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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Zusammengesetzte Körper

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele nehmen die größte Länge mal die größte Breite mal die Höhe, als wäre das Beet ein Quader. Andere zerlegen, zählen aber die Ecke doppelt. Die Ergebnisse gehen weit auseinander, und niemand weiß, welches stimmt. Wir zerlegen das L in zwei Quader, die sich nicht überlappen, und rechnen jeden für sich. Dann ergänzen wir das L zum großen Quader und ziehen das fehlende Stück ab. Kommt beide Male dasselbe heraus, stimmt die Rechnung.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Das Volumen eines Quaders ist Länge mal Breite mal Höhe – so viele Einheitswürfel passen hinein.

  1. ●31
    Ein Würfel hat die Kantenlänge 2 cm. Berechne das Volumen.
    Lösung zeigen
    1. V = a · a · a = 2 · 2 · 2
    2. V = 8 cm³
    Ergebnis:
    8 cm³
  2. ●32
    Ein Aquarium fasst 5 l. Rechne um: Wie viele dm³ sind das – und wie viele cm³?
    Lösung zeigen
    1. 1 l = 1 dm³, also 5 dm³
    2. 5 · 1000 = 5000 cm³
    Ergebnis:
    5 dm³ = 5000 cm³

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZerlegen und ergänzen, nichts doppelt

Ein Körper, der kein Quader ist, besteht aus Quadern oder ist ein Quader mit einem fehlenden Stück. Wer ihn in Gedanken zerlegt oder ergänzt, rechnet mit bekannten Formeln. Beim Zählen von Flächen, Kanten und kleinen Würfeln gilt dieselbe Idee: ordnen, nichts vergessen, nichts doppelt.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Körper in L-Form lässt sich auf zwei Arten in Quader zerlegen. Muss bei beiden Zerlegungen dasselbe Volumen herauskommen? Warum?

1Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.

EntdeckenFrage

Wie viele Teile mit drei, mit zwei und mit einer Farbe hat ein Zauberwürfel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

8 Eckteile mit drei Farben, 12 Kantenteile mit zwei Farben und 6 Mittelteile mit einer Farbe. Das sind genau die Zahlen, die man beim bemalten und zersägten Würfel aus 3 mal 3 mal 3 kleinen Würfeln bekommt. Innen sitzt statt des 27. Würfels ein Drehkreuz.

MerkenZerlegen in Quader

Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.

Jedes Volumen einzeln berechnen und dann addieren. Eine Skizze mit den Teilquadern zeigt, dass kein Teil fehlt.

BeispielVolumen zusammengesetzter Körper: zerlegen

Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 4 cm lang, 8 cm breit und 2 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 2 cm lang, 8 cm breit und 1 cm hoch. Berechne das Volumen.
4 cm2 cm2 cm1 cm
Schritt für Schritt
  1. Unten: 4 cm · 8 cm · 2 cm = 64 cm³
  2. Oben: 2 cm · 8 cm · 1 cm = 16 cm³
  3. Zusammen: 64 cm³ + 16 cm³ = 80 cm³
  1. Unten: 4 cm · 8 cm · 2 cm = 64 cm³
  2. Oben: 2 cm · 8 cm · 1 cm = 16 cm³
  3. Zusammen: 64 cm³ + 16 cm³ = 80 cm³
Ergebnis:
80 cm³

AchtungTeilkörper vergessen oder doppelt gezählt

So nicht
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 9 = 360 cm³
So richtig
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 3 + 4 · 5 · 6 = 240 cm³

Erst eine Skizze mit den Teilquadern, jeden Teil einmal berechnen, dann addieren oder abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 8 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 6 cm lang, 5 cm breit und 3 cm hoch. Berechne das Volumen.
    8 cm6 cm4 cm3 cm
    So fängst du an:
    Unten: 8 cm · 5 cm · 4 cm = 160 cm³
    Lösung zeigen
    1. Unten: 8 cm · 5 cm · 4 cm = 160 cm³
    2. Oben: 6 cm · 5 cm · 3 cm = 90 cm³
    3. Zusammen: 160 cm³ + 90 cm³ = 250 cm³
    Ergebnis:
    250 cm³
  2. ●2
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 9 cm lang, 3 cm breit und 5 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 5 cm lang, 3 cm breit und 3 cm hoch. Berechne das Volumen.
    9 cm5 cm5 cm3 cm
    Lösung zeigen
    1. Unten: 9 cm · 3 cm · 5 cm = 135 cm³
    2. Oben: 5 cm · 3 cm · 3 cm = 45 cm³
    3. Zusammen: 135 cm³ + 45 cm³ = 180 cm³
    Ergebnis:
    180 cm³
  3. ★3
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 10 m lang, 5 m breit und 2 m hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 9 m lang, 5 m breit und 6 m hoch. Berechne das Volumen.
    10 m9 m2 m6 m
    Lösung zeigen
    1. Unten: 10 m · 5 m · 2 m = 100 m³
    2. Oben: 9 m · 5 m · 6 m = 270 m³
    3. Zusammen: 100 m³ + 270 m³ = 370 m³
    Ergebnis:
    370 m³

2Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.

EntdeckenFrage

Warum sind Milchtüten eckig, obwohl Flaschen und Dosen rund sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Quader lassen sich lückenlos nebeneinander und übereinander packen. Stehen runde Dosen in Reihen, bleibt gut ein Fünftel des Platzes leer: Ein Kreis füllt nur knapp vier Fünftel des Quadrats, in dem er steht. Im Kühlschrank und im Lastwagen zählt jeder Zentimeter.

MerkenErgänzen und abziehen

Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.

Zerlegen und Ergänzen geben dasselbe Volumen. Der eine Weg ist die Probe für den anderen.

BeispielVolumen mit Aussparung: ergänzen und abziehen

Durch einen Quader, 12 cm lang, 6 cm breit und 6 cm hoch, geht der ganzen Länge nach ein Kanal. Seine Öffnung ist ein Rechteck, 1 cm breit und 1 cm hoch. Wie groß ist das Volumen, das übrig bleibt?
6 cm6 cm1 cm · 1 cm
Schritt für Schritt
  1. Ganzer Quader: 12 cm · 6 cm · 6 cm = 432 cm³
  2. Kanal: 12 cm · 1 cm · 1 cm = 12 cm³
  3. Übrig: 432 cm³ − 12 cm³ = 420 cm³
  1. Ganzer Quader: 12 cm · 6 cm · 6 cm = 432 cm³
  2. Kanal: 12 cm · 1 cm · 1 cm = 12 cm³
  3. Übrig: 432 cm³ − 12 cm³ = 420 cm³
Ergebnis:
420 cm³

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Durch einen Quader, 9 cm lang, 7 cm breit und 4 cm hoch, geht der ganzen Länge nach ein Kanal. Seine Öffnung ist ein Rechteck, 1 cm breit und 1 cm hoch. Wie groß ist das Volumen, das übrig bleibt?
    7 cm4 cm1 cm · 1 cm
    So fängst du an:
    Ganzer Quader: 9 cm · 7 cm · 4 cm = 252 cm³
    Lösung zeigen
    1. Ganzer Quader: 9 cm · 7 cm · 4 cm = 252 cm³
    2. Kanal: 9 cm · 1 cm · 1 cm = 9 cm³
    3. Übrig: 252 cm³ − 9 cm³ = 243 cm³
    Ergebnis:
    243 cm³
  2. ●5
    Aus einem Holzklotz, 11 cm lang, 4 cm breit und 5 cm hoch, wird oben rechts ein Stück herausgesägt. Es ist 4 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des Rests?
    11 cm5 cm4 cm2 cm
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 11 cm · 4 cm · 5 cm = 220 cm³
    2. Fehlendes Stück: 4 cm · 4 cm · 2 cm = 32 cm³
    3. Rest: 220 cm³ − 32 cm³ = 188 cm³
    Ergebnis:
    188 cm³
  3. ★6
    Ein Kasten ohne Deckel ist außen 7 cm lang, 9 cm breit und 4 cm hoch. Wände und Boden sind 2 cm dick. Wie viel Kubikzentimeter Holz stecken im Kasten?
    Lösung zeigen
    1. Außen: 7 cm · 9 cm · 4 cm = 252 cm³
    2. Innen: 3 cm · 5 cm · 2 cm = 30 cm³
    3. Holz: 252 cm³ − 30 cm³ = 222 cm³
    Ergebnis:
    222 cm³

3Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.

