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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 3 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
    2. 9 + 9 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (8 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 3 = 11
    2. 11 · 8 = 88
    Ergebnis:
    88

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 5 + 20 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 40. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 17 + 82 + 13 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
178213
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 13 + 82
  2. 17 + 13 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 82 = 112
  1. Vertauschen: 17 + 13 + 82
  2. 17 + 13 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 82 = 112
Ergebnis:
112

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 84 + 17 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    841716
    So fängst du an:
    Vertauschen: 84 + 16 + 17
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 84 + 16 + 17
    2. 84 + 16 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 17 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●2
    Zeynep rechnet 55 + 51 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    55515
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 55 + 5 + 51
    2. 55 + 5 = 60
    3. 60 + 51 = 111
    Ergebnis:
    111
  3. ★3
    Rechne geschickt: 34 + 844 + 66
    3484466
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 66 + 844
    2. 34 + 66 = 100
    3. 100 + 844 = 944
    Ergebnis:
    944

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lea rechnet 48 + 33 als 50 + 33. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
4833
Schritt für Schritt
  1. Lea hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 33 = 83.
  3. 2 wieder abziehen: 83 − 2 = 81
  1. Lea hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 33 = 83.
  3. 2 wieder abziehen: 83 − 2 = 81
Ergebnis:
81

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Jonas rechnet 198 + 75 als 200 + 75. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    19875
    So fängst du an:
    Jonas hat 198 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 75 = 275.
    3. 2 wieder abziehen: 275 − 2 = 273
    Ergebnis:
    273
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 47 = 40 + ___
    3747
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 47 um 3 kleiner werden: 47 − 3 = 44
    3. 40 + 44 = 84
    Ergebnis:
    44
  3. ★6
    Paul rechnet 399 + 418 als 400 + 418. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    399418
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 399 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 400 + 418 = 818.
    3. 1 wieder abziehen: 818 − 1 = 817
    Ergebnis:
    817

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
  3. 150 − 3 = 147
  1. 49 = 50 − 1
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
  3. 150 − 3 = 147
Ergebnis:
147

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Reihen mit je 45 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 45
    Lösung zeigen
    1. 5 · 45
    2. 45 = 40 + 5
    3. 5 · 40 = 200 und 5 · 5 = 25
    4. 200 + 25 = 225
    Ergebnis:
    225 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 68
    Lösung zeigen
    1. 68 = 60 + 8
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 8 = 24
    3. 180 + 24 = 204
    Ergebnis:
    204
  3. ★9
    Es gibt 7 Reihen mit je 74 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 74
    2. 74 = 70 + 4
    3. 7 · 70 = 490 und 7 · 4 = 28
    4. 490 + 28 = 518
    Ergebnis:
    518 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

162 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 162 : 9
  2. 162 = 90 + 72
  3. 90 : 9 = 10 und 72 : 9 = 8
  4. 10 + 8 = 18
  1. 162 : 9
  2. 162 = 90 + 72
  3. 90 : 9 = 10 und 72 : 9 = 8
  4. 10 + 8 = 18
Ergebnis:
18 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 552 : 8
    So fängst du an:
    552 = 480 + 72
    Lösung zeigen
    1. 552 = 480 + 72
    2. 480 : 8 = 60 und 72 : 8 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●11
    189 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 189 : 9
    2. 189 = 180 + 9
    3. 180 : 9 = 20 und 9 : 9 = 1
    4. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21 Sticker
  3. ★12
    207 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 207 : 3
    2. 207 = 180 + 27
    3. 180 : 3 = 60 und 27 : 3 = 9
    4. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 71 − 46 = ___ − 56
Schritt für Schritt
  1. 46 wird zu 56: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 71 um 10 größer.
  3. 71 + 10 = 81
  1. 46 wird zu 56: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 71 um 10 größer.
  3. 71 + 10 = 81
Ergebnis:
81

