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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Zusammengesetzte Körper

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele nehmen die größte Länge mal die größte Breite mal die Höhe, als wäre das Beet ein Quader. Andere zerlegen, zählen aber die Ecke doppelt. Die Ergebnisse gehen weit auseinander, und niemand weiß, welches stimmt. Wir zerlegen das L in zwei Quader, die sich nicht überlappen, und rechnen jeden für sich. Dann ergänzen wir das L zum großen Quader und ziehen das fehlende Stück ab. Kommt beide Male dasselbe heraus, stimmt die Rechnung.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Das Volumen eines Quaders ist Länge mal Breite mal Höhe – so viele Einheitswürfel passen hinein.

  1. ●31
    Ein Würfel hat die Kantenlänge 9 cm. Berechne das Volumen.
    Lösung zeigen
    1. V = a · a · a = 9 · 9 · 9
    2. V = 729 cm³
    Ergebnis:
    729 cm³
  2. ●32
    Rechne um: 3 m³ in dm³ und in Liter.
    Lösung zeigen
    1. 1 m³ = 1000 dm³
    2. 3 · 1000 = 3000 dm³ = 3000 l
    Ergebnis:
    3000 dm³ = 3000 l

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZerlegen und ergänzen, nichts doppelt

Ein Körper, der kein Quader ist, besteht aus Quadern oder ist ein Quader mit einem fehlenden Stück. Wer ihn in Gedanken zerlegt oder ergänzt, rechnet mit bekannten Formeln. Beim Zählen von Flächen, Kanten und kleinen Würfeln gilt dieselbe Idee: ordnen, nichts vergessen, nichts doppelt.

Ein Körper in L-Form, zerlegt in zwei Quader: Das Volumen ist die Summe der beidenQuader 1Quader 2L-Form = zwei QuaderV = V₁ + V₂nichts doppelt

WeiterdenkenDenk nach

Ein Körper in L-Form lässt sich auf zwei Arten in Quader zerlegen. Muss bei beiden Zerlegungen dasselbe Volumen herauskommen? Warum?

1Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.

EntdeckenFrage

Wie viele Teile mit drei, mit zwei und mit einer Farbe hat ein Zauberwürfel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

8 Eckteile mit drei Farben, 12 Kantenteile mit zwei Farben und 6 Mittelteile mit einer Farbe. Das sind genau die Zahlen, die man beim bemalten und zersägten Würfel aus 3 mal 3 mal 3 kleinen Würfeln bekommt. Innen sitzt statt des 27. Würfels ein Drehkreuz.

MerkenZerlegen in Quader

Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.

Jedes Volumen einzeln berechnen und dann addieren. Eine Skizze mit den Teilquadern zeigt, dass kein Teil fehlt.

BeispielVolumen zusammengesetzter Körper: zerlegen

Eine Treppe aus 3 Blöcken: Jeder Block ist 3 cm lang und 8 cm breit. Der erste ist 3 cm hoch, jeder weitere 3 cm höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
3 cm3 cm
Schritt für Schritt
  1. Block 1: 3 cm · 8 cm · 3 cm = 72 cm³
  2. Block 2: 3 cm · 8 cm · 6 cm = 144 cm³
  3. Block 3: 3 cm · 8 cm · 9 cm = 216 cm³
  4. Zusammen: 72 cm³ + 144 cm³ + 216 cm³ = 432 cm³
  1. Block 1: 3 cm · 8 cm · 3 cm = 72 cm³
  2. Block 2: 3 cm · 8 cm · 6 cm = 144 cm³
  3. Block 3: 3 cm · 8 cm · 9 cm = 216 cm³
  4. Zusammen: 72 cm³ + 144 cm³ + 216 cm³ = 432 cm³
Ergebnis:
432 cm³

AchtungTeilkörper vergessen oder doppelt gezählt

So nicht
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 9 = 360 cm³
So richtig
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 3 + 4 · 5 · 6 = 240 cm³

