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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zusammengesetzte Körper

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele nehmen die größte Länge mal die größte Breite mal die Höhe, als wäre das Beet ein Quader. Andere zerlegen, zählen aber die Ecke doppelt. Die Ergebnisse gehen weit auseinander, und niemand weiß, welches stimmt. Wir zerlegen das L in zwei Quader, die sich nicht überlappen, und rechnen jeden für sich. Dann ergänzen wir das L zum großen Quader und ziehen das fehlende Stück ab. Kommt beide Male dasselbe heraus, stimmt die Rechnung.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Das Volumen eines Quaders ist Länge mal Breite mal Höhe – so viele Einheitswürfel passen hinein.

  1. ●31
    Ein Würfel hat die Kantenlänge 12 cm. Berechne das Volumen.
    Lösung zeigen
    1. V = a · a · a = 12 · 12 · 12
    2. V = 1728 cm³
    Ergebnis:
    1728 cm³
  2. ●32
    Rechne um: 2,5 m³ in dm³ und in Liter.
    Lösung zeigen
    1. 1 m³ = 1000 dm³
    2. 2,5 · 1000 = 2500 dm³ = 2500 l
    Ergebnis:
    2500 dm³ = 2500 l

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZerlegen und ergänzen, nichts doppelt

Ein Körper, der kein Quader ist, besteht aus Quadern oder ist ein Quader mit einem fehlenden Stück. Wer ihn in Gedanken zerlegt oder ergänzt, rechnet mit bekannten Formeln. Beim Zählen von Flächen, Kanten und kleinen Würfeln gilt dieselbe Idee: ordnen, nichts vergessen, nichts doppelt.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Körper in L-Form lässt sich auf zwei Arten in Quader zerlegen. Muss bei beiden Zerlegungen dasselbe Volumen herauskommen? Warum?

1Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.

EntdeckenFrage

Wie viele Teile mit drei, mit zwei und mit einer Farbe hat ein Zauberwürfel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

8 Eckteile mit drei Farben, 12 Kantenteile mit zwei Farben und 6 Mittelteile mit einer Farbe. Das sind genau die Zahlen, die man beim bemalten und zersägten Würfel aus 3 mal 3 mal 3 kleinen Würfeln bekommt. Innen sitzt statt des 27. Würfels ein Drehkreuz.

MerkenZerlegen in Quader

Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.

Jedes Volumen einzeln berechnen und dann addieren. Eine Skizze mit den Teilquadern zeigt, dass kein Teil fehlt.

BeispielVolumen zusammengesetzter Körper: zerlegen

Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 8 cm lang, 6 cm breit und 5 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 1 cm lang, 6 cm breit und 6 cm hoch. Berechne das Volumen.
8 cm1 cm5 cm6 cm
Schritt für Schritt
  1. Unten: 8 cm · 6 cm · 5 cm = 240 cm³
  2. Oben: 1 cm · 6 cm · 6 cm = 36 cm³
  3. Zusammen: 240 cm³ + 36 cm³ = 276 cm³
  1. Unten: 8 cm · 6 cm · 5 cm = 240 cm³
  2. Oben: 1 cm · 6 cm · 6 cm = 36 cm³
  3. Zusammen: 240 cm³ + 36 cm³ = 276 cm³
Ergebnis:
276 cm³

AchtungTeilkörper vergessen oder doppelt gezählt

So nicht
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 9 = 360 cm³
So richtig
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 3 + 4 · 5 · 6 = 240 cm³

