertauscht – typisch für einen Fehler bei −p/2.
  4. Richtig: x₁ = −2 und x₂ = 4.
  1. x = −4 einsetzen: 16 + 8 − 8 = 16, nicht 0.
  2. x = 2 einsetzen: 4 − 4 − 8 = −8, nicht 0.
  3. Die Vorzeichen sind vertauscht – typisch für einen Fehler bei −p/2.
  4. Richtig: x₁ = −2 und x₂ = 4.
Ergebnis:
Falsch. Richtig sind x₁ = −2 und x₂ = 4.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Aylin hat x² − 13x + 42 = 0 gelöst und x₁ = −7, x₂ = −6 erhalten. Prüfe durch Einsetzen.
    So fängst du an:
    x = −7 einsetzen: 49 + 91 + 42 = 182, nicht 0.
    Lösung zeigen
    1. x = −7 einsetzen: 49 + 91 + 42 = 182, nicht 0.
    2. x = −6 einsetzen: 36 + 78 + 42 = 156, nicht 0.
    3. Die Vorzeichen sind vertauscht – typisch für einen Fehler bei −p/2.
    4. Richtig: x₁ = 6 und x₂ = 7.
    Ergebnis:
    Falsch. Richtig sind x₁ = 6 und x₂ = 7.
  2. ●11
    Emir hat x² + 13x + 40 = 0 gelöst und x₁ = 5, x₂ = 8 erhalten. Prüfe durch Einsetzen.
    Lösung zeigen
    1. x = 5 einsetzen: 25 + 65 + 40 = 130, nicht 0.
    2. x = 8 einsetzen: 64 + 104 + 40 = 208, nicht 0.
    3. Die Vorzeichen sind vertauscht – typisch für einen Fehler bei −p/2.
    4. Richtig: x₁ = −8 und x₂ = −5.
    Ergebnis:
    Falsch. Richtig sind x₁ = −8 und x₂ = −5.
  3. ★12
    Can hat x² − 9x + 14 = 0 gelöst und x₁ = −7, x₂ = −2 erhalten. Prüfe mit dem Satz von Vieta, ohne neu zu rechnen.
    Lösung zeigen
    1. Vieta: x₁ + x₂ muss −p = 9 ergeben, x₁ · x₂ muss q = 14 ergeben.
    2. Summe: −7 + (−2) = −9, nicht 9.
    3. Produkt: −7 · (−2) = 14, stimmt.
    4. Die Vorzeichen sind vertauscht – typisch für einen Fehler bei −p/2.
    5. Richtig: x₁ = 2 und x₂ = 7.
    Ergebnis:
    Falsch. Richtig sind x₁ = 2 und x₂ = 7.

5Ich erkenne an der Diskriminante, wie viele Lösungen es gibt.

EntdeckenFrage

Warum trifft eine Wurfbahn eine Höhe mal zweimal, mal einmal und mal gar nicht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Zahl unter der Wurzel entscheidet: Ist sie positiv, gibt es zwei Treffer, ist sie null, genau einen, ist sie negativ, keinen. Diese Zahl heißt Diskriminante.

Ausprobieren: Parabel in Scheitelform

a, d und e der Scheitelform verändern oder den Scheitel ziehen – mit Normalparabel und Nullstellen.

MerkenDiskriminante

Ist (p/2)² − q negativ, gibt es keine Lösung; ist es 0, genau eine; sonst zwei.

BeispielAnzahl der Lösungen aus der Diskriminante

Wie viele Lösungen hat x² + 6x + 10 = 0? Entscheide mit D = (p/2)² − q, ohne zu lösen.
Schritt für Schritt
  1. p/2 = 3, q = 10.
  2. D = 9 − 10 = −1
  3. D kleiner als 0: keine Lösung.
  1. p/2 = 3, q = 10.
  2. D = 9 − 10 = −1
  3. D kleiner als 0: keine Lösung.
Ergebnis:
keine Lösung

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie viele Lösungen hat x² − 6x + 2 = 0? Entscheide mit D = (p/2)² − q, ohne zu lösen.
    So fängst du an:
    p/2 = −3, q = 2.
    Lösung zeigen
    1. p/2 = −3, q = 2.
    2. D = 9 − 2 = 7
    3. D größer als 0: zwei Lösungen.
    Ergebnis:
    zwei Lösungen
  2. ●14
    Wie viele Lösungen hat x² + 6x + 2 = 0? Entscheide mit D = (p/2)² − q, ohne zu lösen.
    Lösung zeigen
    1. p/2 = 3, q = 2.
    2. D = 9 − 2 = 7
    3. D größer als 0: zwei Lösungen.
    Ergebnis:
    zwei Lösungen
  3. ★15
    Für welche Zahl q hat x² + 2x + q = 0 genau eine Lösung? Wie heißt sie? Für welche q gibt es zwei Lösungen?
    Lösung zeigen
    1. Genau eine Lösung heißt: D = (p/2)² − q = 0.
    2. (p/2)² = 1 · 1 = 1, also q = 1.
    3. Die Lösung ist dann x = −p/2 = −1.
    4. Zwei Lösungen, wenn D größer als 0 ist: q kleiner als 1.
    Ergebnis:
    q = 1, x = −1; zwei Lösungen für q < 1

6Ich übersetze Sachaufgaben in quadratische Gleichungen.

