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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 8:45 + 1:30 = 10:15 Uhr
    Ergebnis:
    10:15 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 5 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 5 · 100 = 500 cm
    Ergebnis:
    500 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
27 Kindern6 €105 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: 27 Kinder und 6 € je Karte.
  2. 27 · 6 € = 162 €
  3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
  1. Gebraucht: 27 Kinder und 6 € je Karte.
  2. 27 · 6 € = 162 €
  3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
162 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    30 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    30 Kinder3 Lehrkräfte9 km7 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: 30 Kinder und 7 €.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 30 Kinder und 7 €.
    2. 30 · 7 € = 210 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    210 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    27 Kindern4 €95 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  3. ★3
    Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Der Film beginnt um 9:00 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
    27 Kindern5 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. 120 Minuten sind 2 Stunde und 0 Minuten.
    2. 9:00 Uhr plus 120 Minuten: 11:00 Uhr
    3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
    Ergebnis:
    11:00 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:517:147:117:347:317:547:518:14
Schritt für Schritt
  1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:14 Uhr.
  2. Von 6:51 bis 7:14 Uhr sind es 23 Minuten.
  1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:14 Uhr.
  2. Von 6:51 bis 7:14 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:477:017:077:217:277:417:478:01
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:01 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:01 Uhr.
    2. Von 6:47 bis 7:01 Uhr sind es 14 Minuten.
    Ergebnis:
    14 Minuten
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:537:067:087:217:237:367:387:51
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:06 Uhr.
    2. Von 6:53 bis 7:06 Uhr sind es 13 Minuten.
    Ergebnis:
    13 Minuten
  3. ★6
    Aylin braucht 8 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:21 Uhr nehmen. Wann muss Aylin spätestens los, und wann ist Aylin an der Schule?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:517:117:067:267:217:417:367:56
    Lösung zeigen
    1. Los: 8 Minuten vor 7:21 Uhr, also 7:13 Uhr.
    2. Ankunft laut Fahrplan: 7:41 Uhr.
    Ergebnis:
    los um 7:13 Uhr, an um 7:41 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 7 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
10 m10 m10 m…?
Schritt für Schritt
  1. 7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
  2. 6 · 10 m = 60 m
  1. 7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
  2. 6 · 10 m = 60 m
Ergebnis:
60 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    4 m4 m4 m…?
    So fängst du an:
    10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
    2. 9 · 4 m = 36 m
    Ergebnis:
    36 m
  2. ●8
    Noah sagt: „Ein Zaun von 36 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 36 : 3 = 12 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
    Ergebnis:
    Nein, 13 Pfähle
  3. ★9
    Emma sagt: „Ein Zaun von 60 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 60 : 6 = 10 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
    Ergebnis:
    Nein, 11 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Hanna kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Hanna 3 € geschenkt und hat jetzt 7 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
?− 16 €+ 3 €7 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 7 € − 3 € = 4 €
  2. Dann den Kauf: 4 € + 16 € = 20 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 7 € − 3 € = 4 €
  2. Dann den Kauf: 4 € + 16 € = 20 €
Ergebnis:
20 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Tom braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
    2. Noch 34 Minuten früher: 15:16 Uhr.
    Ergebnis:
    15:16 Uhr
  2. ●11
    Ben kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Ben 8 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
    ?− 6 €+ 8 €24 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 8 € = 16 €
    2. Dann den Kauf: 16 € + 6 € = 22 €
    Ergebnis:
    22 €
  3. ★12
    Paul verschenkt 8 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Paul noch 6 Karten dazu. Jetzt sind es 46. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 46 − 6 = 40
    2. Verdoppeln rückgängig: 40 : 2 = 20
    3. Verschenken rückgängig: 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Lina 7 Fahrzeuge und 16 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 5 Fahrräder und 2 Dreiräder: 5 · 2 + 2 · 3 = 16
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 5 Fahrräder und 2 Dreiräder: 5 · 2 + 2 · 3 = 16
Ergebnis:
5 Fahrräder, 2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf einem Hof zählt Paul 8 Tiere und 28 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Hühner und 6 Kaninchen: 2 · 2 + 6 · 4 = 28
    Ergebnis:
    2 Hühner, 6 Kaninchen
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 24 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
    2. Das passt genau.
    3. 3 Vierertische und 2 Sechsertische: 3 · 4 + 2 · 6 = 24
    Ergebnis:
    2 Sechsertische
  3. ★15
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 19 Tiere mit 64 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 10 Hühner und 9 Kaninchen ergeben 56 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 6 Hühner und 13 Kaninchen: 6 · 2 + 13 · 4 = 64
    Ergebnis:
    13 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 8,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
einzeln1 Müsliriegel1,50 €Packung6 Riegeln8,70 €
Schritt für Schritt
  1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,70 €
  3. Die Packung ist günstiger.
  1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,70 €
  3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift0,90 €Packung4 Bleistiften4,20 €
    So fängst du an:
    4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
    2. Packung: 4,20 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 25,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel2,50 €Packung10 Riegeln25,30 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
    2. Packung: 25,30 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 282 €. Der Förderverein gibt 74 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
282 €74 €9 €29 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 282 € + 74 € = 356 €; Kosten: 29 · 9 € = 261 €
  3. 356 € − 261 € = 95 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 282 € + 74 € = 356 €; Kosten: 29 · 9 € = 261 €
  3. 356 € − 261 € = 95 €
Ergebnis:
95 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 480 €. Der Förderverein gibt 104 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 5 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    480 €104 €5 €23 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 480 € + 104 € = 584 €; Kosten: 23 · 5 € = 115 €
    3. 584 € − 115 € = 469 €
    Ergebnis:
    469 €
  2. ●20
    Die 5c mit 20 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 80 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    20 Kindern80 €9 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 80 € : 20 = 4 €
    3. 4 € + 9 € = 13 €
    Ergebnis:
    13 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 262 €. Der Förderverein gibt 65 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 5 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    262 €65 €5 €30 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 262 € + 65 € = 327 €; Kosten: 30 · 5 € = 150 €
    3. 327 € − 150 € = 177 €
    Ergebnis:
    177 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 13 €. Dazu kommt eine Mappe für 9 € für alle.“
(A) 4 · (13 + 9)
(B) 4 · 13 + 9
(C) 4 + 13 · 9
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 4 · 13 + 9 = 61
  3. Richtig ist B.
  1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 4 · 13 + 9 = 61
  3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 4 · 13 + 9

