Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 9 + 3 · 7
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
2. 9 + 21 = 30
Ergebnis:
30
●40
Rechne: (6 + 3) · 5
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 6 + 3 = 9
2. 9 · 5 = 45
Ergebnis:
45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 2 + 8 · 3
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 8 · 3 = 24
2. 2 + 24 = 26
Ergebnis:
26
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 10 und erhalte 68. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 14 + 72 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 14 + 6 + 72
14 + 6 = 20
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 72 = 92

Vertauschen: 14 + 6 + 72
14 + 6 = 20
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 72 = 92

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Rechne geschickt: 15 + 13 + 35
So fängst du an:
Vertauschen: 15 + 35 + 13
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 15 + 35 + 13
2. 15 + 35 = 50
3. 50 + 13 = 63
Ergebnis:
63
●2
Emma rechnet 27 + 75 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 27 + 13 + 75
2. 27 + 13 = 40
3. 40 + 75 = 115
Ergebnis:
115
★3
Rechne geschickt: 161 + 882 + 26 + 39 + 74
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 161 + 39 + 26 + 74 + 882
2. 161 + 39 = 200 und 26 + 74 = 100
3. 200 + 100 + 882 = 1182
Ergebnis:
1182

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 75

Schritt für Schritt

48 bekommt 2 dazu, 75 gibt 2 ab.
48 + 75 = 50 + 73
50 + 73 = 123

48 bekommt 2 dazu, 75 gibt 2 ab.
48 + 75 = 50 + 73
50 + 73 = 123

Ergebnis:

123

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Noah rechnet 198 + 36 als 200 + 36. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
So fängst du an:
Noah hat 198 um 2 vergrößert.
Lösung zeigen
1. Noah hat 198 um 2 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 36 = 236.
3. 2 wieder abziehen: 236 − 2 = 234
Ergebnis:
234
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 24
Lösung zeigen
1. 38 bekommt 2 dazu, 24 gibt 2 ab.
2. 38 + 24 = 40 + 22
3. 40 + 22 = 62
Ergebnis:
62
★6
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 997 + 777 = 1000 + ___
Lösung zeigen
1. 997 wird zu 1000: 3 mehr.
2. Also muss 777 um 3 kleiner werden: 777 − 3 = 774
3. 1000 + 774 = 1774
Ergebnis:
774

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Tüten mit je 55 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

4 · 55
55 = 50 + 5
4 · 50 = 200 und 4 · 5 = 20
200 + 20 = 220

4 · 55
55 = 50 + 5
4 · 50 = 200 und 4 · 5 = 20
200 + 20 = 220

Ergebnis:

220 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 24
So fängst du an:
24 = 20 + 4
Lösung zeigen
1. 24 = 20 + 4
2. 5 · 20 = 100 und 5 · 4 = 20
3. 100 + 20 = 120
Ergebnis:
120
●8
Es gibt 3 Tüten mit je 14 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 3 · 14
2. 14 = 10 + 4
3. 3 · 10 = 30 und 3 · 4 = 12
4. 30 + 12 = 42
Ergebnis:
42 Bonbons
★9
Es gibt 3 Hefte mit je 49 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 3 · 49
2. 49 = 40 + 9
3. 3 · 40 = 120 und 3 · 9 = 27
4. 120 + 27 = 147
Ergebnis:
147 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 248 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 248 : 8?

Schritt für Schritt

248 = 240 + 8
240 : 8 = 30 und 8 : 8 = 1
30 + 1 = 31

248 = 240 + 8
240 : 8 = 30 und 8 : 8 = 1
30 + 1 = 31

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Zerlege 441 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 441 : 7?
So fängst du an:
441 = 420 + 21
Lösung zeigen
1. 441 = 420 + 21
2. 420 : 7 = 60 und 21 : 7 = 3
3. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63
●11
Rechne halbschriftlich: 531 : 9
Lösung zeigen
1. 531 = 450 + 81
2. 450 : 9 = 50 und 81 : 9 = 9
3. 50 + 9 = 59
Ergebnis:
59
★12
512 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 512 : 4
2. 512 = 480 + 32
3. 480 : 4 = 120 und 32 : 4 = 8
4. 120 + 8 = 128
Ergebnis:
128 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 42 − 12 = ___ − 17

Schritt für Schritt

12 wird zu 17: 5 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 42 um 5 größer.
42 + 5 = 47

12 wird zu 17: 5 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 42 um 5 größer.
42 + 5 = 47