EntdeckenFrage

In einer Liga spielt jeder gegen jeden mit Hin- und Rückspiel, zusammen 306 Spiele. Wie viele Mannschaften sind es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei n Mannschaften spielt jede gegen n − 1 andere zu Hause. Das ergibt n(n − 1) = 306, also n² − n − 306 = 0. Die Lösungen sind 18 und −17. Nur 18 ergibt Sinn, so viele Vereine hat die Bundesliga.

MerkenSachaufgabe

Größe benennen, Gleichung aufstellen, lösen.

Negative Lösung verwerfen, Antwortsatz schreiben. Beispiel: x = Breite.

BeispielSachaufgabe in eine quadratische Gleichung übersetzen

Ein Beet ist 2 m länger als breit und 168 m² groß. x ist die Breite. Welche Gleichung passt? Begründe.
(1) x + (x + 2) = 168
(2) 2x + 2 · (x + 2) = 168
(3) x · (x + 2) = 168
Schritt für Schritt
  1. Fläche heißt Länge mal Breite.
  2. Also passt Gleichung (3).
  3. Kontrolle mit x = 12: 12 · 14 = 168.
  1. Fläche heißt Länge mal Breite.
  2. Also passt Gleichung (3).
  3. Kontrolle mit x = 12: 12 · 14 = 168.
Ergebnis:
(3) x · (x + 2) = 168

AchtungLösung nicht gedeutet

So nicht
Seitenlänge x₁ = 5 cm, x₂ = −8 cm
So richtig
x₂ = −8 entfällt: eine Länge ist nicht negativ. x = 5 cm

Längen und Zeiten sind nicht negativ – die zweite Lösung verwerfen und begründen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Beet ist 3 m länger als breit und 40 m² groß. x ist die Breite. Welche Gleichung passt? Begründe.
    (1) 2x + 2 · (x + 3) = 40
    (2) x · (x + 3) = 40
    (3) x + (x + 3) = 40
    So fängst du an:
    Fläche heißt Länge mal Breite.
    Lösung zeigen
    1. Fläche heißt Länge mal Breite.
    2. Also passt Gleichung (2).
    3. Kontrolle mit x = 5: 5 · 8 = 40.
    Ergebnis:
    (2) x · (x + 3) = 40
  2. ●17
    Zwei aufeinanderfolgende Zahlen ergeben malgenommen 110. x ist die kleinere. Welche Gleichung passt? Begründe.
    (1) x · x + 1 = 110
    (2) x · (x + 1) = 110
    (3) x + (x + 1) = 110
    Lösung zeigen
    1. Die zweite Zahl ist x + 1, Produkt heißt mal.
    2. Also passt Gleichung (2).
    3. Kontrolle mit x = 10: 10 · 11 = 110.
    Ergebnis:
    (2) x · (x + 1) = 110
  3. ★18
    Zwei aufeinanderfolgende Zahlen ergeben malgenommen 12. x ist die kleinere. Stelle die Gleichung auf, bringe sie auf die Form x² + px + q = 0 und nenne die passende Lösung.
    Lösung zeigen
    1. Die zweite Zahl ist x + 1, Produkt heißt mal.
    2. Gleichung: x · (x + 1) = 12.
    3. Umgeformt: x² + x − 12 = 0.
    4. Kontrolle mit x = 3: 3 · 4 = 12. Die negative Lösung passt nicht zur Situation.
    Ergebnis:
    x² + x − 12 = 0, passende Lösung x = 3

7Ich löse Sachaufgaben (Rechteck, Wurfbahn) und deute die Lösungen.

EntdeckenFrage

Mit 20 m Zaun soll ein rechteckiges Gehege mit genau 24 m² entstehen. Welche Maße passen – und warum gibt es zwei Lösungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ist eine Seite x Meter lang, ist die andere 10 − x. Aus x(10 − x) = 24 folgt x² − 10x + 24 = 0, also x = 4 oder x = 6. Beide Lösungen beschreiben dasselbe Gehege mit 4 m mal 6 m.

