Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Zusammengesetzte Körper

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele nehmen die größte Länge mal die größte Breite mal die Höhe, als wäre das Beet ein Quader. Andere zerlegen, zählen aber die Ecke doppelt. Die Ergebnisse gehen weit auseinander, und niemand weiß, welches stimmt. Wir zerlegen das L in zwei Quader, die sich nicht überlappen, und rechnen jeden für sich. Dann ergänzen wir das L zum großen Quader und ziehen das fehlende Stück ab. Kommt beide Male dasselbe heraus, stimmt die Rechnung.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Das Volumen eines Quaders ist Länge mal Breite mal Höhe – so viele Einheitswürfel passen hinein.

●31
Ein Würfel hat die Kantenlänge 2 cm. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
1. V = a · a · a = 2 · 2 · 2
2. V = 8 cm³
Ergebnis:
8 cm³
●32
Rechne um: 3 dm³ in cm³.
Lösung zeigen
1. 1 dm³ = 1000 cm³
2. 3 · 1000 = 3000
Ergebnis:
3000 cm³

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZerlegen und ergänzen, nichts doppelt

Ein Körper, der kein Quader ist, besteht aus Quadern oder ist ein Quader mit einem fehlenden Stück. Wer ihn in Gedanken zerlegt oder ergänzt, rechnet mit bekannten Formeln. Beim Zählen von Flächen, Kanten und kleinen Würfeln gilt dieselbe Idee: ordnen, nichts vergessen, nichts doppelt.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Körper in L-Form lässt sich auf zwei Arten in Quader zerlegen. Muss bei beiden Zerlegungen dasselbe Volumen herauskommen? Warum?

1Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.

EntdeckenFrage

Wie viele Teile mit drei, mit zwei und mit einer Farbe hat ein Zauberwürfel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

8 Eckteile mit drei Farben, 12 Kantenteile mit zwei Farben und 6 Mittelteile mit einer Farbe. Das sind genau die Zahlen, die man beim bemalten und zersägten Würfel aus 3 mal 3 mal 3 kleinen Würfeln bekommt. Innen sitzt statt des 27. Würfels ein Drehkreuz.

MerkenZerlegen in Quader

Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.

Jedes Volumen einzeln berechnen und dann addieren. Eine Skizze mit den Teilquadern zeigt, dass kein Teil fehlt.

BeispielVolumen zusammengesetzter Körper: zerlegen

Zwei Quader stehen direkt nebeneinander, beide 5 cm tief. Der linke ist 8 cm lang und 2 cm hoch, der rechte 6 cm lang und 4 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des ganzen Körpers?

Schritt für Schritt

Linker Teil: 8 cm · 5 cm · 2 cm = 80 cm³
Rechter Teil: 6 cm · 5 cm · 4 cm = 120 cm³
Zusammen: 80 cm³ + 120 cm³ = 200 cm³

Linker Teil: 8 cm · 5 cm · 2 cm = 80 cm³
Rechter Teil: 6 cm · 5 cm · 4 cm = 120 cm³
Zusammen: 80 cm³ + 120 cm³ = 200 cm³

Ergebnis:

200 cm³

AchtungTeilkörper vergessen oder doppelt gezählt

So nicht

Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 9 = 360 cm³

So richtig

Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 3 + 4 · 5 · 6 = 240 cm³

Erst eine Skizze mit den Teilquadern, jeden Teil einmal berechnen, dann addieren oder abziehen.