Erst eine Skizze mit den Teilquadern, jeden Teil einmal berechnen, dann addieren oder abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Eine Treppe aus 3 Blöcken: Jeder Block ist 3 cm lang und 3 cm breit. Der erste ist 2 cm hoch, jeder weitere 2 cm höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
    3 cm2 cm
    So fängst du an:
    Block 1: 3 cm · 3 cm · 2 cm = 18 cm³
    Lösung zeigen
    1. Block 1: 3 cm · 3 cm · 2 cm = 18 cm³
    2. Block 2: 3 cm · 3 cm · 4 cm = 36 cm³
    3. Block 3: 3 cm · 3 cm · 6 cm = 54 cm³
    4. Zusammen: 18 cm³ + 36 cm³ + 54 cm³ = 108 cm³
    Ergebnis:
    108 cm³
  2. ●2
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 10 cm lang, 3 cm breit und 4 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 5 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Berechne das Volumen.
    10 cm5 cm4 cm2 cm
    Lösung zeigen
    1. Unten: 10 cm · 3 cm · 4 cm = 120 cm³
    2. Oben: 5 cm · 3 cm · 2 cm = 30 cm³
    3. Zusammen: 120 cm³ + 30 cm³ = 150 cm³
    Ergebnis:
    150 cm³
  3. ★3
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 9 dm lang, 8 dm breit und 4 dm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 1 dm lang, 8 dm breit und 2 dm hoch. Wie viel Liter passen in eine Form mit genau diesem Volumen?
    9 dm1 dm4 dm2 dm
    Lösung zeigen
    1. Unten: 9 dm · 8 dm · 4 dm = 288 dm³
    2. Oben: 1 dm · 8 dm · 2 dm = 16 dm³
    3. Zusammen: 288 dm³ + 16 dm³ = 304 dm³
    4. 1 dm³ ist 1 Liter: 304 Liter
    Ergebnis:
    304 Liter

2Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.

EntdeckenFrage

Warum sind Milchtüten eckig, obwohl Flaschen und Dosen rund sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Quader lassen sich lückenlos nebeneinander und übereinander packen. Stehen runde Dosen in Reihen, bleibt gut ein Fünftel des Platzes leer: Ein Kreis füllt nur knapp vier Fünftel des Quadrats, in dem er steht. Im Kühlschrank und im Lastwagen zählt jeder Zentimeter.

MerkenErgänzen und abziehen

Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.

Zerlegen und Ergänzen geben dasselbe Volumen. Der eine Weg ist die Probe für den anderen.

BeispielVolumen mit Aussparung: ergänzen und abziehen

Ein Kasten ohne Deckel ist außen 9 cm lang, 8 cm breit und 7 cm hoch. Wände und Boden sind 1 cm dick. Wie viel Kubikzentimeter Holz stecken im Kasten?
Schritt für Schritt
  1. Außen: 9 cm · 8 cm · 7 cm = 504 cm³
  2. Innen: 7 cm · 6 cm · 6 cm = 252 cm³
  3. Holz: 504 cm³ − 252 cm³ = 252 cm³
  1. Außen: 9 cm · 8 cm · 7 cm = 504 cm³
  2. Innen: 7 cm · 6 cm · 6 cm = 252 cm³
  3. Holz: 504 cm³ − 252 cm³ = 252 cm³
Ergebnis:
252 cm³

AchtungNoch einmal: Teilkörper vergessen oder doppelt gezählt

So nicht
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 9 = 360 cm³
So richtig
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 3 + 4 · 5 · 6 = 240 cm³

Erst eine Skizze mit den Teilquadern, jeden Teil einmal berechnen, dann addieren oder abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Quader ist 5 cm lang, 5 cm breit und 7 cm hoch. Oben rechts fehlt ihm eine Ecke, 2 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch. Berechne das Volumen, indem du ergänzt und abziehst.
    5 cm7 cm2 cm4 cm
    So fängst du an:
    Voller Quader: 5 cm · 5 cm · 7 cm = 175 cm³
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 5 cm · 5 cm · 7 cm = 175 cm³
    2. Fehlendes Stück: 2 cm · 5 cm · 4 cm = 40 cm³
    3. Rest: 175 cm³ − 40 cm³ = 135 cm³
    Ergebnis:
    135 cm³
  2. ●5
    Durch einen Quader, 6 cm lang, 6 cm breit und 6 cm hoch, geht der ganzen Länge nach ein Kanal. Seine Öffnung ist ein Rechteck, 4 cm breit und 2 cm hoch. Wie groß ist das Volumen, das übrig bleibt?
    6 cm6 cm4 cm · 2 cm
    Lösung zeigen
    1. Ganzer Quader: 6 cm · 6 cm · 6 cm = 216 cm³
    2. Kanal: 6 cm · 4 cm · 2 cm = 48 cm³
    3. Übrig: 216 cm³ − 48 cm³ = 168 cm³
    Ergebnis:
    168 cm³
  3. ★6
    Ein Kasten ohne Deckel ist außen 13 cm lang, 9 cm breit und 9 cm hoch. Wände und Boden sind 2 cm dick. Wie viel Kubikzentimeter Holz stecken im Kasten?
    Lösung zeigen
    1. Außen: 13 cm · 9 cm · 9 cm = 1053 cm³
    2. Innen: 9 cm · 5 cm · 7 cm = 315 cm³
    3. Holz: 1053 cm³ − 315 cm³ = 738 cm³
    Ergebnis:
    738 cm³

3Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.