Erst eine Skizze mit den Teilquadern, jeden Teil einmal berechnen, dann addieren oder abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 9 cm lang, 6 cm breit und 5 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 6 cm lang, 6 cm breit und 5 cm hoch. Berechne das Volumen.
    9 cm6 cm5 cm5 cm
    So fängst du an:
    Unten: 9 cm · 6 cm · 5 cm = 270 cm³
    Lösung zeigen
    1. Unten: 9 cm · 6 cm · 5 cm = 270 cm³
    2. Oben: 6 cm · 6 cm · 5 cm = 180 cm³
    3. Zusammen: 270 cm³ + 180 cm³ = 450 cm³
    Ergebnis:
    450 cm³
  2. ●2
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 9 cm lang, 6 cm breit und 4 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 7 cm lang, 6 cm breit und 3 cm hoch. Berechne das Volumen.
    9 cm7 cm4 cm3 cm
    Lösung zeigen
    1. Unten: 9 cm · 6 cm · 4 cm = 216 cm³
    2. Oben: 7 cm · 6 cm · 3 cm = 126 cm³
    3. Zusammen: 216 cm³ + 126 cm³ = 342 cm³
    Ergebnis:
    342 cm³
  3. ★3
    Eine Treppe aus 4 Blöcken: Jeder Block ist 3 m lang und 9 m breit. Der erste ist 2 m hoch, jeder weitere 2 m höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
    3 m2 m
    Lösung zeigen
    1. Block 1: 3 m · 9 m · 2 m = 54 m³
    2. Block 2: 3 m · 9 m · 4 m = 108 m³
    3. Block 3: 3 m · 9 m · 6 m = 162 m³
    4. Block 4: 3 m · 9 m · 8 m = 216 m³
    5. Zusammen: 54 m³ + 108 m³ + 162 m³ + 216 m³ = 540 m³
    Ergebnis:
    540 m³

2Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.

EntdeckenFrage

Warum sind Milchtüten eckig, obwohl Flaschen und Dosen rund sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Quader lassen sich lückenlos nebeneinander und übereinander packen. Stehen runde Dosen in Reihen, bleibt gut ein Fünftel des Platzes leer: Ein Kreis füllt nur knapp vier Fünftel des Quadrats, in dem er steht. Im Kühlschrank und im Lastwagen zählt jeder Zentimeter.

MerkenErgänzen und abziehen

Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.

Zerlegen und Ergänzen geben dasselbe Volumen. Der eine Weg ist die Probe für den anderen.

BeispielVolumen mit Aussparung: ergänzen und abziehen

Ein Kasten ohne Deckel ist außen 7 cm lang, 9 cm breit und 5 cm hoch. Wände und Boden sind 1 cm dick. Wie viel Kubikzentimeter Holz stecken im Kasten?
Schritt für Schritt
  1. Außen: 7 cm · 9 cm · 5 cm = 315 cm³
  2. Innen: 5 cm · 7 cm · 4 cm = 140 cm³
  3. Holz: 315 cm³ − 140 cm³ = 175 cm³
  1. Außen: 7 cm · 9 cm · 5 cm = 315 cm³
  2. Innen: 5 cm · 7 cm · 4 cm = 140 cm³
  3. Holz: 315 cm³ − 140 cm³ = 175 cm³
Ergebnis:
175 cm³

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Quader ist 10 cm lang, 8 cm breit und 7 cm hoch. Oben rechts fehlt ihm eine Ecke, 8 cm lang, 8 cm breit und 5 cm hoch. Berechne das Volumen, indem du ergänzt und abziehst.
    10 cm7 cm8 cm5 cm
    So fängst du an:
    Voller Quader: 10 cm · 8 cm · 7 cm = 560 cm³
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 10 cm · 8 cm · 7 cm = 560 cm³
    2. Fehlendes Stück: 8 cm · 8 cm · 5 cm = 320 cm³
    3. Rest: 560 cm³ − 320 cm³ = 240 cm³
    Ergebnis:
    240 cm³
  2. ●5
    Ein Kasten ohne Deckel ist außen 13 cm lang, 7 cm breit und 4 cm hoch. Wände und Boden sind 1 cm dick. Wie viel Kubikzentimeter Holz stecken im Kasten?
    Lösung zeigen
    1. Außen: 13 cm · 7 cm · 4 cm = 364 cm³
    2. Innen: 11 cm · 5 cm · 3 cm = 165 cm³
    3. Holz: 364 cm³ − 165 cm³ = 199 cm³
    Ergebnis:
    199 cm³
  3. ★6
    Aus einem Holzklotz, 6 dm lang, 5 dm breit und 8 dm hoch, wird oben rechts ein Stück herausgesägt. Es ist 2 dm lang, 5 dm breit und 6 dm hoch. Wie groß ist das Volumen des Rests?
    6 dm8 dm2 dm6 dm
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 6 dm · 5 dm · 8 dm = 240 dm³
    2. Fehlendes Stück: 2 dm · 5 dm · 6 dm = 60 dm³
    3. Rest: 240 dm³ − 60 dm³ = 180 dm³
    Ergebnis:
    180 dm³

3Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.