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
    (A) 5 + 10 · 2
    (B) 5 · 10 + 2
    (C) 5 · (10 + 2)
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 5 · 10 + 2 = 52
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 5 · 10 + 2
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
    (A) 5 · 7 + 2
    (B) 5 + 7 · 2
    (C) 5 · (7 + 2)
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 5 · 7 + 2 = 37
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 5 · 7 + 2
  3. ★24
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 8 €.“
    (A) 6 · (10 + 8)
    (B) 6 · 10 + 8
    (C) 6 + 10 · 8
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
    2. Passend: 6 · (10 + 8) = 108
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 6 · (10 + 8)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 420 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    11 Spiele23 Tore420 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 11 Spiele.
    2. 15 − 11 = 4
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●26
    In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 5 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
    23 Kinder5 Teams
    Lösung zeigen
    1. Über Tore steht nichts im Text.
    2. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Hanna sagt: „Ein Zaun von 36 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. 36 : 4 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
    Ergebnis:
    Nein, 10 Pfähle
  4. ●28
    Im Kino sitzt Zeynep auf Platz 8 von links. Zwischen Zeynep und Sofia sitzen 3 Kinder, Sofia sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Sofia?
    83 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 8 ist Zeynep, dann 3 Plätze dazwischen.
    2. 8 + 3 + 1 = 12
    Ergebnis:
    Platz 12
  5. ●29
    Ben kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Ben 4 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
    ?− 18 €+ 4 €20 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 4 € = 16 €
    2. Dann den Kauf: 16 € + 18 € = 34 €
    Ergebnis:
    34 €
  6. ●30
    Auf einem Hof zählt Mia 8 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Huhn und 7 Kaninchen: 1 · 2 + 7 · 4 = 30
    Ergebnis:
    1 Huhn, 7 Kaninchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 24 Tore geschossen. Zum Finale kamen 428 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    6 Spiele24 Tore428 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:447:096:597:247:147:397:297:54
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Entlang eines Weges stehen 12 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22 m

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Jonas braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16:27 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof zählt Ben 7 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Hühner, 5 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 4,50 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel1,20 €Packung4 Riegeln4,50 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Packung

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 20 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 180 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    20 Kindern180 €3 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
    (A) 6 · (15 + 6)
    (B) 6 · 15 + 6
    (C) 6 + 15 · 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B: 6 · 15 + 6

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 210 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. Der Beginn des Films fehlt
  3. 11:00 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
  4. 14 Minuten
  5. 13 Minuten
  6. los um 7:13 Uhr, an um 7:41 Uhr
  7. 36 m
  8. Nein, 13 Pfähle
  9. Nein, 11 Pfähle
  10. 15:16 Uhr
  11. 22 €
  12. 28 Karten
  13. 2 Hühner, 6 Kaninchen
  14. 2 Sechsertische
  15. 13 Kaninchen
  16. einzeln
  17. einzeln
  18. 0,67 €
  19. 469 €
  20. 13 €
  21. 177 €
  22. B: 5 · 10 + 2
  23. A: 5 · 7 + 2
  24. A: 6 · (10 + 8)
  25. 4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  26. nicht lösbar
  27. Nein, 10 Pfähle
  28. Platz 12
  29. 34 €
  30. 1 Huhn, 7 Kaninchen
  31. 9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  32. 25 Minuten
  33. 22 m
  34. 16:27 Uhr
  35. 2 Hühner, 5 Kaninchen
  36. die Packung
  37. 12 €
  38. B: 6 · 15 + 6
  39. 10:15 Uhr
  40. 500 cm