EntdeckenFrage

Warum stapeln Händler Orangen als Pyramide und nicht in geraden Säulen übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In der Pyramide liegt jede Orange in einer Mulde zwischen den unteren. So füllen die Kugeln knapp drei Viertel des Raumes, dichter geht es nicht. Das hat Johannes Kepler 1611 vermutet; bewiesen hat es erst Thomas Hales, veröffentlicht 2005.

MerkenOberfläche zählen

Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.

Die Oberfläche ist 6 mal die Zahl der Würfel minus 2 mal die Zahl der Berührungen.

BeispielOberfläche eines Würfelgebäudes zählen

Aus wie vielen Würfelflächen besteht die Oberfläche des Würfelgebäudes im Bild? Zähle auch den Boden mit.
vorn
Schritt für Schritt
  1. 7 Würfel haben zusammen 6 · 7 = 42 Flächen.
  2. Übereinander berühren sich 3, nebeneinander 4 Flächenpaare.
  3. Verdeckt sind 2 · 7 = 14 Flächen.
  4. 42 − 14 = 28
  1. 7 Würfel haben zusammen 6 · 7 = 42 Flächen.
  2. Übereinander berühren sich 3, nebeneinander 4 Flächenpaare.
  3. Verdeckt sind 2 · 7 = 14 Flächen.
  4. 42 − 14 = 28
Ergebnis:
28 Flächen

AchtungBerührende Flächen mitgezählt

So nicht
3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 = 18 Flächen
So richtig
3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 − 2 · 2 = 14 Flächen

Wo zwei Würfel aneinanderliegen, verschwinden zwei Flächen. Sie gehören nicht zur Oberfläche.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Würfelgebäude im Bild liegen Würfel direkt aneinander. Wie viele Würfelflächen sind dadurch verdeckt, sodass man sie von außen nicht mehr sieht?
    vorn
    So fängst du an:
    Übereinander berühren sich 4 Flächenpaare.
    Lösung zeigen
    1. Übereinander berühren sich 4 Flächenpaare.
    2. Nebeneinander berühren sich 4 Flächenpaare.
    3. Jede Berührung verdeckt 2 Flächen: 2 · 8 = 16
    Ergebnis:
    16 Flächen
  2. ●8
    Das Würfelgebäude im Bild steht auf dem Tisch. Alle Flächen, die man sehen oder anfassen kann, werden gestrichen. Wie viele Würfelflächen sind das?
    vorn
    Lösung zeigen
    1. 5 Würfel haben zusammen 6 · 5 = 30 Flächen.
    2. Übereinander berühren sich 1, nebeneinander 3 Flächenpaare.
    3. Verdeckt sind 2 · 4 = 8 Flächen.
    4. 30 − 8 = 22
    5. Auf dem Tisch liegen 4 Flächen: 22 − 4 = 18
    Ergebnis:
    18 Flächen
  3. ★9
    Das Würfelgebäude im Bild besteht aus Würfeln mit 3 cm Kantenlänge. Wie groß ist seine ganze Oberfläche, der Boden mitgezählt?
    vorn
    Lösung zeigen
    1. 15 Würfel haben zusammen 6 · 15 = 90 Flächen.
    2. Übereinander berühren sich 9, nebeneinander 15 Flächenpaare.
    3. Verdeckt sind 2 · 24 = 48 Flächen.
    4. 90 − 48 = 42
    5. Eine Würfelfläche hat 3 cm · 3 cm = 9 cm².
    6. 42 · 9 cm² = 378 cm²
    Ergebnis:
    378 cm²

4Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser passt in ein Becken für olympische Schwimmwettkämpfe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Becken ist 50 m lang und 25 m breit. Bei 2 m Tiefe sind das 50 · 25 · 2 = 2500 Kubikmeter, also 2,5 Millionen Liter. Ist es 3 m tief, passen 3750 Kubikmeter hinein.

MerkenKantenmodell

Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.