EntdeckenFrage

Warum stapeln Händler Orangen als Pyramide und nicht in geraden Säulen übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In der Pyramide liegt jede Orange in einer Mulde zwischen den unteren. So füllen die Kugeln knapp drei Viertel des Raumes, dichter geht es nicht. Das hat Johannes Kepler 1611 vermutet; bewiesen hat es erst Thomas Hales, veröffentlicht 2005.

MerkenOberfläche zählen

Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.

Die Oberfläche ist 6 mal die Zahl der Würfel minus 2 mal die Zahl der Berührungen.

BeispielOberfläche eines Würfelgebäudes zählen

Aus wie vielen Würfelflächen besteht die Oberfläche des Würfelgebäudes im Bild? Zähle auch den Boden mit.
vorn
Schritt für Schritt
  1. 7 Würfel haben zusammen 6 · 7 = 42 Flächen.
  2. Übereinander berühren sich 3, nebeneinander 4 Flächenpaare.
  3. Verdeckt sind 2 · 7 = 14 Flächen.
  4. 42 − 14 = 28
  1. 7 Würfel haben zusammen 6 · 7 = 42 Flächen.
  2. Übereinander berühren sich 3, nebeneinander 4 Flächenpaare.
  3. Verdeckt sind 2 · 7 = 14 Flächen.
  4. 42 − 14 = 28
Ergebnis:
28 Flächen

AchtungBerührende Flächen mitgezählt

So nicht
3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 = 18 Flächen
So richtig
3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 − 2 · 2 = 14 Flächen

Wo zwei Würfel aneinanderliegen, verschwinden zwei Flächen. Sie gehören nicht zur Oberfläche.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Würfelgebäude im Bild steht auf dem Tisch. Alle Flächen, die man sehen oder anfassen kann, werden gestrichen. Wie viele Würfelflächen sind das?
    vorn
    So fängst du an:
    5 Würfel haben zusammen 6 · 5 = 30 Flächen.
    Lösung zeigen
    1. 5 Würfel haben zusammen 6 · 5 = 30 Flächen.
    2. Übereinander berühren sich 2, nebeneinander 2 Flächenpaare.
    3. Verdeckt sind 2 · 4 = 8 Flächen.
    4. 30 − 8 = 22
    5. Auf dem Tisch liegen 3 Flächen: 22 − 3 = 19
    Ergebnis:
    19 Flächen
  2. ●8
    Im Würfelgebäude im Bild liegen Würfel direkt aneinander. Wie viele Würfelflächen sind dadurch verdeckt, sodass man sie von außen nicht mehr sieht?
    vorn
    Lösung zeigen
    1. Übereinander berühren sich 2 Flächenpaare.
    2. Nebeneinander berühren sich 2 Flächenpaare.
    3. Jede Berührung verdeckt 2 Flächen: 2 · 4 = 8
    Ergebnis:
    8 Flächen
  3. ★9
    Das Würfelgebäude im Bild besteht aus Würfeln mit 2 cm Kantenlänge. Wie groß ist seine ganze Oberfläche, der Boden mitgezählt?
    vorn
    Lösung zeigen
    1. 8 Würfel haben zusammen 6 · 8 = 48 Flächen.
    2. Übereinander berühren sich 4, nebeneinander 6 Flächenpaare.
    3. Verdeckt sind 2 · 10 = 20 Flächen.
    4. 48 − 20 = 28
    5. Eine Würfelfläche hat 2 cm · 2 cm = 4 cm².
    6. 28 · 4 cm² = 112 cm²
    Ergebnis:
    112 cm²

4Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser passt in ein Becken für olympische Schwimmwettkämpfe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Becken ist 50 m lang und 25 m breit. Bei 2 m Tiefe sind das 50 · 25 · 2 = 2500 Kubikmeter, also 2,5 Millionen Liter. Ist es 3 m tief, passen 3750 Kubikmeter hinein.

MerkenKantenmodell

Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.

Stehen Würfel aus Halmen nebeneinander, teilen sie sich Kanten. Jede gemeinsame Kante braucht nur einen Halm.