ÜbenJetzt du

○1
Zwei Quader stehen direkt nebeneinander, beide 8 cm tief. Der linke ist 5 cm lang und 4 cm hoch, der rechte 6 cm lang und 3 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des ganzen Körpers?
So fängst du an:
Linker Teil: 5 cm · 8 cm · 4 cm = 160 cm³
Lösung zeigen
1. Linker Teil: 5 cm · 8 cm · 4 cm = 160 cm³
2. Rechter Teil: 6 cm · 8 cm · 3 cm = 144 cm³
3. Zusammen: 160 cm³ + 144 cm³ = 304 cm³
Ergebnis:
304 cm³
●2
Zwei Quader stehen direkt nebeneinander, beide 6 cm tief. Der linke ist 6 cm lang und 2 cm hoch, der rechte 7 cm lang und 3 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des ganzen Körpers?
Lösung zeigen
1. Linker Teil: 6 cm · 6 cm · 2 cm = 72 cm³
2. Rechter Teil: 7 cm · 6 cm · 3 cm = 126 cm³
3. Zusammen: 72 cm³ + 126 cm³ = 198 cm³
Ergebnis:
198 cm³
★3
Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 6 m lang, 3 m breit und 2 m hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 1 m lang, 3 m breit und 5 m hoch. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
1. Unten: 6 m · 3 m · 2 m = 36 m³
2. Oben: 1 m · 3 m · 5 m = 15 m³
3. Zusammen: 36 m³ + 15 m³ = 51 m³
Ergebnis:
51 m³

2Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.

EntdeckenFrage

Warum sind Milchtüten eckig, obwohl Flaschen und Dosen rund sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Quader lassen sich lückenlos nebeneinander und übereinander packen. Stehen runde Dosen in Reihen, bleibt gut ein Fünftel des Platzes leer: Ein Kreis füllt nur knapp vier Fünftel des Quadrats, in dem er steht. Im Kühlschrank und im Lastwagen zählt jeder Zentimeter.

MerkenErgänzen und abziehen

Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.

Zerlegen und Ergänzen geben dasselbe Volumen. Der eine Weg ist die Probe für den anderen.

BeispielVolumen mit Aussparung: ergänzen und abziehen

Ein Kasten ohne Deckel ist außen 7 cm lang, 6 cm breit und 6 cm hoch. Wände und Boden sind 1 cm dick. Wie viel Kubikzentimeter Holz stecken im Kasten?

Schritt für Schritt

Außen: 7 cm · 6 cm · 6 cm = 252 cm³
Innen: 5 cm · 4 cm · 5 cm = 100 cm³
Holz: 252 cm³ − 100 cm³ = 152 cm³

Außen: 7 cm · 6 cm · 6 cm = 252 cm³
Innen: 5 cm · 4 cm · 5 cm = 100 cm³
Holz: 252 cm³ − 100 cm³ = 152 cm³

Ergebnis:

152 cm³

AchtungNoch einmal: Teilkörper vergessen oder doppelt gezählt

So nicht

Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 9 = 360 cm³

So richtig

Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 3 + 4 · 5 · 6 = 240 cm³

Erst eine Skizze mit den Teilquadern, jeden Teil einmal berechnen, dann addieren oder abziehen.

ÜbenJetzt du

○4
Durch einen Quader, 11 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch, geht der ganzen Länge nach ein Kanal. Seine Öffnung ist ein Rechteck, 3 cm breit und 1 cm hoch. Wie groß ist das Volumen, das übrig bleibt?
So fängst du an:
Ganzer Quader: 11 cm · 5 cm · 4 cm = 220 cm³
Lösung zeigen
1. Ganzer Quader: 11 cm · 5 cm · 4 cm = 220 cm³
2. Kanal: 11 cm · 3 cm · 1 cm = 33 cm³
3. Übrig: 220 cm³ − 33 cm³ = 187 cm³
Ergebnis:
187 cm³
●5
Durch einen Quader, 7 cm lang, 8 cm breit und 5 cm hoch, geht der ganzen Länge nach ein Kanal. Seine Öffnung ist ein Rechteck, 6 cm breit und 2 cm hoch. Wie groß ist das Volumen, das übrig bleibt?
Lösung zeigen
1. Ganzer Quader: 7 cm · 8 cm · 5 cm = 280 cm³
2. Kanal: 7 cm · 6 cm · 2 cm = 84 cm³
3. Übrig: 280 cm³ − 84 cm³ = 196 cm³
Ergebnis:
196 cm³
★6
Ein Quader ist 12 m lang, 3 m breit und 7 m hoch. Oben rechts fehlt ihm eine Ecke, 7 m lang, 3 m breit und 1 m hoch. Berechne das Volumen, indem du ergänzt und abziehst.
Lösung zeigen
1. Voller Quader: 12 m · 3 m · 7 m = 252 m³
2. Fehlendes Stück: 7 m · 3 m · 1 m = 21 m³
3. Rest: 252 m³ − 21 m³ = 231 m³
Ergebnis:
231 m³

3Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.