Stehen Würfel aus Halmen nebeneinander, teilen sie sich Kanten. Jede gemeinsame Kante braucht nur einen Halm.

BeispielStäbchenmodelle aus Würfelreihen

Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 3 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
Schritt für Schritt
  1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 4 Quadrate.
  2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
  3. 4 · 4 = 16
  1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 4 Quadrate.
  2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
  3. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16 Knetkugeln

AchtungGemeinsame Kanten doppelt gezählt

So nicht
4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 12 · 4 = 48 Halme
So richtig
4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 5 · 4 + 4 · 4 = 36 Halme

Teilen sich zwei Würfel eine Kante, wird sie nur einmal gebraucht. Erst die Kanten quer zählen, dann die langen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Aus gleich langen Halmen und Knetkugeln wird eine Reihe aus 6 Würfeln gebaut, nebeneinander. Benachbarte Würfel teilen sich eine Fläche. Wie viele Halme braucht man?
    So fängst du an:
    Quer: 7 Quadrate mit je 4 Halmen: 7 · 4 = 28
    Lösung zeigen
    1. Quer: 7 Quadrate mit je 4 Halmen: 7 · 4 = 28
    2. Längs: in jedem Würfel 4 Halme: 6 · 4 = 24
    3. Zusammen: 28 + 24 = 52
    Ergebnis:
    52 Halme
  2. ●11
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 6 Würfel übereinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    Lösung zeigen
    1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 7 Quadrate.
    2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
    3. 7 · 4 = 28
    Ergebnis:
    28 Knetkugeln
  3. ★12
    Aus gleich langen Halmen und Knetkugeln wird eine Reihe aus 12 Würfeln gebaut, nebeneinander. Benachbarte Würfel teilen sich eine Fläche. Wie viele Halme braucht man?
    Lösung zeigen
    1. Quer: 13 Quadrate mit je 4 Halmen: 13 · 4 = 52
    2. Längs: in jedem Würfel 4 Halme: 12 · 4 = 48
    3. Zusammen: 52 + 48 = 100
    Ergebnis:
    100 Halme

5Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.

EntdeckenFrage

Wie viele Standardcontainer trägt eines der größten Containerschiffe der Welt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mehr als 24.000. Gezählt wird in 20-Fuß-Containern, jeder rund 6 m lang, 2,4 m breit und 2,6 m hoch. Die Reederei plant die Ladung wie eine Packaufgabe: Reihen nebeneinander, Lagen übereinander.

MerkenIn kleine Würfel zerlegen

Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?

Eine Schicht ist Länge mal Breite, alle Schichten zusammen sind die drei Zahlen malgenommen.

BeispielIn kleine Würfel zersägen

Ein Holzwürfel mit 6 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 2 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
6 cm6 cm6 cm
Schritt für Schritt
  1. Je Richtung: 6 : 2 = 3
  2. 3 · 3 · 3 = 27
  3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
  1. Je Richtung: 6 : 2 = 3
  2. 3 · 3 · 3 = 27
  3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
Ergebnis:
27 Würfel

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Holzblock soll in 6 mal 6 mal 6 gleiche kleine Würfel zersägt werden. Jeder Schnitt geht gerade durch den ganzen Block, die Teile bleiben liegen. Wie oft wird gesägt?
    So fängst du an:
    In der Länge trennen 5 Schnitte 6 Teile.
    Lösung zeigen
    1. In der Länge trennen 5 Schnitte 6 Teile.
    2. Ebenso 5 und 5 Schnitte in den anderen Richtungen.
    3. 5 + 5 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15 Schnitte
  2. ●14
    Ein Holzblock soll in 4 mal 4 mal 4 gleiche kleine Würfel zersägt werden. Jeder Schnitt geht gerade durch den ganzen Block, die Teile bleiben liegen. Wie oft wird gesägt?
    Lösung zeigen
    1. In der Länge trennen 3 Schnitte 4 Teile.
    2. Ebenso 3 und 3 Schnitte in den anderen Richtungen.
    3. 3 + 3 + 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Schnitte
  3. ★15
    Ein Holzquader, 20 cm lang, 25 cm breit und 10 cm hoch, wird in Würfel mit 5 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel liegen in der untersten Schicht?
    20 cm10 cm25 cm
    Lösung zeigen
    1. In der Länge: 20 : 5 = 4
    2. In der Breite: 25 : 5 = 5
    3. Eine Schicht: 4 · 5 = 20
    Ergebnis:
    20 Würfel

6Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?

