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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zusammengesetzte Körper

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele nehmen die größte Länge mal die größte Breite mal die Höhe, als wäre das Beet ein Quader. Andere zerlegen, zählen aber die Ecke doppelt. Die Ergebnisse gehen weit auseinander, und niemand weiß, welches stimmt. Wir zerlegen das L in zwei Quader, die sich nicht überlappen, und rechnen jeden für sich. Dann ergänzen wir das L zum großen Quader und ziehen das fehlende Stück ab. Kommt beide Male dasselbe heraus, stimmt die Rechnung.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Das Volumen eines Quaders ist Länge mal Breite mal Höhe – so viele Einheitswürfel passen hinein.

  1. ●31
    Ein Würfel hat die Kantenlänge 6 cm. Berechne das Volumen.
    Lösung zeigen
    1. V = a · a · a = 6 · 6 · 6
    2. V = 216 cm³
    Ergebnis:
    216 cm³
  2. ●32
    Ein Aquarium fasst 75 l. Rechne um: Wie viele dm³ sind das – und wie viele cm³?
    Lösung zeigen
    1. 1 l = 1 dm³, also 75 dm³
    2. 75 · 1000 = 75.000 cm³
    Ergebnis:
    75 dm³ = 75.000 cm³

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZerlegen und ergänzen, nichts doppelt

Ein Körper, der kein Quader ist, besteht aus Quadern oder ist ein Quader mit einem fehlenden Stück. Wer ihn in Gedanken zerlegt oder ergänzt, rechnet mit bekannten Formeln. Beim Zählen von Flächen, Kanten und kleinen Würfeln gilt dieselbe Idee: ordnen, nichts vergessen, nichts doppelt.

Ein Körper in L-Form, zerlegt in zwei Quader: Das Volumen ist die Summe der beidenQuader 1Quader 2L-Form = zwei QuaderV = V₁ + V₂nichts doppelt

WeiterdenkenDenk nach

Ein Körper in L-Form lässt sich auf zwei Arten in Quader zerlegen. Muss bei beiden Zerlegungen dasselbe Volumen herauskommen? Warum?

1Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.

EntdeckenFrage

Wie viele Teile mit drei, mit zwei und mit einer Farbe hat ein Zauberwürfel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

8 Eckteile mit drei Farben, 12 Kantenteile mit zwei Farben und 6 Mittelteile mit einer Farbe. Das sind genau die Zahlen, die man beim bemalten und zersägten Würfel aus 3 mal 3 mal 3 kleinen Würfeln bekommt. Innen sitzt statt des 27. Würfels ein Drehkreuz.

MerkenZerlegen in Quader

Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.

Jedes Volumen einzeln berechnen und dann addieren. Eine Skizze mit den Teilquadern zeigt, dass kein Teil fehlt.

BeispielVolumen zusammengesetzter Körper: zerlegen

Zwei Quader stehen direkt nebeneinander, beide 5 cm tief. Der linke ist 7 cm lang und 4 cm hoch, der rechte 5 cm lang und 7 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des ganzen Körpers?
7 cm5 cm4 cm7 cm
Schritt für Schritt
  1. Linker Teil: 7 cm · 5 cm · 4 cm = 140 cm³
  2. Rechter Teil: 5 cm · 5 cm · 7 cm = 175 cm³
  3. Zusammen: 140 cm³ + 175 cm³ = 315 cm³
  1. Linker Teil: 7 cm · 5 cm · 4 cm = 140 cm³
  2. Rechter Teil: 5 cm · 5 cm · 7 cm = 175 cm³
  3. Zusammen: 140 cm³ + 175 cm³ = 315 cm³
Ergebnis:
315 cm³

AchtungTeilkörper vergessen oder doppelt gezählt

So nicht
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 9 = 360 cm³
So richtig
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 3 + 4 · 5 · 6 = 240 cm³