EntdeckenFrage

Warum stapeln Händler Orangen als Pyramide und nicht in geraden Säulen übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In der Pyramide liegt jede Orange in einer Mulde zwischen den unteren. So füllen die Kugeln knapp drei Viertel des Raumes, dichter geht es nicht. Das hat Johannes Kepler 1611 vermutet; bewiesen hat es erst Thomas Hales, veröffentlicht 2005.

MerkenOberfläche zählen

Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.

Die Oberfläche ist 6 mal die Zahl der Würfel minus 2 mal die Zahl der Berührungen.

BeispielOberfläche eines Würfelgebäudes zählen

Aus wie vielen Würfelflächen besteht die Oberfläche des Würfelgebäudes im Bild? Zähle auch den Boden mit.
vorn
Schritt für Schritt
  1. 5 Würfel haben zusammen 6 · 5 = 30 Flächen.
  2. Übereinander berühren sich 3, nebeneinander 2 Flächenpaare.
  3. Verdeckt sind 2 · 5 = 10 Flächen.
  4. 30 − 10 = 20
  1. 5 Würfel haben zusammen 6 · 5 = 30 Flächen.
  2. Übereinander berühren sich 3, nebeneinander 2 Flächenpaare.
  3. Verdeckt sind 2 · 5 = 10 Flächen.
  4. 30 − 10 = 20
Ergebnis:
20 Flächen

AchtungBerührende Flächen mitgezählt

So nicht
3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 = 18 Flächen
So richtig
3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 − 2 · 2 = 14 Flächen

Wo zwei Würfel aneinanderliegen, verschwinden zwei Flächen. Sie gehören nicht zur Oberfläche.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Würfelgebäude im Bild steht auf dem Tisch. Alle Flächen, die man sehen oder anfassen kann, werden gestrichen. Wie viele Würfelflächen sind das?
    vorn
    So fängst du an:
    5 Würfel haben zusammen 6 · 5 = 30 Flächen.
    Lösung zeigen
    1. 5 Würfel haben zusammen 6 · 5 = 30 Flächen.
    2. Übereinander berühren sich 3, nebeneinander 2 Flächenpaare.
    3. Verdeckt sind 2 · 5 = 10 Flächen.
    4. 30 − 10 = 20
    5. Auf dem Tisch liegen 2 Flächen: 20 − 2 = 18
    Ergebnis:
    18 Flächen
  2. ●8
    Im Würfelgebäude im Bild liegen Würfel direkt aneinander. Wie viele Würfelflächen sind dadurch verdeckt, sodass man sie von außen nicht mehr sieht?
    vorn
    Lösung zeigen
    1. Übereinander berühren sich 3 Flächenpaare.
    2. Nebeneinander berühren sich 2 Flächenpaare.
    3. Jede Berührung verdeckt 2 Flächen: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Flächen
  3. ★9
    Das Würfelgebäude im Bild besteht aus Würfeln mit 4 cm Kantenlänge. Wie groß ist seine ganze Oberfläche, der Boden mitgezählt?
    vorn
    Lösung zeigen
    1. 15 Würfel haben zusammen 6 · 15 = 90 Flächen.
    2. Übereinander berühren sich 9, nebeneinander 13 Flächenpaare.
    3. Verdeckt sind 2 · 22 = 44 Flächen.
    4. 90 − 44 = 46
    5. Eine Würfelfläche hat 4 cm · 4 cm = 16 cm².
    6. 46 · 16 cm² = 736 cm²
    Ergebnis:
    736 cm²

4Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser passt in ein Becken für olympische Schwimmwettkämpfe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Becken ist 50 m lang und 25 m breit. Bei 2 m Tiefe sind das 50 · 25 · 2 = 2500 Kubikmeter, also 2,5 Millionen Liter. Ist es 3 m tief, passen 3750 Kubikmeter hinein.

MerkenKantenmodell

Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.

Stehen Würfel aus Halmen nebeneinander, teilen sie sich Kanten. Jede gemeinsame Kante braucht nur einen Halm.