BeispielStäbchenmodelle aus Würfelreihen

Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 3 Würfel übereinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
Schritt für Schritt
  1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 4 Quadrate.
  2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
  3. 4 · 4 = 16
  1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 4 Quadrate.
  2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
  3. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16 Knetkugeln

AchtungGemeinsame Kanten doppelt gezählt

So nicht
4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 12 · 4 = 48 Halme
So richtig
4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 5 · 4 + 4 · 4 = 36 Halme

Teilen sich zwei Würfel eine Kante, wird sie nur einmal gebraucht. Erst die Kanten quer zählen, dann die langen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 8 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    So fängst du an:
    Zwischen und neben den Würfeln liegen 9 Quadrate.
    Lösung zeigen
    1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 9 Quadrate.
    2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
    3. 9 · 4 = 36
    Ergebnis:
    36 Knetkugeln
  2. ●11
    Tim baut 5 Würfel übereinander aus Halmen. Er rechnet 12 · 5, weil ein Würfel 12 Kanten hat. Wie viele Halme spart er, weil benachbarte Würfel sich Kanten teilen?
    Lösung zeigen
    1. Richtig gezählt: 6 Quadrate zu je 4 Halmen und 4 · 5 Halme dazwischen.
    2. 24 + 20 = 44
    3. 12 · 5 = 60, also 60 − 44 = 16
    Ergebnis:
    16 Halme
  3. ★12
    Aus gleich langen Halmen und Knetkugeln wird eine Reihe aus 17 Würfeln gebaut, übereinander. Benachbarte Würfel teilen sich eine Fläche. Wie viele Halme braucht man?
    Lösung zeigen
    1. Quer: 18 Quadrate mit je 4 Halmen: 18 · 4 = 72
    2. Längs: in jedem Würfel 4 Halme: 17 · 4 = 68
    3. Zusammen: 72 + 68 = 140
    Ergebnis:
    140 Halme

5Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.

EntdeckenFrage

Wie viele Standardcontainer trägt eines der größten Containerschiffe der Welt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mehr als 24.000. Gezählt wird in 20-Fuß-Containern, jeder rund 6 m lang, 2,4 m breit und 2,6 m hoch. Die Reederei plant die Ladung wie eine Packaufgabe: Reihen nebeneinander, Lagen übereinander.

MerkenIn kleine Würfel zerlegen

Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?

Eine Schicht ist Länge mal Breite, alle Schichten zusammen sind die drei Zahlen malgenommen.

BeispielIn kleine Würfel zersägen

Ein Holzwürfel mit 6 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 2 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
6 cm6 cm6 cm
Schritt für Schritt
  1. Je Richtung: 6 : 2 = 3
  2. 3 · 3 · 3 = 27
  3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
  1. Je Richtung: 6 : 2 = 3
  2. 3 · 3 · 3 = 27
  3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
Ergebnis:
27 Würfel

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Holzwürfel mit 4 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 2 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
    4 cm4 cm4 cm
    So fängst du an:
    Je Richtung: 4 : 2 = 2
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung: 4 : 2 = 2
    2. 2 · 2 · 2 = 8
    3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
    Ergebnis:
    8 Würfel
  2. ●14
    Ein Holzwürfel mit 20 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 4 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
    20 cm20 cm20 cm
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung: 20 : 4 = 5
    2. 5 · 5 · 5 = 125
    3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
    Ergebnis:
    125 Würfel
  3. ★15
    Ein Holzquader ist 20 cm lang, 8 cm breit und 12 cm hoch. Er wird in Würfel mit 4 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele Würfel entstehen?
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung: 20 : 4 = 5, 8 : 4 = 2, 12 : 4 = 3
    2. 5 · 2 · 3 = 30
    3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
    Ergebnis:
    30 Würfel

6Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?

EntdeckenFrage

Wie zeichnen Architekten ein Haus, damit jeder es genau gleich bauen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einem Grundriss, das ist die Ansicht von oben, und mit Ansichten von vorn und von der Seite. Aus diesen Bildern zusammen kann man sich das ganze Haus vorstellen – genau wie ein Würfelgebäude aus Bauplan und Ansichten.

MerkenPackaufgaben

Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Nur ganze Päckchen zählen. Dann die drei Zahlen malnehmen.

BeispielWie viele Päckchen passen in den Karton?