Erst eine Skizze mit den Teilquadern, jeden Teil einmal berechnen, dann addieren oder abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zwei Quader stehen direkt nebeneinander, beide 7 cm tief. Der linke ist 6 cm lang und 4 cm hoch, der rechte 4 cm lang und 3 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des ganzen Körpers?
    6 cm4 cm4 cm3 cm
    So fängst du an:
    Linker Teil: 6 cm · 7 cm · 4 cm = 168 cm³
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 cm · 7 cm · 4 cm = 168 cm³
    2. Rechter Teil: 4 cm · 7 cm · 3 cm = 84 cm³
    3. Zusammen: 168 cm³ + 84 cm³ = 252 cm³
    Ergebnis:
    252 cm³
  2. ●2
    Zwei Quader stehen direkt nebeneinander, beide 2 cm tief. Der linke ist 8 cm lang und 6 cm hoch, der rechte 2 cm lang und 5 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des ganzen Körpers?
    8 cm2 cm6 cm5 cm
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 8 cm · 2 cm · 6 cm = 96 cm³
    2. Rechter Teil: 2 cm · 2 cm · 5 cm = 20 cm³
    3. Zusammen: 96 cm³ + 20 cm³ = 116 cm³
    Ergebnis:
    116 cm³
  3. ★3
    Eine Treppe aus 3 Blöcken: Jeder Block ist 3 dm lang und 3 dm breit. Der erste ist 2 dm hoch, jeder weitere 2 dm höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
    3 dm2 dm
    Lösung zeigen
    1. Block 1: 3 dm · 3 dm · 2 dm = 18 dm³
    2. Block 2: 3 dm · 3 dm · 4 dm = 36 dm³
    3. Block 3: 3 dm · 3 dm · 6 dm = 54 dm³
    4. Zusammen: 18 dm³ + 36 dm³ + 54 dm³ = 108 dm³
    Ergebnis:
    108 dm³

2Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.

EntdeckenFrage

Warum sind Milchtüten eckig, obwohl Flaschen und Dosen rund sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Quader lassen sich lückenlos nebeneinander und übereinander packen. Stehen runde Dosen in Reihen, bleibt gut ein Fünftel des Platzes leer: Ein Kreis füllt nur knapp vier Fünftel des Quadrats, in dem er steht. Im Kühlschrank und im Lastwagen zählt jeder Zentimeter.

MerkenErgänzen und abziehen

Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.

Zerlegen und Ergänzen geben dasselbe Volumen. Der eine Weg ist die Probe für den anderen.

BeispielVolumen mit Aussparung: ergänzen und abziehen

Ein Quader ist 11 cm lang, 5 cm breit und 7 cm hoch. Oben rechts fehlt ihm eine Ecke, 4 cm lang, 5 cm breit und 6 cm hoch. Berechne das Volumen, indem du ergänzt und abziehst.
11 cm7 cm4 cm6 cm
Schritt für Schritt
  1. Voller Quader: 11 cm · 5 cm · 7 cm = 385 cm³
  2. Fehlendes Stück: 4 cm · 5 cm · 6 cm = 120 cm³
  3. Rest: 385 cm³ − 120 cm³ = 265 cm³
  1. Voller Quader: 11 cm · 5 cm · 7 cm = 385 cm³
  2. Fehlendes Stück: 4 cm · 5 cm · 6 cm = 120 cm³
  3. Rest: 385 cm³ − 120 cm³ = 265 cm³
Ergebnis:
265 cm³

AchtungNoch einmal: Teilkörper vergessen oder doppelt gezählt

So nicht
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 9 = 360 cm³
So richtig
Unten 8 cm, 5 cm, 3 cm; oben 4 cm, 5 cm, 6 cm: 8 · 5 · 3 + 4 · 5 · 6 = 240 cm³