EntdeckenFrage

Warum stapeln Händler Orangen als Pyramide und nicht in geraden Säulen übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In der Pyramide liegt jede Orange in einer Mulde zwischen den unteren. So füllen die Kugeln knapp drei Viertel des Raumes, dichter geht es nicht. Das hat Johannes Kepler 1611 vermutet; bewiesen hat es erst Thomas Hales, veröffentlicht 2005.

MerkenOberfläche zählen

Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.

Die Oberfläche ist 6 mal die Zahl der Würfel minus 2 mal die Zahl der Berührungen.

BeispielOberfläche eines Würfelgebäudes zählen

Im Würfelgebäude im Bild liegen Würfel direkt aneinander. Wie viele Würfelflächen sind dadurch verdeckt, sodass man sie von außen nicht mehr sieht?

Schritt für Schritt

Übereinander berühren sich 3 Flächenpaare.
Nebeneinander berühren sich 2 Flächenpaare.
Jede Berührung verdeckt 2 Flächen: 2 · 5 = 10

Übereinander berühren sich 3 Flächenpaare.
Nebeneinander berühren sich 2 Flächenpaare.
Jede Berührung verdeckt 2 Flächen: 2 · 5 = 10

Ergebnis:

10 Flächen

AchtungBerührende Flächen mitgezählt

So nicht

3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 = 18 Flächen

So richtig

3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 − 2 · 2 = 14 Flächen

Wo zwei Würfel aneinanderliegen, verschwinden zwei Flächen. Sie gehören nicht zur Oberfläche.

ÜbenJetzt du

○7
Aus wie vielen Würfelflächen besteht die Oberfläche des Würfelgebäudes im Bild? Zähle auch den Boden mit.
So fängst du an:
6 Würfel haben zusammen 6 · 6 = 36 Flächen.
Lösung zeigen
1. 6 Würfel haben zusammen 6 · 6 = 36 Flächen.
2. Übereinander berühren sich 2, nebeneinander 3 Flächenpaare.
3. Verdeckt sind 2 · 5 = 10 Flächen.
4. 36 − 10 = 26
Ergebnis:
26 Flächen
●8
Das Würfelgebäude im Bild steht auf dem Tisch. Alle Flächen, die man sehen oder anfassen kann, werden gestrichen. Wie viele Würfelflächen sind das?
Lösung zeigen
1. 5 Würfel haben zusammen 6 · 5 = 30 Flächen.
2. Übereinander berühren sich 3, nebeneinander 2 Flächenpaare.
3. Verdeckt sind 2 · 5 = 10 Flächen.
4. 30 − 10 = 20
5. Auf dem Tisch liegen 2 Flächen: 20 − 2 = 18
Ergebnis:
18 Flächen
★9
Das Würfelgebäude im Bild besteht aus Würfeln mit 2 cm Kantenlänge. Wie groß ist seine ganze Oberfläche, der Boden mitgezählt?
Lösung zeigen
1. 8 Würfel haben zusammen 6 · 8 = 48 Flächen.
2. Übereinander berühren sich 4, nebeneinander 6 Flächenpaare.
3. Verdeckt sind 2 · 10 = 20 Flächen.
4. 48 − 20 = 28
5. Eine Würfelfläche hat 2 cm · 2 cm = 4 cm².
6. 28 · 4 cm² = 112 cm²
Ergebnis:
112 cm²

4Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser passt in ein Becken für olympische Schwimmwettkämpfe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Becken ist 50 m lang und 25 m breit. Bei 2 m Tiefe sind das 50 · 25 · 2 = 2500 Kubikmeter, also 2,5 Millionen Liter. Ist es 3 m tief, passen 3750 Kubikmeter hinein.