Ein Karton ist innen 20 cm lang, 24 cm breit und 27 cm hoch. Bausteinkisten sind 4 cm lang, 6 cm breit und 9 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
20 cm27 cm24 cm
Schritt für Schritt
  1. Je Richtung teilen: 20 : 4 = 5; 24 : 6 = 4
  2. Und in der Höhe: 27 : 9 = 3
  3. 5 · 4 · 3 = 60
  1. Je Richtung teilen: 20 : 4 = 5; 24 : 6 = 4
  2. Und in der Höhe: 27 : 9 = 3
  3. 5 · 4 · 3 = 60
Ergebnis:
60 Bausteinkisten

AchtungVolumen durch Volumen geteilt statt Längen

So nicht
Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 6000 : 480 → 12 Päckchen
So richtig
Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 30 : 8 → 3, 20 : 6 → 3, 10 : 10 = 1 → 3 · 3 · 1 = 9 Päckchen

Je Richtung teilen und abrunden. Was nicht ganz hineinpasst, bleibt leer.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Karton ist innen 42 cm lang, 9 cm breit und 15 cm hoch. Saftpackungen sind 7 cm lang, 3 cm breit und 5 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
    42 cm15 cm9 cm
    So fängst du an:
    Je Richtung teilen: 42 : 7 = 6; 9 : 3 = 3
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung teilen: 42 : 7 = 6; 9 : 3 = 3
    2. Und in der Höhe: 15 : 5 = 3
    3. 6 · 3 · 3 = 54
    Ergebnis:
    54 Saftpackungen
  2. ●17
    Ein Karton ist innen 20 cm lang, 28 cm breit und 12 cm hoch. Teepackungen sind 4 cm lang, 7 cm breit und 3 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
    20 cm12 cm28 cm
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung teilen: 20 : 4 = 5; 28 : 7 = 4
    2. Und in der Höhe: 12 : 3 = 4
    3. 5 · 4 · 4 = 80
    Ergebnis:
    80 Teepackungen
  3. ★18
    Ein Karton ist innen 16 cm lang, 18 cm breit und 13 cm hoch. Seifenstücke sind 8 cm lang, 8 cm breit und 3 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen in die unterste Lage?
    16 cm13 cm18 cm
    Lösung zeigen
    1. In der Länge: 16 : 8 = 2
    2. In der Breite: 18 : 8 = 2 Rest 2
    3. Eine Lage: 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Seifenstücke

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Zwei Quader stehen direkt nebeneinander, beide 3 cm tief. Der linke ist 8 cm lang und 5 cm hoch, der rechte 8 cm lang und 6 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des ganzen Körpers?
    8 cm8 cm5 cm6 cm
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 8 cm · 3 cm · 5 cm = 120 cm³
    2. Rechter Teil: 8 cm · 3 cm · 6 cm = 144 cm³
    3. Zusammen: 120 cm³ + 144 cm³ = 264 cm³
    Ergebnis:
    264 cm³
  2. ●20
    Ein Quader ist 9 cm lang, 7 cm breit und 8 cm hoch. Oben rechts fehlt ihm eine Ecke, 2 cm lang, 7 cm breit und 6 cm hoch. Berechne das Volumen, indem du ergänzt und abziehst.
    9 cm8 cm2 cm6 cm
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 9 cm · 7 cm · 8 cm = 504 cm³
    2. Fehlendes Stück: 2 cm · 7 cm · 6 cm = 84 cm³
    3. Rest: 504 cm³ − 84 cm³ = 420 cm³
    Ergebnis:
    420 cm³
  3. ●21
    Tim baut 2 Würfel übereinander aus Halmen. Er rechnet 12 · 2, weil ein Würfel 12 Kanten hat. Wie viele Halme spart er, weil benachbarte Würfel sich Kanten teilen?
    Lösung zeigen
    1. Richtig gezählt: 3 Quadrate zu je 4 Halmen und 4 · 2 Halme dazwischen.
    2. 12 + 8 = 20
    3. 12 · 2 = 24, also 24 − 20 = 4
    Ergebnis:
    4 Halme
  4. ●22
    Ein Holzblock soll in 2 mal 2 mal 2 gleiche kleine Würfel zersägt werden. Jeder Schnitt geht gerade durch den ganzen Block, die Teile bleiben liegen. Wie oft wird gesägt?
    Lösung zeigen
    1. In der Länge trennen 1 Schnitte 2 Teile.
    2. Ebenso 1 und 1 Schnitte in den anderen Richtungen.
    3. 1 + 1 + 1 = 3
    Ergebnis:
    3 Schnitte
  5. ●23
    Ein Karton ist innen 45 cm lang, 24 cm breit und 32 cm hoch. Keksschachteln sind 9 cm lang, 6 cm breit und 8 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen höchstens hinein?
    45 cm32 cm24 cm
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung teilen: 45 : 9 = 5; 24 : 6 = 4
    2. Und in der Höhe: 32 : 8 = 4
    3. 5 · 4 · 4 = 80
    Ergebnis:
    80 Keksschachteln
  6. ●24
    In einen Karton passen 20 Keksschachteln. Es sollen 128 Keksschachteln verschickt werden. Wie viele Kartons sind ganz voll, und wie viele Keksschachteln liegen im letzten Karton?
    1 Karton fasst 20zu verschicken: 128
    Lösung zeigen
    1. 128 : 20 = 6 Rest 8
    2. 6 Kartons sind voll.
    3. Im letzten Karton liegen 8.
    Ergebnis:
    6 volle Kartons, 8 im letzten