Erst eine Skizze mit den Teilquadern, jeden Teil einmal berechnen, dann addieren oder abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Kasten ohne Deckel ist außen 11 cm lang, 8 cm breit und 9 cm hoch. Wände und Boden sind 1 cm dick. Wie viel Kubikzentimeter Holz stecken im Kasten?
    So fängst du an:
    Außen: 11 cm · 8 cm · 9 cm = 792 cm³
    Lösung zeigen
    1. Außen: 11 cm · 8 cm · 9 cm = 792 cm³
    2. Innen: 9 cm · 6 cm · 8 cm = 432 cm³
    3. Holz: 792 cm³ − 432 cm³ = 360 cm³
    Ergebnis:
    360 cm³
  2. ●5
    Aus einem Holzklotz, 11 cm lang, 4 cm breit und 7 cm hoch, wird oben rechts ein Stück herausgesägt. Es ist 5 cm lang, 4 cm breit und 5 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des Rests?
    11 cm7 cm5 cm5 cm
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 11 cm · 4 cm · 7 cm = 308 cm³
    2. Fehlendes Stück: 5 cm · 4 cm · 5 cm = 100 cm³
    3. Rest: 308 cm³ − 100 cm³ = 208 cm³
    Ergebnis:
    208 cm³
  3. ★6
    Aus einem Holzklotz, 7 dm lang, 3 dm breit und 5 dm hoch, wird oben rechts ein Stück herausgesägt. Es ist 2 dm lang, 3 dm breit und 1 dm hoch. Wie groß ist das Volumen des Rests?
    7 dm5 dm2 dm1 dm
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 7 dm · 3 dm · 5 dm = 105 dm³
    2. Fehlendes Stück: 2 dm · 3 dm · 1 dm = 6 dm³
    3. Rest: 105 dm³ − 6 dm³ = 99 dm³
    Ergebnis:
    99 dm³

3Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.

EntdeckenFrage

Warum stapeln Händler Orangen als Pyramide und nicht in geraden Säulen übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In der Pyramide liegt jede Orange in einer Mulde zwischen den unteren. So füllen die Kugeln knapp drei Viertel des Raumes, dichter geht es nicht. Das hat Johannes Kepler 1611 vermutet; bewiesen hat es erst Thomas Hales, veröffentlicht 2005.

MerkenOberfläche zählen

Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.

Die Oberfläche ist 6 mal die Zahl der Würfel minus 2 mal die Zahl der Berührungen.

BeispielOberfläche eines Würfelgebäudes zählen

Das Würfelgebäude im Bild steht auf dem Tisch. Alle Flächen, die man sehen oder anfassen kann, werden gestrichen. Wie viele Würfelflächen sind das?
vorn
Schritt für Schritt
  1. 8 Würfel haben zusammen 6 · 8 = 48 Flächen.
  2. Übereinander berühren sich 4, nebeneinander 4 Flächenpaare.
  3. Verdeckt sind 2 · 8 = 16 Flächen.
  4. 48 − 16 = 32
  5. Auf dem Tisch liegen 4 Flächen: 32 − 4 = 28
  1. 8 Würfel haben zusammen 6 · 8 = 48 Flächen.
  2. Übereinander berühren sich 4, nebeneinander 4 Flächenpaare.
  3. Verdeckt sind 2 · 8 = 16 Flächen.
  4. 48 − 16 = 32
  5. Auf dem Tisch liegen 4 Flächen: 32 − 4 = 28
Ergebnis:
28 Flächen

AchtungBerührende Flächen mitgezählt

So nicht
3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 = 18 Flächen
So richtig
3 Würfel in einer Reihe: 6 · 3 − 2 · 2 = 14 Flächen

Wo zwei Würfel aneinanderliegen, verschwinden zwei Flächen. Sie gehören nicht zur Oberfläche.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Würfelgebäude im Bild liegen Würfel direkt aneinander. Wie viele Würfelflächen sind dadurch verdeckt, sodass man sie von außen nicht mehr sieht?
    vorn
    So fängst du an:
    Übereinander berühren sich 3 Flächenpaare.
    Lösung zeigen
    1. Übereinander berühren sich 3 Flächenpaare.
    2. Nebeneinander berühren sich 3 Flächenpaare.
    3. Jede Berührung verdeckt 2 Flächen: 2 · 6 = 12
    Ergebnis:
    12 Flächen
  2. ●8
    Aus wie vielen Würfelflächen besteht die Oberfläche des Würfelgebäudes im Bild? Zähle auch den Boden mit.
    vorn
    Lösung zeigen
    1. 6 Würfel haben zusammen 6 · 6 = 36 Flächen.
    2. Übereinander berühren sich 2, nebeneinander 3 Flächenpaare.
    3. Verdeckt sind 2 · 5 = 10 Flächen.
    4. 36 − 10 = 26
    Ergebnis:
    26 Flächen
  3. ★9
    Das Würfelgebäude im Bild besteht aus Würfeln mit 2 cm Kantenlänge. Wie groß ist seine ganze Oberfläche, der Boden mitgezählt?
    vorn
    Lösung zeigen
    1. 14 Würfel haben zusammen 6 · 14 = 84 Flächen.
    2. Übereinander berühren sich 8, nebeneinander 14 Flächenpaare.
    3. Verdeckt sind 2 · 22 = 44 Flächen.
    4. 84 − 44 = 40
    5. Eine Würfelfläche hat 2 cm · 2 cm = 4 cm².
    6. 40 · 4 cm² = 160 cm²
    Ergebnis:
    160 cm²

4Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser passt in ein Becken für olympische Schwimmwettkämpfe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Becken ist 50 m lang und 25 m breit. Bei 2 m Tiefe sind das 50 · 25 · 2 = 2500 Kubikmeter, also 2,5 Millionen Liter. Ist es 3 m tief, passen 3750 Kubikmeter hinein.

MerkenKantenmodell

Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.

Stehen Würfel aus Halmen nebeneinander, teilen sie sich Kanten. Jede gemeinsame Kante braucht nur einen Halm.

BeispielStäbchenmodelle aus Würfelreihen

Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 6 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
Schritt für Schritt
  1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 7 Quadrate.
  2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
  3. 7 · 4 = 28
  1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 7 Quadrate.
  2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
  3. 7 · 4 = 28
Ergebnis:
28 Knetkugeln

AchtungGemeinsame Kanten doppelt gezählt

So nicht
4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 12 · 4 = 48 Halme
So richtig
4 Würfel aus Halmen in einer Reihe: 5 · 4 + 4 · 4 = 36 Halme

Teilen sich zwei Würfel eine Kante, wird sie nur einmal gebraucht. Erst die Kanten quer zählen, dann die langen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 4 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    So fängst du an:
    Zwischen und neben den Würfeln liegen 5 Quadrate.
    Lösung zeigen
    1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 5 Quadrate.
    2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
    3. 5 · 4 = 20
    Ergebnis:
    20 Knetkugeln
  2. ●11
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 5 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    Lösung zeigen
    1. Zwischen und neben den Würfeln liegen 6 Quadrate.
    2. Jedes Quadrat hat 4 Ecken.
    3. 6 · 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Knetkugeln
  3. ★12
    Aus gleich langen Halmen und Knetkugeln wird eine Reihe aus 11 Würfeln gebaut, übereinander. Benachbarte Würfel teilen sich eine Fläche. Wie viele Halme braucht man?
    Lösung zeigen
    1. Quer: 12 Quadrate mit je 4 Halmen: 12 · 4 = 48
    2. Längs: in jedem Würfel 4 Halme: 11 · 4 = 44
    3. Zusammen: 48 + 44 = 92
    Ergebnis:
    92 Halme

5Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.

EntdeckenFrage

Wie viele Standardcontainer trägt eines der größten Containerschiffe der Welt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mehr als 24.000. Gezählt wird in 20-Fuß-Containern, jeder rund 6 m lang, 2,4 m breit und 2,6 m hoch. Die Reederei plant die Ladung wie eine Packaufgabe: Reihen nebeneinander, Lagen übereinander.

MerkenIn kleine Würfel zerlegen

Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?

Eine Schicht ist Länge mal Breite, alle Schichten zusammen sind die drei Zahlen malgenommen.

BeispielIn kleine Würfel zersägen

Ein Holzblock soll in 5 mal 5 mal 5 gleiche kleine Würfel zersägt werden. Jeder Schnitt geht gerade durch den ganzen Block, die Teile bleiben liegen. Wie oft wird gesägt?
Schritt für Schritt
  1. In der Länge trennen 4 Schnitte 5 Teile.
  2. Ebenso 4 und 4 Schnitte in den anderen Richtungen.
  3. 4 + 4 + 4 = 12
  1. In der Länge trennen 4 Schnitte 5 Teile.
  2. Ebenso 4 und 4 Schnitte in den anderen Richtungen.
  3. 4 + 4 + 4 = 12
Ergebnis:
12 Schnitte

