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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 3 + 20 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (8 + 5) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 5 = 13
    2. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 7 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
    2. 3 + 14 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 53. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 8 + 39 + 42
83942
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 8 + 42 + 39
  2. 8 + 42 = 50
  3. 50 + 39 = 89
  1. Vertauschen: 8 + 42 + 39
  2. 8 + 42 = 50
  3. 50 + 39 = 89
Ergebnis:
89

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 66 + 19 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    116619
    So fängst du an:
    Vertauschen: 11 + 19 + 66
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 66
    2. 11 + 19 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 66 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●2
    Rechne geschickt: 13 + 21 + 7
    13217
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 7 + 21
    2. 13 + 7 = 20
    3. 20 + 21 = 41
    Ergebnis:
    41
  3. ★3
    Tom rechnet 601 + 785 + 399 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    601785399
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 601 + 399 + 785
    2. 601 + 399 = 1000
    3. 1000 + 785 = 1785
    Ergebnis:
    1785

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 86
4786
Schritt für Schritt
  1. 47 bekommt 3 dazu, 86 gibt 3 ab.
  2. 47 + 86 = 50 + 83
  3. 50 + 83 = 133
  1. 47 bekommt 3 dazu, 86 gibt 3 ab.
  2. 47 + 86 = 50 + 83
  3. 50 + 83 = 133
Ergebnis:
133

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 75 = 40 + ___
    3775
    So fängst du an:
    37 wird zu 40: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 75 um 3 kleiner werden: 75 − 3 = 72
    3. 40 + 72 = 112
    Ergebnis:
    72
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 93
    3893
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    2. 38 + 93 = 40 + 91
    3. 40 + 91 = 131
    Ergebnis:
    131
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 769 = 2000 + ___
    1997769
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 769 um 3 kleiner werden: 769 − 3 = 766
    3. 2000 + 766 = 2766
    Ergebnis:
    766

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  3. 250 − 5 = 245
  1. 49 = 50 − 1
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  3. 250 − 5 = 245
Ergebnis:
245

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 26
    So fängst du an:
    26 = 20 + 6
    Lösung zeigen
    1. 26 = 20 + 6
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 6 = 42
    3. 140 + 42 = 182
    Ergebnis:
    182
  2. ●8
    Es gibt 9 Tüten mit je 16 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 16
    2. 16 = 10 + 6
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
    4. 90 + 54 = 144
    Ergebnis:
    144 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 9 Tüten mit je 43 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 3 = 27
    4. 360 + 27 = 387
    Ergebnis:
    387 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 423 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 423 : 9?
423: 9
Schritt für Schritt
  1. 423 = 360 + 63
  2. 360 : 9 = 40 und 63 : 9 = 7
  3. 40 + 7 = 47
  1. 423 = 360 + 63
  2. 360 : 9 = 40 und 63 : 9 = 7
  3. 40 + 7 = 47
Ergebnis:
47

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 513 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 513 : 9?
    513: 9
    So fängst du an:
    513 = 450 + 63
    Lösung zeigen
    1. 513 = 450 + 63
    2. 450 : 9 = 50 und 63 : 9 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●11
    124 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 124 : 4
    2. 124 = 120 + 4
    3. 120 : 4 = 30 und 4 : 4 = 1
    4. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31 Murmeln
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 225 : 3
    Lösung zeigen
    1. 225 = 210 + 15
    2. 210 : 3 = 70 und 15 : 3 = 5
    3. 70 + 5 = 75
    Ergebnis:
    75

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 9 = 4 · ___
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 89 − 73 = ___ − 75
    So fängst du an:
    73 wird zu 75: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 75: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 2 größer.
    3. 89 + 2 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 84 + 59 = 82 + ___
    Lösung zeigen
    1. 84 wird zu 82: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 2 größer.
    3. 59 + 2 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 15 = 6 · ___
    12 · 15=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Emma verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 58? Nenne ihn und rechne.
6 · 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 8 = 48
  3. Zusammen: 348
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 8 = 48
  3. Zusammen: 348
Ergebnis:
zerlegen, 348

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 39 + 48 + 61? Nenne ihn und rechne.
    39 + 48 + 61zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    vertauschen, 148
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 27 + 59 + 73? Nenne ihn und rechne.
    27 + 59 + 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    vertauschen, 159
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 63 · 21 das Ergebnis 1323. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
  2. 1323 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 63 · 21 = 1323
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
  2. 1323 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 63 · 21 = 1323
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1323

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 324 : 9 und erhält 36. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    324 : 9Ergebnis 36?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 36 · 9 = 324
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 36 · 9 = 324
    2. 324 ist genau 324: Es stimmt.
    3. 324 : 9 = 36
    Ergebnis:
    stimmt, 36
  2. ●23
    Ben rechnet 340 : 4 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    340 : 4Ergebnis 84?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 84 · 4 = 336
    2. 336 ist nicht 340: Es ist falsch.
    3. 340 : 4 = 85
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 85
  3. ★24
    Can rechnet 2963 − 2025 und erhält 958. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 958 + 2025 = 2983
    2. 2983 ist nicht 2963: Es ist falsch.
    3. 2963 − 2025 = 938
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 938

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 26 + 23 + 34
    262334
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 34 + 23
    2. 26 + 34 = 60
    3. 60 + 23 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●26
    Rechne geschickt: 11 · 25 · 4
    11254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 11
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 23 = 200 + ___
    19823
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 23 um 2 kleiner werden: 23 − 2 = 21
    3. 200 + 21 = 221
    Ergebnis:
    21
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 178 − 99
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 178 − 99 = 179 − 100
    3. 179 − 100 = 79
    Ergebnis:
    79
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 13 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1037
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 3 = 21
    3. Zusammen: 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    91 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 74 + 29 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    117429
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Mia rechnet 38 + 95 als 40 + 95. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3895
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    234

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 301 : 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 76 − 46 = ___ − 51
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Tom verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 150 + 598? Nenne ihn und rechne.
    150 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 748

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can erhält für 54 · 18 das Ergebnis 972. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 972

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 96
  2. 41
  3. 1785
  4. 72
  5. 131
  6. 766
  7. 182
  8. 144 Bonbons
  9. 387 Bonbons
  10. 57
  11. 31 Murmeln
  12. 75
  13. 91
  14. 61
  15. 30
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 70
  18. 3000
  19. vertauschen, 148
  20. vertauschen, 159
  21. halbieren und verdoppeln, 90
  22. stimmt, 36
  23. falsch, richtig ist 85
  24. falsch, richtig ist 938
  25. 83
  26. 1100
  27. 21
  28. 79
  29. 147
  30. 91 Kästchen
  31. 114
  32. 133
  33. 234
  34. 43
  35. 81
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. gegensinnig verändern, 748
  38. stimmt, 972
  39. 23
  40. 26
  41. 17
  42. 29