EntdeckenFrage

Wie zeichnen Architekten ein Haus, damit jeder es genau gleich bauen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einem Grundriss, das ist die Ansicht von oben, und mit Ansichten von vorn und von der Seite. Aus diesen Bildern zusammen kann man sich das ganze Haus vorstellen – genau wie ein Würfelgebäude aus Bauplan und Ansichten.

MerkenPackaufgaben

Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Nur ganze Päckchen zählen. Dann die drei Zahlen malnehmen.

BeispielWie viele Päckchen passen in den Karton?

Ein Karton ist innen 42 cm lang, 9 cm breit und 15 cm hoch. Saftpackungen sind 7 cm lang, 3 cm breit und 5 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
42 cm15 cm9 cm
Schritt für Schritt
  1. Je Richtung teilen: 42 : 7 = 6; 9 : 3 = 3
  2. Und in der Höhe: 15 : 5 = 3
  3. 6 · 3 · 3 = 54
  1. Je Richtung teilen: 42 : 7 = 6; 9 : 3 = 3
  2. Und in der Höhe: 15 : 5 = 3
  3. 6 · 3 · 3 = 54
Ergebnis:
54 Saftpackungen

AchtungVolumen durch Volumen geteilt statt Längen

So nicht
Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 6000 : 480 → 12 Päckchen
So richtig
Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 30 : 8 → 3, 20 : 6 → 3, 10 : 10 = 1 → 3 · 3 · 1 = 9 Päckchen

Je Richtung teilen und abrunden. Was nicht ganz hineinpasst, bleibt leer.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Karton ist innen 36 cm lang, 32 cm breit und 21 cm hoch. Keksschachteln sind 9 cm lang, 8 cm breit und 7 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Keksschachteln sind das zusammen?
    36 cm21 cm32 cm
    So fängst du an:
    Lagen: 21 : 7 = 3
    Lösung zeigen
    1. Lagen: 21 : 7 = 3
    2. Eine Lage: 4 · 4 = 16
    3. 3 · 16 = 48
    Ergebnis:
    3 Lagen, 48 Keksschachteln
  2. ●17
    Ein Karton ist innen 20 cm lang, 24 cm breit und 18 cm hoch. Keksschachteln sind 10 cm lang, 6 cm breit und 6 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Keksschachteln sind das zusammen?
    20 cm18 cm24 cm
    Lösung zeigen
    1. Lagen: 18 : 6 = 3
    2. Eine Lage: 2 · 4 = 8
    3. 3 · 8 = 24
    Ergebnis:
    3 Lagen, 24 Keksschachteln
  3. ★18
    Ein Karton ist innen 44 cm lang, 7 cm breit und 18 cm hoch. Buntstiftschachteln sind 11 cm lang, 3 cm breit und 4 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
    44 cm18 cm7 cm
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung teilen: 44 : 11 = 4; 7 : 3 = 2 Rest 1
    2. Und in der Höhe: 18 : 4 = 4 Rest 2
    3. 4 · 2 · 4 = 32
    4. Die Reste bleiben leer, halbe Päckchen gibt es nicht.
    Ergebnis:
    32 Buntstiftschachteln