BeispielStäbchenmodelle aus Würfelreihen

Tim baut 2 Würfel nebeneinander aus Halmen. Er rechnet 12 · 2, weil ein Würfel 12 Kanten hat. Wie viele Halme spart er, weil benachbarte Würfel sich Kanten teilen?
Schritt für Schritt
  1. Richtig gezählt: 3 Quadrate zu je 4 Halmen und 4 · 2 Halme dazwischen.
  2. 12 + 8 = 20
  3. 12 · 2 = 24, also 24 − 20 = 4
  1. Richtig gezählt: 3 Quadrate zu je 4 Halmen und 4 · 2 Halme dazwischen.
  2. 12 + 8 = 20
  3. 12 · 2 = 24, also 24 − 20 = 4
Ergebnis:
4 Halme

AchtungGemeinsame Kanten doppelt gezählt

So nicht
4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 12 · 4 = 48 Halme
So richtig
4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 5 · 4 + 4 · 4 = 36 Halme

Teilen sich zwei Würfel eine Kante, wird sie nur einmal gebraucht. Erst die Kanten quer zählen, dann die langen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Tim baut 8 Würfel nebeneinander aus Halmen. Er rechnet 12 · 8, weil ein Würfel 12 Kanten hat. Wie viele Halme spart er, weil benachbarte Würfel sich Kanten teilen?
    So fängst du an:
    Richtig gezählt: 9 Quadrate zu je 4 Halmen und 4 · 8 Halme dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. Richtig gezählt: 9 Quadrate zu je 4 Halmen und 4 · 8 Halme dazwischen.
    2. 36 + 32 = 68
    3. 12 · 8 = 96, also 96 − 68 = 28
    Ergebnis:
    28 Halme
  2. ●11
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 8 Würfel übereinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    Lösung zeigen
    1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 9 Quadrate.
    2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
    3. 9 · 4 = 36
    Ergebnis:
    36 Knetkugeln
  3. ★12
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 8 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    Lösung zeigen
    1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 9 Quadrate.
    2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
    3. 9 · 4 = 36
    Ergebnis:
    36 Knetkugeln

5Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.

EntdeckenFrage

Wie viele Standardcontainer trägt eines der größten Containerschiffe der Welt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mehr als 24.000. Gezählt wird in 20-Fuß-Containern, jeder rund 6 m lang, 2,4 m breit und 2,6 m hoch. Die Reederei plant die Ladung wie eine Packaufgabe: Reihen nebeneinander, Lagen übereinander.

MerkenIn kleine Würfel zerlegen

Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?

Eine Schicht ist Länge mal Breite, alle Schichten zusammen sind die drei Zahlen malgenommen.

BeispielIn kleine Würfel zersägen

Ein Holzblock soll in 2 mal 2 mal 2 gleiche kleine Würfel zersägt werden. Jeder Schnitt geht gerade durch den ganzen Block, die Teile bleiben liegen. Wie oft wird gesägt?
Schritt für Schritt
  1. In der Länge trennen 1 Schnitte 2 Teile.
  2. Ebenso 1 und 1 Schnitte in den anderen Richtungen.
  3. 1 + 1 + 1 = 3
  1. In der Länge trennen 1 Schnitte 2 Teile.
  2. Ebenso 1 und 1 Schnitte in den anderen Richtungen.
  3. 1 + 1 + 1 = 3
Ergebnis:
3 Schnitte

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Holzwürfel mit 6 cm Kantenlänge wird in Würfel mit 3 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel liegen in der untersten Schicht?
    6 cm6 cm6 cm
    So fängst du an:
    In der Länge: 6 : 3 = 2
    Lösung zeigen
    1. In der Länge: 6 : 3 = 2
    2. In der Breite: 6 : 3 = 2
    3. Eine Schicht: 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Würfel
  2. ●14
    Ein Holzwürfel mit 16 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 4 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
    16 cm16 cm16 cm
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung: 16 : 4 = 4
    2. 4 · 4 · 4 = 64
    3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
    Ergebnis:
    64 Würfel
  3. ★15
    Ein Holzquader ist 20 cm lang, 16 cm breit und 12 cm hoch. Er wird in Würfel mit 4 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele Würfel entstehen?
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung: 20 : 4 = 5, 16 : 4 = 4, 12 : 4 = 3
    2. 5 · 4 · 3 = 60
    3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
    Ergebnis:
    60 Würfel

6Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?

EntdeckenFrage

Wie zeichnen Architekten ein Haus, damit jeder es genau gleich bauen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einem Grundriss, das ist die Ansicht von oben, und mit Ansichten von vorn und von der Seite. Aus diesen Bildern zusammen kann man sich das ganze Haus vorstellen – genau wie ein Würfelgebäude aus Bauplan und Ansichten.