MerkenKantenmodell

Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.

Stehen Würfel aus Halmen nebeneinander, teilen sie sich Kanten. Jede gemeinsame Kante braucht nur einen Halm.

BeispielStäbchenmodelle aus Würfelreihen

Tim baut 7 Würfel nebeneinander aus Halmen. Er rechnet 12 · 7, weil ein Würfel 12 Kanten hat. Wie viele Halme spart er, weil benachbarte Würfel sich Kanten teilen?

Schritt für Schritt

Richtig gezählt: 8 Quadrate zu je 4 Halmen und 4 · 7 Halme dazwischen.
32 + 28 = 60
12 · 7 = 84, also 84 − 60 = 24

Richtig gezählt: 8 Quadrate zu je 4 Halmen und 4 · 7 Halme dazwischen.
32 + 28 = 60
12 · 7 = 84, also 84 − 60 = 24

Ergebnis:

24 Halme

AchtungGemeinsame Kanten doppelt gezählt

So nicht

4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 12 · 4 = 48 Halme

So richtig

4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 5 · 4 + 4 · 4 = 36 Halme

Teilen sich zwei Würfel eine Kante, wird sie nur einmal gebraucht. Erst die Kanten quer zählen, dann die langen.

ÜbenJetzt du

○10
Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 6 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
So fängst du an:
Zwischen und neben den Würfeln liegen 7 Quadrate.
Lösung zeigen
1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 7 Quadrate.
2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
3. 7 · 4 = 28
Ergebnis:
28 Knetkugeln
●11
Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 3 Würfel übereinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
Lösung zeigen
1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 4 Quadrate.
2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
3. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16 Knetkugeln
★12
Aus gleich langen Halmen und Knetkugeln wird eine Platte aus 4 mal 3 Würfeln gebaut, eine Schicht hoch. Wie viele Halme braucht man?
Lösung zeigen
1. Liegend in einer Schicht: 4 · 4 + 3 · 5 = 31
2. Zwei Schichten: 2 · 31 = 62
3. Stehend: 5 · 4 = 20
4. Zusammen: 62 + 20 = 82
Ergebnis:
82 Halme

5Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.

EntdeckenFrage

Wie viele Standardcontainer trägt eines der größten Containerschiffe der Welt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mehr als 24.000. Gezählt wird in 20-Fuß-Containern, jeder rund 6 m lang, 2,4 m breit und 2,6 m hoch. Die Reederei plant die Ladung wie eine Packaufgabe: Reihen nebeneinander, Lagen übereinander.

MerkenIn kleine Würfel zerlegen

Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?

Eine Schicht ist Länge mal Breite, alle Schichten zusammen sind die drei Zahlen malgenommen.

BeispielIn kleine Würfel zersägen

Ein Holzwürfel mit 12 cm Kantenlänge wird in Würfel mit 4 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel liegen in der untersten Schicht?

Schritt für Schritt

In der Länge: 12 : 4 = 3
In der Breite: 12 : 4 = 3
Eine Schicht: 3 · 3 = 9

In der Länge: 12 : 4 = 3
In der Breite: 12 : 4 = 3
Eine Schicht: 3 · 3 = 9

Ergebnis:

9 Würfel

AchtungPlus statt mal

So nicht

4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9

So richtig

4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Holzwürfel mit 4 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 2 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
So fängst du an:
Je Richtung: 4 : 2 = 2
Lösung zeigen
1. Je Richtung: 4 : 2 = 2
2. 2 · 2 · 2 = 8
3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
Ergebnis:
8 Würfel
●14
Ein Holzwürfel mit 6 cm Kantenlänge wird in Würfel mit 3 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel liegen in der untersten Schicht?
Lösung zeigen
1. In der Länge: 6 : 3 = 2
2. In der Breite: 6 : 3 = 2
3. Eine Schicht: 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Würfel
★15
Ein Holzwürfel mit 15 cm Kantenlänge wird in Würfel mit 3 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel liegen in der untersten Schicht?
Lösung zeigen
1. In der Länge: 15 : 3 = 5
2. In der Breite: 15 : 3 = 5
3. Eine Schicht: 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Würfel

6Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?