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Eine Treppe aus 3 Blöcken: Jeder Block ist 5 cm lang und 4 cm breit. Der erste ist 2 cm hoch, jeder weitere 2 cm höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
    5 cm2 cm
    Lösung zeigen
    1. Block 1: 5 cm · 4 cm · 2 cm = 40 cm³
    2. Block 2: 5 cm · 4 cm · 4 cm = 80 cm³
    3. Block 3: 5 cm · 4 cm · 6 cm = 120 cm³
    4. Zusammen: 40 cm³ + 80 cm³ + 120 cm³ = 240 cm³
    Ergebnis:
    240 cm³
  2. ●20
    Durch einen Quader, 6 cm lang, 4 cm breit und 5 cm hoch, geht der ganzen Länge nach ein Kanal. Seine Öffnung ist ein Rechteck, 1 cm breit und 3 cm hoch. Wie groß ist das Volumen, das übrig bleibt?
    4 cm5 cm1 cm · 3 cm
    Lösung zeigen
    1. Ganzer Quader: 6 cm · 4 cm · 5 cm = 120 cm³
    2. Kanal: 6 cm · 1 cm · 3 cm = 18 cm³
    3. Übrig: 120 cm³ − 18 cm³ = 102 cm³
    Ergebnis:
    102 cm³
  3. ●21
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 7 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    Lösung zeigen
    1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 8 Quadrate.
    2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
    3. 8 · 4 = 32
    Ergebnis:
    32 Knetkugeln
  4. ●22
    Ein Holzwürfel mit 8 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 4 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
    8 cm8 cm8 cm
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung: 8 : 4 = 2
    2. 2 · 2 · 2 = 8
    3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
    Ergebnis:
    8 Würfel
  5. ●23
    Ein Karton ist innen 32 cm lang, 20 cm breit und 12 cm hoch. Teepackungen sind 8 cm lang, 5 cm breit und 6 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
    32 cm12 cm20 cm
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung teilen: 32 : 8 = 4; 20 : 5 = 4
    2. Und in der Höhe: 12 : 6 = 2
    3. 4 · 4 · 2 = 32
    Ergebnis:
    32 Teepackungen
  6. ●24
    Ein Laden bestellt 40 Teepackungen. In einen Karton passen 6. Wie viele Kartons braucht der Lieferdienst mindestens?
    1 Karton fasst 6zu verschicken: 40
    Lösung zeigen
    1. 40 : 6 = 6 Rest 4
    2. Für den Rest von 4 braucht man einen weiteren Karton.
    3. 6 + 1 = 7
    Ergebnis:
    7 Kartons

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zerlegen in Quader
Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.
Ergänzen und abziehen
Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.
Oberfläche zählen
Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.
Kantenmodell
Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.
In kleine Würfel zerlegen
Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?
Packaufgaben
Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.

    25
    Eine Treppe aus 3 Blöcken: Jeder Block ist 5 cm lang und 4 cm breit. Der erste ist 1 cm hoch, jeder weitere 1 cm höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
    5 cm1 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    120 cm³

  2. Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.

    26
    Ein Quader ist 9 cm lang, 6 cm breit und 3 cm hoch. Oben rechts fehlt ihm eine Ecke, 4 cm lang, 6 cm breit und 1 cm hoch. Berechne das Volumen, indem du ergänzt und abziehst.
    9 cm3 cm4 cm1 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    138 cm³

  3. Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.

    27
    Aus wie vielen Würfelflächen besteht die Oberfläche des Würfelgebäudes im Bild? Zähle auch den Boden mit.
    vorn
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Flächen

  4. Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.

    28
    Aus gleich langen Halmen und Knetkugeln wird eine Reihe aus 8 Würfeln gebaut, übereinander. Benachbarte Würfel teilen sich eine Fläche. Wie viele Halme braucht man?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    68 Halme

  5. Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.

    29
    Ein Holzwürfel mit 8 cm Kantenlänge wird in Würfel mit 4 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel liegen in der untersten Schicht?
    8 cm8 cm8 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Würfel

  6. Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?

    30
    Ein Karton ist innen 44 cm lang, 32 cm breit und 12 cm hoch. Saftpackungen sind 11 cm lang, 8 cm breit und 6 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
    44 cm12 cm32 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32 Saftpackungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Zerlegen oder ergänzen: zwei Wege zum selben Volumen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umzugskartons packen, Kofferraum beladen, Bausteine zählen, Zauberwürfel. Beruf: Lagerlogistik und Versand, Architektur mit Grundriss und Ansichten, Betonbau und Schreinerei.

Wörter

Oberfläche
alle Außenseiten zusammen
Volumen
wie viel hineinpasst
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Körper und Volumen, Flächen und Umfang, Würfelgebäude, Baupläne und Ansichten

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 108 cm³
  2. 150 cm³
  3. 304 Liter
  4. 135 cm³
  5. 168 cm³
  6. 738 cm³
  7. 16 Flächen
  8. 18 Flächen
  9. 378 cm²
  10. 52 Halme
  11. 28 Knetkugeln
  12. 100 Halme
  13. 15 Schnitte
  14. 9 Schnitte
  15. 20 Würfel
  16. 3 Lagen, 48 Keksschachteln
  17. 3 Lagen, 24 Keksschachteln
  18. 32 Buntstiftschachteln
  19. 240 cm³
  20. 102 cm³
  21. 32 Knetkugeln
  22. 8 Würfel
  23. 32 Teepackungen
  24. 7 Kartons
  25. 120 cm³
  26. 138 cm³
  27. 20 Flächen
  28. 68 Halme
  29. 4 Würfel
  30. 32 Saftpackungen
  31. 729 cm³
  32. 3000 dm³ = 3000 l