MerkenPackaufgaben

Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Nur ganze Päckchen zählen. Dann die drei Zahlen malnehmen.

BeispielWie viele Päckchen passen in den Karton?

Ein Karton ist innen 54 cm lang, 9 cm breit und 8 cm hoch. Keksschachteln sind 9 cm lang, 3 cm breit und 4 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Keksschachteln sind das zusammen?
54 cm8 cm9 cm
Schritt für Schritt
  1. Lagen: 8 : 4 = 2
  2. Eine Lage: 6 · 3 = 18
  3. 2 · 18 = 36
  1. Lagen: 8 : 4 = 2
  2. Eine Lage: 6 · 3 = 18
  3. 2 · 18 = 36
Ergebnis:
2 Lagen, 36 Keksschachteln

AchtungVolumen durch Volumen geteilt statt Längen

So nicht
Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 6000 : 480 → 12 Päckchen
So richtig
Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 30 : 8 → 3, 20 : 6 → 3, 10 : 10 = 1 → 3 · 3 · 1 = 9 Päckchen

Je Richtung teilen und abrunden. Was nicht ganz hineinpasst, bleibt leer.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Karton ist innen 12 cm lang, 12 cm breit und 5 cm hoch. Saftpackungen sind 6 cm lang, 6 cm breit und 5 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
    12 cm5 cm12 cm
    So fängst du an:
    Je Richtung teilen: 12 : 6 = 2; 12 : 6 = 2
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung teilen: 12 : 6 = 2; 12 : 6 = 2
    2. Und in der Höhe: 5 : 5 = 1
    3. 2 · 2 · 1 = 4
    Ergebnis:
    4 Saftpackungen
  2. ●17
    Ein Karton ist innen 48 cm lang, 25 cm breit und 6 cm hoch. Seifenstücke sind 12 cm lang, 5 cm breit und 6 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
    48 cm6 cm25 cm
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung teilen: 48 : 12 = 4; 25 : 5 = 5
    2. Und in der Höhe: 6 : 6 = 1
    3. 4 · 5 · 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Seifenstücke
  3. ★18
    Ein Karton ist innen 12 cm lang, 16 cm breit und 13 cm hoch. Saftpackungen sind 6 cm lang, 5 cm breit und 9 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Saftpackungen sind das zusammen?
    12 cm13 cm16 cm
    Lösung zeigen
    1. Lagen: 13 : 9 = 1 Rest 4
    2. Eine Lage: 2 · 3 = 6
    3. 1 · 6 = 6
    Ergebnis:
    1 Lagen, 6 Saftpackungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Eine Treppe aus 3 Blöcken: Jeder Block ist 4 cm lang und 5 cm breit. Der erste ist 2 cm hoch, jeder weitere 2 cm höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
    4 cm2 cm
    Lösung zeigen
    1. Block 1: 4 cm · 5 cm · 2 cm = 40 cm³
    2. Block 2: 4 cm · 5 cm · 4 cm = 80 cm³
    3. Block 3: 4 cm · 5 cm · 6 cm = 120 cm³
    4. Zusammen: 40 cm³ + 80 cm³ + 120 cm³ = 240 cm³
    Ergebnis:
    240 cm³
  2. ●20
    Ein Quader ist 6 cm lang, 3 cm breit und 5 cm hoch. Oben rechts fehlt ihm eine Ecke, 3 cm lang, 3 cm breit und 3 cm hoch. Berechne das Volumen, indem du ergänzt und abziehst.
    6 cm5 cm3 cm3 cm
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 6 cm · 3 cm · 5 cm = 90 cm³
    2. Fehlendes Stück: 3 cm · 3 cm · 3 cm = 27 cm³
    3. Rest: 90 cm³ − 27 cm³ = 63 cm³
    Ergebnis:
    63 cm³
  3. ●21
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 3 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    Lösung zeigen
    1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 4 Quadrate.
    2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
    3. 4 · 4 = 16
    Ergebnis:
    16 Knetkugeln
  4. ●22
    Ein Karton ist innen 30 cm lang, 16 cm breit und 6 cm hoch. Teepackungen sind 10 cm lang, 4 cm breit und 6 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Teepackungen sind das zusammen?
    30 cm6 cm16 cm
    Lösung zeigen
    1. Lagen: 6 : 6 = 1
    2. Eine Lage: 3 · 4 = 12
    3. 1 · 12 = 12
    Ergebnis:
    1 Lagen, 12 Teepackungen
  5. ●23
    In einen Karton, innen 22 cm lang, 6 cm breit und 6 cm hoch, werden 24 Bausteinkisten gepackt. Jede ist 5 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Wie viel Kubikzentimeter bleiben leer?
    Lösung zeigen
    1. Karton: 22 cm · 6 cm · 6 cm = 792 cm³
    2. Bausteinkisten: 24 · 5 cm · 3 cm · 2 cm = 720 cm³
    3. Leer: 792 cm³ − 720 cm³ = 72 cm³
    Ergebnis:
    72 cm³
  6. ●24
    Eine Treppe aus 3 Blöcken: Jeder Block ist 5 cm lang und 4 cm breit. Der erste ist 3 cm hoch, jeder weitere 3 cm höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
    5 cm3 cm
    Lösung zeigen
    1. Block 1: 5 cm · 4 cm · 3 cm = 60 cm³
    2. Block 2: 5 cm · 4 cm · 6 cm = 120 cm³
    3. Block 3: 5 cm · 4 cm · 9 cm = 180 cm³
    4. Zusammen: 60 cm³ + 120 cm³ + 180 cm³ = 360 cm³
    Ergebnis:
    360 cm³