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Ergänze die Lücke: 26 + 17 = 36 + ___
So fängst du an:
26 wird zu 36: 10 mehr.
Lösung zeigen
1. 26 wird zu 36: 10 mehr.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 17 um 10 kleiner.
3. 17 − 10 = 7
Ergebnis:
7
●14
Ergänze die Lücke: 89 + 26 = 90 + ___
Lösung zeigen
1. 89 wird zu 90: 1 mehr.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 26 um 1 kleiner.
3. 26 − 1 = 25
Ergebnis:
25
★15
Ergänze die Lücke: 5 · 42 + 5 · 5 = 5 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
2. 5 mal 42 und 5 mal 5 sind zusammen 5 mal (42 + 5).
3. 42 + 5 = 47
Ergebnis:
47

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15

Schritt für Schritt

12 · 15 = 6 · 30
6 · 30 = 180

12 · 15 = 6 · 30
6 · 30 = 180

Ergebnis:

180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
So fängst du an:
14 · 5 = 7 · 10
Lösung zeigen
1. 14 · 5 = 7 · 10
2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70
●17
Elias verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80
★18
Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 22 · 15 = 11 · 30
3. 11 · 30 = 330
Ergebnis:
330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 83? Nenne ihn und rechne.

Schritt für Schritt

Den zweiten Faktor zerlegen: 83 = 80 + 3.
8 · 80 = 640 und 8 · 3 = 24
Zusammen: 664

Den zweiten Faktor zerlegen: 83 = 80 + 3.
8 · 80 = 640 und 8 · 3 = 24
Zusammen: 664

Ergebnis:

zerlegen, 664

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 41 + 27 + 59? Nenne ihn und rechne.
So fängst du an:
Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 41 + 59 = 100
3. 100 + 27 = 127
Ergebnis:
vertauschen, 127
●20
Welcher Weg passt zu 28 + 37 + 72? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 28 + 72 = 100
3. 100 + 37 = 137
Ergebnis:
vertauschen, 137
★21
Welcher Weg passt zu 7588 − 2395? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
2. 7588 − 2395 = 5193
Ergebnis:
schriftlich, 5193

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 123 : 3 und erhält 41. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 41 · 3 = 123
123 ist genau 123: Es stimmt.
123 : 3 = 41

Umkehraufgabe: 41 · 3 = 123
123 ist genau 123: Es stimmt.
123 : 3 = 41

Ergebnis:

stimmt, 41

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin rechnet 507 − 396 und erhält 111. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 111 + 396 = 507
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 111 + 396 = 507
2. 507 ist genau 507: Es stimmt.
3. 507 − 396 = 111
Ergebnis:
stimmt, 111
●23
Sofia erhält für 52 · 27 das Ergebnis 1504. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
2. 1504 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 52 · 27 = 1404
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1404
★24
Elias erhält für 137 · 47 das Ergebnis 6339. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 100 · 50 = 5000
2. 6339 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 137 · 47 = 6439
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 6439

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welche Zahlen fasst du bei 41 + 83 + 9 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 41 + 9 + 83
2. 41 + 9 = 50
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 83 = 133
Ergebnis:
133
●26
In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 9 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 20 · 5 · 9
2. 20 · 5 = 100
3. 100 · 9 = 900
Ergebnis:
900 Bälle
●27
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 87 = 300 + ___
Lösung zeigen
1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
2. Also muss 87 um 2 kleiner werden: 87 − 2 = 85
3. 300 + 85 = 385
Ergebnis:
85
●28
Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 65 − 39
Lösung zeigen
1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
2. 65 − 39 = 66 − 40
3. 66 − 40 = 26
Ergebnis:
26
●29
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 61
Lösung zeigen
1. 61 = 60 + 1
2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
3. 420 + 7 = 427
Ergebnis:
427
●30
Emma rechnet 5 · 22 so: erst 5 · 20, dann 2 dazu. Emma erhält 102. Zeige am Bild, was fehlt.
Lösung zeigen
1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
2. Rechter Teil: 5 · 2 = 10
3. 100 + 10 = 110
Ergebnis:
110

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Rechne geschickt: 38 + 17 + 22
Lösung zeigen
Ergebnis:
77
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Hanna rechnet 39 + 82 als 40 + 82. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
121
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
Lösung zeigen
Ergebnis:
152
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Zerlege 112 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 112 : 4?
Lösung zeigen
Ergebnis:
28
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Ergänze die Lücke: 46 − 40 = ___ − 45
Lösung zeigen
Ergebnis:
51
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Lösung zeigen
Ergebnis:
200
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 28 + 64 + 72? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
Ergebnis:
vertauschen, 164
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Paul rechnet 471 − 380 und erhält 91. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
stimmt, 91

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

63
115
1182
234
62
774
120
42 Bonbons
147 Hefte
63
59
128 Sticker
7
25
47
70
Nein, viermal so groß; richtig ist 80
330
vertauschen, 127
vertauschen, 137
schriftlich, 5193
stimmt, 111
falsch, richtig ist 1404
falsch, richtig ist 6439
133
900 Bälle
85
26
427
110
77
121
152
28
51
200
vertauschen, 164
stimmt, 91
30
45
26
58