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Holzwürfel mit 12 cm Kantenlänge wird in Würfel mit 3 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel liegen in der untersten Schicht?
    12 cm12 cm12 cm
    So fängst du an:
    In der Länge: 12 : 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. In der Länge: 12 : 3 = 4
    2. In der Breite: 12 : 3 = 4
    3. Eine Schicht: 4 · 4 = 16
    Ergebnis:
    16 Würfel
  2. ●14
    Ein Holzwürfel mit 12 cm Kantenlänge wird in kleine Würfel mit 3 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel entstehen?
    12 cm12 cm12 cm
    Lösung zeigen
    1. Je Richtung: 12 : 3 = 4
    2. 4 · 4 · 4 = 64
    3. Nur die Längen teilen, nicht das Volumen durch eine Länge.
    Ergebnis:
    64 Würfel
  3. ★15
    Ein Holzblock soll in 3 mal 5 mal 3 gleiche kleine Würfel zersägt werden. Jeder Schnitt geht gerade durch den ganzen Block, die Teile bleiben liegen. Wie oft wird gesägt?
    Lösung zeigen
    1. In der Länge trennen 2 Schnitte 3 Teile.
    2. Ebenso 4 und 2 Schnitte in den anderen Richtungen.
    3. 2 + 4 + 2 = 8
    Ergebnis:
    8 Schnitte

6Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?

EntdeckenFrage

Wie zeichnen Architekten ein Haus, damit jeder es genau gleich bauen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einem Grundriss, das ist die Ansicht von oben, und mit Ansichten von vorn und von der Seite. Aus diesen Bildern zusammen kann man sich das ganze Haus vorstellen – genau wie ein Würfelgebäude aus Bauplan und Ansichten.

MerkenPackaufgaben

Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Nur ganze Päckchen zählen. Dann die drei Zahlen malnehmen.

BeispielWie viele Päckchen passen in den Karton?

Ein Karton ist innen 22 cm lang, 12 cm breit und 32 cm hoch. Seifenstücke sind 11 cm lang, 6 cm breit und 8 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen in die unterste Lage?
22 cm32 cm12 cm
Schritt für Schritt
  1. In der Länge: 22 : 11 = 2
  2. In der Breite: 12 : 6 = 2
  3. Eine Lage: 2 · 2 = 4
  1. In der Länge: 22 : 11 = 2
  2. In der Breite: 12 : 6 = 2
  3. Eine Lage: 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Seifenstücke

AchtungVolumen durch Volumen geteilt statt Längen

So nicht
Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 6000 : 480 → 12 Päckchen
So richtig
Karton 30 cm, 20 cm, 10 cm; Päckchen 8 cm, 6 cm, 10 cm: 30 : 8 → 3, 20 : 6 → 3, 10 : 10 = 1 → 3 · 3 · 1 = 9 Päckchen