EntdeckenFrage

Wie zeichnen Architekten ein Haus, damit jeder es genau gleich bauen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einem Grundriss, das ist die Ansicht von oben, und mit Ansichten von vorn und von der Seite. Aus diesen Bildern zusammen kann man sich das ganze Haus vorstellen – genau wie ein Würfelgebäude aus Bauplan und Ansichten.

MerkenPackaufgaben

Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Nur ganze Päckchen zählen. Dann die drei Zahlen malnehmen.

BeispielWie viele Päckchen passen in den Karton?

Ein Karton ist innen 35 cm lang, 14 cm breit und 4 cm hoch. Saftpackungen sind 7 cm lang, 7 cm breit und 2 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?

Schritt für Schritt

Je Richtung teilen: 35 : 7 = 5; 14 : 7 = 2
Und in der Höhe: 4 : 2 = 2
5 · 2 · 2 = 20

Je Richtung teilen: 35 : 7 = 5; 14 : 7 = 2
Und in der Höhe: 4 : 2 = 2
5 · 2 · 2 = 20

Ergebnis:

20 Saftpackungen

AchtungVolumen durch Volumen geteilt statt Längen

So nicht

Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 6000 : 480 → 12 Päckchen

So richtig

Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 30 : 8 → 3, 20 : 6 → 3, 10 : 10 = 1 → 3 · 3 · 1 = 9 Päckchen

Je Richtung teilen und abrunden. Was nicht ganz hineinpasst, bleibt leer.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Karton ist innen 10 cm lang, 20 cm breit und 24 cm hoch. Buntstiftschachteln sind 5 cm lang, 4 cm breit und 8 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen in die unterste Lage?
So fängst du an:
In der Länge: 10 : 5 = 2
Lösung zeigen
1. In der Länge: 10 : 5 = 2
2. In der Breite: 20 : 4 = 5
3. Eine Lage: 2 · 5 = 10
Ergebnis:
10 Buntstiftschachteln
●17
Ein Karton ist innen 24 cm lang, 9 cm breit und 4 cm hoch. Seifenstücke sind 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen in die unterste Lage?
Lösung zeigen
1. In der Länge: 24 : 4 = 6
2. In der Breite: 9 : 3 = 3
3. Eine Lage: 6 · 3 = 18
Ergebnis:
18 Seifenstücke
★18
Ein Karton ist innen 9 cm lang, 10 cm breit und 2 cm hoch. Keksschachteln sind 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
Lösung zeigen
1. Je Richtung teilen: 9 : 4 = 2 Rest 1; 10 : 3 = 3 Rest 1
2. Und in der Höhe: 2 : 2 = 1
3. 2 · 3 · 1 = 6
4. Die Reste bleiben leer, halbe Päckchen gibt es nicht.
Ergebnis:
6 Keksschachteln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●19
Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 10 cm lang, 8 cm breit und 1 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 7 cm lang, 8 cm breit und 6 cm hoch. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
1. Unten: 10 cm · 8 cm · 1 cm = 80 cm³
2. Oben: 7 cm · 8 cm · 6 cm = 336 cm³
3. Zusammen: 80 cm³ + 336 cm³ = 416 cm³
Ergebnis:
416 cm³
●20
Aus einem Holzklotz, 9 cm lang, 5 cm breit und 5 cm hoch, wird oben rechts ein Stück herausgesägt. Es ist 2 cm lang, 5 cm breit und 1 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des Rests?
Lösung zeigen
1. Voller Quader: 9 cm · 5 cm · 5 cm = 225 cm³
2. Fehlendes Stück: 2 cm · 5 cm · 1 cm = 10 cm³
3. Rest: 225 cm³ − 10 cm³ = 215 cm³
Ergebnis:
215 cm³
●21
Aus gleich langen Halmen und Knetkugeln wird eine Reihe aus 2 Würfeln gebaut, nebeneinander. Benachbarte Würfel teilen sich eine Fläche. Wie viele Halme braucht man?
Lösung zeigen
1. Quer: 3 Quadrate mit je 4 Halmen: 3 · 4 = 12
2. Längs: in jedem Würfel 4 Halme: 2 · 4 = 8
3. Zusammen: 12 + 8 = 20
Ergebnis:
20 Halme
●22
Ein Holzwürfel mit 6 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 3 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
Lösung zeigen
1. Je Richtung: 6 : 3 = 2
2. 2 · 2 · 2 = 8
3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
Ergebnis:
8 Würfel
●23
Ein Karton ist innen 24 cm lang, 25 cm breit und 8 cm hoch. Keksschachteln sind 8 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen in die unterste Lage?
Lösung zeigen
1. In der Länge: 24 : 8 = 3
2. In der Breite: 25 : 5 = 5
3. Eine Lage: 3 · 5 = 15
Ergebnis:
15 Keksschachteln
●24
In einen Karton passen 20 Bausteinkisten. Es sollen 159 Bausteinkisten verschickt werden. Wie viele Kartons sind ganz voll, und wie viele Bausteinkisten liegen im letzten Karton?
Lösung zeigen
1. 159 : 20 = 7 Rest 19
2. 7 Kartons sind voll.
3. Im letzten Karton liegen 19.
Ergebnis:
7 volle Kartons, 19 im letzten