MerkenLösungen deuten

Rechnung fertig, Aufgabe nicht: Welche Lösung passt zur Situation?

Länge, Zeit und Anzahl sind nicht negativ – verwerfen mit Begründung, dann Antwortsatz.

BeispielQuadratische Gleichung: Sachaufgabe

Ein Rechteck ist 5 cm länger als breit und hat den Flächeninhalt 176 cm². Berechne, wie lang die Seiten sind.
x + 5xA = ?
Schritt für Schritt
  1. Breite x, Länge x + 5: x · (x + 5) = 176
  2. x² + 5x − 176 = 0
  3. pq-Formel: x = −2,5 ± √6,25 + 176 = −2,5 ± 13,5
  4. x = 11 (negative Lösung passt nicht zu einer Länge)
  1. Breite x, Länge x + 5: x · (x + 5) = 176
  2. x² + 5x − 176 = 0
  3. pq-Formel: x = −2,5 ± √6,25 + 176 = −2,5 ± 13,5
  4. x = 11 (negative Lösung passt nicht zu einer Länge)
Ergebnis:
11 cm und 16 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit und hat den Flächeninhalt 154 cm². Berechne, wie lang die Seiten sind.
    So fängst du an:
    Breite x, Länge x + 3: x · (x + 3) = 154
    Lösung zeigen
    1. Breite x, Länge x + 3: x · (x + 3) = 154
    2. x² + 3x − 154 = 0
    3. pq-Formel: x = −1,5 ± √2,25 + 154 = −1,5 ± 12,5
    4. x = 11 (negative Lösung passt nicht zu einer Länge)
    Ergebnis:
    11 cm und 14 cm
  2. ●20
    Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit und hat den Flächeninhalt 130 cm². Berechne, wie lang die Seiten sind.
    Lösung zeigen
    1. Breite x, Länge x + 3: x · (x + 3) = 130
    2. x² + 3x − 130 = 0
    3. pq-Formel: x = −1,5 ± √2,25 + 130 = −1,5 ± 11,5
    4. x = 10 (negative Lösung passt nicht zu einer Länge)
    Ergebnis:
    10 cm und 13 cm
  3. ★21
    Ein Rechteck ist 5 cm länger als breit und hat den Flächeninhalt 204 cm². Berechne, wie lang die Seiten sind.
    Lösung zeigen
    1. Breite x, Länge x + 5: x · (x + 5) = 204
    2. x² + 5x − 204 = 0
    3. pq-Formel: x = −2,5 ± √6,25 + 204 = −2,5 ± 14,5
    4. x = 12 (negative Lösung passt nicht zu einer Länge)
    Ergebnis:
    12 cm und 17 cm

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    Löse: x² = −144
    Lösung zeigen
    1. Ein Quadrat ist nie negativ
    2. keine Lösung
    Ergebnis:
    keine Lösung
  2. ●23
    Löse: x² − 5x − 14 = 0
    Lösung zeigen
    1. Satz von Vieta: x₁ + x₂ = 5, x₁ · x₂ = −14
    2. Passt: −2 und 7
    Ergebnis:
    x₁ = −2, x₂ = 7
  3. ●24
    Ein Rechteck ist 2 cm länger als breit und hat den Flächeninhalt 143 cm². Berechne, wie lang die Seiten sind.
    Lösung zeigen
    1. Breite x, Länge x + 2: x · (x + 2) = 143
    2. x² + 2x − 143 = 0
    3. pq-Formel: x = −1 ± √1 + 143 = −1 ± 12
    4. x = 11 (negative Lösung passt nicht zu einer Länge)
    Ergebnis:
    11 cm und 13 cm
  4. ●25
    Löse mit der pq-Formel: x² − x − 12 = 0
    Lösung zeigen
    1. p = −1, q = −12
    2. x = −(−1) : 2 ± √(−1 : 2)² − (−12)
    3. x₁ = −3, x₂ = 4
    Ergebnis:
    x₁ = −3; x₂ = 4
  5. ●26
    Löse: x² = −16
    Lösung zeigen
    1. Ein Quadrat ist nie negativ
    2. keine Lösung
    Ergebnis:
    keine Lösung
  6. ●27
    Ein Rechteck ist 2 cm länger als breit und hat den Flächeninhalt 35 cm². Berechne, wie lang die Seiten sind.
    Lösung zeigen
    1. Breite x, Länge x + 2: x · (x + 2) = 35
    2. x² + 2x − 35 = 0
    3. pq-Formel: x = −1 ± √1 + 35 = −1 ± 6
    4. x = 5 (negative Lösung passt nicht zu einer Länge)
    Ergebnis:
    5 cm und 7 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Sonderfälle
x² = a hat zwei Lösungen: plus und minus Wurzel a. Ohne Absolutglied x ausklammern.
Sonderfälle: Ausklammern
Fehlt das Absolutglied, klammere x aus: x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0 oder x = 5. Nie durch x teilen, sonst geht die Lösung x = 0 verloren.
pq-Formel
x² + px + q = 0 hat die Lösungen x = −p/2 ± √((p/2)² − q).
Vieta
x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q – schnelle Probe und oft Kopfrechnung.
Diskriminante
Ist (p/2)² − q negativ, gibt es keine Lösung; ist es 0, genau eine; sonst zwei.
Sachaufgabe
Größe benennen, Gleichung aufstellen, lösen.
Lösungen deuten
Rechnung fertig, Aufgabe nicht: Welche Lösung passt zur Situation?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich löse reinquadratische Gleichungen x² = a durch Wurzelziehen (zwei Lösungen!).