Je Richtung teilen und abrunden. Was nicht ganz hineinpasst, bleibt leer.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Karton ist innen 24 cm lang, 10 cm breit und 15 cm hoch. Seifenstücke sind 6 cm lang, 5 cm breit und 5 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Seifenstücke sind das zusammen?
    24 cm15 cm10 cm
    So fängst du an:
    Lagen: 15 : 5 = 3
    Lösung zeigen
    1. Lagen: 15 : 5 = 3
    2. Eine Lage: 4 · 2 = 8
    3. 3 · 8 = 24
    Ergebnis:
    3 Lagen, 24 Seifenstücke
  2. ●17
    Ein Karton ist innen 45 cm lang, 6 cm breit und 12 cm hoch. Seifenstücke sind 9 cm lang, 3 cm breit und 4 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Seifenstücke sind das zusammen?
    45 cm12 cm6 cm
    Lösung zeigen
    1. Lagen: 12 : 4 = 3
    2. Eine Lage: 5 · 2 = 10
    3. 3 · 10 = 30
    Ergebnis:
    3 Lagen, 30 Seifenstücke
  3. ★18
    Ein Karton ist innen 41 cm lang, 29 cm breit und 3 cm hoch. Saftpackungen sind 7 cm lang, 5 cm breit und 2 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele passen in die unterste Lage?
    41 cm3 cm29 cm
    Lösung zeigen
    1. In der Länge: 41 : 7 = 5 Rest 6
    2. In der Breite: 29 : 5 = 5 Rest 4
    3. Eine Lage: 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Saftpackungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der untere ist 5 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch. Darauf steht links bündig ein Quader, 4 cm lang, 4 cm breit und 1 cm hoch. Berechne das Volumen.
    5 cm4 cm2 cm1 cm
    Lösung zeigen
    1. Unten: 5 cm · 4 cm · 2 cm = 40 cm³
    2. Oben: 4 cm · 4 cm · 1 cm = 16 cm³
    3. Zusammen: 40 cm³ + 16 cm³ = 56 cm³
    Ergebnis:
    56 cm³
  2. ●20
    Durch einen Quader, 11 cm lang, 5 cm breit und 6 cm hoch, geht der ganzen Länge nach ein Kanal. Seine Öffnung ist ein Rechteck, 3 cm breit und 2 cm hoch. Wie groß ist das Volumen, das übrig bleibt?
    5 cm6 cm3 cm · 2 cm
    Lösung zeigen
    1. Ganzer Quader: 11 cm · 5 cm · 6 cm = 330 cm³
    2. Kanal: 11 cm · 3 cm · 2 cm = 66 cm³
    3. Übrig: 330 cm³ − 66 cm³ = 264 cm³
    Ergebnis:
    264 cm³
  3. ●21
    Tim baut 8 Würfel nebeneinander aus Halmen. Er rechnet 12 · 8, weil ein Würfel 12 Kanten hat. Wie viele Halme spart er, weil benachbarte Würfel sich Kanten teilen?
    Lösung zeigen
    1. Richtig gezählt: 9 Quadrate zu je 4 Halmen und 4 · 8 Halme dazwischen.
    2. 36 + 32 = 68
    3. 12 · 8 = 96, also 96 − 68 = 28
    Ergebnis:
    28 Halme
  4. ●22
    Ein Karton ist innen 35 cm lang, 12 cm breit und 20 cm hoch. Keksschachteln sind 7 cm lang, 6 cm breit und 5 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Keksschachteln sind das zusammen?
    35 cm20 cm12 cm
    Lösung zeigen
    1. Lagen: 20 : 5 = 4
    2. Eine Lage: 5 · 2 = 10
    3. 4 · 10 = 40
    Ergebnis:
    4 Lagen, 40 Keksschachteln
  5. ●23
    In einen Karton, innen 43 cm lang, 16 cm breit und 4 cm hoch, werden 20 Seifenstücke gepackt. Jede ist 8 cm lang, 7 cm breit und 2 cm hoch. Wie viel Kubikzentimeter bleiben leer?
    Lösung zeigen
    1. Karton: 43 cm · 16 cm · 4 cm = 2752 cm³
    2. Seifenstücke: 20 · 8 cm · 7 cm · 2 cm = 2240 cm³
    3. Leer: 2752 cm³ − 2240 cm³ = 512 cm³
    Ergebnis:
    512 cm³
  6. ●24
    Eine Treppe aus 3 Blöcken: Jeder Block ist 4 cm lang und 4 cm breit. Der erste ist 1 cm hoch, jeder weitere 1 cm höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
    4 cm1 cm
    Lösung zeigen
    1. Block 1: 4 cm · 4 cm · 1 cm = 16 cm³
    2. Block 2: 4 cm · 4 cm · 2 cm = 32 cm³
    3. Block 3: 4 cm · 4 cm · 3 cm = 48 cm³
    4. Zusammen: 16 cm³ + 32 cm³ + 48 cm³ = 96 cm³
    Ergebnis:
    96 cm³

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zerlegen in Quader
Den Körper in Quader teilen, deren Maße man kennt.
Ergänzen und abziehen
Den Körper zu einem großen Quader ergänzen und das fehlende Stück abziehen.
Oberfläche zählen
Jeder Würfel hat 6 Flächen. Wo sich zwei Würfel berühren, verschwinden zwei Flächen.
Kantenmodell
Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längen, 4 Breiten und 4 Höhen.
In kleine Würfel zerlegen
Je Richtung teilen: Wie oft passt die kleine Kante in Länge, Breite und Höhe?
Packaufgaben
Je Richtung teilen: Länge durch Länge, Breite durch Breite, Höhe durch Höhe.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne das Volumen von Körpern, die aus Quadern zusammengesetzt sind.