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zerlegen in Quader: Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.
Ergänzen und abziehen: Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.
Oberfläche zählen: Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.
Kantenmodell: Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.
In kleine Würfel zerlegen: Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?
Packaufgaben: Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.
25
Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 10 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 5 cm lang, 5 cm breit und 3 cm hoch. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
275 cm³
Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.
26
Aus einem Holzklotz, 8 cm lang, 3 cm breit und 5 cm hoch, wird oben rechts ein Stück herausgesägt. Es ist 3 cm lang, 3 cm breit und 3 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des Rests?
Lösung zeigen
Ergebnis:
93 cm³
Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.
27
Das Würfelgebäude im Bild steht auf dem Tisch. Alle Flächen, die man sehen oder anfassen kann, werden gestrichen. Wie viele Würfelflächen sind das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
18 Flächen
Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.
28
Tim baut 7 Würfel nebeneinander aus Halmen. Er rechnet 12 · 7, weil ein Würfel 12 Kanten hat. Wie viele Halme spart er, weil benachbarte Würfel sich Kanten teilen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Halme
Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.
29
Ein Holzwürfel mit 6 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 3 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Würfel
Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?
30
Ein Karton ist innen 60 cm lang, 24 cm breit und 21 cm hoch. Seifenstücke sind 12 cm lang, 8 cm breit und 7 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
45 Seifenstücke

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Zerlegen oder ergänzen: zwei Wege zum selben Volumen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umzugskartons packen, Kofferraum beladen, Bausteine zählen, Zauberwürfel. Beruf: Lagerlogistik und Versand, Architektur mit Grundriss und Ansichten, Betonbau und Schreinerei.

Wörter

Oberfläche: alle Außenseiten zusammen
Volumen: wie viel hineinpasst
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Körper und Volumen, Flächen und Umfang, Würfelgebäude, Baupläne und Ansichten

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

304 cm³
198 cm³
51 m³
187 cm³
196 cm³
231 m³
26 Flächen
18 Flächen
112 cm²
28 Knetkugeln
16 Knetkugeln
82 Halme
8 Würfel
4 Würfel
25 Würfel
10 Buntstiftschachteln
18 Seifenstücke
6 Keksschachteln
416 cm³
215 cm³
20 Halme
8 Würfel
15 Keksschachteln
7 volle Kartons, 19 im letzten
275 cm³
93 cm³
18 Flächen
24 Halme
8 Würfel
45 Seifenstücke
8 cm³
3000 cm³