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 24 + 88 = 22 + ___
    24 + 88=22 + ?
    So fängst du an:
    24 wird zu 22: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 22: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 88 um 2 größer.
    3. 88 + 2 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 52 − 27 = ___ − 37
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 37: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 10 größer.
    3. 52 + 10 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 15 = 2 · ___
    4 · 15=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Paul verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 229 + 598? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 229 + 598 = 227 + 600
  3. 227 + 600 = 827
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 229 + 598 = 227 + 600
  3. 227 + 600 = 827
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 827

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 41 + 32 + 59? Nenne ihn und rechne.
    41 + 32 + 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 41 + 59 = 100
    3. 100 + 32 = 132
    Ergebnis:
    vertauschen, 132
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 123 : 3 und erhält 42. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
123 : 3Ergebnis 42?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 42 · 3 = 126
  2. 126 ist nicht 123: Es ist falsch.
  3. 123 : 3 = 41
  1. Umkehraufgabe: 42 · 3 = 126
  2. 126 ist nicht 123: Es ist falsch.
  3. 123 : 3 = 41
Ergebnis:
falsch, richtig ist 41

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 203 : 7 und erhält 29. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    203 : 7Ergebnis 29?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 29 · 7 = 203
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 29 · 7 = 203
    2. 203 ist genau 203: Es stimmt.
    3. 203 : 7 = 29
    Ergebnis:
    stimmt, 29
  2. ●23
    Emma erhält für 34 · 38 das Ergebnis 1292. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 40 = 1200
    2. 1292 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 34 · 38 = 1292
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1292
  3. ★24
    Jonas erhält für 162 · 16 das Ergebnis 2392. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 20 = 4000
    2. 2392 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 162 · 16 = 2592
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2592

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 26 + 66 + 74
    266674
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 74 + 66
    2. 26 + 74 = 100
    3. 100 + 66 = 166
    Ergebnis:
    166
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Packungen. In jeder Packung sind 9 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Packungen9 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 9
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 9 = 900
    Ergebnis:
    900 Bälle
  3. ●27
    Hanna rechnet 67 + 94 als 70 + 94. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    6794
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 94 = 164.
    3. 3 wieder abziehen: 164 − 3 = 161
    Ergebnis:
    161
  4. ●28
    Tom rechnet 210 − 197 als 210 − 200 und erhält 10. Ist das schon das Ergebnis?
    210 − 197210 − 200
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    Nein, 13
  5. ●29
    Es gibt 8 Reihen mit je 21 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 21
    2. 21 = 20 + 1
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    4. 160 + 8 = 168
    Ergebnis:
    168 Stühle
  6. ●30
    Jonas rechnet 7 · 23 so: erst 7 · 20, dann 3 dazu. Jonas erhält 143. Zeige am Bild, was fehlt.
    2037
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 7 · 3 = 21
    3. 140 + 21 = 161
    Ergebnis:
    161

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 46 + 35 + 14
    463514
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Hanna rechnet 48 + 25 als 50 + 25. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    4825
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    152

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    531 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 52 − 39 = ___ − 44
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 28 + 53 + 72? Nenne ihn und rechne.
    28 + 53 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 153

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 854 − 779 und erhält 175. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 75

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 117
  2. 111
  3. 944
  4. 273
  5. 44
  6. 817
  7. 225 Stühle
  8. 204
  9. 518 Stühle
  10. 69
  11. 21 Sticker
  12. 69 Sticker
  13. 90
  14. 62
  15. 30
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 70
  18. 330
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. vertauschen, 132
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. stimmt, 29
  23. stimmt, 1292
  24. falsch, richtig ist 2592
  25. 166
  26. 900 Bälle
  27. 161
  28. Nein, 13
  29. 168 Stühle
  30. 161
  31. 95
  32. 73
  33. 152
  34. 59 Sticker
  35. 57
  36. 180
  37. vertauschen, 153
  38. falsch, richtig ist 75
  39. 18
  40. 88
  41. 25
  42. 36