    25
    Eine Treppe aus 3 Blöcken: Jeder Block ist 3 cm lang und 4 cm breit. Der erste ist 1 cm hoch, jeder weitere 1 cm höher als der vorige. Wie groß ist das Volumen der Treppe?
    3 cm1 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72 cm³

  2. Ich berechne Volumen mit Aussparungen: ergänzen und abziehen.

    26
    Ein Quader ist 8 cm lang, 7 cm breit und 6 cm hoch. Oben rechts fehlt ihm eine Ecke, 5 cm lang, 7 cm breit und 5 cm hoch. Berechne das Volumen, indem du ergänzt und abziehst.
    8 cm6 cm5 cm5 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    161 cm³

  3. Ich bestimme die Oberfläche von Würfelgebäuden durch Zählen der Außenflächen.

    27
    Das Würfelgebäude im Bild steht auf dem Tisch. Alle Flächen, die man sehen oder anfassen kann, werden gestrichen. Wie viele Würfelflächen sind das?
    vorn
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 Flächen

  4. Ich zähle Kanten in Stäbchenmodellen und nutze gemeinsame Kanten.

    28
    Aus Halmen und Knetkugeln wird ein Stäbchenmodell gebaut: 4 Würfel nebeneinander, benachbarte teilen sich eine Fläche. Wie viele Knetkugeln braucht man für die Ecken?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Knetkugeln

  5. Ich zerlege Körper in Gedanken in kleine Würfel und zähle sie.

    29
    Ein Holzwürfel mit 15 cm Kantenlänge wird in Würfel mit 3 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele kleine Würfel liegen in der untersten Schicht?
    15 cm15 cm15 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Würfel

  6. Ich löse Packaufgaben: Wie viele Päckchen passen in einen Karton?

    30
    Ein Karton ist innen 24 cm lang, 32 cm breit und 18 cm hoch. Buntstiftschachteln sind 12 cm lang, 8 cm breit und 6 cm hoch und werden alle gleich herum gepackt. Wie viele Lagen passen übereinander, und wie viele Buntstiftschachteln sind das zusammen?
    24 cm18 cm32 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Lagen, 24 Buntstiftschachteln

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Hochbeet hat die Form eines L, alle Maße stehen an der Zeichnung. Wie viel Erde passt hinein? Rechne und schreib deinen Weg auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Zerlegen oder ergänzen: zwei Wege zum selben Volumen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umzugskartons packen, Kofferraum beladen, Bausteine zählen, Zauberwürfel. Beruf: Lagerlogistik und Versand, Architektur mit Grundriss und Ansichten, Betonbau und Schreinerei.

Wörter

Oberfläche
alle Außenseiten zusammen
Volumen
wie viel hineinpasst
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Körper und Volumen, Flächen und Umfang, Würfelgebäude, Baupläne und Ansichten

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 252 cm³
  2. 116 cm³
  3. 108 dm³
  4. 360 cm³
  5. 208 cm³
  6. 99 dm³
  7. 12 Flächen
  8. 26 Flächen
  9. 160 cm²
  10. 20 Knetkugeln
  11. 24 Knetkugeln
  12. 92 Halme
  13. 16 Würfel
  14. 64 Würfel
  15. 8 Schnitte
  16. 3 Lagen, 24 Seifenstücke
  17. 3 Lagen, 30 Seifenstücke
  18. 25 Saftpackungen
  19. 56 cm³
  20. 264 cm³
  21. 28 Halme
  22. 4 Lagen, 40 Keksschachteln
  23. 512 cm³
  24. 96 cm³
  25. 72 cm³
  26. 161 cm³
  27. 28 Flächen
  28. 20 Knetkugeln
  29. 25 Würfel
  30. 3 Lagen, 24 Buntstiftschachteln
  31. 216 cm³
  32. 75 dm³ = 75.000 cm³