    28
    Löse: x² + 12 = 93
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x₁ = 9, x₂ = −9

  2. Ich löse Gleichungen ohne Absolutglied durch Ausklammern.

    29
    Löse: x² + 5x − 6 = 0
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x₁ = −6, x₂ = 1

  3. Ich löse Gleichungen mit der pq-Formel.

    30
    Löse mit der pq-Formel: x² + x − 6 = 0
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x₁ = −3; x₂ = 2

  4. Ich prüfe mit dem Satz von Vieta und der Probe.

    31
    Tom hat x² − x − 20 = 0 gelöst und x₁ = −4, x₂ = 5 erhalten. Prüfe durch Einsetzen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Lösungen stimmen.

  5. Ich erkenne an der Diskriminante, wie viele Lösungen es gibt.

    32
    Wie viele Lösungen hat x² + 8x + 20 = 0? Entscheide mit D = (p/2)² − q, ohne zu lösen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    keine Lösung

  6. Ich übersetze Sachaufgaben in quadratische Gleichungen.

    33
    Ein Beet ist 3 m länger als breit und 130 m² groß. x ist die Breite. Welche Gleichung passt? Begründe.
    (1) 2x + 2 · (x + 3) = 130
    (2) x · (x + 3) = 130
    (3) x + (x + 3) = 130
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (2) x · (x + 3) = 130

  7. Ich löse Sachaufgaben (Rechteck, Wurfbahn) und deute die Lösungen.

    34
    Ein Rechteck ist 4 cm länger als breit und hat den Flächeninhalt 117 cm². Berechne, wie lang die Seiten sind.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 cm und 13 cm

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein rechteckiges Beet hat 3 m mehr Länge als Breite und 40 m² Fläche. Wie breit ist es? Probier es aus.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wann landet der Ball? Welche Maße bei fester Fläche? Beruf: Technik, Architektur, Wirtschaft.

Wörter

Ausklammern
den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Quadratische Funktionen und Gleichungen, Lineare Gleichungssysteme

Darauf baut auf: Kurvendiskussion und Anwendungen

Lösungen

  1. keine Lösung
  2. x₁ = 7, x₂ = −7
  3. x₁ = 0, x₂ = 2
  4. x₁ = −1, x₂ = 2
  5. x₁ = −2, x₂ = −1
  6. x₁ = 1,5, x₂ = 2,5
  7. x₁ = 1; x₂ = 3
  8. x₁ = 1; x₂ = 2
  9. x₁ = −3; x₂ = 5
  10. Falsch. Richtig sind x₁ = 6 und x₂ = 7.
  11. Falsch. Richtig sind x₁ = −8 und x₂ = −5.
  12. Falsch. Richtig sind x₁ = 2 und x₂ = 7.
  13. zwei Lösungen
  14. zwei Lösungen
  15. q = 1, x = −1; zwei Lösungen für q < 1
  16. (2) x · (x + 3) = 40
  17. (2) x · (x + 1) = 110
  18. x² + x − 12 = 0, passende Lösung x = 3
  19. 11 cm und 14 cm
  20. 10 cm und 13 cm
  21. 12 cm und 17 cm
  22. keine Lösung
  23. x₁ = −2, x₂ = 7
  24. 11 cm und 13 cm
  25. x₁ = −3; x₂ = 4
  26. keine Lösung
  27. 5 cm und 7 cm
  28. x₁ = 9, x₂ = −9
  29. x₁ = −6, x₂ = 1
  30. x₁ = −3; x₂ = 2
  31. Die Lösungen stimmen.
  32. keine Lösung
  33. (2) x · (x + 3) = 130
  34. 9 cm und 13 cm
  35. x = 1
  36. x = 10