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zerlegen in Quader
Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.
Ergänzen und abziehen
Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.
Oberfläche zählen
Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.
Kantenmodell
Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.
In kleine Würfel zerlegen
Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?
Packaufgaben
Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.

    25
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 7 cm lang, 2 cm breit und 5 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 1 cm lang, 2 cm breit und 2 cm hoch. Berechne das Volumen.
    7 cm1 cm5 cm2 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    74 cm³

  2. Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.

    26
    Ein Kasten ohne Deckel ist außen 6 cm lang, 5 cm breit und 7 cm hoch. Wände und Boden sind 1 cm dick. Wie viel Kubikzentimeter Holz stecken im Kasten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    138 cm³

  3. Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.

    27
    Das Würfelgebäude im Bild steht auf dem Tisch. Alle Flächen, die man sehen oder anfassen kann, werden gestrichen. Wie viele Würfelflächen sind das?
    vorn
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Flächen

  4. Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.

    28
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 8 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 Knetkugeln

  5. Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.

    29
    Ein Holzblock soll in 5 mal 5 mal 5 gleiche kleine Würfel zersägt werden. Jeder Schnitt geht gerade durch den ganzen Block, die Teile bleiben liegen. Wie oft wird gesägt?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Schnitte

  6. Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?

    30
    Ein Karton ist innen 25 cm lang, 6 cm breit und 36 cm hoch. Teepackungen sind 5 cm lang, 3 cm breit und 9 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Teepackungen sind das zusammen?
    25 cm36 cm6 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Lagen, 40 Teepackungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Zerlegen oder ergänzen: zwei Wege zum selben Volumen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umzugskartons packen, Kofferraum beladen, Bausteine zählen, Zauberwürfel. Beruf: Lagerlogistik und Versand, Architektur mit Grundriss und Ansichten, Betonbau und Schreinerei.

Wörter

Oberfläche
alle Außenseiten zusammen
Volumen
wie viel hineinpasst
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Körper und Volumen, Flächen und Umfang, Würfelgebäude, Baupläne und Ansichten

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 250 cm³
  2. 180 cm³
  3. 370 m³
  4. 243 cm³
  5. 188 cm³
  6. 222 cm³
  7. 18 Flächen
  8. 10 Flächen
  9. 736 cm²
  10. 28 Halme
  11. 36 Knetkugeln
  12. 36 Knetkugeln
  13. 4 Würfel
  14. 64 Würfel
  15. 60 Würfel
  16. 4 Saftpackungen
  17. 20 Seifenstücke
  18. 1 Lagen, 6 Saftpackungen
  19. 240 cm³
  20. 63 cm³
  21. 16 Knetkugeln
  22. 1 Lagen, 12 Teepackungen
  23. 72 cm³
  24. 360 cm³
  25. 74 cm³
  26. 138 cm³
  27. 24 Flächen
  28. 36 Knetkugeln
  29. 12 Schnitte
  30. 4 Lagen, 40 Teepackungen
  31. 8 cm³
  32. 5 dm³ = 5000 cm³