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zerlegen in Quader
Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.
Ergänzen und abziehen
Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.
Oberfläche zählen
Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.
Kantenmodell
Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.
In kleine Würfel zerlegen
Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?
Packaufgaben
Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.

    25
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 8 cm lang, 2 cm breit und 4 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 7 cm lang, 2 cm breit und 4 cm hoch. Berechne das Volumen.
    8 cm7 cm4 cm4 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    120 cm³

  2. Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.

    26
    Ein Quader ist 5 cm lang, 8 cm breit und 7 cm hoch. Oben rechts fehlt ihm eine Ecke, 3 cm lang, 8 cm breit und 6 cm hoch. Berechne das Volumen, indem du ergänzt und abziehst.
    5 cm7 cm3 cm6 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    136 cm³

  3. Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.

    27
    Das Würfelgebäude im Bild steht auf dem Tisch. Alle Flächen, die man sehen oder anfassen kann, werden gestrichen. Wie viele Würfelflächen sind das?
    vorn
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23 Flächen

  4. Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.

    28
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 5 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Knetkugeln

  5. Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.

    29
    Ein Holzblock soll in 4 mal 4 mal 4 gleiche kleine Würfel zersägt werden. Jeder Schnitt geht gerade durch den ganzen Block, die Teile bleiben liegen. Wie oft wird gesägt?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Schnitte

  6. Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?

    30
    Ein Karton ist innen 54 cm lang, 6 cm breit und 3 cm hoch. Keksschachteln sind 9 cm lang, 3 cm breit und 3 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen in die unterste Lage?
    54 cm3 cm6 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Keksschachteln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Zerlegen oder ergänzen: zwei Wege zum selben Volumen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umzugskartons packen, Kofferraum beladen, Bausteine zählen, Zauberwürfel. Beruf: Lagerlogistik und Versand, Architektur mit Grundriss und Ansichten, Betonbau und Schreinerei.

Wörter

Oberfläche
alle Außenseiten zusammen
Volumen
wie viel hineinpasst
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Körper und Volumen, Flächen und Umfang, Würfelgebäude, Baupläne und Ansichten

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 450 cm³
  2. 342 cm³
  3. 540 m³
  4. 240 cm³
  5. 199 cm³
  6. 180 dm³
  7. 19 Flächen
  8. 8 Flächen
  9. 112 cm²
  10. 36 Knetkugeln
  11. 16 Halme
  12. 140 Halme
  13. 8 Würfel
  14. 125 Würfel
  15. 30 Würfel
  16. 54 Saftpackungen
  17. 80 Teepackungen
  18. 4 Seifenstücke
  19. 264 cm³
  20. 420 cm³
  21. 4 Halme
  22. 3 Schnitte
  23. 80 Keksschachteln
  24. 6 volle Kartons, 8 im letzten
  25. 120 cm³
  26. 136 cm³
  27. 23 Flächen
  28. 24 Knetkugeln
  29. 9 Schnitte
  30. 12 Keksschachteln
  31. 1728 cm³
  32. 2500 dm³ = 2500 l